CC BY
16КОЛЕБАНИЯ СВОБОДНОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЯДРА ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ С ЖИДКОСТЬЮ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВИБРАЦИЙ
И.Э. Карпунин1, Н.В. Козлов2
1Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
2Институт механики сплошных сред УрО РАН, ПФИЦ, 614013, Пермь, Акад. Королёва, 1
Экспериментально изучается динамика цилиндрического тела во вращающейся полости при перпендикулярных оси вращения вибрациях. Эксперименты проводятся при высокой скорости вращения, когда под действием центробежной силы тело смещается к оси вращения (центрифугированное состояние). Режим осредненного движения тела зависит от частоты вращения полости. Вибрации приводят к возбуждению дифференциального вращения тела, опережающего или отстающего, связанного с резонансным возбуждением его инерционных колебаний. Исследована зависимость дифференциальной скорости вращения тела от частоты вибраций. В зависимости от безразмерной частоты вибраций динамика тела имеет сложный характер. Показано, что колебательное движение тела состоит из суммы нескольких мод, каждая из которых вносит вклад в осредненные динамику тела и течения в полости.
Ключевые слова: дифференциальное вращение, вибрации, цилиндрическое ядро, коаксиальный слой.
© Карпунин И.Э., Козлов Н.В., 2017
ВВЕДЕНИЕ
Вибрации являются эффективным инструментом управления механическими системами [1], позволяющим находить новые технологические решения. Одним из ярких эффектов, связанных с вибрациями, являются осредненные течения, которые находят свое применение в самых различных областях [2], от промышленных технологий [3] до описания принципов физиологии человеческого организма [4]. Особый интерес представляют вращающиеся системы, для которых специфическим является богатый спектр собственных колебаний [5], которые могут быть возбуждены переменными силовыми полями, например, вращающиеся двухфазные системы (тела в жидкости, системы несмешивающихся жидкостей разной плотности, частично заполненная жидкостью полость). Резонансное возбуждение колебаний вращающихся гидродинамических систем под действием вибраций с частотой, кратной собственным частотам системы, может служить эффективным инструментом управления течениями и тепломассопереносом.
Вращающиеся двухфазные системы представлены в большом спектре задач. Действие силы тяжести на жидкость, частично заполняющую горизонтальную вращающуюся цилиндрическую полость, приводит к радиальному сдвигу свободной цилиндрической поверхности, образовавшейся при высокой скорости вращения, вертикально вниз [6]. Устойчивый радиальный сдвиг приводит к колебаниям поверхности жидкости во вращающейся системе отсчета, вызывающим установившееся осреднённое течение в жидкости [7] и, как следствие, дифференциальное вращение [8, 9]. Устойчивость поверхности сильно зависит от геометрических параметров, таких как относительный радиус поверхности, определяемый коэффициентом объемного заполнения, и относительная длина полости [9]. В [10] теоретически рассмотрена динамика вращающихся несмеши-вающихся жидкостей и изучены собственные колебания системы в цилиндрической полости с различными граничными условиями. В работе [11] экспериментально исследована динамика двух несме-шивающихся жидкостей в горизонтальной цилиндрической полости, вращающейся в гравитационном поле. Изучены скорость дифференциального вращения и форма границы раздела, а также влияние на нее относительной плотности и геометрических параметров.
Собственные частоты колебаний границы раздела жидкость -жидкость для двумерной азимутальной моды с волновым числом 1 определяются выражением [11].
и = f = 2 ±У2 (1 -Р) (1 - /г2), (1)
f 1 + R2 + р (1 - R2) ' W
где fr - частота вращения полости, р = р2 / р1 - относительная плотность легкой фазы, R = R2 / R1 - относительный радиус цилиндрической границы раздела. Проведенный в [11] анализ показывает, что выражение (1) позволяет также рассчитать собственные частоты круговых колебаний твердого цилиндрического ядра.
Остановимся более подробно на задаче о движении легкого свободного ядра радиуса R2 во вращающейся с частотой Wr полости с жидкостью радиуса R . Этой задаче посвящены экспериментальные и теоретические работы [12-14], в которых рассмотрена динамика цилиндрического ядра в цилиндрической полости. В двумерной постановке, для которой характерна трансляционная симметрия относительно оси вращения полости z , т.е. Э / Эz = 0, подробно изучено влияние постоянного и переменного инерционных полей, однородных вдоль оси вращения. Действие перпендикулярного оси вращения поля вызывает круговые колебания ядра вида r = b (sin ílaj ■ i + cosílaJ ■ j), где b - амплитуда радиального смещения тела, £\sc - угловая частота его колебаний в системе отсчета полости. Если колебания вызваны полем силы тяжести, то £\sc = -Wr. При поступательных вибрациях с частотой Wvib, поперечных оси вращения полости, тело колеблется с частотой Wosc = Wvib -Wr. В результате колебаний в пограничном слое Стокса на поверхности ядра генерируется осредненный момент силы, приводящий его во вращение относительно полости.
В приближении малой амплитуды колебаний, b << R2 и b << R1- R2, теория [12] предсказывает угловую скорость дифференциального вращения
U02 (1 - R2)
ДО = -L, (2)
4WoscR2S
где U0 - амплитуда скорости колебаний жидкости за пределами вязкого пограничного слоя толщиной d = ^2v / Wosc , v - вязкость
жидкости, Я = Я2 / Я1. В случае возбуждения колебаний полем тяжести выражение (2) принимает вид [14]:
1 Я ( О Л2 д^-1 Я -О— (1 -р)2 (1 - я2 .
4 8 ^ П2г Я2 J v ^ > г
Ряд экспериментов хорошо согласуется с двумерной линейной теорией, однако в случае жидкостей малой вязкости наблюдается их расхождение [14]. Это расхождение усиливается при увеличении длины тела [15].
В данной работе проводится подробное изучение динамики тела большой относительной длины, рассматривается траектория движения, находятся частоты колебаний.
1. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Экспериментальная модель представляет собой прозрачную цилиндрическую кювету 1, изготовленную из оргстеклянной трубы с толщиной стенки 5 мм и герметично закрытую с торцов крышками, одна из которых прозрачна (рис. 1). В кювету, заполненную рабочей жидкостью (вода), помещено цилиндрическое тело 2, изготовленное из капролона. На торцах на оси симметрии тела установлены упоры в виде тонких упругих «усов» длиной 10 мм для предотвращения приближения тела к торцам полости. Таким образом исключается взаимодействие тела с торцами полости. Длина полости Ь1 = 280мм, внутренний радиус Я1 = 35.0 мм. Длина, радиус и плотность тела составляют: Ь2 = 245 мм, Я2 = 20.0 мм и р = 0.88 г/см3.
Рис. 1. Схема кюветы (1) и тела в ней (2)
Кювета, закрепленная в стойках с подшипниками 3, приводится во вращение шаговым двигателем 4 модели FL86STH65-2808A, который управляется драйвером SMD-42 (рис. 2). Нестабильность скорости вращения не превышает 0.001 об/с. Вращение от двигате-
ля через муфту 5 передается кювете. Скорость вращения кюветы изменяется в диапазоне /г = 0 - 9.75 об/с.
В отсутствие вращения легкое цилиндрическое тело находится в верхней части полости. Изучение динамики тела проводится в случае его центрифугированного состояния, когда тело, меньшей по сравнению с водой плотности, находится вблизи оси вращения полости. Центрифугирование тела (переход от стенки полости в среднюю часть при повышении скорости вращения) происходит при скорости /г = 4.88 об/с, а всплытие тела (переход к границе полости) при понижении скорости вращения происходит при /г = 4.37 об/с.
Рис. 2. Схема экспериментальной установки (вид сверху)
В отсутствие вибраций модель, закрепленная на платформе 6, помещается на столик вибростенда 7. Столик установлен на роликовых подшипниках, которые перемещаются по горизонтальным рельсам 8. Вращательное движение ротора мотора 9 посредством кривошипно-шатунного механизма 10 преобразуется в поступательное движение столика 7. Направление вибраций перпендикулярно оси вращения полости. Частота вибраций варьируется в диапазоне = 0 - 7 Гц, амплитуда в описываемых экспериментах поддерживается неизменной и составляет = 10.0 мм. Изучение влияния вибраций на динамику тела проводится при определенной скорости вращения полости, /г = 4.88 об/с. Наблюдение за поведением тела, а также его фото- и видеорегистрация проводятся со стороны прозрачного торца кюветы при непрерывном освещении. Высокоскоростная видеозапись выполняется камерой Ор1тот8
си,
g
CamRecord CL600x2 (11) с частотой 800 кадров в секунду при разрешении 640x480 пикселей на кадр. Обработка результатов регистрации выполняется на компьютере.
Для изучения динамики тела проводится покадровая обработка видеозаписей. Для измерения скорости вращения тела и скорости полости на их торцы нанесены радиальные метки с шагом в 10 градусов. Наблюдение за смещением меток позволяет определить угол поворота или количество оборотов тела (полости), время между разными положениями тела находится по известной частоте кадров. Так измеряется скорость вращения тела в лабораторной системе отсчета f и скорость вращения тела в системе отсчета полости
Df = f - f.
Для обработки изображений используется программа ImageJ. Сначала определяются координаты центра (осей) полости и тела. Ось полости движется твердотельно со столиком вибратора. Вычитая из координат центра тела координаты центра полости, мы осуществляем переход в систему отсчета, связанную со столиком вибратора. Именно в этой системе отсчета будут рассматриваться все траектории движения центра тела.
Движение тела представляет собой колебания с разными частотами. При помощи быстрого преобразования Фурье (функция FFT) проводится разложение осциллограммы положения тела на независимые гармоники. Найденные частоты и амплитуды используются для выявления колебательных мод и их соответственного вклада в генерацию осредненного движения тела.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
Возмущающее действие на цилиндрическое ядро во вращающейся полости определяется суперпозицией силы тяжести и связанной с вибрациями осциллирующей силы инерции. Обе эти силы возбуждают колебания тела в системе отсчета полости (с различными частотами), вызывая аддитивные осредненные эффекты.
Поведение исследуемой системы зависит от скорости вращения. В качестве одной из основных характеристик отклика системы выбрана скорость дифференциального вращения тела относительно полости, определяемая как Df = fs - fr, где fs - скорость вращения тела, fr - скорость вращения полости. Зависимость скорости Df от частоты вибраций fvib при заданных скорости вращения полости fr = 4.88 об/с и амплитуде вибраций Aib = 10.0 мм пред-
ставлена на рис. 3. При прямом (точки 1) и обратном (точки 2) ходе по частоте /уьь обнаружены узкие области гистерезиса в переходах от одного режима движения к другому. В области значений /■ль = 0 - 2 Гц вибрации не оказывают влияния на величину А/ . При /^ь = 2.1 Гц скорость вращения тела скачком понижается, и при дальнейшем увеличении частоты повышается вплоть до значения /ь = 3.9 Гц. В области /ь = 3.9-4.3 Гц наблюдается понижение А/, которое при /^ь > 4.3 Гц сменяется монотонным возрастанием. В целом дифференциальная скорость вращения тела возрастает с повышением частоты вибраций. Исследованный интервал частот можно разделить на четыре характерные области.
1.5
А/ об/с
0
-1.5 -3
' □ 1 ' ' ■□ 1 ■ 2 1 1 в я 1 1 Л
I 1 II 1III1 ,п IV
" | □ 1 1
" 1 1Д и
¡1- □□■ С^р 1 й [Г 9 I4 |
$ 1 1 1 1
0 3 6 и Гц
Рис. 3. Зависимость относительной частоты дифференциального вращения тела А/ от частоты вибраций /гьь
В области I, /ь = 0 - 2 Гц, поведение тела полностью определяется действием гравитационного поля. Рассмотрим поведение тела при /уьь = 1.5 Гц (рис. 4 а). Наряду со стационарным смещением относительно оси вращения кюветы под действием силы тяжести наблюдается случайное блуждание тела относительно среднего положения. Смещение тела относительно оси вращения кюветы в отсутствие вибраций (точки 1) и при вибрационном воздействии (2)
сравнимо по величине. Можно сказать, что вибрации в данной области частот существенно не изменяют поведение тела.
-0.4 Лг, см
0.4
щг _ □ /
^ 1 1
-0.4
0 Дг см 0-4
Ь, см
Л
I. *
• V \
> л
Г» • •• > V •
л;-.
А
2 /.
0.06
А, см
0.03 -
/Гц
Рис. 4. Среднее положение центра тела (а) в отсутствие вибраций (1) и при /уЬЬ = 1.5 Гц (2), траектория движения центра тела в системе отсчета столика вибратора при /уЬЬ = 3.9 Гц (3); б - зависимость радиального смещения центра тела от времени при /пь = 3.9 Гц; в - спектр частот колебаний, найденный быстрым преобразованием Фурье
В области II, /у1ь = 2.1 - 3.9Гц, поведение тела характеризуется монотонным ростом скорости его дифференциального вращения (см. рис. 3). В данной области происходит качественное изменение характера колебаний тела, которое совершает круговые колебания относительно среднего положения, смещенного от оси вращения (рис. 4 а). Центр окружности, по которой движется тело, оказывается примерно в той же точке, где располагалось само тело в гравитационном случае. Это обстоятельство указывает на то, что действие вибраций вызывает круговые колебания тела, которые суммируются со стационарным смещением, вызванным действием силы тяжести. Величину радиального смещения, представленную на рис. 4 б, можно разложить на смещение тела относительно нуля
б
а
(центр полости) Ь1 и амплитуду круговых колебаний Ь2. В выбранных координатах амплитуда гармонических колебаний соответствует Ь1, среднее смещение осциллограммы от Ь = 0 соответствует Ь2. На рис. 4 в главный пик соответствует частоте круговых колебаний, которая совпадает с частотой вибраций, что характерно для всех /уЬЬ в области II. Кроме того, наблюдаются два вторичных пика слева от основного, которые обнаружены при различных значениях .
Лг, см
0
0.2
0.4
-0.2 0 0.2 ^ см0.4
0.09 А. см 0.06
0.03
О 0.8 1.6 Л
б
Рис. 5. Траектория движения центра тела в системе отсчета столика вибратора (а); б - зависимость радиального смещения центра тела от времени при /гЬЬ = 4.3 Гц; в - спектр частот колебаний, найденный быстрым преобразованием Фурье
* 4 л • • : • * • г • Л.1 • • Л \Г\
V V * :: ' * # <
в
В области III, /уЬЬ = 4 - 5 Гц, траектория тела относительно оси
вращения полости имеет более сложный характер в силу суперпозиции нескольких колебательных движений с различными частотами (рис. 5 а), что сопровождается изменением скорости дифференциального вращения. Зависимость радиального смещения тела от
времени (рис. 5 б) характеризуется колебаниями с разной частотой, заметными благодаря периодическому изменению амплитуды. Главный пик соответствует частоте круговых колебаний тела, которая соразмерна задаваемой частоте вибраций (рис. 5 в). Вторичный пик, при f = 2 Гц, определяет периодическое изменение радиуса траектории движения тела.
а
в
Рис. 6. Траектория движения центра тела в системе отсчета столика вибратора (а); б - зависимость радиального смещения центра тела от времени при = 6.1 Гц; в - спектр частот колебаний, найденный быстрым преобразованием Фурье
При > 5 Гц, что соответствует области IV на рис. 3, торец тела движется по спирали, то приближаясь к оси вращения полости, то удаляясь от нее (рис. 6 а). Фрагмент траектории, включающий в себя последовательные положения центра тела, показан на рисунке линией со стрелкой. Наблюдения, проведенные сбоку, показывают, что такая траектория связана с возникновением прецессии тела: наряду с его круговыми колебаниями относительно среднего положения с частотой вибраций появляются низкочастотные колебания большой амплитуды концов тела (рис. 6 б). Последние
выражаются в том, что ось вращения тела отклонена от оси вращения полости и совершает вращение относительно последней. Прецессионным колебаниям соответствует главный пик на рис. 6 в. Небольшой пик вблизи значения f = 6.1 Гц соответствует круговым колебаниям тела с частотой вибраций.
При понижении частоты вибраций (обратный ход) выделенные области частот, с характерными режимами движения тела, воспроизводятся в обратном порядке.
3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Теоретическое описание вибрационной динамики легкого твердого ядра во вращающейся полости с жидкостью [14] предполагает слабое по сравнению с центробежной силой возмущающее действие инерционных сил. Последние вызывают при этом во вращающейся системе колебания тела малой амплитуды. Данное приближение записывается как Ь << Я2 и Ь << Я1- Я2 и выполняется в областях I и II (рис. 7), где Ьх / Я2 ~ 0.01 и Ь2 / Я2 ~ 0.1. Несмотря на это, обнаруженная в эксперименте угловая скорость дифференциального вращения в отсутствие вибраций АО = -14.1 с-1, на порядок выше скорости АО = -1.59 с-1, предсказанной для условий эксперимента двумерной теорией. При этом сравнение результатов теории и экспериментов с коротким телом обнаружило хорошее согласие [14]. Причиной сильного расхождения в значениях скорости дифференциального вращения могут быть трехмерные эффекты, которые не учитываются в теории, но проявляются в эксперименте, и наиболее сильно при большой относительной длине тела.
Интенсивность вибрационного воздействия можно охарактеризовать безразмерным вибрационным ускорением а, описывающим силы инерции в системе отсчета столика вибростенда (вследствие поперечных оси вращения горизонтальных вибраций). Если в качестве единицы измерения выбрать характерное центробежное ускорение в полости (2р/"г )2 Я2, то вибрационное ускорение принимает вид:
Ай fviЬ ^
*2 I I
(3)
ау1Ь
Поскольку скорость вращения кюветы /г и амплитуда вибраций Ам поддерживаются постоянными, в рассматриваемом случае ауЬЬ определяется только безразмерной частотой вибраций, при повышении которой возрастает по квадратичному закону:
= 0.5
( Г
3 у'гЬ 1
Проанализируем экспериментальные результаты с использованием полученных безразмерных параметров. На рис. 7 по оси абсцисс отложена безразмерная частота вибраций, единицей измерения которой служит частота вращения полости. По оси ординат отложена вибрационная составляющая безразмерной скорости дифференциального вращения Д/Ь / /г.
Здесь Д/Ь = Д/ - Д/ , Д/ - суммарная скорость дифференциального вращения тела, Д/ =-2.22 об/с - скорость дифференциального вращения, обусловленная действием силы тяжести при /г = 4.88 об/с и Я2 = 20.0 мм. Единицей измерения также служит частота вращения полости.
2
ау1Ь
0.6
0.3
о
0 0.5 111 1 /г, К5
Рис. 7. Зависимость безразмерной скорости дифференциального вращения тела от безразмерной частоты вибраций
На рис. 7 обозначены пороговые значения частоты вибраций / / = 0.43 (А ), 0.72 (В ) и 0.94 (С). С учетом относительной плотности тела р = р / рь и его относительного радиуса Я для условий нашего эксперимента из выражения (1) получим значения собственных частот плоских круговых колебаний цилиндрического ядра: п = 0.83 (соответствует отстающему движению) и п2 = 1.25 (опережающему).
На рис. 7 в области I относительная скорость вращения практически не отличается от гравитационного случая. Однако в точке А происходит качественная смена типа движения. В области II возбуждаются круговые колебания амплитуды Ь2 , которая по величине на порядок превосходит стационарное смещение Ь1 (см. рис. 4 а). Вблизи перехода между областями I и II (А ) отношение частот А/„Ь / А/ < 0 , и это свидетельствует о том, что вибрации возбуждают отстающие колебания ядра. Но с ростом /Ь / /'г скорость дифференциального вращения повышается, и при значении, соответствующем В , уже А/Ь / А/г > 0, что указывает на вклад вибраций в опережающие колебания ядра.
Таким образом, вибрации возбуждают по меньшей мере две колебательные моды, отличающиеся направлением. Этот результат интересен тем, что вибрации возбуждают колебания тела за пределами резонансной области. Можно полагать, что возбуждаются вынужденные колебания ядра или же возбуждение колебаний тела происходит на частотах, кратных собственным. Такое поведение не наблюдалось в экспериментах [12, 15]; основным отличием рассматриваемого эксперимента является большая амплитуда вибраций (= 10.0 мм), тогда как в [12, 15] максимальное значение амплитуды составляло порядка 1 мм.
Область III на рис. 7 характеризуется возбуждением собственных трансляционных колебаний тела в результате совпадения частоты вибраций /Ь / / с собственной частотой отстающих круговых колебаний тела п1. Поскольку п1 < 1, в данной области усиливается отстающее дифференциальное вращение тела. Резонансный пик на рис. 7 располагается достаточно близко к теоретическому значению п1. Переход из области II в область III характеризуется резким изменением А/Ь / А/ и одновременно изменением характера колебаний. Амплитуда круговых колебаний остается постоянной
в области II, а в области III наблюдается ее монотонный рост (рис. 8 а). Поскольку амплитуда вибраций велика, резонансные области оказываются широкими [15], а в силу небольшой относительной плотности значения собственных частот достаточно близки к единице [11]. Это приводит к слиянию двух резонансных областей, и тело с повышением частоты вибраций переходит при /уЬЬ / /г = 1 из области отстающего резонансного вращения в область опережающего вращения. На это указывает монотонный рост Ь2 / Я2 на рис. 8 а. Поскольку, согласно (3), вместе с частотой вибраций возрастает и безразмерное вибрационное ускорение, амплитуда колебаний ядра при /уЬЬ / / » п2 больше, чем при /уЬЬ / /г » п1.
Фурье-анализ осциллограмм Ь (г) позволяет построить карту спектральной плотности колебаний (распределения по частоте и амплитуде) в зависимости от частоты вибраций (рис. 8 б). На этой карте в качестве единицы измерения частоты вибраций и частоты колебаний тела выбрана частота вращения полости / = 4.88 об/с, для амплитуды колебаний А - радиус полости Я2. Штрихпунктир-ная линия на рис. 8 б отмечает отношение / / Ь = 1, при котором наблюдаются вынужденные колебания тела с частотой вибраций. Из карты спектральной плотности видно, что при /уЬЬ / /г < 0.4 вибрации не оказывают существенного влияния на динамику тела. Следует отметить, что в данной области безразмерное вибрационное ускорение не велико: а^Ь < 0.08 .
По достижении области IV (см. рис. 7) по мере приближения к частоте п2 возбуждаются интенсивные прецессионные колебания тела, о которых свидетельствует низкочастотный пик на рис. 8 б в окрестности /^Ь / /г = 1.25. Колебания тела в области IV сопровождаются его интенсивным опережающим вращением. Одновременно амплитуда Ь2 / Я2 в этой области снижается.
Эксперименты с коротким телом показали, что прецессия возникает при резонансных частотах на фоне опережающих круговых колебаний при относительно больших значениях амплитуды вибраций [15]. Прецессионные колебания являются следствием плоских круговых колебаний ядра и, предположительно, развиваются как неустойчивость, связанная с большой амплитудой колебаний. На это указывает и то, что такое поведение наблюдается при
/■лъ / /, близком к п2, т.е. в области резонанса для плоских круговых колебаний.
б
Рис. 8. Зависимость от безразмерной частоты вибраций безразмерной амплитуды круговых колебаний тела Ь2 (а) и карта спектральной
плотности безразмерной частоты колебаний тела (б; цвет характеризует амплитуду колебания тела)
При fvib / fr > 0.43 наблюдается возбуждение еще нескольких колебательных мод. Наиболее ярко проявляются моды с частотами f / fr = 0.12 и 0.39 (рис. 8 б). Первая из них соответствует прецессионным колебаниям тела, которые имеют максимальную амплитуду при fib / fr »1.25. Кроме того, прецессионная частота обнаружена во всех пороговых переходах (A , B и C), и это, вероятно, указывает на то, что прецессия проявляется как вид устойчивости цилиндрического ядра. Вторая мода (f / fr = 0.39) сопутствует первой и связана, по-видимому, с собственными трансляционными колебаниями тела и наиболее ярко проявляет себя при резонансном возбуждении, при близкой частоте вибраций, fib / fr ~ 0.4, а также при переходе из области отстающего резонансного движения (III) в область опережающего (IV ) (рис. 8 б).
Прецессионные колебания возбуждаются при безразмерной частоте вибраций, превышающей значение 1.02 (см. рис. 6 б), и достигают максимума в окрестности fib / fr = 1.25. Опираясь на карту (рис. 8 б), можно сделать вывод, что именно колебания этого типа проявляются и при более низких частотах вибраций fvbb / f = 0.43 (A ), 0.72 (B ) и 0.94 (C ). Сравнивая график на рис. 7 и спектральную карту на рис. 8 б, можно заметить, что колебания с данными частотами имеют максимальную амплитуду в точках смены режимов движения тела, т.е. вблизи экстремумов Df .
Заключение. Экспериментально исследовано поведение свободного легкого цилиндрического тела во вращающейся горизонтальной полости с жидкостью при колебаниях, перпендикулярных оси вращения. Проведенные исследования позволяют сделать вывод, что дифференциальное вращение тела определяется суперпозицией осредненных эффектов, связанных с колебаниями тела с разными частотами. К ним относятся: вызванные силой тяжести (внешним статическим силовым полем) колебания тела относительно вращающейся полости; вынужденные колебания тела с частотой вибраций; разного вида собственные колебания тела, которые возбуждаются при различных частотах вибраций. Колебания тела, вызываемые статическим внешним полем, генерируют отстающее вращение. Действие вынужденных колебаний определяется их интенсивностью и относительной частотой. Резонансные колебания возбуждаются в двух диапазонах частот: при fvib / fr < 1 колебания вносят вклад в отстающее вращение, при fib / fr > 1 они
генерируют опережающее вращение тела. При fib / fr > 1.2 направление дифференциального вращения тела меняет свой знак (тело начинает опережать вращающуюся полость). В этом случае механизм генерации опережающего вращения превосходит действие силы тяжести, генерирующей отстающее вращение тела. В рассматриваемых экспериментах исследовалось влияние вибраций большой амплитуды при относительно низкой скорости вращения, т.е. при малой центробежной силе. В результате этого вибрационное ускорение avib достигало значительных величин. Этим объясняется то, что вынужденные колебания тела с частотой вибраций приводят к столь заметному вкладу в его осредненную динамику, в отличие от ранее выполненных исследований, в которых вибрации малой амплитуды оказывали воздействие на систему лишь при резонансных частотах. Следует отметить важный вклад в дифференциальное вращение тела колебаний с собственными частотами, которые возбуждаются резонансным образом при совпадении частоты вибраций с одной из собственных частот. Обнаружено, что колебания тела могут быть как двумерными, так и трехмерными (прецессия). Особенно ярко трехмерные колебания тела проявляются при относительной частоте вибраций, превышающей единицу, когда круговые трансляционные колебания тела сопровождаются прецессией большой амплитуды.
Авторы благодарны проф. В.Г. Козлову за интерес к исследованию и полезные обсуждения. Работа поддержана Министерством образования и науки РФ, проект 3.9053.2017 / БЧ. Авторы являются участниками программы президента РФ для ведущих научных школ, проект НШ-9176.2016.1.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Blekhman I.I. Vibrational Mechanics (Nonlinear Dynamic Effects, General Approach, Applications). Singapore: World Scientific. 2000. 536 p.
2. Riley N. Steady streaming // Ann. Rev. Fluid Mechanics. 2001. Vol. 33. P. 43-65.
3. Chung S.K., Trinh E.H. Containerless protein crystal growth in rotating levitated drops // J. Crystal Growth. 1998. Vol. 194. Issues 34. P. 384-397.
4. Kumar H., Tawhai M.H., Hoffman E.A., Lin C.-L. Steady streaming: A key mixing mechanism in low-Reynolds-number acinar flows // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23. P. 041902.
5. Greenspan H.P. The Theory of Rotating Fluids. Cambridge University Press. 1968. 327 p.
6. Phillips O.M. Centrifugal waves // Journal of Fluid Mechanics. 1960. Vol. 7, No. 3. P. 340-352.
7. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in water waves // Philos. Trans. R. Soc. London. 1953. Vol. 245, No. 903. P. 535-581.
8. Gans R.F. On steady flow in a partially filled rotating cylinder // J. Fluid Mech. 1977. Vol. 82, No. 3. P. 415-427.
9. Ivanova A.A., Kozlov V.G., Chigrakov A.V. Dynamics of a Fluid in a Rotating Horizontal Cylinder // Fluid Dynamics. 2004. Vol. 39, No. 4. P. 594-604.
10. Bauer H.F. Coupled oscillations of a solidly rotating liquid bridge // Acta Astronaut. 1982. Vol. 9, No. 9. P. 547-563.
11. Kozlov N.V., Kozlova A.N., Shuvalova D.A. Dynamics of immiscible liquids in a rotating horizontal cylinder // Physics of Fluids. 2016. Vol. 28. P. 123-129.
12. Козлов В.Г., Козлов Н.В Вибрационный гидродинамический волчок // Доклады Академии наук. 2007. Т. 415, № 6. С. 759762.
13. Козлов В.Г., Козлов Н.В. Вибрационная динамика легкого тела в заполненном жидкостью вращающемся цилиндре // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 1. С. 12-23.
14. Kozlov N.V. Theory of the vibrational hydrodynamic top // Acta Astronaut. 2015. Vol. 114. P. 123-129.
15. Козлов Н.В. Вибрационная динамика легкого тела во вращающейся полости с жидкостью: дис. канд. физ.-мат. наук. Перм. гос. ун-т. Пермь, 2011. 124 с.
OSCILLATIONS OF A FREE CYLINDRICAL CORE IN A ROTATING HORIZONTAL CYLINDER WITH FLUID UNDER EFFECT OF VIBRATIONS
I.E. Karpunin, N.V. kozlov
Abstract. The dynamics of a cylindrical body in a rotating cavity is experimentally studied under vibrations transversal to the rotation axis. Experiments are conducted at a high rotation rate, when under the action of centrifugal force the body is shifted to the axis of rotation (is centrifuged). The body average-rotation regime depends on the cavity rotation rate. Vibrations lead to the excitation of different kinds of body differential rotation (leading or lagging) associated with the resonant excitation of its inertial oscillations. The dependence of the differential speed of the body rotation on the vibration frequency is investigated. The body dynamics has a complex character depending on the di-mensionless vibration frequency. The analysis of the trajectory revealed that the body motion consists of the sum of several oscillatory modes, each of which contributes to the averaged dynamics of the body and flow in the cavity.
Key words: differential rotation, vibration, cylindrical core, annulus.
