ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИЙ В ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ ЦИЛИНДРАХ КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№1 (66) / 2019.

УДК 539.3:534.1

©2019. И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко

ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИЙ В ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ ЦИЛИНДРАХ КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЯ

Волновое движение описывается на основе полной системы уравнений линейной динамической теории упругости. Модуль сдвига и плотность изотропного материала цилиндра задаются экспоненциально-степенной функцией от радиальной координаты. Базисные решения системы дифференциальных уравнений модели строятся в матричной форме в виде разложений радиальных составляющих решения в равномерно и абсолютно сходящиеся степенные ряды по обобщенной кольцевой координате. Представлены также дисперсионные соотношения, описывающее спектры гармоник нормальных волн для случаев одновременно жестко закрепленных и свободных граничных поверхностей полого цилиндра. Изучены эффекты влияния фактора радиальной неоднородности на топологию дисперсионных спектров, распределение фазовых и групповых скоростей распространяющихся нормальных волн.

Ключевые слова: функционально-градиентные материалы, изотропный волновод, нормальные волны, базисные решения, дисперсионные соотношения, фазовая скорость, групповая скорость.

1. Введение. При исследовании задач о распространении нормальных упругих волн вдоль изотропных цилиндров кольцевого сечения вопрос сводится к построению общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В классическом случае однородного материала волновода эти уравнения разрешимы через цилиндрические функции, что становится невозможным при переходе к рассмотрению нового поколения функционально-градиентных материалов. Одним из подходов, обеспечивающих возможность построения общих аналитических решений указанной системы дифференциальных уравнений, является задание специального вида функционального закона радиального изменения физико-механических характеристик материала волновода и привлечение аппарата рядов по обобщенной кольцевой координате. Так в осесимметричном случае для экспоненциального закона радиальной неоднородности материала волновода построены в аналитическом виде общие решения модели и исследованы эффекты влияния фактора радиальной неоднородности трансверсально-изотропных материалов на характеристики дисперсионных спектров и фазовых скоростей бегущих нормальных крутильных волн в полых цилиндрах [1]. В данном исследовании указанная методика распространена на более общий случай экспоненциально-степенного закона радиальной неоднородности изотропного материала волновода.

2. Постановка задачи. Рассматривается протяженный волновод, имеющий в поперечном сечении форму концентрического кругового кольца с радиусами К\ и К2. Вводится нормирующий параметр К*, на который накладываются огра-

ничения Ri < R* < R2 и R*/2 < R*. Вводится также безразмерный параметр

h = max {1 - Ri/R*,R2/R* - 1} (0 <h< 1). (1)

В нормированной параметром R* безразмерной цилиндрической системе координат OrOz волновод занимает область V

V = {r е [R1/R*, R2/R*]; O е [-п,ж\; z е (-ж, те)} ,

V C{r е [1 - h, 1 + h]; O е [-п,п]; z е (-ж, то)} . Граничная поверхность Г волновода определяется так:

г=г(1)иг(2), Tu) = {г = Rj/R*, 0е[-7г,тг], z G (-00,00)} =

Полагается, что изотропный материал волновода является функционально-неоднородным в радиальных направлениях по таким своим физико-механическим свойствам (v = const)

р (r) = pexp(fXq (r)), G (r)= Gexp(fXq (r)), fx>q (r) = X ((r - 1)/h)q . (2)

Здесь v - коэффициент Пуассона; р и G - соответственно плотность и нормированный параметром C* модуль сдвига неоднородного материала; р и G соответственно плотность и нормированный параметром C* модуль сдвига однородного материала. Параметры X (X е R) и q (q е {0} UN) в представлениях (2) характеризуют соответственно относительный максимальный уровень и форму локализации в теле волновода радиальной неоднородности материала.

Пространственная линейная математическая модель динамического напряженно-деформированного состояния упругих тел в системе координат OrOz включает систему дифференциальных уравнений движения

drо„ + r-ldeorQ + dzOrz + r-1 (а„ - °ee) - {pR*/C*) d*Ur = 0,

drare + r-1deaee + dzaez + 2r-lare - (pRЦC*) d*ue = 0, (3)

drarz + r-ldeaez + dzazz + r-1arz - {pR2*/C*) d*Uz = 0;

соотношения линейного закона Гука

arr = G (C1£rr + C2 (£ee + £zz)), aee = G (C1^ee + C2 (£rr + £zz)), (4)

azz = G (C1^zz + C2 (£rr + £ee)) , aez = G^0z, arz = G^rz, ar$ = G^rQ';

уравнения связи между компонентами тензора малых деформаций enm (n, m = r, O, z) и отнесенными к нормирующему параметру R* компонентами безразмерного вектора динамических упругих волновых перемещений Un (n = r, O, z)

Err = dr Ur, See = r lUr + r lde щ, ^ = dz uz, Sez = dz ue + r-lde Uz, Srz = dz Ur + dr Uz, Sre = r-1de Ur + {dr — r-1) ue.

Здесь C1 = 2(1 — v)/(1 — 2v), C2 = 2v/ (1 — 2v); anm (n, m = r,d,z) - отнесенные к нормирующему параметру C* безразмерные характеристики напряженно-деформированного состояния; t - время; ds = d/ds (s = r,d,z,t).

Представленная модель включает также однородные граничные условия свободной

ars\{r,e,z)е г = 0 (s = r,e,z)

(6)

либо жестко закрепленной

Us \reez)e г = 0 (s = r,e,z)

(7)

граничной поверхности волновода.

3. Система используемых обозначений. Ниже будут использоваться следующие обозначения: г - мнимая единица; выделение жирным шрифтом - для обозначения матричных и векторных объектов; С и О - нулевые соответственно квадратная матрица и вектор-столбец; I - единичная квадратная матрица; обозначения [Х]^ и [Х]^ при ],р е N используется для индексного доступа к элементам соответственно матричных и векторных объектов, а при ] либо р заданных индексным диапазоном вида п..т или (п1,п2, ■■■,пт) - для определения соответственно подматрицы либо подвектора; операция [ ] - для определения матричных и векторных объектов (формально [X] = X); операция транспонирования Хт; операция комплексного сопряжения X; операция

мультипликативная

обращения неособенной квадратной матрицы X"1; ||Х| согласованная эвклидова норма [2].

4. Получение рекуррентных соотношений. Модель (2) - (7) применяется для исследования нормальных волн вдоль оси Ог в протяженных полых цилиндрах геометрии V с круговой частотой ш, нормированным параметром Я* продольным волновым числом к (к е С и окружным волновым числом Т (т е В матричной форме вводятся следующие комплексные представления

и (г, в, г, г) = ехр (-6/х > д (г) - гшЬ + г к г) Т1Т) (в) "О(т) (г), (8)

где 5 (5 е М) - произвольный параметр; т1т) (в) - диагональная матрица размерности 3 х 3, отличные от нуля элементы которой равны

Т1т) (в)^ i = cos (тв + в), |T1'') (в)^ 2 = sin (тв + в) Т1т) (в^ з = i cos (тв + в) (в е {0, п/2}) ;

)

(9)

вектор-столбцы

и (т, 9, г, г) = Щ (т, 9, г, г), щ (т, 9, г, г), пг (т, 9, г, г)]т , И(т) (т) = \ЩТ) (т), п¡Г) (т), п(т) (т)]т .

Параметр в в соотношениях (9) задает тип симметрии волновых движений относительно плоскости 9 = 0. При в = 0 исследованию подлежат условно симметричные волны со свойствами

пг (т, -9, г, г) = пг (т, 9, г, г), щ (т, -9, г, г) = —щ (т, 9, г, г),

пх (т, —9, г, г) = пх (т,9,г,г), а при в = п/2 - условно антисимметричные волны со свойствами

пг (т, —9, г, г) = —пг (т, 9, г, г), щ (т, —9, г, г) = щ (т, 9, г, г)

пг (т, —9, г, г) = —пг (т, 9, г, г).

Представления (8) - (10) определяют независимые задачи исследования осе-симметричных крутильных (т = 0, в = п/2) и продольно-сдвиговых (т = 0, в = 0) волн, а также неосесимметричных волн (т € М, в = 0).

В результате подстановки представлений (8) - (10) последовательно в соотношения (4) и (3) получается

Б (т, 9, г, г) = ехр ((1 — 6) Д,д (т) — гшЬ + {кг) Т^) (9) &(т) (т), (11)

где Т2т) (9) - диагональная матрица размерности 6 х 6, отличные от нуля элементы которой равны

Т^ (9) . , = со8 (тв + Р) = 1,3),

3,3

Т2т) (9)

вектор-столбцы

Т2т) (9) = гЯП (т9 + в),

5 ,5

= г сов (т9 + в), Т2т) (9)

6,6

4,4

= вт (т9 + в);

(12)

Б (т, 9, г, г) = [а„ (т, 9, г, г), аве (т, 9, г, г), охх (т, 9, г, г), овх (т, 9, г, г), Огх (т, 9, г, г), кгв (т, 9, г, г)]т , к(т) (т) = Ш (т), кт (т), кт (т), (т), (т), (т)

т

~ (т) ~ (т)

Для векторов И (т) и Б (т) получаются также дифференциальные соотно-

шения связи

где м1т) (т) - матричный дифференциальный оператор размерности 6 х 3, отличные от нуля элементы которого имеют вид

~(т) (т) = С м1т) (т) • ИИ(т) (т).

(14)

м1т) (т)

= СБ (т)+ С2Т"1, М1) (т) = С2Б (т) + С1Т

1,1

(т)

1

2,1

м1т) (т) = С2 (Б (т)+ т"1) ,

3,1

М1Т) (т)

М1Т) (т)

1,2

1,3

М1Т) (т) м1т) (т)

3,2

= С2тт

-1

2,3

= -С2~~,

>

г(т)

мГ) (т) = С1тт"1,

1 2,2

м1т) (т)

3,3

= -С1~~,

м1т) (т)

4,2

м1т) (т) = к, м1Т) (т) = м1т) (т)

5, 1

(т)

4,3

г(т)

—тт

-1

6,1

м1т) (т)] = Б (т), Гм(т) (т)1 = Б (т) - т"1.

1 5,3 1 6,2

Здесь Б (т) = 1г - 5\дН"9 (т - 1)я"1, 1Г = 1/1т.

Из дифференциальных уравнений движения (3) с учетом соотношений (8) -(14) получается однородная система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами относительно компонент вектора И(т) (т) следующего вида

м2т) (т) • "И(т) (т) = С (т е (то,т)).

(15)

Здесь используется некоторая область (то,т1) изменения переменной т, удовлетворяющая требованиям 0 <т0 < 1 - Н < 1 + Н < т1 < 2. Из выражений (1) следует, что такая область всегда существует. В соотношениях (15) м2т) (т) -квадратный матричный размерности 3 х 3 дифференциальный оператор с элементами

м2т) (т)

1 = С1 (т212 + (1 + (1 - 25) ХдН"9т (т - 1)«"1) т(1г - 1) - т2+

+к2т2 + ХдН"т (т - 1)" (5 (1 - дт - (1 - 5) ХдН"т (т - 1)д) + (т - 1) С2)

1

м2,т) (r) = т [c3rdr + Xgh-qr (r - l)q-1 (C2 - 5C3) - C4) ,

М2Т) (r) = -kri C3rdr + \qh-qr (r - 1)q~1 (C2 -

1,3

q—i

м2т) (r) 21 = -т (o^rdr + \qh—qr (r - 1)q—1 (l -

М2Т) (r)

2,2

= r2d2 +

- 25) \qh—qr (r - 1)q—^ rdr - 1 - т2Ci+

+K2r2 - \qh—qr (r - 1)q—2 (1 + 5 - (1 - 5q) r - 5 (1 - 5) \qh—qr (r - 1)q)

М2Т) (r)

2,3

М2Т) (r)

3,2

= ftTCsr,

М2Т) (r) = kr (Оз (1 + rdr) + Xqh—qr (r - 1)q—1 (1 -

М2Т) (r)

3,3

= r2d2r +

(1 + (1 - 25) \qh—qr (r - 1)q—^ rdr - т2+

+ (Ъ2 - ~к2С^ т2 + 5\дН"*т (т - 1)" (1 - дт - (1 - 5) \дН"*т (т - 1)*) ,

где П2 = рш2К2/ (С*&), Сз = 1/(1 - 2V), С4 = (3 - ) /(1 - 2и), к2 = П2 - к2. С целью построения частных решений уравнения (15) заменой переменных

r = hx + 1, x G (жо,ж1) (-h 1 < x0 < -1, 1 < x1 <h ^ (16)

вводится обобщенная кольцевая координата [3]. Здесь x0 = (r0 - 1) h-1, x1 = (r1 - 1) h-1. В результате замены переменных (16) соотношения (8), (10), (11), (13) - (15) преобразуются так:

U (x, 9, z, t) = exp (~5\xq - iut + i k z) T^) (9) U( T) (x), S (x, 9, z, t) = exp ^(1 - 5) \xq - iut + ik^j t2t) (9) S(т) (x)

где U (x, 9, z,t), S (x, 9, z,t), U (x), S (x) - вектор-столбцы

U (x, 9, z, t) = [ur (x, 9, z, t), щ (x, 9, z, t), uz (x, 9, z, t)]

T

(17)

S (x, 9, z, t) = [arr (x, 9, z, t), aee (x, 9, z, t), azz (x, 9, z, t)

овг (х, в, г, г), Огх (х, в, г, г), сгв (х, в, г, г)]т ;

т(т)

и(т) (х) = иГт) (х), и(Т) (х), и(т) (х)

(т )

)

т

§(т) (х) = Ш (х), (х), Ф (х), к£> (х), (х), (х)

т

(т)

§(') (х) = С м3т) (х) ■ и(') (х)

(т)

(18)

где М^т) (х) - матричный дифференциальный оператор размерности 6 х 3, отличные от нуля элементы которого имеют вид

М3т) (х)^ 1 = Сф (х)+С2 (Нх + 1)-1, [М3т) (х)^ 1 = С20 (х)+С1 (Нх + 1)"

м3т) (х)

3,1

= С2 §(х) + (Нх + 1)

1

М3т) (х)

1,2

м3т) (х) = С2т (Нх + 1)"1, М3т) (х) = С1 т (Нх + 1)

1

3,2

(т)

1

2,2

М3т) (х)

1,3

М3т) (х)

2,3

= -С2§,

М3т) (х)

3,3

= -С\к,

М3т) (х)

4,2

М3т) (х)

= к,

5,1

М3т) (х) = М3т) (х) = -т (Нх + 1)

4,3

г(т)

1

6,1

М3т) (х)

5,3

= к (х), М3т) (х) б2 = к (х) — (Нх + 1)

1

к(х) = Н 1 [йх — 5Хдхч ^ , (х = (/(х;

М4т) (х) ■ и(') (х) = О (х е (х0,х1)),

(т)

(19)

где М4т) (х) - матричный дифференциальный оператор размерности 3 х 3 с элементами

М4т) (х)

1,1

= С1 ((Нх + 1)2 + (Н + (1 — 25) Хд (Нх + 1) хд-1) (Нх + 1) (х — Н2) —

—т2Н2 + к2Н2 (Нх + 1)2 +

+Хд (Нх + 1) х*"2 (5 (1 - д (Нх + 1) (1 + (1 - 5) Хх*)) С + НхС2)

М4Т) (х)] = Нт (Сз (Нх + 1) (1Х + Хд (Нх + 1) х*"1 (С2 - 5Сз) - НС4) ,

1,2

м4т) (х)] = -Нк (Нх + 1) (С2 (Нх + 1) 4 + Хд (Нх + 1) х*"1 (С2 - 5Сз)) ,

1,3

М4Т) (х)] = -Нт (С2 (Нх + 1) 4 + Хд (Нх + 1) х*"1 (1 - 5Сз) + НС4)

2,1

М4Т) (х)

2,2

= ({Нх + 1)2 (X + (Н + (1 - 25) Хд (Нх + 1) х*"1) (Нх + 1) (х - Н2^ -

-Н2т2С1 + к2Н2 (Нх + 1)2 --Хд (Нх + 1) х*"2 (5 - Нх - 5д (Нх + 1) - 5 (1 - 5) Хд (Нх + 1) х*),

М4Т) (х)

2,з

м4т) (х)

з,2

= Н2ктСз (Нх + 1)

М4Т) (х) з1= Нк (Нх + 1) (Сз (Нх + 1) (х + НСз + Хд (Нх + 1) х*"1 (1 - 5Сз))

М4Т) (х)

з,з

= (Нх + 1)2 ((X + (Н + (1 - 25) Хд (Нх + 1) х*"1) (Нх + 1) (х-

-Н2т2 + (^П2 - й2С^ Н2 (Нх + 1)2 +

+5Хд (Нх + 1) х*"2 (1 - д (Нх + 1) - (1 - 5) Хд (Нх + 1) х*).

Искомые частные решения уравнения (19) строятся в виде степенных рядов по обобщенной кольцевой координате. Водится следующее представление

и(т) (х) = ^ хтХ(т) (х е [хо,х1 ])

(20)

т=0

где хТ) - неизвестные векторные коэффициенты. Полагается, что ряд (20) для х € [х0,х1 сходится абсолютно и равномерно. С учетом представления (20) уравнение (19) преобразуется в функциональное уравнение

Хт) = О (т < 0),

„ 4 3

Ех^ пй 3 + Е п

(т) х(т) т,5+3 т—д—]

т=0 \3=0

3 =0

+Е п

3=0

(Т) х(т) т,9+3 т—2д—]

О (21)

(х € [Х0,Х1]) ,

из которого получается рекуррентная последовательность алгебраических урав-

(Т)

нений для определения векторных коэффициентов Хт) такого вида

Х(т) = О(т< 0),

43

У^ п(т) Х(т) + У^ п(т) Х(т) + У^ п(т) Х(т) = О

/ у ^-т,] т-3 + ^т,5+3 + ^т,9+3 = ^

(22)

3 =0

3=0 3=0

(т = 0,1,...) .

(Т)

Отличные от нуля элементы квадратных матричных коэффициентов Пт3 в уравнениях (22) определяются так:

П(Т) т,0

1,1

= т (т — 1) С1,

П(т) т,0

2,2

= т (т — 1)

П(т) т,0

3,3

= т (т — 1)

П(т) пт, 1

1,1

= Н (т — 1) (2т — 3) С\, пТд 1 2 = Нт (т — 1) Сз,

П(т) Пт, 1

= —Нк(т — 1) Сз, ГПтт)11 = —Нт (т — 1) Сз,

1,3 т,1 2,1

П(т)1

т,1

2,2

= Н (т — 1) (2т — 3),

п^

т,1

3,1

= Нк (т — 1) Сз,

П(т\

т,1

3,3

= Н (т — 1)(2т — 3), [пТТ?2] = Н2 ( ((т — 2)2 — ^ С1 + к2 — т2)

П(т)

Пт,2

1,2

= Н2т ((т — 2) С2 — С\ + т — 3)

П(т)

Пт,2

1,3

= —2(т — 2) Н2кС3,

П(т) Пт,2

2,1

= —Н2т ((т — 2) С2 + С\ + т — 1)

2

Q(r )

□m,2

2,2

= h2 ((m — З) (m — 1) + к2 — т2C()

Q(r) ■

□m,2

2,з

Q(r )

□m,2

з,2

= Ь2кт0^з, Q

)(r )

m,2

з,1

= h2k (2m — З) C3,

Q(r) ■

Qm,2

з,з

= h2 ((m — 2)2 + Q2 — k2Ci — т2

Q(r )

Qm,3

1,1

Q(r )

Qm,3

= 2h3K2,

2,2

Q(r )

Qm,3

1,з

= —h3k (m — З) C3,

Q(r )

Qm,3

2,з

= ^hC

Q(r )

Qm,3

з,1

= kh3 (m — 2) C3,

Q(r )

Qm,3

з,2

= h3 kC

Q(t\

^m,3

= 2h3 Q2 — k2Ci

3,3

Q(r )

m,4

1,1

Q(r )

m,4

= h к

42

2,2

Q(r )

m,4

3,3

= h4 Q2 — k2Ci

Q(r )

1,1

= —Aq (q — m — ö (1 + q — 2m)) C(,

Q(r )

2,2

Q(r )

3,3

= —Aq (q — m — ö (1 + q — 2m))

Q(r )

m,6

1,1

= —Aqh ((2(1 + q — m) — ö (5 + 2q — im)) Ci — C2)

Q(r )

m,6

2,2

= —Aqh ^ + 2q — 2m — ö (5 + 2q — im)),

Q(r )

m,6

3,3

= —Aqh (2(1 + q — m) — ö (5 + 2q — im)),

Q(T\

m, 6

1,2

= Aq^ (C2 — öC3)

Q(T\

m, 6

2,1

= —Aq^ (1 — öC3 )

m, 6

1,3

= —Aq~kh (C2 — öC3)

QT V

m, 6

3,1

= Aq ~kh (1 — öC3 )

Q(TV

m,7

1,1

= —Aqh2 ((2 + q — m — ö (i + q — 2m)) C2 — C2)

Q(T}7

m,7

2,2

= —Aqh2 (З + q — m — ö (i + q — 2m)) ,

Q(r)7

m,7

= —Aqh2 (2 + q — m — ö (i + q — 2m)) ,

Q(r) '

Qm,7

1,2

3,3

= Aqтh2 (C2 — öC3), (Q'? „ , = —Aqт^ (1 — öC3)

2,1

0^,7^ з = -2ЛдкН2 (С2 - 5С3), 1 = 2ЛдкЬ2 (1 - 5Сз),

о(т)

0т,8

1,3

= -ЛдкЬ3 (С2 - 5Сз)

дт,8

3,1

= ЛдкЬ3 (1 - 5Сз)

0(т) '

= Л2д25 (5 - 1) С1,

1,1

0(т)

= Л2д25 (5 - 1)

2,2

0(т)

3,3

Л2д25 (5 - 1), \0i\a

1,1

= 2Л д Н5 (5 - 1) С1,

0(т)

0т,10

= 2Л2д2Ь5 (5 - 1),

2,2

0(т) ' 0т,10

= 2Л2д2Н5 (5 - 1).

3,3

0(т) 0т, 11

1,1

= Л2д2Н25 (5 - 1) С1, 0? 2 = Л2д2Н25 (5 - 1),

0(т) °т, 11

3,3

= \2д21126 (5 - 1) (ш = 0, оо)

Представления (18) с учетом разложения (20) получают следующий вид

к(т) (х) = Е хтн(т) (х) х(т) (х е [хо,х1]).

(23)

т=0

Отличные от нуля элементы матричных размерности 6 х 3 коэффициентов Н^) (х) определяются соотношениями

Нт) (х) = Р1 (х) С1 + Р2 (х) С2, Нт) (х) = Р1 (х) С2 + Р2 (х) С1

1,1

2,1

Нт) (х)! =(Р1 (х)+ Р2 (х)) С2,

3,1

Нт) (х)] ^ = Н) (х)]= ТР2 (х) С2, [Н? (х)] ^ = Н) (х)

1,2

3,2

1,3

2,3

= -кС2,

Н(Т) (х)! = ТР2 (х) С1, Н) (х)

2,2

Нт,) (х) , „ = Нт,) (х)

4,2

= к,

5,1

Нт,) (х)

4,3

= -кС1,

3,3

Нт) (х) „ , J 6,1

= -ТР2 (х) ,

) (х) = Р1 (х) , Н^) (х) = Р1 (х) + Р2 (х)

5,3

6,2

где Р1 (х) = Н 1 (шх 1 - 5дЛхд ^, Р2 (х) = (Нх + 1) .

5. Базисные решения в случае крутильных волн. При т = 0 и в = п/2

представления (17) преобразуются к такому виду

(24)

й™^ (х, г, Ь) = ехр (-5Хх(1 - гшЬ + гкг^ й™^ (х), Б(ТШ) (х, г, Ь) = ехр ((1 - 5) Хх* - гиЬ + гкг) Т^ к (ТШ) (х),

гп(ТШ) п п

где ±2 диагональная матрица размерности 2 х 2, отличные от нуля эле-

менты которой равны

Т

(Т№)

= г,

вектор-столбцы с элементами

1,1

Т

(Т№)

2,2

= 1; Б(Т^) (х,г,Ь) и к{ТЮ (х)

Б(ТЩ) (х, г, Ь) = [адг (х, г, Ь), агд (х, г, Ь)]Т , Б{ТЮ (х) = Тогда уравнение (19) преобразуется к виду

М40) (х)^ 2 • й(ТЮ (х) = 0 (х е [хо,х1]), а представления (20) и (23) соответственно переписываются так:

4ТЖ) (х) = ^2 хтХ(ТШ) (х е [хо, х1]),

(х), д<?вЮ (х)

Т

(25)

йк

т=о

(х) = ^ хтхтг№)н£№) (х) (х е [хо, х1]).

(26)

т=о

Т

Здесь И^^ (х) = к, р1 (х) + р2 (х) . Рекуррентная последовательность ал-

(ТШ)

гебраических уравнений (22) для определения скалярных коэффициентов Хт, ) получает такой вид

Х(Т№) =0(т< 0), 4 з 2

п(ТШ) Х(ТШ) + п(ТШ) Х(ТШ) Г>(™) х(ТШ) = 0 (27)

/ у Гт,] хт"] + Гm,5+j Хт"Ц"] + 2-^ Гm,9+j Хт"2Ц"] = 0 (27)

где Г

j=0

(ТШ) т^

Q

(о)

т^

2,2

j=0 j=0 (т = 0,1,...) ,

{у = 0Д1; т = 0~эо).

При т = 0 и т = 1 для любых д е {0} и N уравнения (27) принимают такой

вид

0 • Х0ТШ) =0 (т = 0) , 0 • Х1ТШ) =0 (т = 1) . (28)

2

2

Поскольку Qm 0 ) = 0 (ш > 2), следовательно, из уравнений (27) с учетом соотношений (28) с точностью до произвольного скалярного множителя определяются два набора коэффициентов { 1 (8 = 1,2)

I J т=0 4 '

Х™ =0 (ш < 0) , Х^ = 1, X

(Т"Д)

х0Т^,2) =0, х(

(Т№,2)

= 1,

х(ТШ,8) = а(™) х(тщ,3) + У^ лТ") хТ">) + А(™) х(™>) хт = Лт,3 хт-3 + Лт,5+з хт-д-] + Лт,9+3 хт-2д-з

(29)

з=1

3=0

3 =0

(ш = 2,3,...) , (8 = 1,2)

Здесь

л(ТЩ ¡п(ТШ) т,3

(30)

Тогда представления (26) с учетом (29) определяют два линейно независимых частных решения уравнения (25) и, соответственно, общее решение уравнения (25) может быть представлено через матричное базисное решение так:

и

(Т")

(х) =

и(Т"В) (х) В

1,1

(31)

где В - произвольный векторный коэффициент второго порядка; и(Т ",В) (х) -матричное размерности 1 х 2 решение следующего вида

оо

(Т",В)

ик

т=0

(х) = £ хт х(Т",1),х(Т",2) (х е [х0,х1]).

По аналогии с выражением (31) вводится представление

к(ТШ) (х) = к (Т"В) (х) В

(32)

(33)

в котором используется полученные с учетом соотношений (26), (32) матричные размерности 2 х 2 решения следующего вида

;(Т",В)

(х) = £ хт Х(Т",1)НТ") (х), Х(Т",2)Н^" (х) (х е [х0, х1]). (34

т=0

Для коэффициентов Л^З) (30) получены следующие асимптотические при ш оценки

ЛТГ +2Н

< ш 13Ь

ЛТ" + н2

< ш-13Н2

А

(ТЖ)

3,3

< т-22Н3 |к2

А

(ТЖ) 4,3

< т-2Н4 |к2|

А5,3

< т-1д\Х(25 - 1)|,

л(ТЖ) А6]

< т-12дН\Х (25 - 1)|

А

(ТЖ) 7,3

< т-1дН2 \Х (25 - 1)\

А

(ТЖ) 8,3

А

(ТЖ)

9,3

< т-2Х2д2 \5 (5 - 1)\

л(ТЖ) А10,3

< т-22Х2д2Н\5 (5 - 1)\,

А9,3

< т-2Х2д2Н2 \5 (5 - 1)\.

Следовательно, асимптотическое при т представление для рекуррентных соотношений (29) записывается в виде = ^НХ^^^ - ^Х^^^, а его характеристическое уравнение

С2 + 2Н( + Н2 = 0

(35)

имеет кратный корень ( = -Н, определяющий для разложения (26), (32), (34) радиус сходимости Н-1 > 1. Таким образом, заложенное в соотношениях ограничение [х0,х^ С (-Н-1,Н-1) обеспечивает справедливость исходного положения об абсолютной и равномерной сходимости указанных разложений на отрезке х е [хо, х 1 ] [4].

6. Базисные решения в случае продольно-сдвиговых волн. При т = 0

и в = 0 представления (17) приобретают такой вид

И(Ь8Ж) (х, г,г) = ехр (-5Хх1 - ги1 + гкг) т[ьяш>Й(Ь™) (х)

(36)

8(™) (х, г, г) = ехр ^(1 - 5) Хх« - + 1кг) т2^^(Ь™) (х), где И(ЬЗЖ) (х,г,г), > (х,г,г), И) (х) и Э) (х) - вектор-столбцы с

элементами

И(ЬЯ№) = [иг (х, г, г), и (х, г, г)]Т , Б(Ь8№) (х ,г,г) = [а„ (х, г, г), авв (х, г, г), ахх (х, г, г), агх (х, г, г)] ,

и (х) =

и

(ЬЯЖ)

(х) ,и(^№) (х)

Т

т

Э(ЬЗ№] (х) =

(ЬЯШ) тт т(ЬЯШ) 1

а,

(Ь8Ш) (х) , Э^™) (х), ) (х), а?™) (х)

Т

и Т2 ' - диагональные матрицы размерности соответственно 2 х 2 и

4 х 4, отличные от нуля элементы которых равны

т

т

(ЬЯШ) 2

(ЬЯШ)

1,1

= 1,

т

(ЬЯШ)

3,3

= 10 = 1,3),

т

2,2

(ЬЯШ) 2

= г,

г.

4,4

Тогда уравнение (19) преобразуется к виду

М40) (х)

И{ЬвШ) (х) = ( (х е [х0,х1])

(1,3),(1,3)

а представления (20) и (23) соответственно переписываются так:

И^) (х) = £ хтх£3"),

(37)

т=0

^(ЬЯШ)

(38)

(х) = £ хтН^3") (х) ) (х е [х0, х1]).

=0

Здесь Нт3") (х) = Нт) (х) . Рекуррентная последовательность ал-

I 1 (1,2,3,5),(1,3)

гебраических уравнений (22) для определения векторных коэффициентов второго порядка х получает такой вид

х^3") = О (ш < 0)

0

3=0

,3

х(

т-з

32 (Ь3Ш) ^(ЬЗШ) + 0(^3") х(Ь3Ш) . ^ 0(Ь3") х(Ь3Ш) + / у 0т,5+3 хт-- + 0т,9+3 Хт-2-3=0 3=0

О

(39)

Здесь 03) = |~0(0)

,3

(ш = 0,1,...) . (з = 0Д1; т = 0~эо).

(1,3),(1,3)

Уравнения (39) при ш = 0 и ш = 1 для любых д е {0} и N записываются в виде

Ох

(¿3")

(О (ш = 0), ох(1Ь3") = (0 (ш = 1).

(40)

Уравнения (40) имеют четыре линейно независимых нетривиальных векторных решения, которые могут быть объединены в два матричных решения такого вида

х

(¿3", 1) 0

I, х

(¿3", 1) 1

о, х0да)

О, х

(Ь3Ш,2) 1

I.

(41)

Представления (41) приведены с точностью до произвольного векторного множителя. Тогда для определения матричных размерности 2 х 2 коэффициентов = 1,2; т > 2) с учетом того, что ёе! (с^сГ^) ^ 0 (т — получаются явные рекуррентные представления

1

1

= 0 < 0; 5 = щ )

хт

4 3 2

Ед (ЬЯШ) х(ЬЯШ,з) + ^ д ) х(ЬЯШ,з) + ^ д (ЬЗЖ) х

Ат,3 Хт-3 +2-^1 Дт,5+3 Хт-д~3 + Дт,9+3 х

(42)

3 = 1

3=0

3=0

(т = 2,3,...) , (8 = 1,2).

Здесь = - ) 0 = 11)- Следовательно, общее реше-

ние уравнения (37) может быть записано через матричные базисные решения так:

И) (х) = И(х) В,

иЭ

(ЬЯШ,Б)

(х) = £ хт [хт№1), х-^] (х е [хо,х1]).

(43)

т=0

Здесь В - произвольный векторный коэффициент четвертого порядка. На основании представлений (38), (43) получается

8) (х) = 8(Ь8ЩБ) (х) В,

-л(ьзж,Б)

(х) = £ хтН(^8№) (х) [х^Ч Х^2)] (х е [хо,х1 ]).

т=о

(44)

Для матричных коэффициентов ) в рекуррентных соотношениях (42)

получены следующие асимптотические при т ^ж оценки

Ж) +2Н1

< к1/т,

д

(ЬЭЖ) + Н 2Т

т,2 + Н Т

< К2/т,

(ЬЯЖ)

д

т,3

Здесь

< К3/т (3 = 3, 5,6, 7)

д

(ЬЯЖ)

т,3

< к3/т2 (з =4, 8, 9,10,11) .

к1 = Н\ 18 +

2 - -2 , ^ ,2.1 ~2

с2 (а-2 + 1), К2 = н\ 18 + 4 8 с2 (а-2 +1)

кз = Н3

Сз\/ С-2 + 1, К4 = Н\! С-2

П2 - к2

+

П2 - к2С1

к5 = \/2| Л (1 — 2Й)|, к6 = 2 \Z2qh |А (1 - 25) |, к7 = \Z2qh2 | Л (1 — 25) | /г3 \Jq\kx\^С1-2|С2-5Сз|2 + |1-5Сз|2, к9 = л/2\2д2 | 5 (1 - 5) |,

2

к,10 = 2У2АУ/г\6(1- 6) I, кп = У2АУ /г2 \5 (1 - 5)\.

Следовательно, асимптотическое при т — ж представление для рекуррентных соотношений (42) принимает вид Хт^^ = — — ■ Посколь-

ку характеристическое уравнение для него имеет вид (35), следовательно, как показано в случае крутильных волн, разложения в соотношениях (38), (43), (44) сходятся абсолютно и равномерно для х € [х0,х^.

Базисные решения в случае неосесимметричных волн. При т € N и в = Оуравнения (22) для любых д € {0} UN, а также т = 0 и т = 1 принимают такой вид

О Х0Т) = О (т = 0), О Х1т) = О (т = 1). (45)

Уравнения (45) имеют шесть линейно независимых нетривиальных векторных решений, которые после объединения в два матричных решения записываются так:

х0тД) = I, Х^ = О, х0т'2) = О, х1т'2) = I. (46)

Матричные размерности 3x3 представления (46) приведены с точностью до произвольного векторного множителя. Поскольку ёе1 ^^о) = 0 (т > 2), значит,

для определения матричных размерности 3x3 коэффициентов Х^'^ (з = 1,2; т > 2) из уравнений (22) получаются явные рекуррентные представления

Х&'в) = О (т< 0),

4 3 2

Х(Т'«) = Л(т) Х(г'в) + Л(т) Х(г'в) + Л(т) Х(г'в) (47)

Хт = Лт,] Хт-3 + Лт,5+3 Хт-ц-] + 2-^ Лт,9+3 Хт-2ц-] (47)

3=1 3=0 3=0

(ш = 2,3,...) , (в = 172).

Здесь = — (о,^ о) О = 1) И)- Тогда для заданного значения пара-

метра т общее решение уравнения (19) записывается через матричные базисные решения так:

и(Т) (х) = и(Т'Б) (х) В,

(48)

и(Т'Б) (х) = ^2 хт [Хтд), Х(т'2^ (х € [хо,хг]),

т=0

где В - произвольный векторный коэффициент шестого порядка. Аналогичные

~ (т)

представления получаются с учетом соотношений (23) и для вектора Э (х)

~(т) (х) = ~~(Т'Б) (х) В,

(49)

~(Т'Б) (х) =^2 хтН(т) (х) [х(7'1), Х(т'2)] (х € [х0,хг]).

т=0

Для матричных коэффициентов А^- в рекуррентных соотношениях (47) получены следующие асимптотические при т — ж оценки

АЙ + 2Ы

< к1/т,

А

(Т )

'ту

< ку/т (] = 3, 5,6, 7)

А

Ай + н21

(Т ) 'ту

< к2/т,

< Ку/т2 а = 4, 8, 9,10,11)

где

К1 = Нд 27+ т2 +

С| (СГ2 + 1),

К2 = Н\ 27+[ т2 + 4

Сз2 (СГ2 + 1),

Кз = Н3

СзЛСГ2 + 1, К4 = нЧ Сг2 + 1)

П2- к2

+

П2 — к2С1

К5 = л/з|Л (1 — 25)1, = 2л/ЗдЛ |Л (1 - 25)|, к7 = \Дд1г2 |Л (1 — 25)| 'СГ2 |С2 - 5С3|2 + |1 - 5С3|2, = \/з\2д2 |5 (1 - 5)|,

кз = Н х д

к\

кю = 2\/зХ2д21г |5 (1 - 5)|, кп = УЗЛУ/г2 |5 (1 - 5)|.

Поскольку асимптотическое при т — ж представление для рекуррентных соотношений (47) принимает вид Х^'^ = — 2НХ(т^! — Н2ХТ2 с характеристическим уравнением (35), следовательно, как показано в случае крутильных волн, разложения в соотношениях (47) - (49) сходятся абсолютно и равномерно для X <Е [х0, х{].

7. Получение дисперсионных соотношений. Рассматриваемая математическая модель волновых процессов в протяженных цилиндрах кольцевого поперечного сечения включают условия свободной (6) либо жестко закрепленной (7) граничной поверхности. С учетом полученных представлений решений уравнений модели через базисные решения указанные однородные граничные условий порождают трансцендентное уравнение, определяющее дисперсионный спектр целевой задачи, ёе! (А) = 0, а также однородное алгебраическое матричное уравнение АВ = О для определения векторного коэффициента В в представлении решений целевой граничной задачи. Для задачи исследования процесса распространения нормальных волн в свободном либо жестко закрепленном протяженном цилиндре геометрии V соответственно получается в случае крутильных волн (т = 0, в = п/22)

А

^•"^(Хо) (Т^' Б) (Х1)

2' (1..2)

2' (1..2)

либо А

иБ) (Хо) иБ) (Х1)

в случае продольно-сдвиговых волн (т = 0, в = 0)

2

2

2

2

А

8(а«,)

8(ЬЗЩБ) (а^

(1,4),(1..4)

либо А

(1,4),(1..4) ]

в случае неосесимметричных волн (т € М, в = 0)

А

8(ГВ) (ао) 8(ГВ) (а1):

(1,5,6),(1..6)

либо А

и(ЬЗ№'Б) (ао)

и(ЬЗЩБ) (а1)

и(ТБ) (ао)

и(ГБ) (а1)

(1,5,6),(1..6)

Здесь а0 = — (1 — К1/К*) Н-1, а1 = (К2/К* — 1) Н-1 (а0 < —1 < а0 < а1 < 1 < а1).

8. Анализ результатов численного эксперимента. В качестве однородного материала для представлений (1) был выбран алюминий с характеристиками

<5 = 2.61, V = 0.35, р = 2700 кг/м3, С* = 1010 н/м2.

При численном эксперименте значение параметра 5 бралось фиксированным 5 = 1/2. Этот выбор был обусловлен результатами проведенного с высокой точностью вычислений анализа скорости сходимости разложений в базисных решениях (32), (34), (43), (44), (48), (49).

Расчет фрагментов спектров бегущих нормальных продольно-сдвиговых волн (LSW) и изгибных (т = 1) волн (BW) проводился в диапазонах изменения безразмерных волновых параметров О € [0; 55] и к € [0; 55]. Выполнен анализ ряда эффектов влияния параметров неоднородности на топологическую структуру и свойства действительных ветвей дисперсионных спектров указанных волн в ра-диально неоднородном (Л, д) € (1п (1/2), 6) (Рис. 1-2) и однородном (Л, д) = (0, 0) цилиндрах кольцевого сечения (К1 = 0.75 м, К2 = 1.25 м, К* = 1 м) со свободной граничной поверхностью.

Рис. 1. Спектр ЪБШ.

Рис. 2. Спектр ВШ.

В представлении нормализованной частоты 0 = ша/вг и нормализованного волнового числа к = ка используются обозначения для нормирующего параметра размерности длины а = Я* и скорости эквиволюминальной волны

сг = УС*СIр. Для анализа количественных различий в поведении мод сопоставляемых спектров использовалась функция сравнения АО (ка) = (ш\,д (ка) — Шо,о (ка))а/вг поведения мод с одинаковыми номерами. Ниже представлены результаты сравнительного анализа поведения низших пяти мод спектров LSW (Рис. 3) и BW (Рис. 4) в неоднородном (Л, д) € (1п (1/2), 6) и однородном (Л, д) = (0, 0) волноводах. В качестве основных результатов отмечается, что рассмотренный тип неоднородности практически не сказывается на поведении двух низших мод спектра LSW трех низших мод спектра BW в длинноволновом диапазоне ка € [0;2], в то время как на моды с последующими номерами в соответствующих спектрах влияние существенным образом сказывается на всем исследованном диапазоне варьирования волнового числа. При этом отмеченное влияние проявляется, в первую очередь, в системном увеличении фазовых скоростей мод неоднородного волновода.

/

V ч ..-У

1 \ "ЧХ \ \

N \ - \ V . у

~ — ■¿-С У

Рис. 3. Анализ парных мод спектров LSW.

/

/ >• 1 \

/ / -----' т / ■ \ --------

к а

Рис. 4. Анализ парных мод спектров BW.

Представленный на рис. 2 спектр бегущих изгибных волн в неоднородном полом цилиндре характеризуется, по сравнению со спектром продольно-сдвиговых волн в том же цилиндре, существенным усложнением картины влияния фактора неоднородности на топологическую структуру спектра, обусловленной большим числом узких частотных диапазонов локального сближения и расталкивания смежных мод спектра с выраженной картиной «обмена» групповыми скоростями соответствующих этим модам нормальных бегущих волн. Общей тенденцией в распределениях дисперсионных кривых в областях взаимного влияния двух смежных мод является резкое сближение верхней из сходящихся кривых после прохождения точки расталкивания с траекторией соответствующей кривой

для однородного цилиндра и противоположный эффект «отдаления» нижней из сходящихся кривых после расталкивания от траектории соответствующей моды однородного цилиндра. Данный эффект для мод с номерами в спектре 2 - 3 и 6 - 7 соответственно проиллюстрирован на рис. 5.

а б

Рис. 5. Анализ фрагментов парных мод спектров ВШ.

В областях взаимного влияния трех смежных мод тенденция меняется на противоположную - резкое сближение нижней из трех сходящихся кривых после прохождения точки расталкивания с траекторией соответствующей кривой для однородного цилиндра и эффект «отдаления» верхней из трех сходящихся кривых после расталкивания от траектории соответствующей моды однородного цилиндра. Данный эффект для мод с номерами в спектре 8 - 10, 14 - 15, 15 - 17 и 18 - 20 соответственно проиллюстрирован на рис. 6.

а б в г

Рис. 6. Анализ фрагментов парных мод спектров ВШ.

Распределения нормализованных фазовых скоростей бегущих нормальных продольно-сдвиговых и изгибных волн в неоднородном полом цилиндре представлены соответственно на рис. 7-8, а распределения нормализованных групповых скоростей указанных волн - на рис. 9-10.

Рис. 7. Нормализованные фазовые скорости LSW.

Рис. 8. Нормализованные фазовые скорости BW.

с ■

с

\' '

; \ : V 1 X \ 1\

[1 ■ V их 11 * 1/......> 4 <

{ [ : 1 ; ( ! 1 ;!

!|

[- 1_ 2--3--- 4—; 5!

Рис. 9. Нормализованные групповые скорости LSW.

с

А,

к ГЛ. \! -у """"

!■ 1 ||

0 1 0 2 0 3 0 о ±1Я

Рис. 10. Нормализованные групповые скорости BW.

9. Выводы. Разработана методика построения базисных множеств частных решений уравнений волнового деформирования изотропных цилиндров кольцевого поперечного сечения с экспоненциально-степенной радиальной неоднородностью материала для краевых задач о спектрах осесимметричных и неосесим-метричных нормальных упругих волн. Разработаны программные приложения для реализации алгоритмов решения рассматриваемого класса задач, с применением которых проведен сравнительный анализ топологического строения дисперсионных спектров, распределений фазовых и групповых скоростей бегущих

нормальных продольно-сдвиговых и изгибных волн в однородных и радиально неоднородных изотропных протяженных цилиндрах кольцевого поперечного сечения для случая свободной граничной поверхности, проанализированы и описаны эффекты влияния на указанные характеристики экспоненциально-степенной радиальной неоднородности материала волновода. Полученные результаты перспективны для использования в прикладных исследованиях, связанных с расчетами характеристик волноводных компонентов акустоэлектронных устройств, анализа моделей ультраакустической диагностики.

1. Моисеенко И.А. Волны кручения вдоль полого экспоненциально-неоднородного трансвер-сально-изотропного цилиндра с закрепленными границами / И.А. Моисеенко. // Механика твердого тела. - 2014. - Вып. 44. - С. 132-139.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1966. - 576 с.

3. Шульга Н.А. Распространение осесимметричных упругих волн в ортотропном полом цилиндре / Н.А. Шульга. // Прикладная механика. - 1974. Т. 10, № 9. - С. 14-18.

4. Туляков Д.Н. Асимптотики решений рекуррентных соотношений / Д.Н. Туляков. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук. - Москва. - 2011. - 236 с.

I.A. Moiseyenko, V.A. Moiseyenko

Deformation waves in functionally gradient cylinders of annular section.

The wave motion is described on the basis of a complete system of linear dynamical equations of elasticity theory. The shear modulus and density of the isotropic material of cylinder are specified by an exponential-power function of the radial coordinate. The basic solutions of the system of differential equations of the model are constructed in matrix form in the form of decompositions of the radial components of the solution into uniformly and absolutely converging power series off the generalized annular coordinate. The dispersion relations describing the harmonic spectra of normal waves in the cases of rigidly fixed and free both boundary surfaces of a hollow cylinder, is presented. The effects of the radial inhomogeneity factor on the topology of dispersion spectra, the distribution of phase and group velocities of propagating normal waves are studied.

Keywords: FGMs, isotropic waveguide, normal waves, basic solutions, dispersion relations, phase velocity, group velocity.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 06.03.19

ГОУ ВПО "Донбасская национальная академия строительства и архитектуры", Макеевка miamia733@mail.ru