Изменения границ областей различной степени неустойчивости режима стационарного вращения ротора с жидкостью под влиянием флотирующих частиц Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 531.36

ИЗМЕНЕНИЯ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ РАЗЛИЧНОЙ СТЕПЕНИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ РЕЖИМА СТАЦИОНАРНОГО ВРАЩЕНИЯ РОТОРА С ЖИДКОСТЬЮ ПОД ВЛИЯНИЕМ ФЛОТИРУЮЩИХ ЧАСТИЦ

© 2012 г. Н.В. Дерендяев 1, И.Н. Солдатов 2

1 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2 Нижегородский филиал Института машиноведения РАН

erfV@newmail .т

Поступиос вдедскцию 19.09.2011

Исследуется влияние флотирующих частиц на свободной поверхности вязкой несжимаемой жидкости, частично заполняющей полость ротора, на устойчивость его стационарного вращения.

Коючевые соовс: роторная система, флотирующая вязкая жидкость, устойчивость стационарного вращения, волновые резонансы.

Модель вращающейся жидкости с флотирующими частицами

Рассмотрим слой несжимаемой вязкой жидкости, находящейся в бесконечном цилиндре кругового сечения радиуса а. Цилиндр прецес-сирует с угловой скоростью ю и вращается вокруг собственной оси симметрии с угловой скоростью шо. Абсолютная угловая скорость вращения ротора в лавалевских закреплениях поддерживается постоянной и равной О = ш + шо. Считая скорость вращения большой, О2а/'g >> 1, влиянием силы тяжести пренебрегаем. На свободной поверхности слоя легкие мелкие флотирующие частицы образуют тонкую пленку. Примем, что частицы при колебаниях не взаимодействуют друг с другом и не совершают движения относительно жидкости. Такая модель жидкости с флотирующими частицами, по-видимому, впервые была предложена в работе А^. Рейеге [1, 2].

Ограничимся рассмотрением плоской модели, предполагающей, что точки цилиндра могут перемещаться лишь параллельно плоскости Оху, перпендикулярной оси вращения, а поле скоростей имеет лишь х,у-компоненты, которые так же, как и давление, не зависят от г. Введем не-инерциальную систему отсчёта, связанную с линией центров О1О, проходящей через центр прецессии О1 и центр сечения цилиндра О (рис. 1).

Пусть свободная поверхность в полярной системе координат описывается уравнением Ф(г, Ф, г) = 0, для определенности, положим

Ф(г, ф, г) = г - Ь -к(ф,г) = 0, (1)

где Ь - радиус невозмущенной цилиндрической поверхности жидкости при стационарном вращении.

Кинематическое условие имеет обычный вид ЭФ

----+ (уУ)Ф = 0 при Ф(г, ф, г) = 0

дг

или, с учетом формулы (1),

дк V дк , , . .

----и ь------= 0 при г = Ь + к(ф, г), (2)

дг г Эф

где и, V - радиальная и азимутальная компоненты вектора скорости у.

Рассмотрим элемент весомой поверхности ДО и запишем для него второй закон Ньютона в неинерциальной системе координат, связанной с линией центров:

р 1| — + (уУ)у + 2[ю, у] - ш2 г + Г

= ^апД^ + спД£ при г = Ь + к(ф, г),

где ра - давление в воздушной полости (без уменьшения общности его можно считать равным нулю), рх - поверхностная плотность (т.е. масса флотирующих частиц, приходящаяся на единицу площади), оп = -рп + 2ц(пУ)у + ц[п,го1у] (или Ош' = ОуИ;, Оу - тензор напряжений) - вектор напряжений на площадке с внешней норма-

лью n = | i

i ЭИ

r Эф

i +

i эи

r Эф

ент динамической вязкости жидкости, p - дав——

ление под свободной поверхностью, Г= -ю2 OO=

2 2 = -ю S cos феr +ю S sin феф .

Сократив на AS, запишем (3) в проекциях на оси полярной системы координат:

і Эи Эи i Эи v2 2 l

psI---------+ и-+ v--------2юv-ю r + 1 |x

І dt dr r Эф r J

Далее штрихи опускаем. Поверхностная плотность р, при малых колебаниях остается постоянной с точностью до величин второго порядка малости. Подставляя разложения (5) в уравнения (4) и удерживая члены не выше первого порядка малости, получим линеаризованные динамические граничные условия при r = b

р [— + ю0 — - 2Qv-Q2h -ю2еcosф) =

’I dt 0 Эф J

= -p - pQ2bh + 2ц—, dr

і dv dv 2-і

psI-----+ ю0---+ 2LLu + ю ssinф | =

dt Эф

, i du dv v l 2 dh

= ц|----+---------l + p s l2 —.

1 b Эф dr b J Эф

(б)

\+J_ Г*'!V

r І Эф

і „Эи і = |- p + 2ц"ЭГ |-

| i Эи + dv v | i dh

І r Эф dr r J r Эф ’

. dv dv i dv uv .

p s |-----+ u------+ v--------I----+ 2юи + 1 |x

s|dt dr r Эф r ф|

'"i+_L [ЭИh ,v

r І Эф

(

_ i Эи dv v

= ц r Эф+ЭТ ■ 7|-

(4)

i _dh_ r Эф

,( 1 Эу и - р + 2ц| —— + —

. ^г 5ф ^

при г = Ъ + ^ф,?).

Скорость частиц жидкости и давление представим в виде V = V0 +2^', р =р0 + Р, где V0 = =ю0геф, Р0 = р^О Ъ + рО (г - Ъ )/2 - поле скоростей и давление при стационарном вращении, р - плотность жидкости.

Линеаризуем граничные условия и перенесем их с поверхности г = Ъ + ^ф,?) на свободную поверхность жидкости при стационарном вращении (г = Ъ ), для чего разложим искомые величины в ряды:

Эи'

и(b + И(ф, t), ф, t) = и'(ф, t) r + —

r=b dr

И(ф, t) +...,

v(b + И(ф,t), ф,t) = ^(ф,t )| r=b + ко I r=b +

ЭК

dr

И(ф, t) +... = v’ + ю0 b + ю 0 И(ф, t) +...,

і dp'

p(b + И(ф, t), ф,t) = p'^, t) r + —

r=b dr

И(ф, t) +...

ЭР

... + P0 b + —

01r=b dr

И(ф, t) +... =

(5)

r=b

22

= p!r=b +psL b +pQ ЬИ(ф,t) +....

Движение жидкости в полости прецессирующего ротора

Используя закон изменения энергии вязкой жидкости, можно показать, что в случае круговой прецессии малого радиуса движение жидкости относительно выбранной системы отсчёта установившееся:

rot [v, V0 ] = -2[q, v]-—P +—Av + <b2£, (7)

P P div v = 0, а граничные условия имеют вид

P, f®0 du - 2Qv 1 =

(8)

Эф

Эи

= -p + 2ц-------+ (ps - pb)Q h + psю s cos ф,

dr

dv

ps| юо^- + 2Lu | =

Эф

(9)

i du dv v

------------1---------------

b Эф dr b

, . ™ ^ , , _2 dh 2

= ц|--------------------1-| + psLL------psю Ssinф.

Эф

Решение гидродинамической задачи будем искать в виде первой гармоники по ф: V, р ~ е1ф. Перейдем к безразмерным переменным, где г' = г/а, V' = v/(Оє), р' = р/(рО2єа), 5 = Ъ/а, т = ю/О,

R = —, Е = —- число Экмана. Ниже ис-ра рОа

пользуются только безразмерные переменные, а

Іф

штрихи и множитель е , как правило, опускаются.

Исключив h с помощью кинематического граничного условия, линеаризованные граничные условия (9) на свободной инерционной поверхности г = 5 удобно представить в следующем виде:

2

X

Х

r=b

+

r=b

r=b

/ + 2Е Э - /Я(1 -т)/и + 2Яv - р = 2(8 - Я)т2,

Е Я Э Е Л /' 2

+ i

(10)

' I-2Й+ГГ/'+1Е *“«-О/=-2 *■

На поверхности цилиндра должны выполняться условия прилипания

у|г=1 = 0. (11)

Решение гидродинамической задачи (8)—(11) может быть представлено в виде:

Я Я(3 -т) Л.Е 2 ' ' + 4^—^ - iEx2

8

1 - т

8

н(1) (%8)[^4=-1 ;ят2.

и =

V =

С1 + % + ~21 (хг)

г г

С - Щ-- х^0 (хг)+1 ^ (хг)

Гидродинамическая сила

Решение (13) задачи о движении жидкости в прецессирующем роторе позволяет найти безразмерные компоненты силы, с которой жидкость действует на единицу длины цилиндрической поверхности полости ротора:

= -1 (СТгг C0s Ф - СТгф sin ф)^

р =

(3-т) т2

/ (1 + т)с1 г +/ --- с2 + г - 22х (хг)

(12)

0

2л

(14)

— = -1 (стгг sin ф + СТ гф СО!5 ф)dф,

где Огг, оГф - компоненты тензора напряжений.

При учете граничных условий при г = 1 выражения для напряжений на твердой стенке

дv

функция Ганкеля п-го порядка, приобретают вид стгг =-р, ст = ц—. Из (14)

где (хг )= С3н п (хг)+ С4Н„ (хг), нп (хг)

х =

1 - т

дг

2Е

i -1

1 -т 1 -т|

. Коэффициент^1 С] находят- после небольших преобразований получаем

ся из системы, полученной из условий (9), (10):

С1 + С 2 + /с 3 Н 1(2) (х) + /с 4 Н 1(1) (х) = 0,

С1 - с2 + (с 3 (хН 02> (х) - Н 1(2>(х))+

+ (с 4 (хН (х) - Н «(х) )= 0,

. (8-Я)т2 /8-Я „ ч . Е^ с2

1— -------С1 + г1 -(8 + Я)(3 -т) + 4/~ 1т2 -

1 -т I 1 -т 8^8

-^ 2х(Я82 - /Е5)н02) (х8) +

1 -т

с2 1(1 -82)-1.

82(1 - 2т) + Я8(т- 2)2 т-1

+ 4/Е

н12) (х8)Р2 -

Н-2х(Я82 - /Е8)Н01) (х8) +

(13)

82(1 - 2т) + Я8(т- 2)2 т-1

+ 4/Е

Н11 (х8)^-^ =

= 1(8- Я)т2,

Я8 ^ Г Я 4/Е 1

1-т-Я(1+т) к +1—-Я(3-т) + — Ь С2 +

/Ях(1 -т)+М Н02) (х8) + 8

+/

Я Я(3-т) Е .г. --------4/-7 - Е

1-т

8

82

Н(2) (х8)С +

/Ях(1 -т) + 28Е 8

Н01) (х8) +

- = 1т У, — = Re У, У = | / - 4

Выражения для размерных компонент силы —, — получаются после умножения —^, — на

лрю2(а2 - Ь2).

При выполнении классических граничных условий на свободной поверхности зависимость гидродинамических сил от отношения скоростей т имеет резко выраженный резонансный характер. Существуют две резонансные частоты, приближенные выражения для которых имеют вид

т] * (1 + 82)-1 (2 + (-1)] 72(1 -82)) (] = 1,2).

Заметим, что для резонансных частот справедливо неравенство т < 1 < т2.

Рассмотрим, как меняется характер зависимости гидродинамических сил от т при изменении Я, сопроводив его графиками, построенными при значениях параметров Е = 10-6 и 5 = =0.95. С ростом Я с резонансом на частоте т2 никаких радикальных изменений не происходит: резонансная частота т2 монотонно несильно увеличивается, а резонансный пик постепенно расширяется с увеличением Я. Поведение же гидродинамических сил вблизи резонансной частоты т1 нетривиально и сильно зависит от величины Я. При Я меньше некоторого значения Я*, зависящего от 8 (Я* ~ 0.0294 при 5 = =0.95), существенных изменений не происходит (см. рис. 2), т.е. резонанс остается хорошо выраженным и, как при Я = 0, гидродинамическая сила — > 0 на резонансной частоте ть Изменения проявляются лишь в том, что резонансный

е

е

2

т

+

+

+

+

пик Fn на частоте її становится все более острым, а за этим резонансным пиком выше по частоте т появляется небольшой интервал (т3, т4) (т1 < т3 < т4 < 1) с отрицательным значением гидродинамической силы Fn < 0. На рис. 2 уже можно заметить небольшую «ямку» на графике Fn при R = 0.015. Заметим также, что резонансная частота т1, как и т2, несколько увеличивается с ростом R, не превышающим R*. (Забегая вперед отметим, что увеличение остроты пика Fn на первой резонансной частоте приводит к увеличению петли О-кривой, располагающейся в верхней полуплоскости параметров задачи, при этом уменьшается область устойчивости А(0), но, что самое важное, область устойчивости 02(0) увеличивается, растягиваясь вдоль оси абсцисс К.) Чем ближе величина R к значению R*, тем выраженнее на графиках становится область отрицательных значений Fn, постепенно приобретающая форму перевернутого резонансного пика. При R = R* происходит уравнивание резонансных пиков по абсолютной высоте: за резонансом с положительным значением силы Fn > 0 следует другой с отрицательным значением силы Fn < 0. Это явление на рис. 2 демонстрирует штриховая кривая, отвечающая R = 0.0294 при 8 = 0.95.

При дальнейшем увеличении параметра R > > R* происходит быстрое уменьшение положительного резонансного пика силы Fn вплоть до полного исчезновения и, одновременно, увеличение отрицательного резонансного пика Fn < 0 (штрих-пунктирная кривая R = 0.0375 на рис. 3), сменяющееся затем постепенным расплыванием последнего. Вместе с уменьшением резонансного пика Fn еще более быстрыми темпами

происходит сглаживание F^ (рис. 4). В случае жидкости с классическим граничным условием при переходе через частоту т1 сила F^ достаточно резко меняет знак: от больших отрицательных значений быстро становится большой положительной. В рассматриваемом случае флотирующей жидкости сильно уменьшаются по абсолютной величине максимальные отрицательное и положительное значения F^ а начиная с некоторого К (К > 0.045 при 8 = 0.95) сила F^ не принимая отрицательных, сразу устремляется к положительным значениям.

На определенном этапе снижения отрицательного пика Fn выше по частоте начинает расти положительный холмик Fn. Например, начиная с К = 0.1 при 8 = 0.95 вершина положительного холма превышает по абсолютному значению вершину отрицательного, который делается все более и более пологим. Положительный холм не вырастает в резкий пик, а так и остается сравнительно пологим (это иллюстрирует сплошная кривая для К = 0.75 на рис. 3). Пожалуй, ещё более отчетливо заметно около-резонансное расплывание F^ причем в отличие от классического случая происходит спадание от относительно больших положительных значений до значений меньших, но остающихся положительными (сплошная кривая на рис. 4 и рис. 5).

Таким образом, если не брать в расчет малые К < 0.1, то можно заключить, что наличие плавающих частиц на поверхности жидкости приводит к уменьшению амплитуды первого резонанса, а амплитуда и частота т2 второго резонанса увеличиваются. Этот несколько странный

11 I ! 5=0.95

4- ;;

д=оМ

..;

2- I !

7^=0.75 —

Рис. 4

Рис. 5

Рис. б Рис. 7

факт объясняется, по-видимому, тем, что флотирующие частицы на поверхности жидкости не совершают движения относительно жидкости. «Вмороженность» частиц лежит в основе модели, предложенной в [1], что делает узкой сферу её применения - вряд ли модель остается применимой, если значение параметра К достаточно велико.

Области устойчивости стационарного вращения ротора

Обратимся к исследованию устойчивости режима стационарного вращения ротора с флотирующей жидкостью в случае, когда ось ротора закреплена в изотропных вязко-упругих опорах лавалевского типа. Это означает, что точки ротора могут перемещаться только в плоскостях, перпендикулярных оси стационарного вращения. Для исследования устойчивости используем метод, предложенный в [3].

Уравнения движения ротора в неподвижной системе координат О1х1х2х3 с осью О1х3, совпадающей с осью стационарного вращения (рис. 1), в комплексных переменных имеют вид:

Мг = F + /, (15)

г = х,0 + ix20, Рх = Re(~еы), F2 = 1т(~еы),

F = К + iFrl, i2 = -1, / = -Кг - Иг,

с, ц? и

где М - масса ротора, х°, х° - координаты точки пересечения оси ротора с плоскостью Ох1х2, / -сила реакции опор оси ротора, К, Н - коэффициенты линейной упругости и вязкости закреплений оси ротора соответственно.

Условия, при которых возможна круговая прецессия, определяют границы областей с различной степенью неустойчивости в пространстве параметров задачи. Более подробное изложение применяемого метода исследования устой-

чивости можно найти в [4]. Из уравнений движения ротора (15) выводятся условия осуществимости круговой прецессии:

M

----т2 + K = Ft2, Hт = F t2,

m

где K = K I(mQ2), H = Н /(mQ), m - масса жидкости, приходящаяся на единицу длины ротора. На рис. б представлено D-разбиение плоскости параметров K, H на области с различной степенью неустойчивости D(n) (n - степень неустойчивости) для следующих двух случаев: R=0.0225 (сплошная кривая со штриховкой) и R=0 (пунктирная кривая) при E=10-5, 8=0.95, M/m = 1.5. Стрелка на D-кривой указывает направление возрастания параметра т. Штриховка D-кривой проведена таким образом, что переход в плоскости параметров со штрихованной стороны кривой на нештрихованную соответствует увеличению степени неустойчивости на два. При малых R существуют две области устойчивости D1(0) и D2(0). Область D2(0), примыкающую к началу координат K = 0, H = 0, которую в силу выбранного масштаба на рис. б не заметно, можно увидеть на рис. 7. Как и на рис. б, пунктирная D-кривая соответствует R=0, а D-кривая со штриховкой отвечает R=0.029. При выбранном значении R и 8=0.95 D-кривая образует верхнюю петлю приблизительно максимальных размеров, и далее с ростом R эта петля начинает убывать.

Начиная с некоторого R верхняя петля, а вместе с ней и область D2(0), исчезают вовсе. Как в этом случае выглядит D-кривая без штриховки вблизи начала координат на плоскости параметров K, H, показано на рис. S.

Заключение

1. Проведенный анализ показывает, что наличие флотирующих частиц приводит к пол-

ному исчезновению области устойчивости D2(0) при достаточно больших значениях параметра К. Вместе с тем область устойчивости Dl(0) расширяется.

2. Предположение о «вмороженности» флотирующих частиц, лежащее в основе модели, предложенной в [1], приводит к труднообъяснимым особенностям в поведении резонансных кривых F^(т), F11(т), и вряд ли справедливо при достаточно больших поверхностных плотностях флотирующих частиц, т.е. при достаточно больших значениях параметра К.

Работа поддержана РФФИ (проекты № 09-0100356, № 11-08-97066-P_поволжье_а).

Список литературы

1. Petters A. S. The effect of a floating mat on water waves // Comm. Pure and Appl. Math. 1950. V. 3. № 4. P. 319—354.

2. Габов С.А., Свешников А.Г. Математические задачи динамики флотирующей жидкости // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. М.: ВИНИТИ, 1990. T. 28. С. 3-86.

3. Дерендяев Н.В., Сандалов В.М. Об устойчивости стационарного вращения цилиндра, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью // ПММ. 1982. Т. 46. № 4. С. 578-586.

4. Derendyaev N.V., Vostrukhov A.V., Soldatov I.N. Stability and Andronov-Hopf bifurcation of steady-state motion of rotor system partly filled with liquid: continuous and discrete models // Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 2006. Vol. 73. № 4. P. 580-589.

CHANGES OF THE BOUNDARIES OF DOMAINS WITH VARIOUS INSTABILITY DEGREES OF A STATIONARY ROTATION REGIME OF A FLUID-CONTAINING ROTOR UNDER THE INFLUENCE OF FLOATING PARTICLES

N. V. Derendyaev, I.N. Soldatov

The influence of particles floating on the free surface of a viscous incompressible liquid partially filling the rotor cavity on the stability of its stationary rotation regime is studied.

Keywords: rotor systems, viscous liquid, floating particles, stability of stationary rotation, wave resonances.