АНАЛИЗ МОДЕЛИ ПЛОСКОГО ГИДРОАКУСТИЧЕСКОГО ЭКРАНА С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ ВНУТРЕННИХ ТУННЕЛЬНЫХ РАДИАЛЬНО-НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№3-4 (64-65) / 2018.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 004.031:539.3:534.1

©2018. В.Е. Болнокин, М.Н. Пачева, В.И. Сторожев, Зыонг Минь Хай, Чан Ба Ле Хоанг

АНАЛИЗ МОДЕЛИ ПЛОСКОГО ГИДРОАКУСТИЧЕСКОГО ЭКРАНА С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ ВНУТРЕННИХ ТУННЕЛЬНЫХ РАДИАЛЬНО-НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ

Дано описание теоретической численно-аналитической методики исследования пространственной модели гидроакустического экрана в виде деформируемого слоя с периодическим рядом однотипных параллельных плоским граням внутренних протяженных туннельных цилиндрических полостей, содержащих идеально контактирующие радиально-неоднородные цилиндрические включения. Методика предусматривает введение представлений для потенциалов поля волн деформаций в многосвязном слое в виде рядов по базисным частным решениям волновых уравнений в связываемых со слоем основных прямоугольных координатах и в локальных цилиндрических координатных системах с полюсами в центрах сечений перфорирующих полостей. В рамках разрабатываемого алгоритма исследования используются теория Флоке, теоремы сложения цилиндрических функций, разложения Якоби, а также методика интегрирования уравнений динамического деформирования функционально-градиентных цилиндров в степенных рядах по радиальной координате. На заключительном этапе реализации методики, на основе применения метода ортогональных рядов для алгебраизации функциональных граничных условий контакта материала слоя с окружающей акустической средой и внутренними включениями, задача сводится к анализу бесконечных систем линейных алгебраических уравнений относительно постоянных коэффициентов в представлениях потенциалов акустической среды и в рядах по базисным частным решениям волновых уравнений для слоя.

Ключевые слова: плоский гидроакустический экран, изотропный упругий слой, внутренняя периодическая перфорация, туннельные цилиндрические полости с включениями, внешняя акустическая среда, численно-аналитическая методика анализа, уравнения для волновых потенциалов, метод суперпозиции рядов по базисным решениям, теория Флоке, теоремы сложения цилиндрических функций, метод ортогональных рядов, бесконечные системы алгебраических уравнений.

Введение и постановка задачи. Разработка методов теоретического анализа различных модификаций моделей функционирования плоских гидроакустических экранов [1-7] остается актуальным направлением исследований в волновой механике деформируемых сред. Одной из моделей данного типа является рассмотренная в работе [8] модель трансформации упругих волн при их распространении по толщине контактирующего с акустическими средами деформируемого слоя с периодическим рядом однотипных внутренних параллельных плоским граням незаполненных протяженных туннельных цилиндрических

полостей. При этом подлежат исследованию и вопросы эффективности функционирования экранов такого типа в случае заполнения внушенных полостей упругими включениями с различными физико-механическими свойствами. В этой связи, целью данной работы является построение модифицированного варианта теоретической численно-аналитической методики для анализа волнового деформирования слоя с периодическим рядом внутренних туннельных цилиндрических полостей, содержащих идеально контактирующие упругие цилиндрические включения из изотропных радиально-неоднородных функционально-градиентных материалов.

Аналогично работе [8], рассматривается конструкция в виде перфорированного изотропного слоя с параметрами Ламе Л , ц и плотностью р. В слое содержится бесконечный периодический ряд отстоящих друг от друга на расстояние 21 туннельных цилиндрических полостей радиуса К (К < К) с центрами на оси Ох1. Материал слоя распределен в координатном пространстве Ох1х2х3 по области

^ = {—К < хз < К, (Х1,Х2) е К2}\ и Ур, (1)

р=—Х

а подобластях-полостях Ур = {(х1 — 2р1)2 + х2 < К2, —ж < х2 < те} с граничными поверхностями Гр = {(х1 — 2р1)2 + х3 = К2, —ж < х2 < ж}, в сечениях которых введены локальные полярные координатные системы Ортр9р: гр ■ ехр(1вр) = х1 — 2р1 + 1х3 с центрами в точках Ор(2р1, 0, 0), содержатся однотипные по физико-механическим свойствам упругие включения 1р из изотропного функционально-градиентного радиально-неоднородного материала, которые идеально контактируют с материалом слоя. Параметры плотности и модулей Ламе включений имеют представления

Лр = Ло ■ ехр(сгр), Цр = цо ■ ехр(стр), рр = ро ■ ехр(<т) (2)

Полубесконечные области У+ = {К < х3, (х1,х2) е К2} и У- = {х3 < —К, (х1 ,х2) е К2}, как и в [8], полагаются заполненными одинаковой по свойствам идеальной слабо сжимаемой жидкостью. Распространение гидроакустических волн в этих областях соответственно описывается определяемыми из уравнений Д^>± = (с0±))-2942^± потенциалами , а поля скоростей у- волновых

колебательных смещений и давлений р+, р- в акустической среде описываются соотношениями

= —дтай у±, рт = . (3)

В уравнениях для , и выражениях (3) с0±) = (к(±)Ро±^)-2 - скорости объемных акустических волн в окружающих экран жидкостях, р0± - плотности акустических сред в невозмущенном состоянии, к(±)— адиабатические модули сжимаемости для акустических сред.

В подлежащей анализу задаче рассматривается падение из глубины полубесконечной области У- на поверхность Г- = {х3 = —К, (х1 ,х2) е К2} плоской

монохроматической волны гидроакустического давления с циклическом частотой ш и комплексным потенциалом

У— = P— • exp(-i(wt - k(-)x3)), (4)

и возникновение в результате взаимодействия с экранирующим слоем Vl отраженной в V- гидроакустической волны с потенциалом

У— = P[-) • exp(-i(ut + k{f-)x3)), (5)

и прошедшей в область V+ за граничной поверхностью Г+ = {x3 = h, (xi ,x2) £ R2} экранирующего слоя Vl гидроакустической волны с потенциалом

У+ = P0(+) • exp(-i(wt - kf+)xs)). (6)

В выражениях (4) - (6) P0 ) - задаваемый амплитудный параметр, kf±)- волновые числа; P( ), Pq+) - подлежащие определению амплитудные характеристики.

На поверхностях контакта полупространств V+, V- и слоя Vl задаются краевые условия

(G33 + p±)x:i=±h = 0, (a3j)x3=±h = 0 (j = l, 2) (dtU3 - V3±)x3=±h = 0,

в которых V3± - компоненты векторов V+, скоростей движения частиц акустических сред.

В слое Vl под действием падающей волны генерируется поле двухпарци-альных упругих волн плоской деформации в коллинеарных Ox 1x3 плоскостях с определяемыми из уравнений

(Л + 2^)D2Ф(x1,x3,t) - рд2/dt2^(x1,x3,t) = 0, ^D2Ф(x1,x3,t) - рд2/dt2^(x1,x3,t) = 0,

потенциалами Ф(x1,x3,t), Ф(x1,x3,t), а поле динамических упругих перемещений описывается соотношением

U(x1,x3,t) = (U1(x1,x3,t), U3(x1,x3,t)) = (9)

= grad $(x1 ,x3, t) + rot Ф(x1,x3,t) • e2.

Для функционально-градиентного материала цилиндрических включений уравнения гармонического волнового динамического деформирования следуют из системы соотношений

[д/дг + r-1] Grr + [-r-1] Gee + [г-1д/д6] ard + p(d2/dt2)ur = 0,

[д/дr + 2r-1] Gre + [г-1д/дв] Gee + р(д2/дЬ2)щ = 0;

о„ = ехр(ст)[((Ао + 2^о)д/дт + Хо/т)пг + ((Ао/т)д/дО)щ ], гвв = ехр(ст)[(Ао д/дг + (Ао + 2ц.о)/т)иг + (((Ао + 2ц,о)/т)д/дв)щ ], (11) агв = ехр(ят)^о[(т—1д/дв)иг + (д/дт - т-1)щ].

С учетом априорного свойства периодичности иг ,щ по угловой координате в и введения представлений

иг = иг п(т) • ехр(гив) • ехр(-ш1),

ив = Щ п(т) • ехр(шв) • ехр(-ш1), (12)

= ёарп(т) • ехр(тв) • ехр(-г^),

а также на основе последующего перехода к модифицированным соотношениям

(13)

[(1/(1т + т Ч Огтп + \-т ^ (Ув в п + [шт ^ (Гг в п - рШ2игп = 0, [й/йт + 2т-1] (Ггвп + [гит-1] Гввп - рш2ивп = 0;

(Гггп = ехр(^т)[((Ао + 2 ^о) й/йт + Ао/т)щп + (гиАо/т)щп ], Гввп = ехр(^т)[(Ао(/(т + (Ао + 2^о )/т)Щп + (ги(Ао + 2^о )/т)ивп ], (14) Ггвп = ехр(сфо[(гпт-1)иГп + (й/йт - т-1)Щп],

из (13), (14) следует система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно игп(т), щп(т) Ее решения в рамках применения описываемой в работе [9] методики строятся в виде системы базисных функций, представляемых абсолютно сходящимися степенными рядами по радиальной переменной т. Тем самым, описание полей волновых упругих перемещений и динамических напряжений в функционально-градиентных цилиндрических включениях формируются в виде ортогональных рядов по угловой переменной в с подлежащими определению постоянными коэффициентами. В частности, для характеристик напряжений ггг , агв в областях включений в каждой из локальных координатных систем записываются представления [9]

Ггг = ^„.(т)ехр(гив),

д=—х <х

агв = ^ Бд ЕдГв(т) ехр(гив)

д=—х

с произвольными подлежащими определению коэффициентами П„.

С введением в рассмотрение комплексных амплитудных характеристик волновых упругих перемещений {иГФ (тр, вр), и(ф)(тр, вр)} и динамических напряжений а^ф (тр,0р) (а, в = тр,вр) для материала слоя Уф в локальных координатных системах, а также амплитудных характеристик {иГ1 (тр,вр), и^1 (тр,вр)},

аОф(тр,@р) волнового двумерного напряженно-деформированного состояния цилиндрических включений 1р, граничные условия идеального механического контакта включений и слоя на поверхностях Гр записываются в виде

(иф (тр,9р))Гр = (и$(гр,6р))Гр, (у{оф)(гр,9р ))Гр = (41р)(тр,вр))Гр;

р (16)

(аГф)(Я,вр))гр = (а£(гр,0р))гр, (аф(Я,0р))г:Р = (а$ (трЛ))гр.

При этом, ввиду учитываемой далее периодичности, контактные краевые условия на цилиндрических границах рассматриваются только для центральной поверхности Го.

1. Методика исследования рассматриваемой проблемы. Для решения сформулированной задачи применяется методика, являющаяся обобщением описанной в работе [8] методики анализа гидроакустического экрана в виде слоя с внутренней перфорацией на случай заполнения полостей упругими цилиндрическими функционально-градиентными включениями.

С учетом свойства периодичности упругих перемещений и напряжений вдоль Ох\ с периодом 21, обеспечивающего возможность применения теории Флоке [10. 11], потенциалы волнового поля и представления входящих в граничные условия характеристик напряженно-деформированного состояния в Уф записываются в форме суперпозиций базисных решений в основных координатах 0х\х3 и в локальных координатных системах 0ртрвр с неизвестными постоянными коэффициентами Ап±, Сп±, Бд , Од :

ГС

Ф = [ (Ап+ вхр(1нп1-1х1 + (и+Хз) + Ап- вхр(1нп1-1х1 + (,п-Хз)) +

п=-гс (17)

ГС ГС V V

'д нд (атр)

+ Е Бд Ид1 (атр)ехфдвр)} ■ ехр(шг),

д=—гс р=—гс

ГС

ф = [ (Сп+ ехр(тжГ1х1 + (п+хз) + Си- ехр(тжГ1х1 + (,п-хз)) +

и=-ГС

ГСГС

+ Е О^ ндъ^тр)ехфдвр)} ■ вМ^),

д= -ГС р=-ГС

(18)

а = (рш2/(Х + 2у))1/2, в = (рш2/у)1/2, а = (X + 2ц)/ц,

п± = ±(ри2/(Х + 2у) + п2п2/12)1/2, С19)

£п± = ±(ри2/у + п2п2/12)1/2,

и далее в окрестности Г+, Г—, аналогично методике работы [8], записываются в виде

х

Ф± = [ (Ап+ ехр(тп1—1х1 + Сп+хз) + Ап— ехр(гип1—1х 1 + (п—хз)) +

п=—х

х х (20) + ^ Вд(2/1)(-г)д+1 ^ (—1(((Р + 8ди(хз)дп1—1)/((р - (дп1—1)2)1'2)д• 1 >

д= — х р=—х

• ехр(гдп1—1х1 - вди(хз)(дрхз)] • ехр(гш£),

х

Ф± = [ (Сп+ ехр(гип1—1х1 + (,п+хз) + Сп— ехр(гип1—1х1 + (,п— хз))+

п= —х

х х (21)

+ ^ Сд(2/1)(-г)д+1 ^ <—1(«Р + 8ди(хз)дп!—1)/((2р - (дп1—1)2)1/2)д• 1 ;

д=—х р=—х

• ехр(гдп1—1х1 - вди(хз)(дрхз)] • ехр(гш£),

гз± = 2Мд1дзФ± + мд - дз2)Ф± =

х

(Ап+ гип1—1Яп+ • ехр(гип1—1х1 + Сп+хз) +

п

п= —х

+Ап— гип1—1Яп— • ехр(гип1—1х1 + (п—хз))+

хх

+ ^ Вд(2/1)(-г)д+^ (—1(((р ± дп1—1)/((? - (дп1—1)2)1/2)д•

■>д\Ч Ч V Ч ^р ) / 1Чр

д=—х р=—х

11

•(гдп1 1)(^Ядр) • ехр(гдп1 1 х1 ^ Сдрхз)] + (22)

х

(Сп+((гип1—1 )2 - (яп+ )2)ехр(гипГ1х1 + (п+хз)+

п= -х

+С,п—((гипГ1)2 - (^п—)2)ехр(гип1—1х1 + (п—хз))+

хх

+ ¿2 Сд(2/1)(-г)д+1 ^ (—1((<2 ± дп1—1)/((2Р - Ы—1)2)1/2)д•

д=—х р=—х

•((гдпГ1)2 - (ядР)2)ехр(гдп1—1х1 ^ (дрхз)}} • ехр(г^).

4з = (Ад2 + (А + 2^)д| )Ф± + 2^дзФ± =

х

; ^2 (Ап+(А(гип1—1)2 + (А + 2^)(яп+)2) • ехр(гип1—1х1 + (п+хз)+ (23)

п= -х

+Ап—(А(гип1—1)2 + (А + 2ц)(яп— )2) • ехр(гип1—1х1 + (п—хз)) +

ГСГС

+ £ Бд(2/1)(-г)д+1 £ (~1(((р ± дп1-1)/((2р - (дп1-1 )2)1/2)д■

д=-ГС р=-ГС

■(Х(гдп1-1)2 + (X + 2у)(тЯдр)2) ■ вхр(гдп1-1х1 т Сдрхз)} +

ГС

+2у ^ (Сп+(гппГ1)($п+)вхр(гпп1-1х1 + (п+хз) +

п= -ГС

+Сп-(гпп1-1)(яп-) вхр(гпп1-1х1 + (п-хз))+

п-

оо

+2у £ Од(2/1)(-г)д+1 ^ $\«р ± дл1-1)/«2 - (дп1-1)2)1/2)д■

д= -ГС р= -ГС

■(гдп1-1 )(тЯдр) вхр(гдп1-1 х1 т Сдрхз)} ■ вхр(гшг), д из = д (дзф± + д^±) =

ГС

(Ап+ (п+ вхр(гпп1-1х1 + (п+хз) +

п=-ГС

+Ап-(п- вхр(гпп1-1х1 + (п-хз))+

оо

+ ¿2 Бд(2/1)(-г)д+1 ^ (~1(((р ± дп!-1)/((р - (дп1-1 )2)1/2)д■

■>д\Ч Ч V Ч )/

д=-ГС р=-ГС

■(ТЯдр) вхр(гдп1-1х1 т Сдрхз)+ (24)

ГС

+ ^2 (Сп+ (гпп1-1 )вхр(гпп1-1х1 + (п+хз)+

п=-ГС

+Сп- (гпп1-1) вхр(гпп1-1х1 + £п-х3)) +

ГСГС

+ ¿2 Од(2/1)(-г)д+1 £ (~1(((р ± дп1-1)/((р - (дп1-1)2)1/2)д■

д= -ГС р= -ГС

■(гдп1-1) ■ вхр(гдп1-1х1 т (дрх3)} ■ ехр(г^),

Непосредственно на Г+ и Г- граничные разложения (22) - (24) представляют собой ортогональные ряды по х1 .

Соответственно, на контуре Го волновые потенциалы и характеристики напряженно-деформированного состояния, с использованием представленных в [10-12] приемов, также записываются в форме ортогональных разложений

ГСГС

12

ф= Е [ Е Ап+ гд((п+ - пп1-1)/(я2п+ - (пп1-1)2)1/2■

д=-ГС п=-ГС

■3д(((£+ - (пп1-1)2)1/2то)+

ГС

+ £ А- гд((Яп- - пп1-1)/(я2п- - (пп1-1)2)1/23д(((£- - (пп1-1)2)1/2то)+

п= -ГС

+Бди,1 (ато) + Бд3д(ато)} вхр(гдво) ■ вхр(гш1) =

со со

Е [ Е Ап+ (1п+го) + ^ Ап- \nq-Jq(7п-го) +

= -х п=-х п=-х

+В'аго) + Sq3'(аго)] ехр(гдво) • ехр(гшЬ),

х оо

ф = Е [ Е сп+ г1((и - ппГ1)/(£+ - (ип1-1)2)1/2-

ц=-х п=-х

.(((£+ - (ип1-1)2)1/2го) +

х

+ £ Сп- г1 ((Сп- - пп1-1)/(еп- - (ипГ1)2)1/2 •

п=-х

.Ж1- - (ип1-1)2)1/2го) + +С'и(1^(вто) + Р'3'(вго)] ехр({дво) • ехр(Ш) =

XX X

Е [ Е Сп+ Пп'+ З4($п+ Го) + Е Сп- Пп1- З4(5п-То) +

1=—х п=—х п=—х

+С1 и'Ъ(вго) + Р1 Зя(вго)] ехр(гдво) • ехр(Ш), агг = (-2^)х

X X

х Е [[ Е (Ап+ Хп'+ (а^п+З1 Ы+ го)+

q= — х n= — х

\-1

+д(аго) (аго)) - (д/го)2.(аго)) +

гг« (^л , „га„л-1\

-С1 гдг-1(в(-и(+1(вго) + д(вго)-1н(1 (вго)) + г^И^Хвго))-

1 (

1

-Р1 гдг-\в (-З'+1(вго) + д(вго)-1. (вго))+

(26)

+1п+(-З'+1(1п+ го) + д(1п+го) З(1п+го)) - (д/го) З'Ы+го)) +

+А п-Хпц- Ы-го) +

+^п-(-З'+1(Уп- го) + дЬп-го)-1З' Ы-го)) - (д/го)2.' (Чп-го))-

-Сп+Пп'+гдг-1 (5п+ (-З'+1(5п+го)+ +д(5п+го)-13' (5п+го)) + г-1. (5п+го))-

-Сп-Пп'-гдг-1 (5п- (-3'+1(8п-го)+ (27)

+д(5п-го )-1. (6п-го)) + г-1. (6п-го)))] +

+В1 (аа2и'1^(аго) + а(-и'1^1(аго)+ +д(аго)-1и'1^(аго)) - (д/го)2и'1 (аго))+ +Sq (аа2. (аго) + а(-31+1 (аго) +

+г0 3'(вго)))] вхр({дво) • вхр(шг),

are = (2у) X

гс гс

X Е [[ Е (Cn+ nnq+ ((%+ /2)Jq (5п+ ro) +

q=—rc п=-гс

+5n+ (-Jq+l(6n+ro) + q(Ón+ ro)-1Jq(Sn+ Го)) - (q/ro)2Jq(Sn+ Го)) +

+Cn- Vnq- ((Si-/2)Jq (Sn- Го) + +5n- (-Jq+l(Sn-ro) + q(Sn- ro)-lJq (Sn- Го)) - (q/ro )2Jq (Sn- Го))-

-An+Xnq+ iqr0 1(Yn+(-Jq+1 (Yn+ r0) + +q(Yn+ro)-1Jq (Yn+ro )) + r-1Jq (Yn+ro))-

-An-Xnq-iqr-1(Yn-(-Jq+i(Yn-ro) + + q(Yn- ro)-1Jq (Yn-Го)) + r--1Jq (Yn- ro)))] +

+Gq ((в2/2)H(1 (pro) + в (-H(%(Pro)+ (28)

+q(Pro)-1H¡1\pro)) - (q/ro)2HW(0ro))+

+ Pq ((в2/2)Jq (Pro)+ в(-Jq+1(Pro) +

+q(Pro)-1 Jq(0ro)) - (q/ro)2 Jq(0ro))+ -Bq iqr-(a(-Hq%(aro)+ q^ro)-1^1 (aro)) + r-1^1 (aro))--Pq iqr-1(a(-Jq+1 (aro) + q(aro)-1Jq (aro)) + +r-1Jq(aro)))] exp(iqdo) • exp(iwt),

гсгс

Sq = £ Y.Bp(H{q1X(2akl)+ H-(2akl)),

p=-rc k=1 гсгс

Pq = E YsGpHXrni)+Hp-q(20Ы)).

=-гс k=1

Характеристики полей гидроакустических волн в процессе построения решения рассматриваемой задачи записываются в виде

V3- = (ik-)(-P(-) • exp(-i(wt - kf-)Хз)) + +P(-) • exp(-i(ut + k{f-)x3))),

V3+ = (-ikf+))P(+) • exp(-i(ut - f Х3)),

(29)

Р- = Р0 = (-гшр[ )) • (Р0 ) • вхр(-г(ш1 - к^ )хз))+

+Р(-) • вхр(-г(шг + к{-)хз))),

р+ = р{+ = Р(+)р{+ (-гш) • вхр(-г№ - к{+]хз)).

На последнем шаге реализации представляемой методики с использованием свойств ортогональности контурных представлений функциональные краевые

(30)

условия рассматриваемой задачи трансформируются в подлежащую дальнейшему редуцированию бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов Ап±, Сп±, Вд, Сд Од, Р( ^, Р^, имеющую вид:

X

Е (Ап+ Хп'+ (а12п+3д Ы+Я) + 7п+(-3д+1(7п+Я)+ п=-х

+д(1п+к)-1з.1Ы+Щ) - (д/Я)23'Ы+Я))+ +А (а^п,- 3' (Чп-Я) + Чп-(-3'+1(Чп-Я)+

+д(^п-Я)-13'Ы-Я)) - (д/Я)231Ы-Я))--Сп+Пп'+гдЯ-1 (5п+(-3'+1(5п+Я) +

+д(6п+ Я)-13' (6п+Я)) + г-13' (6п+Я))-

— Cn—Vnq—

гдЯ-1 (5п-(-3'+1(5п-Я) + +д(6п- Я)-13' (6п-Я)) + Я-13. (6п- Я))) + +В1 (аа2и(1)(аЯ) + а(-и(+)1(аЯ) + д(аЯ)-1 и(1) (аЯ)) - (д/Я)2и(1)(аЯ))+ +Sq(аа2,31 (аЯ) + а(-31+1 (аЯ) + д(аЯ)-13д(аЯ)) - (д/Я)23д(аЯ)) + -С1 гдЯ-1(в(-и(%(вЯ) + д(вЯ)-1 и'^^Я)) + Я-1и<р (вЯ))--Р1 гдЯ-1(в(-3'+1 (вЯ) + д(вЯ)-13' (вЯ)) + г-13я (вЯ))) = 0

(д = -ж, ж);

X

Е (Сп+ Пп'+ ((&+ /2)3.1 (6п+Я) + 5п+(-3+1(5п+ Я)+

п=-х

+д(6п+Я)-13'(6п+Я)) - (д/Я)2 3.(6,п+Я))+ +Сп-Пп'- ((й%-/2)3.1 (5п-Я)+ 5п-(-3'+1 (5п-Я)+ +д(6п-Я)-13.д(6п-Я)) - (д/Я)23.(6п-Я))--Ап+Хп'+гдЯ-1(^п+ (-3д+1(^п+ Я) + д(^п+ Я)-13. (уп+ Я)) + Я-13. (уп+ Я))--Ап-Хпд-гдЯ-1(^п-(-3д+1 Ы- Я) + д(чп- Я)-13. (7п- Я)) + Я-13. (7п- Я))) + +Сд((в2/2)и'д1">(вЯ)+ в(-и^вЯ) + д(вЯ)-1иЦ1 (вЯ)) - (д/Я)2и'1 (вЯ))+ +Рд((в2/2)3д(вЯ) + в(-3д+1 (вЯ) + д(вЯ)-13д(вЯ)) - (д/Я)23д(вЯ))+ -В. гдЯ-1(а(-и^11(аЯ) + д(аЯ)-1 и'1)(аЯ))+ Я-1и'д1) (аЯ))--Рд гдЯ-1(а(-3.+1(аЯ) + д(аЯ)-13. (аЯ)) + Я-13. (аЯ))) = 0

(д = -ж, ж);

2[An+ innl lSn+ • exp(Zn+h) + An-innl 1Sn- • exp(Zn-h) + +Bn(2/l)(—i)n+1 x

x E Z-1((Zp i nnl-1)/(Z2 — (nnl-1)2)1/2)n(innl-1)(T^nP) • exp(—(nPh)] +

Zp -L- nnl /(Z2 — (nnl 1)2)1/2)n(oii,/4, )(-f-Snp) ' exp(~Znpi p=-x

+(Cn+((innl-1)2 — (Çn+)2)exp(Cn+h) + Cn-((innl-1)2 — (<n-)2)exp(tn-h))+

+Gn(2/l)(—i)n+1x

x Z-1((Zp i nnl-1)/(Z2 — (nnl-1)2)1/2)n • ((innl-1)2 — (Snp)2)exp(—(nph) = 0

p=-x

(n = —ж, ж);

2[An+ innl lSn+ • exp(—Zn+ h) + An-innl 1Sn- • exp(—Zn-h)+ +Bn(2/l)(—i)n+1 x

x Ë Z-1((Zp i nnl-1)/(Z2 — (nnl-1)2)1/2)n(innl-1)(TSnp) • exp(Znph)] +

'Zl — (nnl-1)2)1/2)n (oitnv )(~T Snp ) exp(Znp1

p= — X

+(Cn+((innl-1)2 — (Çn+)2)exp(—Cn+ h) + Cn-((innl-1)2 — (çn-)2)exp(—Cn-h))+

+Gn (2/l)(—i)n+1 x

<x

x E Z-1((Zp i nnl-1)/(Z2p — (nnl-1)2)1/2)n • ((innl-1)2 — (Snp)2) exp(Znph) = 0

p=-x

(n = —ж, ж);

An+^innl-1)2 + (Л + 2y)(çn+)2) • exp(—Zn+h)+ +An-^(innl-1)2 + (Л + 2y)(çn-)2) • exp(—Zn-h)) +

+Bn(2/l)(—i)n+1 £ Z-1((Zp i nnl-1)/(Z2 — (nnl-1)2)1/2)

p=-x

•ЛтпГ1)2 + (Л + 2ß)(snp)2) • exp(—Znph)] + +2ß(Cn+ (innl-1 )(Sn+)exp(—Çn+h) + Cn-(innl-l)(sn-)exp(—^n-h)) +

+2ßGn(2/l)(—i)n+1 x

<x

x E Z-1((Zp i nnl-1)/(Z2 — (nnl-1)2)1/2)n • (innl-1)(Snp)exp(—Zqph) :

p=-x

= Vno(—iup0-y) • (P¡0-) • exp(—ikf-)h) + P— • exp(ikf-)h)), (voo = 1; Vno = 0, n = 0), (n = —ж, ж);

Ап+ (Х(гип1-1 )2 + (X + 2^)(яп+)2) • вхр((,п+Н) + +Ап-(Х(гип1-1 )2 + (X + 2^)(яп-)2) • ехр((п-Н)) +

п-

оо

+Вп(2/1)(-г)п+1 £ д\((р ± ип1-1)/($ - (ип1-1)2)1/2)п•

р=-х

•(Х(гип1-1)2 + (X + 2^)(япР)2) • ехр(-(прН)] + +2^(Сп+(гижГ1)(яп+) ехр(п+Н) + Сп-(гип1-1)(^п-) ехр(п-Н)) +

+2ц.Сп (2/1)(-г)п+1 х

х £ С-1((Ср ± ип1-1)/((2 - (ип1-1 )2)1/2)п • (гип1-1)(-Япр)ехр(-СдрК)

р=-х

= ипо(-гиро+)) • Р(+) ехр(гку Н)), (що = 1; Vпо = 0, и = 0), (и = -ж, ж);

Ап+ (п+ вхр(-(п+Н) + Ап-Сп- ехр(-Сп-Н) + Вп(2/1)(-г)п+1 х

п

оо

X Е <-1((<Р ± ип1-1)/((р - (ип1-1)2)1/2)п • (,пр)вхр(-(прХа) +

р=-х

+Сп+ (гип1-1) ехр(-Сп+Н) + Сп-(гип1-1) ехр(-^п-Н) + +Сп (2/1)(-г)п+1 х

X

< £ (-1(((р ± ип1-1)/((2 - (ип1-1)2)1/2)п(гип1-1) • ехр(-(дрН) =

р=-х

= ипо(гк{-))(-Р(-) • ехр-гк^Н) + р(-) • вхр^к-Н))

(и = -ж, ж);

Ап+ (п+ вхр((п+Н) + Ап-(п- вхр((п-Н) + Вп(2/1)(-г)п+1 х

х £ (-1(((р ± ип1-1)/((2 - (ип1-1)2)1/2)п • (-,пр)ехр(-(прхг) +

*-1"(р ± ип1-1)/((2р п

р=-х

+Сп+(гип1-1) ехр(Сп+Н) + Сп-(гип1-1) ехр(Сп-Н)+

+Сп (2/1)(-г)п+1 х

оо

х £ (-1(((р ± ип1-1)/((2 - (ип1-1)2)1/2)п(гип1-1) • вхр(-(дрН)

р=-х

= »по-гк^• ехр(гк{+ Н)) (и = -ж, ж).

Порядок редукции системы (30) определяется в процессе численных экспериментов в соответствии с устанавливаемыми требованиями к относительной точности удовлетворения граничным условиям.

Выводы. Результатом представленных в работе исследований является разработка численно-аналитической методики анализа модели расчета характеристик функционирования плоского гидроакустического экрана в виде многосвязного деформируемого изотропного слоя с периодическим рядом коллинеарных плоским граням внутренних туннельных радиально-неоднородных изотропных цилиндрических включений. Методика базируется на использовании комплекса приемов получения контурных представлений в ортогональных рядах для характеристик волнового деформирования слоя многосвязного поперечного сечения и волнового деформирования функционально градиентных цилиндров-включений. С ее применением исходная рассматриваемая задача сводится к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов рядов по базисным частным решениям волновых уравнений, которая подлежат редукции в процессе численной реализации методики.

1. Кормилицын Ю.Н. Устройство подводных лодок: в 2 т. Т. 1. / Ю.Н. Кормилицын, О.А. Ха-лизев. - СПб: «Элмор», 2008. - 336 с.

2. Кормилицын Ю.Н. Устройство подводных лодок: в 2 т. Т. 2. / Ю.Н. Кормилицын, О.А. Ха-лизев. - СПб: «Элмор», 2009. - 280 с.

3. Корякин Ю.А. Корабельная гидроакустическая техника: состояние и актуальные проблемы / Ю.А. Корякин, С.А. Смирнов, Г.В. Яковлев. - СПб: Наука, 2004. - 410 с.

4. Урик Р.Дж. Основы гидроакустики / Р.Дж. Урик. - Л.: Судостроение, 1978. - 448 с.

5. Болнокин В.Е. Исследование систем гидроакустического экранирования для подводных транспортных средств / В.Е. Болнокин, В.И. Сторожев, Зыонг Минь Хай. - Воронеж: Научная книга, 2016. - 196 с.

6. Глазанов В.Е. Некоторые задачи распространения звука в упругих средах. Курс лекций / В.Е. Глазанов. - Таганрог: Таганрогский радиотехнический институт, 1970. - 123 с.

7. Глазанов В.Е. Акустические экраны для подводных преобразователей и антенн. Теория и расчет / В.Е. Глазанов. - СПб.: СПб ГЭТУ «ЛЭТИ», 2013. - 175 с.

8. Болнокин В.Е. Методика анализа модели плоского гидроакустического экрана с периодической системой внутренних туннельных цилиндрических полостей / В.Е. Болнокин, М.Н. Пачева, В.И. Сторожев, Зыонг Минь Хай, Чан Ба Ле Хоанг // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2018. - № 1-2 (62-63). - С. 3-15.

9. Моисеенко И.А. Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в функционально-градиентных трансверсально изотропных полых цилиндрах / И.А. Моисеенко. // Механика твердого тела. - 2016. - Вып. 46. - С. 134-146.

10. Гузь А.Н. Дифракция упругих волн в многосвязных телах / А.Н. Гузь, В.Т. Головчан. -Киев: Наукова думка, 1972. - 255 с.

11. Головчан В.Т. Распространение упругих волн сдвига в упругом слое, перфорированном рядом цилиндрических полостей / В.Т. Головчан, А.Н. Гузь // Прикладная механика. -1976. - Т. 12, № 9. - С. 18-33.

12. Космодамианский А.С. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред / А.С. Космодамианский, В.И. Сторожев. - К.: Наукова думка, 1985. - 176 с.

V.E. Bolnokin, M.N. Pacheva, V.I. Storozhev, Duong Minh Hai, Tran Ba Le Hoang Analysis of the model of a plane hydroacoustic screen with a periodic system of internal

Анализ модели плоского гидроакустического экрана с системой внутренних включений tunnel radially inhomogeneous cylindrical inclusions.

A description of a theoretical numerical-analytical technique for studying the model of a hydroacoustic screen in the form of a deformable layer with a periodic series of the same internal tunneling cylindrical cavities parallel to flat faces and containing ideally contacting radially inhomogeneous cylindrical inclusions is given. The methodology based on representations for the potentials of the deformation wave field in a multiply connected layer in the form of series on the basis of particular solutions of the wave equations in the rectangular coordinates associated with the layer and in local cylindrical coordinate systems with poles in the centers of the sections of the perforating cavities. In the research algorithm under development, Floquet theory, theorems of addition of cylindrical functions, Jacobi decomposition, as well as a technique for integrating the equations of dynamic deformation of functionally gradient cylinders in power series along the radial coordinate are used. At the final stage of the implementation of the methodology, based on the application of the orthogonal series method for the algebraization of the functional boundary conditions for the contact of the layer material with the surrounding acoustic environment and internal inclusions, the problem reduces to the analysis of infinite systems of linear algebraic equations with respect to constant coefficients in the representations of the potentials of the acoustic medium and in the series from basis particular solutions of wave equations for a layer.

Keywords: flat hydroacoustic screen, isotropic elastic layer, internal periodic perforation, tunnel cylindrical cavities with inclusions, external acoustic medium, numerical-analytical analysis technique, equations for wave potentials, method superpositions of series in basic solutions, Floquet theory, addition theorems for cylindrical functions, the method of orthogonal series, infinite systems of algebraic equations.

Ин-т машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, Москва Получено 03.09.18

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Центральный научно-исследовательский Институт Военно-морских сил Вьетнама, Хайфон

ФГБОУ ВО "Национальный исследовательский университет

"МЭИ" МОН РФ, Москва

stvistvi@mail.ru