ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНЫХ И ФУНКЦИОНАЛЬНО-НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ КОЛЬЦЕВОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№2 (75) / 2021.

УДК 539.3:534.1

©2021. И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко, А.О. Иванив

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНЫХ И ФУНКЦИОНАЛЬНО-НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ КОЛЬЦЕВОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

В рамках описания волновых движений полной системой уравнений линейной динамической теории упругости исследуются две пространственные модели волновода - кусочно-неоднородного, составленного из различающихся по геометрии и механическим свойствам изотропных протяженных полых цилиндров концентрического кольцевого поперечного сечения, а также функционально-неоднородного протяженного изотропного полого цилиндра концентрического кольцевого поперечного сечения с экспоненциально степенным законом радиальной неоднородности физико-механических характеристик. Базисные решения системы дифференциальных уравнений модели в первом случае представляются отдельно для каждого однородного слоя в классической замкнутой форме через функции Бесселя, а во втором - в аналитической матричной форме с представлениями в виде разложений радиальных составляющих решений в равномерно и абсолютно сходящиеся матричные степенные ряды по обобщенной кольцевой координате. На основе результатов численных экспериментов для случая свободных граничных поверхностей волновода реализован сопоставительный анализ полученных в рамках рассмотренных моделей топологических картин дисперсионных спектров бегущих нормальных продольно-сдвиговых волн, а также кинематических характеристик указанных волн из второй и третьей мод спектров при различных значениях параметра количества слоев. Приведены качественные оценки и выводы количественного анализа полученных численных результатов.

Ключевые слова: однослойный функционально-градиентный полый цилиндр, многослойный составной кусочно-неоднородный полый цилиндр, изотропные материалы, осесимметричные нормальные волны, базисные решения волновых уравнений, дисперсионные соотношения.

Введение. При решении задач о распространении нормальных упругих волн вдоль протяженных изотропных, трансверсально-изотропных и цилиндрически ортотропных цилиндров кольцевого поперечного сечения вопрос сводится к построению общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений волнового деформирования в цилиндрических координатах, являющихся уравнениями с переменными коэффициентами. В классическом случае однородного изотропного либо трансверсально-изотропного материала волновода эти уравнения разрешимы через цилиндрические функции, что становится невозможным как для однородного цилиндрически ортотропного материала, так и при переходе к рассмотрению нового поколения радиально-неоднородных функционально-градиентных материалов. Одним из подходов, обеспечивающим возможность построения указанных решений, является, с одной стороны, привлечение аппарата рядов по обобщенной кольцевой координате [1], ас другой -задание специального вида экспоненциально-степенного функционального закона радиальной неоднородности физико-механических характеристик материала

волновода [2-4]. Такой подход обеспечил построение общих аналитических решений и исследование эффектов влияния фактора радиальной неоднородности на кинематические характеристики, топологические свойства дисперсионных спектров, фазовые и групповые скорости бегущих нормальных волн для различных моделей цилиндрических волноводов концентрического кольцевого и секторно-кольцевого поперечного сечения из изотропных, трансверсально-изотропных и цилиндрически ортотропных материалов. В данном исследовании с использованием аналитических общих решений разрешающих уравнений соответствующих математических моделей ставится и решается задача проведения сопоставительного численного анализа характеристик волновых процессов при распространении осесимметричных нормальных упругих волн в кусочно-однородных составных протяженных цилиндрах кольцевого поперечного сечения из различных изотропных материалов и в функционально-неоднородных цилиндрах кольцевого поперечного сечения с экспоненциально степенным законом радиальной неоднородности физико-механических свойств изотропного материала.

1. Постановка задачи. Рассматриваются две модели протяженного полого цилиндрического волновода. Модель А (рис. 1) - структурированный многослойный протяженный цилиндр, составленный из однородных отличающихся по физико-механическим свойствам изотропных цилиндров концентрического кольцевого сечения с внутренними радиусами К^— и внешними радиусами К^ < К]) = 1,??'), между которыми имеется идеальный механический контакт. Модель Б (рис. 2) - функционально неоднородный в радиальных направлениях изотропный цилиндр с поперечным сечением в форме концентрического кругового кольца с внутренним и внешним радиусами Ко и Кп. На указанных рисунках представлены поперечные сечения волноводов для случая п = 4.

Рис. 1.

Рис. 2.

Вводится нормирующий параметр К*, на который накладываются следующие

ограничения

Яо < Я* < Яп, Яп/2 < Я*-

Вводятся также безразмерные параметры

= (у = 0,п) , к = тах{1 - г0, гп — 1} (0 < к < 1). (2)

В нормированной параметром Я* безразмерной цилиндрической системе координат ОтОх в случае модели А волновод занимает область

п

V() = и V3),

3=1

у(,з) = {г е ; е е [-7Г, тг}] г <Е (-оо, оо)} {э = 1~п) .

Поверхности Г.,- раздела двух смежных областей У^ и = 1,п — 1), а

также внутренняя Го и внешняя Гп граничные поверхности волновода определяются так:

Tj = {r = rj■, в е [-7г,7г] ; г е (-оо, оо)} (.7=0,п) .

Условия идеального механического контакта двух смежных областей V (з) и (у = 1,п — 1) составного волновода для случая волн крутильного типа записываются в виде

и

(3)

тд

(3) д

(т, д, г)е Г

(т, д, г)е Г

(

и

(3+1)

тд

(3+1) д

(т, д, г)е Г (т, д, z)е Гj

{.] = 1,72-1)

(3)

а в случае продольно-сдвиговых волн имеют вид

(

(3)

(т, д, z)e г

= (Т,

(3+1)

и

(3)

(т, д, z)e Гэ

=и

(3+1)

(т, д, z)e Гэ (т, д, z)е гj

(в = г, г), (э = 1,71 - 1) . В случае модели Б волновод занимает область

V() = {т е [то, Тп]; О е [-п,п\; х е (-ж, те)}. При этом с учетом представлений (1), (2) справедливо соотношение

0 < 1 - Н < т0 <тп < 1 + Н < 2.

(4)

(5)

в

Полагается, что в случае модели А изотропные материалы в областях V (j) (j = 1 ,п) заданы постоянными для соответствующей области характеристиками: коэффициентом Пуассона v(j); отнесенным к нормирующему параметру C* модулем сдвига отнесенным к нормирующему параметру р* безраз-

мерным параметром плотности материала p(j). Для модели Б функционально-неоднородный в радиальных направлениях изотропный материал волновода задается такими физико-механическим характеристиками:

v = const, р (r) = pexp(fx,q (r)) ,

(6)

G (r)= G exp (fXq (r)), hq (r) = Л ((r - 1) /h)q .

Здесь p (r) и G (r) - нормированные параметрами p* и C* соответственно плотность и модуль сдвига неоднородного материала; р и G нормированные параметрами p* и C* соответственно плотность и модуль сдвига однородного материала. Параметры Л (Л £ R) и q (q £ {0} UN) в представлениях (6) характеризуют соответственно относительный максимальный уровень и форму локализации радиальной неоднородности материала в теле волновода.

Пространственная линейная математическая модель осесимметричного динамического напряженно-деформированного состояния упругих тел в системе координат OrOz, применительно к областям V^ (j = 1 , п) для модели А, а также к области V(Б) для модели Б, включает:

- систему дифференциальных уравнений движения, которая в случае волн крутильного и продольно-сдвигового типа соответственно трансформируется к виду

(dr + 2r-1) are + dzoez - (PP*Rl/C*) dtue = 0 (7)

и

dr Orr + dz a rz + r-1 (arr - aee) - (pp*R1/C*) d2Ur = 0,

(8)

dr Orz + dz a zz + r 1Orz - (PP*R1/C*) df Uz = 0;

- соотношения линейного закона Гука, которые в случае волн крутильного и продольно-сдвигового типа соответственно принимают вид

aez = Geez, are = Gere (9)

и

arr = G (Ci£rr + Ci (eee + £zz)),

aee = G (Cieee + Ci (err + £zz)), (10)

azz = G (Ciezz + C2 (err + eee)), arz = Gerz;

- уравнения связи между отличными от нуля компонентами тензора малых деформаций

e$p и отнесенными к нормирующему параметру R* отличными от

нуля безразмерными компонентами п3 вектора упругих волновых перемещений, которые в случае волн крутильного и продольно-сдвигового типа соответственно принимают вид

евг = дхЩ, £тв = (дг - т-1) щ (11)

£„ = dr Ur, See = r 1Ur, ezz = dz uz, Erz = dz Ur + dr u

z u-r ~ U'Z ■

(12)

В соотношениях (7)-(12) C1 = 2 (1 - v)/(l — 2v), C2 = 2v/ (1 - 2v); asp - отнесенные к нормирующему параметру C* отличные от нуля безразмерные компоненты тензора напряжений; t - время; ds = д/ds (s = r,z,t).

Представленные математические модели А и Б включают также однородные граничные условия одновременно свободных либо жестко закрепленных внутренней Г(0) и внешней Г(га) граничных поверхностей волновода (Г = Г(0) U Г(га)), которые в случае волн крутильного и продольно-сдвигового типа соответственно принимают вид

(re\

(r, e, z)e г

либо

0

0,

ue\(r, e, z)e г ars\(r, e, z)e г = 0 (s = r, z)

(13)

(14)

(15)

либо

и*\(т,в,г)е Г = 0 (в = т, г) . (16)

2. Базисные решения и дисперсионные соотношения для модели

А. Общие решения уравнений модели для отличных от тождественного нуля нормированных компонент вектора перемещений и тензора напряжений в областях волновода У^ [р = 1 ,п) при рассмотрении распространяющихся вдоль оси Ог нормальных упругих волн с круговой частотой ш и отнесенным к нормирующему параметру К* волновом числом к, могут быть представлены через цилиндрические функции Бесселя Зт (£) и Ут (() [5].

В случае крутильных волн для общих решений уравнений (7), (9), (11) в областях волновода У^ = 1 ,п) вводятся представления

ufW,j) (r, z, t) = exp (—iw t + ikz) (r),

(TW,j) ez

(TW,j) re

(r, z, t) (r, z, t)

= exp (—iw t + ikz)

i0

0 1

T

T

(TW,j) ez

(TW,j) re

(r) (r)

(17)

где

u

(TW,j)

e

(r) =

U

(TW,B,j)

(r) B(TW,j)

1,1

T,

(TW,j)

ez

T

(TW,j) re

(r) (r)

S(TW,Bj (r) B(TW,J)_

и

и

Здесь и (г) и о (г) - искомые матричные оазисные решения сле-

дующего вида

U

(TW,B,j)

(r) = PiTW'j) Y0) (4j) r) ,

S(TWBj) (r) = P^ (r) Y(0)

(j)

K2 r

(19)

B(TW,j) =

b(j) b(j)

2

T

- произвольные вектор-столбцы второго порядка. В

соотношениях (19)

P

(TW,j)

U

0 к

(j)

P(STWj) (r) = G(j) )

.(з)

-2 r

-1

y(t ) (z) =

P

(j)

ü2 - k2,

Jr(0 MC) íKU)\ __

Jr+1 (0 yt+1 (C) J' У 2 J gü)

где ü2 = p* C* - нормализованная частота.

В случае продольно-сдвиговых волн при получении общих решений уравнений (8), (10), (12) для отличных от тождественного нуля нормированных компонент вектора перемещений и тензора напряжений в областях волновода V (j) (j = 1,п) вводятся представления

■(LSW'j) (r,z,t)

Ur U(LSW,j) uz

(r,z,t)

= exp (-iwt + ikz)

_(LSW,j) U rr

(r,z,t) (LSWj (r,z,t) (r,z,t) (r,z,t)

_(LSW,j)

U zz

_(LSW,j) U rz

= exp (-iw t + ikz)

■ 1 0

0 i

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 i

U(LSW,j) Ur (LSW,j)

U

(r) (r)

U(LSW,j) U rr

U

(r)

(LSW,j) (r)

(r) (r)

~(LSW,j) Uzz (LSW,j)

(20)

где

U(LSW,j) Ur (r) '

U(LSW,j) Uz (r) _

U(LSW,j) U rr (r) '

U(LSW,j) aee (r)

U(LSW,j) U zz (r)

~(LSW,j) U rz (r) _

U

(LSW,B,j)

(r) B(LSW,j)^

(21)

S(LSW'B'j) (r) B(LSW,j)_

Здесь и (г) и о (г) - искомые матричные оазисные решения,

полученные после введения потенциалов [6] в следующем виде

(г) = р(ЬЯШ,з) фЯШ,]) (г)

и (22) £{ЬЗШБ'3) (г) = (г) (г);

k

0

2

2

в(ьяш,з) =

Ь(з) ъ(з) ъ(3) Ь(з)

Ч и2 и3 4 порядка. В соотношениях (22

Г

(ЬяШЗ) и

т

произвольный вектор-столбец четвертого

0 -к^ к0

(з)

Аз )\

ь2 I

к к

(з)

фяшз) (т) =

(0) (кЗ)

кт

о

о

У(0) (4З) т

где О - нулевая матрица размерности 2 х 2; р^^'3 (т) - матрица размерности 4 х 4, ненулевые элементы которой равны

Р

(ЬЯШ'З)

я

(т)

п = -2С3) ( и(з)к2 +(1 - 3 (к?)2) (1 - 2и(з)Л -

Р

(ЬЯШ'З)

(т)1 =2 С(3) кЗ т-1, 121

Р

(ьяшз) я

(т)] =2 С(3) к (кЦ))

Р

(ЬЯШ'З)

я

(т)

Р

21

(ьяшз)

(т)

= —2 С(3) к к(з) т-1,

14

= -2 С3) и(з)(^к2 + (к^) (1 - 2^3^ - ,

Р

(ЬЯШ'З)

Р

я

(ЬЯШ'З)

я

(т)1 = -2 С3) 3 т-\ \ряьяЩз) (т)! =2 С3) кк2з) т-1,

] 22 1 Iя .¡24 2

(т)

=2

Р

(ьяШ'З)

С3) ((1 - V3)>) к2 + V3) (к 3^ (1 - 2^3)>) - 1, (т)] = -2 С3) к к)) 2 , [р(3ья№з) (т)] = -2 С3) к к 13),

Р

(ьяШ'З)

(т)

42 2

44

= ) к2 - зу

В приведенных соотношениях

(з)

С3) С(

(з)

п2-

к2, С[з) =2(1 - V3)УI (1 - 2v3^.

Дисперсионные соотношения для рассматриваемой модели являются следствиями условий идеального механического контакта смежных областей V(3 и У3+1"> (у = 1,п — 1), а также краевых условий на свободных либо жестко закрепленных внешних граничных поверхностях волновода. В случае волн крутильного типа это условия (3), (13) либо (3), (14), а в случае продольно-сдвиговых волн - условия (4), (15) либо (4), (16). С использованием представленных базисных решений для уравнений модели (19) и (22), указанные условия порождают

0

0

2

я

я

я

трансцендентное уравнение, определяющее дисперсионным спектр целевой задачи

(А) = 0, (23)

а также однородное матричное уравнение

АВ = О.

(24)

В (24) В - кортеж искомых векторных коэффициентов, соответственно фигурирующих в представлениях общих решений (17), (18) и (20), (21).

На примере составного четырехслойного волновода (п = 4) в уравнениях (23), (24) при рассмотрении волн крутильного типа кортеж векторных коэффициентов В размерности 8 получает вид

В

[ В(Т№'!) В(Т№'2) В(Т№'3) ВТЩ4) ]Т ,

нулевой вектор-столбец О имеет размерность 8, а матрица А размерности 8 х 8 в случае свободной либо жестко закрепленной граничной поверхности может быть соответственно представлена в виде

А

5 {ТШ, В, 1) 5су1 (г0)

и(ТШ В , ^ (Г1)

^{ТШ, В, 1) 5су1

(Г1)

[0 0] -и{ТЩВ,2) (Г1)

су1 (г1)

и{ТЩВ2) (Г2)

5 {ТШ,В,2)

3су1

(Г2)

[ 0 0 [ 0 0 [ 0 0

[ 0 0 ] [ 0 0 ] [ 0 0 ]

-и(та3) (Г2)

-5 %7В3) ы

и{™3) (гз)

-,,{ТШ,В,3) 5су1

[ 0 0

(г3)

[ 0 0 ]

[ 0 0 ]

[ 0 0 ]

[ 0 0 ]

[ 0 0 ]

-и{ТЩВА) (Г3)

у (г3)

5{ТШ,В,4) 5су1 (г4)

(25)

либо

А

И^^ (го) И{ТЩВЛ) (п)

5 {ТШ,В,1)

■>су1

(Г1) -Э,

0 0 0 0 0

[0 0]

-И{ТЩВ2) (Г1) {ТШ,В,2)

су1

(Г1)

1)

И{Т№В2) (Г2)

-,,{ТШ,В,2) 5су1

(Г2)

[ 0 0 [ 0 0 [ 0 0

[ 0 0 ] [ 0 0 ] [ 0 0 ]

-И{ТЩВ3 (Г2)

-5су1 (г2)

И{ТЩВ,3) (Г3)

-,,{ТШ,В,3) 5су1

[ 0 0

(Г3)

[ 0 0 ] [ 0 0 ] [ 0 0 ] [ 0 0 ] [ 0 0 ] -И{ТЩВА) (Г3) -Эсу1 (г3)

И{ТЩВА) (Г4)

(26)

При рассмотрении продольно-сдвиговых волн векторный коэффициент Б размерности 16 получает вид

= I" в^шд) б(ЬЗ№'2) Б(ЬЗ№>3) Б(ЬЗШ,4) ]Т

Б = [ Б(

Б(

Б(

нулевой вектор-столбец О имеет размерность 16, а матрица А размерности 16 х 16 в соответствии с рассматриваемым типом граничных условий может быть представлена в виде

А

либо

Бсу1 (г0)

~(ЬБШ,В,1)

и {г1)

~(Ь8Ш,В,1)

су1

(г1) -в.

О О О О О

О

- и (г1 )

су1 Ы

~(ЬБШ,В,2) И (г 2)

~(Ь8Ш,В,2) Бсу1

О О О

(г2)

О О О

-И (г2 )

~(Ь8Ш,В,3) -Бсу1 (г2)

И (гз)

~(Ь8Ш,В,3)

су1

(гз)

О

О О О О О

-И (гз)

^(ЬБШВЛ)

-Б

су1 Ъсу1

(гз)

ы

(27)

А

И(ВДД) (го) (п)

~(ЬБШ,В,1) Бсу1 (г1)

О О О О О

О

- И ( г1 )

:Л(LSW,B ,2)

— Б

(г2)

су1 (г1)

~(LSW,B,2)

И (г 2)

~(LSW,B,2) Бсу1

О О О

О О О

~(LSW,B,3)

-И (г2 )

~(LSW,B,3) -Бсу1 (г2)

И (гз)

~(LSW,B,3)

су1

(гз)

О

О О О О О

~(LSW,B,4)

-И (гз)

~(LSW,B ,4) -Бсу1 (г3)

И(^'ВА) (г4)

В соотношениях (25) - (28) О - нулевая матрица размерности 2 х 4;

(28)

СТ^ (г) =

0(ТШ'Б'Л (г)

2,(1..2)

5су1

(г) =

о(Ь8Т'Б'3) г)

(1,4),(1..4)

О'= 1,4).

3. Базисные решения и дисперсионные соотношения для модели Б.

В работе [2] после введения обобщенной кольцевой координаты [1]

X = (г - 1)/Ъ, X £ [Х0,Хп], Хо = (го - 1)/Ъ, Хп = (гп - 1)/Ъ

общие решения уравнений (7), (9), (11) и уравнений (8), (10), (12) построены в виде матричных степенных рядов переменной х, абсолютно и равномерно сходящихся на отрезке х е [х',х''] ([х0,хга] С [х',х'']). Здесь х' и х" - произвольно задаваемые параметры, удовлетворяющие ограничениям

—Н-1 <х' < —1, 1 <х'' <Н-1.

В случае волн крутильного типа указанные решения построены в следующем виде [2]:

(ТШ)

и

а<вгШ) (х

(х,г,г)

иУТ ГУ) (х, г, г) = ехр (—6\хя — гшЬ + гкг) й^^ (х),

= ехр ((1 — 6) Ххд — гшг + гкг) (х е [х',х''\),

г 0 0 1

Ь

(ТШ) Ох

(ТШ) гО

(х) (х)

где 6 - произвольный параметр;

(х) =

и

(ТШ,В)

(х) В(ТШ)

1,1

(ТШ) Ох

(х)

¿ТТ (х)

\(ТШ,В)

(х) В(ТШ) (х е [х',х''])

(29)

(30)

В соотношениях (30) = [ Ь1 ] - произвольный вектор-столбец вто-

~ (ТШ,В) ~ (ТШ,В)

рого порядка; и (х) и Ь (х) - искомые матричные базисные решения

следующего вида

и

(ТШ,В)

(х) = V гт\ х(ТШ,1) V(ТШ,2)

т=0

,(ТШ,В)

т=0

(х) ^ ^х нт ) (х) хт ,) хт ,2 (х е х ,х ])

(31)

где

Нт ) (х) =

к

Р1 (х) + Р2 (х)

р1 (х) = Н 1 (шх 1 — 6д\хд ^ , р2 (х) = (Нх + 1)

1

В представлениях(31) используются два набора скалярных коэффициентов Хт№'3{ (« = 1,2), задаваемых явными скалярными рекуррентными со-

т=0

отношениями вида

х£щ*) = 0 (ш < 0), х0ТЩ1) = 1, х™ =0, х0ТЩ2) =0, х1™,2) = 1,

3 2

A(TW) X(TW,s) ""m—j1 / y m,5+j m-q-j

X(TW,s) a(TW) x(TW,s) + Y^ A(TW) X(TW,s) A(TW) X(TW,s)

Xm Am,j Xm—j + Am,5+j Xm—q—j + Am,9+j Xm—2q—j

j=1

j=0

j=0

где

A

(TW) m,2

ATW = -2h34/ (m (m - 1)), А(Ц) = -h44/ (m (m - 1)) Am^ = Xq (q - m - ö (1 + q - 2m)) / (m (m - 1)), А{™] = Xqh (3 + 2q - 2m - ö (5 + 2q - 4m)) /(m (m - 1)), ATTW^ = Xqh2 (3 + q - m - ö (4 + q - 2m)) / (m (m - 1)),

(m = 2,3,...), (s = 1,2),

AmW = -h (2m - 3)/m, = -h2 ((m - 3) (m - 1) + 4) /(m (m - 1))

(TW)

A,

(TW)

m,8

= 0, A<mv = -X2q2ö (ö - 1)/ (m (m - 1)),

AZW = -2X2q2hö (ö - 1) / (m (m - 1)),

а(шА1 = "ЛУ ^ (<* " 1) / (т (т - 1)) (ш = 2, оо) .

Здесь 4 = | П2 - к2.

В случае продольно-сдвиговых волн общие решения уравнений (8), (10), (12) построены в виде [2]

n(LSW ) Ur

..(LSW ) uz

(x, z,t) (x, z,t)

(LSW)

= exp (-öXxq - iwt + ikz)

"10" " ürLSW) (x) '

0i _ CLSW) (x)

arr~ ' (x, z, t)

afeSW) (x,z,t)

(LSW) OZz

a,

(LSW)

(x, z, t) (x, z, t)

= exp((1 - ö) Xxq - iwt + ikz) x

(32)

10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 i

~ (LSW ) CT rr

(x)

(LSW) {x) (x) (x)

~ (Lsw )

zz

(LSW) rz

где

Г ЛLSW) Ur (x)

ЛLSW ) uz (x)

- C (LSW) rr (x)

(LSW) aee ) (x)

(LSW) CCZz (x)

(LSW) rz (x)

ULSWB) (x) B(LSW),

S(LSWB) (x) B(LSW),

X

В соотношениях (33) ) = [ Ъ1 Ъ2 Ъ3 Ъ4 ] - произвольный вектор-столбец

четвертого поряд! следующего вида

(ЬЯШ,Б) ~ (ЬЯШ,Б)

четвертого порядка; и (ж) и о (ж) - искомые базисные решения

и

(ЬЯШ,Б)

(ж) = V жт ГХ(ЬЯ^,1) Х(ЬЯШ,2) (ж) = / у ж т , Лт

т=0

^(ЬЯШ,Б)

(34)

(ж) = ^ хт Н

т Н{ЬЯШ)

(ж)

т=0

хт хт

(ж е [х',х"]) ,

где ) (ж) - матрицы размерности 4 х 2, элементы которых имеют вид

НтЬ™) (ж)] 1 1 = Р1 (ж) С1 + Р2 (ж) С2,

Н^) (ж^ 1 = Р1 (ж) С2 + Р2 (ж) С1, н£8№) (ж)! =(Р1 (ж) + Р2 (ж)) С2, \н£8№) (ж)! = к,

3,1

4,1

нт™) (ж)

Н^) (ж)

3,2

1,2 = -кС1

нт™) (ж)] = -кС2,

2,2

Н^) (ж) = Р1 (ж) J 4,2

В представлениях (34) используются два набора матричных коэффициентов в = 1,2) размерности 2x2 коэффициентов , задаваемых яв-

Х(ЬЯШ,зУ ^ хт

т=0

ными матричными рекуррентными соотношениями вида

хт= о (т < 0),

х

(ЬЯШ,1) 0

1, х

(ЬЯШ,1) 1

о, х

(ЬЯШ,2) 0

о, х

(ЬЯШ,2)

1

х(ЬЯШ,з) А ) Х(*ЯШ,з) + ^ .

Хт = Ат,3 Хт-] + 2-^А

(ЬЯШ) х^ЯП'^)

+ £ а

3 = 1

т,5+3 т—д—3 3=0 3=0

(ЬЯШ) х(.ьЯ№,в) т,9+3 т-2д-3

(т = 2,3,...), (8 = 1,2). Здесь О и 1 - соответственно нулевая и единичная матрицы размерности 2 х 2;

А

(ЬЯШ)

т,3

= - (ОЙГ)"' ОЙГ С' = Щ • (•»=5^5)

Ненулевые элементы матриц сОт,^) размерности 2 х 2 имеют вид

0(ЬЯШ) Чт,0

1,1

= т (т — 1) С1,

П(ЬЯШ) Чт,0

2,2

= т (т — 1)

4

3

д(ЬЯШ)

1,1

= Ъ (т - 1)(2т - 3) Сь д^)

1,2

= -Ък (т - 1) С3,

д(ЬЯш)

дт,1

2,1

= Ък (т - 1) Сз, д^Г)

2,2

= Ъ (т - 1) (2т - 3),

д(ЬЯш)

дт,2

1,1

= ЪЧ [(т - 2)2 - 1) С1 + 4

д(ЬЯШ) дт,2

1,2

= -2 (т - 2) Ъ2кС-з,

д

(ЬЯШ) т,2

2,1

= Ъ2к (2т - 3) Сз, дтТ)

2,2

= Ъ2 ((т - 2)2 + П2 - к2С1) ,

дт,з

1,1

= 2Ъ3 к3,

дт,з

1,2

= -Ъ3к (т - 3) Сз,

дт,з

2,1

= кЪ3 (т - 2) Сз, дт,з

(ЬЯШ)

2,2

= 2Ъз (п2 - к2С1) ,

д(ЬЯШ) дт,4

1,1

= Ъ4к2з,

д(ЬЯШ) дт,4

2,2

= Ъ4 (п2 - к2С1),

д(ЬЯШ) дт,5

д(ЬЯШ) дт,5

1,1

= -Хд (д - т - 5 (1 + д - 2т)) С1,

2,2

= -Хд (д - т - 5 (1 + д - 2т))

д(ЬЯШ) дт,6

1,1

= -ХдЪ ((2(1 + д - т) - 5 (5 + 2д - 4т)) С\ - С2)

д(ЬЯШ) т,6

2,2

= -ХдЪ (2(1 + д - т) - 5 (5 + 2д - 4т))

д(ЬЯШ) т,6

1,2

= -ХдкЪ (С2 - 5Сз)

д(ЬЯШ) т,6

2,1

= ХдкЪ (1 - 5Сз),

д(ЬЯШ) дт,7

1,1

= -ХдЪ2 ((2 + д - т - 5 (4 + д - 2т)) С2 - С2),

д(ЬЯШ) дт,7

2,2

= -ХдЪ2 (2 + д - т - 5 (4 + д - 2т))

д(ЬЯШ) дт,7

д(ЬЯШ) дт,8

1,2

= -2ХдкЪ2 (С2 - 5Сз)

д(ЬЯШ) дт,7

2,1

1,2

= -ХдкЪ3 (С2 - 5Сз)

д(ЬЯШ) дт,8

2,1

= 2ХдкЪ2 (1 - 5Сз), = ХдкЪ3 (1 - 5Сз),

д(ЬЯШ) дт,9

1,1

= Х2д25 (5 - 1) С1, д

4т,9

2,2

= Х2д25 (5 - 1)

д(ЬЯШ) дт,10

= 2Х2д2Ъ5 (5 - 1) С1,

1,1

д(ЬЯШ) дт,10

д(ЬЯШ) дт,11

1,1

= Х2д2Ъ25 (5 - 1) С\, д

.(ЬЯШ) т,11

2,2

= 2Х2д2Ъ5 (5 - 1), = Х2д2к25{5-1) (т=ХоБ)

2,2

Дисперсионные соотношения для рассматриваемой модели формулируются как следствия из граничных условий на свободной либо жестко закрепленной внешней граничной поверхности волновода. Для случая волн крутильного типа

это, соотношение соответственно, условия (13) либо (14), а в случае продольно-сдвиговых волн - условия (15) либо (16). С использованием представленных базисных решений уравнений модели (31) и (34), указанные условия порождают трансцендентное уравнение, определяющее дисперсионный спектр целевой задачи

(А) = 0, (35)

а также однородное матричное уравнение

АВ = О

(36)

для определения искомого векторного коэффициента В в представлении общих решений (29), (30) и (32), (33). В соотношениях (35), (36) матрица А для случая свободной либо жестко закрепленной граничной поверхности волновода для крутильных волн ^В = имеет размерность 2 х 2 и записывается в виде

А

8(ТЩБ) (ж1) 8^ (ж2 )

2,(1..2) 2,(1-2) ]

либо А

И^ (ж1) И№) (ж2)

а для продольно-сдвиговых волн ^В = В(ЬЯШ) ^ имеет размерность 4 х 4 и за-

(ЬЯШ,Б)

писывается в виде А

8(ЬЯЩБ) (ж1)

8(ЬЯЩБ) (ж2)

(1,4),(1..4) (1,4),(1..4) J

либо А

И"""' ~'(ж1) И^^ (ж2)

4. Численный эксперимент. В процессе численного анализа модели Б при выборе значений для параметров р и С в представлениях (6) использованы физико-механические характеристики алюминия [5]. Соответственно, при задании V = 0.35, С* = 2.61 • 1010 н/м2, ¡5* = 2700 кг/м3 для р и С получены значения

С = 1, 8 = 1, С* = 2.61 • 1010 н/м2, 8* = 2700 кг/м

(37)

Безразмерные радиусы внутренней и внешней граничных поверхностей волновода соответственно имели значения г0 = 0.7 и гп = 1.3 (Н = 0.3). Для параметров неоднородности были выбраны значения

Л = 1п (2) , д = 1.

(38)

Такой выбор определяет уменьшение в два раза модуля сдвига и плотности материала на внутренней поверхности по отношению к их значениям на серединной поверхности и увеличение указанных параметров в два раза на внешней поверхности волновода. При численном эксперименте значение параметра 5 бралось фиксированным 5 = 1/2 [2].

3

В рамках модели А многослойный волновод имел те же значения радиусов внутренней г о и внешней гп поверхностей, количество слоев варьировалось в пределах п € {2,4,6,10,14}. Радиусы поверхностей Г.,- (■] = 0, ?г) задавались соотношениями

, Гп ~ Го

Г] = Го Н--

п

В каждом слое V^ (_/ = 1,?г) с локальными радиусами внутренней и внешней поверхностей Гj-l и г3 характеристики однородного изотропного материала определялись на основе представлений (37), (38) по формулам

■3 О = 0, п)

ф) =

ехр Д

Г7- 1 + Гj

С,

V(7) = V.

Расчет фрагментов спектров бегущих нормальных продольно-сдвиговых волн ^Б') проводился в диапазонах изменения нормализованной частоты О £ [0; 10] и нормализованного волнового числа к £ [0; 10]. На рисунках 3 и 4 представлены спектры продольно-сдвиговых волн, построенные в рамках соответственно модели А при п = 2 и модели Б для случая свободных граничных поверхностей волновода.

Рис. 3. Спектр LSW для модели А (п = 2)

Рис. 4. Спектр LSW для модели Б

д

2

Из представленных рисунков следует, что качественные картины топологического строения спектров, рассчитанных в рамках рассматриваемых моделей, не имеют значимых различий. Эта тенденция прослеживается и при увеличении количества слоев составного волновода для модели А. В таблицах 1 и 2 приведены значения нормализованной частоты О соответственно для второй и третьей

мод при фиксированном значении нормализированного волнового числа к = 0.5, полученные в рамках модели Б, а также модели А при различном числе слоев. Наблюдается устойчивое приближение при увеличении числа слоев значений

Таблица 1

Модель А Модель Б

п 2 4 6

П 1.7653 1.7435 1.7394 1.7362

Та блица 2

Модель А Модель Б

п 2 4 6 10 14

П 5.5033 5.5986 5.6139 5.6215 5.6236 5.6257

нормализованной частоты, полученных в рамках модели А, к соответствующим значениям, полученным в рамках модели Б.

Для анализа количественных различий в рамках сопоставляемых моделей рассматривались силовые характеристики волнового процесса. На рисунках 512 представлены радиальные распределения для нормированных амплитудных составляющих отличных от нуля компонент тензора напряжений, полученные в рамках модели А (штриховая линия) и модели Б (сплошная линия) для волн из второй моды с нормированными волновыми числами к = 0.5. Для волн из третьей моды с такими же волновыми числами, аналогичные графики представлены на рисунках 13-24.

Рис. 5 Мода 2 (п = 2, О = 1.7653) Рис. 6 Мода 2 (п = 2, О = 1.7653)

В качестве специфических особенностей анализируемых волновых процессов

а) а)

можно отметить следующее. Компоненты тензора напряжений и аГх в своих областях определения для волн второй и третьей моды спектра, подчиняемые в рамках модели А условиям идеального механического контакта на разделяющих

Рис. 7 Мода 2 (n = 2, О = 1.7653) Рис. S Мода 2 (n = 2, О = 1.7653)

Рис. 9 Мода 2 (n = 6, О = 1.7394) Рис. 10 Мода 2 (n = 6, О = 1.7394)

Рис. 11 Мода 2 (n = 6, О = 1.7394) Рис. 12 Мода 2 (n = 6, О = 1.7394)

Рис. 13 Мода 3 (п = 2, О = 5.5033) Рис. 14 Мода 3 (п = 2, О = 5.5033)

Рис. 15 Мода 3 (п = 2, О = 5.5033) Рис. 16 Мода 3 (п = 2, О = 5.5033)

Рис. 17 Мода 3 (п = 6, О = 5.6139) Рис. 18 Мода 3 (п = 6, О = 5.6139)

o.s о.<? i г/ i : i.s г

Рис. 19 Мода З (n = 6, О = 5.6139) Рис. 20 Мода З (n = 6, О = 5.6139)

SIL- !

ü.fi ú.í 1.0 í.i iX i

-0.2-1 vy \

Рис. 21 Мода З (n =14, О = 5.6236) Рис. 22 Мода З (n = 14, О = 5.6236)

SZZJ—SF7

0.8 0.5 l.û LI 1.2 Г

Рис. 2З Мода З (n =14, О = 5.6236) Рис. 24 Мода З (n = 14, О = 5.6236)

однородные слои волновода поверхностях, при всех рассмотренных количествах

слоев в достаточной мере соответствуют значениям аналогичных компонент, по-

(7)

лученным в рамках модели Б. При этом для компонент тензора напряжений а^ и аналогичное свойство можно констатировать лишь в качественном аспекте для волн третьей моды (рис. 12, 13, 16, 17, 20, 21), и существенное увеличение количества слоев волновода для этих напряжений приводит, в первую очередь, к уменьшении амплитудных значений разрывов первого рода для соответствующих функций.

Выводы. В статье представлен сопоставительный анализ результатов численных экспериментов для двух принципиально различных моделей полых ра-диально неоднородных изотропных цилиндрических волноводов, допускающих исследование на основе построения соответствующих систем аналитических решений волновых уравнений. Указаны характеристики рассмотренных волновых процессов, для которых наблюдается подобие полученных в результате численного эксперимента значений.

1. Шульга Н.А. Распространение осесимметричных упругих волн в ортотропном полом цилиндре / Н.А. Шульга. // Прикладная механика. - 1974. Т. 10, № 9. - С. 14-18.

2. Моисеенко И.А. Волны деформаций в функционально-градиентных цилиндрах кольцевого сечения / И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко. // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2019. - № 1(66). - С. 31-53.

3. Моисеенко И.А. Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в функционально-градиентных трансверсально изотропных полых цилиндрах / И.А. Моисеенко // Механика твердого тела. - 2016. - Вып. 46. - С. 134-146.

4. Моисеенко И.А. Неосесимметричные нормальные упругие волны в функционально-градиентных ортотропных полых цилиндрах / И.А. Моисеенко, С.А. Прийменко, В.А. Шалды-рван // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2017. - № 1 (58). - С. 27-41.

5. Гринченко В. Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко. - К.: Наук. думка. - 1981. - 284 с.

6. Партон В.З. Методы математической теории упругости / В.З. Партон, П.И. Перлин. - М.: Наука. - 1981. - 688 с.

I.A. Moiseyenko, V.A. Moiseyenko, A.O. Ivaniv

Axisymmetric normal elastic waves in piecewise inhomogeneous and functionally inhomogeneous cylindrical waveguides of annular cross section.

Wave motion is described by the complete system of equations of the linear dynamic theory of elasticity. Two waveguide models are investigated - a piecewise inhomogeneous one composed of isotropic extended hollow concentric annular cross-section of cylinders differing in geometry and material, as well as a functionally inhomogeneous extended hollow concentric annular cross-section cylinder with an exponentially power law of radial inhomogeneity of the physical and mechanical characteristics of an isotropic material. The basic solutions of the system of differential equations of the model in the first case are presented separately for each homogeneous layer in the classical closed form through the Bessel functions, and in the second - in analytical matrix form in the form of expansions of the radial components of the solutions in uniformly and absolutely converging matrix power series in the generalized annular coordinate. Based on the results of a numerical

experiment for the case of free boundary surfaces of a waveguide, a comparative analysis of the spectra obtained in the framework of the considered models of the spectra of traveling normal longitudinal shear waves, as well as the kinematic characteristics of these waves for two points of the second and third modes at different values of the parameter of the number of layers, is presented. The quantitative and qualitative estimates of the obtained numerical results are presented. Keywords: single-layer functionally graded hollow cylinder, multilayer composite piecewise inhomo-geneous hollow cylinder, isotropic materials, axisymmetric normal waves, wave equations basic solutions, dispersion relations..

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 01.09.2021

ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства и архитектуры", Макеевка

Donetsk National University, Donetsk

Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka

miamia733@mail.ru