CC BY
24
_ © С.В. Шерстов, 2015
УДК 622:517.2
С.В. Шерстов
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН ВО ВНЕШНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ ЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ
Рассмотрены гармонические колебания и распространение гармонических волн во внешности круглого цилиндра (бесконечной цилиндрической полости) заполненной упругим трансверсально-изотропным материалом, а также кристаллическим материалом, имеющим гексагональную симметрию 6mm. Ось симметрии высшего порядка направлена вдоль оси цилиндра. Динамический процесс в твердых анизотропных телах в пределах малых упругих деформаций описывается системой дифференциальных уравнений в перемещениях. Ввиду симметрии рассматриваемых сред, и существования упругого потенциала, имеем пять независимых упругих постоянных, которые записываются в матричном (двухиндексном) виде в цилиндрической и декартовой системах координат: c11, c33, c12, c13, c14, соответственно. Преобразованием системы дифференциальных уравнений получены собственные функции дифференциальных операторов. Разделяя переменные в уравнениях, и, требуя от решения периодичности по углу ф, получаем решение в виде рядов Фурье по переменной ф (в классе функций, допускающих разложение в ряд Фурье). Перемещения среды в итоге выражаются через функции Ханкеля.
Ключевые слова: гармонические волны, внешняя цилиндрическая полость, упругая кристаллическая среда, дифференциальный оператор, ряд Фурье.
Гравнения движения линейно-упругого тела для малых упругих деформаций имеют вид [1], [4]
^ -V, ✓
âtz '
уравнения состояния (для адиабатического процесса) [1], [2], [3]
о'] - cijkeSke
^ j, ^ e = 1, 2, 3, и
где и1 - компоненты вектора перемещения и , стч - компоненты тензора напряжений, . - компоненты тензора упругих постоянных, еке - компоненты тензора малых деформаций, V. - оператор ковариантного дифференцирования по j-й координате.
Для замыкания системы уравнений (1), (2) привлечем соотношения Коши [1]
2бке =Укие + Уеик (3)
^ e = 1, 2, 3.
Динамический процесс в твердых анизотропных телах в пределах малых упругих деформаций описывается системой дифференциальных уравнений в перемещениях [1], [4]
1
Р
a_V-v
dt2 1
— c 2
ijke
(VkUs9es +VeUsgks )
где де5 - метрическим тензор, представленный ковариантными компонентами, I, }, к,*е, в = 1, 2, 3.
Ввиду симметрии рассматриваемых сред, и существования упругого потенциала, имеем пять независимых упругих постоянных с1111, с3333, с1122, с1133, с2323 в уравнении (4), которые будем записывать в матричном (двухиндексном) виде
ветственно [3].
Здесь ось с индексом 3 выбрана осью симметрии высшего порядка и будет совпадать с осью г цилиндрической - (г, ф, г) системы координат. В матричном виде уравнения состояния запишутся в виде (5) [3]
СТ1 С11 С12 С13 0 0 0 E,
СТ2 С12 С11 С13 0 0 0 E2
СТ3 С13 С13 С33 0 0 0 E3
СТ4 0 0 0 С44 0 0 E4
СТ5 0 0 0 0 С44 0 E5
СТ6 _ 0 0 0 0 0 с66 _ E6
где E1 = еа1, E2 = s22 E3 = s33, E4 = s23 E5 = s13, E6 = s12 ; а s.. - компоненты тензора деформаций, ст. - аналогичные компоненты тензора напряжений ст...
С учетом (5) уравнения (4) в цилиндрической системе координат имеет вид [6]
^д2
11
_+ 1
дг2 г дг г2
+ С
1 д2
66 „2-^2 + С44 — 2
дФ2
dz2
( ) 1 д2 (
(С12 + С66
г дгдф
ч 1А
С11 + ^ Г2 дф
иФ +
u +
( С13 + С44 )
дгдz
uz =Р-
д_ч
et2
( С12 + С66 )-
66
1 д2 , v 1 д
+ ( С11 + С66 ) -2-
г дгдф г дф
1 д2
u +
д2
дг2 г дг г2
+c
11 „2 -, 2 + С44 — 2
О (
д2
— +1 ^ ) дгдz г дz
44
1 д 1 д: ■ +--+
иг +
)2 Л
Г дф (
дz2
иФ +
Л 1JL '
1 г дгдz
uz =Р"
Л1 д
С13 + С44 )
дг2 г дг г2 дф2
+c
/
33 дz2
г дгдz uz =Р
UФ +
д2u,
д22
д\ дt2
(6)
где иг, иф, иг - физические компоненты вектора перемещения. Придадим (6) вид (7)
Э [С11Е' +(С13 + С44 ) ]- 1 ^ [С«6' ]:
дг
-Г С* е-
дг
+ С11E ' +( г дф l
С13 + С44 ) Ezz ] =
д2 д2
рд22 С44 дz2
д2 д2
р—2 д22 С44 дz2
(7) 315
( ж
1С13 + С44) +
( д2
_ 1 л
дг2 + „ Я„ + „2
и =
д2 а2
Р ^ ,2 С33
дг2
г дг г Эф2
Преобразование системы дифференциальных уравнений (7) дает [5], [7]
де =
и систему
С44 +
С66 2 С66 д 2
е*
С11д + С44 д?
д2
дг (
1С13 + С44 /
Е +
Е* +[(С13 + С44 )Д] Ег =0
Э2 Э2
С44 д + С33 Эг 2 2
и =0
(9)
Л д2 1 д 1 д2 где Д = +---— + — ^^— плоский оператор Лапласа,
дг2
г дг г дф
ди
е = 4 +иф-Е* +^ -1 диф Е =.
дг г г Эф , дг г г дф , дг .
Рассмотрим гармонические волны, распространяющиеся вдоль оси г в случае установившегося динамического режима
и = уехр ¡(уг -юt) (10)
где V не зависит от г и t, а параметр а - действительный.
Подставим представление (10) в (6), (7), (8), (9), и обозначим в соответствии с (10)
Е = Е ехр 1 (уг -юt)
е = е ехр 1 (уг -ю t)
Тогда, для определения Е, 9 и V имеем уравнение
(11)
де +
(рю2 - С44У2 )
е=0
и систему
""11 "12 [Е"
21 "22 _ _ г _
=0
(12)
(13)
где J.k операторы дифференциальные 2-го порядка по переменным ф и г, зависящие от параметров а и у и упругих постоянных. Ввиду коммутативности этих операторов, умножая слева матричное операторное уравнение
=0
(14)
на матрицу-оператор алгебраических дополнений к транспонированной матрице
"22
-^21 "11
приходим к отдельным уравнениям на и [6], [7], [8]
""11 "12 [Е"
21 "22 _ _ г _
- "
12
с
66
3Е = 0 3 V = 0
где J - оператор-определитель матрицы .
Разделяя переменные в уравнениях (12), (15), и, требуя от решения периодичности по углу ф, получаем общее решение в виде рядов Фурье по переменной ф (в классе функций, допускающих разложение в ряд Фурье).
да да
0 = X 0(п) ехр пр = X [ОТ (Рзг) + (Рзг)] ехр пр
п=0 п=0
да да 2
Е = X Е(п) ехр пр = X X к^1' (РГ) + ^ (Рз г)] ехр пр
п=0 п=0 ]=1
да да 2
у* = Xу^(п) ехр = X X [СП2П1) (рг) + в2) (Рзг)] ехр
п=0 ]=1
(16)
где ^,П,е,П,Ц,сП,<1'п - произвольные постоянные, р2 =
2 _ РЮ - С44 У
-66
2п , 2п - цилиндрические функции, составляющие пару линейно независимых
2
решений уравнения Бесселя, Р, - корни характеристического уравнения [6]
3 (-Р2)
-С11Р2 + рю2 - С44у2
'у(
С13 + С44 )
-'у(С1з + С44 ) Р2
-С44р2 + рю2 - Сззу2
= 0
Т.к. (15) есть следствие системы (13), то общее решение (15) содержит в себе решения (13). Нам осталось только сузить более широкий класс решений (16) на более узкое решение системы (13), исключением лишних констант. Подставим (16) в (13) и воспользуемся ортогональностью функций ехршф и линейной независимостью функций 7(1> (р,г) и (Р,г) ; получим для определения постоянных е'п, с'п вырожденную систему алгебраических относительно этих постоянных уравнений
[-С11 р2 +рю2 - С44у2 ] е'„ +Г-г'у(с1Ч + слл ) р2 ] с{ = 0
МС
_ П + [-'Т(С1з + С44 ) Р) _ )] еП + [ С44Р2 + РЮ - СззТ2 ] СП = 0
О'
, независящим от
(17)
и точно такую же систему для определения пары Ц, 6'п .
Решение вырожденной системы (17) первого ранга, имеющей, следователь' Гм''
но пространство решений размерности 1 с базисом В' = п, представим в виде
е'п =
СП = №' .
Подобным же образом ^ = ц'пМ', ё'п = . где пп, \'п - произвольные постоянные. Нам осталось только построить базис Б'. В качестве базиса можно взять любой из столбцов матрицы
11
21
12
22
(18) 317
в которой элемент А^ - есть алгебраическое дополнение к к/-ому элементу матрицы алгебраической системы уравнений (18).
Общее решение системы (13), (т.е. решение, которое представляет любое решение системы (13) в классе разложимых в ряд Фурье по ф), конкретизацией произвольных постоянных, представим формулами (16), в которой следует положить
Е(п) =
£ М> [Ц? (р г+ 2п2 (р г
¡=1 2
^(п) = £ [21 (р/^п + 22) (рг)пп J. (19)
Использовав следствия системы (7) для определения иг, иф по известным Е', 9*, Ехх, получим для п-й компоненты Фурье вектора V
" ^ (РГ )в, , <2)
[с44у2 -р»2]уГп) = £[оиМ" + 1у(, ¡=1
-[(Рзг+ 22) (Рзг)п
О $
¿г
+
¿г
(р/И
тс.
[ С44 у2 -р»2 Jv<n) = £ * [ С1М + 1'у( С13 + С44 ) $ ][ (р ,Г+ ^ (р,] +
=1 г
+С,
66
¿21 (рз г) з + <2) (рз г) пз
^п 1 !п
¿г
¿г
(20)
V 1п) = £ [ (р ¡г п + 22) (р г )пп
=1
Замечание: Если какой-то корень р2 = 0 , то соответствующую пару функций 2(п,2(2п представляют г" и г-" при п ф 0, и 1 и 1п г при п = 0. При этом все предыдущие рассуждения остаются в силе.
Полученное решение представляет распространяющуюся вдоль оси г гармоническую волну в бесконечной трансверсально-изотропной среде и удовлетворяет системе уравнений (6) при любых значениях параметров а и у.
Рассмотрим во внешности цилиндрической полости (г > а) гармонические волны, распространяющиеся вдоль оси цилиндра. Решение системы (6), описывающее ограниченное поле перемещений при больших г, имеет вид
г II £ F¡
п=0 ¡=1 _ V
ехр (уг - » + п
И (рг) ¿И(2> ( , ¡
¿г
ЮС,
■( И1 (рз г + И2 (рз г )п3п)
С44у2 - р»2
^ [ H1 (PS H n + (p/)пП ]
+ c.
n=0 I j=1
dH™(P3r) + dHf (P3r) ^з
^n 1 m
dr
dr
exp(yz -rat + np) i C44Y2 - pra2
» 2
Uz = Ц Qj [H1 (P/) ¡Ц + Hf (P/) пП ] exp (yz -rat + np)i
n=0 j=1
где H1, H(2 - функции Ханкеля Fj = cuM' + iy(C13 + C44 ) Qj.
(21')
Причем, из двух функций Ханкеля для каждого p удерживается лишь та, которая ограничена при г ^ +<» .
В случае 1т pj = 0 сохраним ту из функций Ханкеля, которая описывается при больших г уходящую цилиндрическую волну, выделяемую условиями излучения (22)
^ - ^ (PrrЬ 0
(22)
при г ^ +<» .
Замечание: Т.к. заранее неизвестно какую из функций Ханкеля оставить, в дальнейшем изложение не будем ставить верхний индекс у этих функций.
Другое решение, имеющие представление (21), мы получим, если выделим на бесконечности приходящую цилиндрическую волну требования
^+^ (Р,о
при r ^ +<»
для функций с действительными аргументами pr.
_ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. 2-ое изд., испр. и доп. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. - 287 с.
2. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике. - М.: Изд-во Иностр. лит-ры, 1952. - 447 с.
3. НайДж. Физические свойства кристаллов. - М.: Изд-во Иностр. лит., 1960. - 385 с.
4. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.
5. Шерстов С.В. Представление решений одной системы дифференциальных уравнений через решения операторного уравнения 2-го порядка относительно плоского оператора Лапласа / Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях: Межвузовский сборник. - Бийск: Изд-во Алт.гос.техн.ун-та, 2005. - С. 46-48.
6. Шерстов С.В. Нормальные волны в цилиндрических пьезоэлектрических волноводах и связанные с ними граничные задачи. - М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 1985. (Деп., ВИНИТИ 1985).
7. Шерстов С. В. Система дифференциальных уравнений динамики физических характеристик деформаций в кристаллических цилиндрах гексагональной симметрии // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2011. - № 1. - С. 328-331.
8. Шерстов С. В. Структура решений системы дифференциальных уравнений для гармонических волн в кристаллических цилиндрах гексагональной симметрии // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2011. - № 2. - С. 398-400. ЕШ
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ_
Шерстов Сергей Вадимович - кандидат физико-математических наук, доцент, МГИ НИТУ «МИСиС», e-mail: [email protected].
UDC 622:517.2
A DECISION OF THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE MOTION
IN DISPLACEMENT FOR HARMONIC WAVES IN OUTER
OF THE CYLINDRICAL CAVITY IN AN ANISOTROPIC ELASTIC MEDIUM
Sherstov S.V., Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor, Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia, e-mail: [email protected].
In given article are considered harmonic fluctuations and spreading the harmonic waves in appearance of the round cylinder (the endless cylindrical cavity) filled springy transversal-H30TponHbm by material, as well as crystalline material, having reKcaroHanbHyro symmetry 6 mm. The Axis to symmetries of the high order is directed along axis of the cylinder. The dynamic process in hard anisotropic body within small springy deformation is described by system of the differential equations in displacement. In view of symmetry of the considered ambiences, and existence of the springy potential, have five independent springy constant, which are written in matrix type in cylindrical and neKapTOBOM coordinate system: accordingly.
The transformation of the system of the differential equations are received own functions differential operator. Preparing variable in equations, and, requiring from decision of periodicity on corner , get the decision in the manner of Furie series on variable (in class function, allowing decomposition in Furie series). Moving the ambience are in total expressed through functions of Hankel.
Key words: harmonic waves, external cylindrical cavity, elastic crystalline medium, differential operator, a Furie series.
REFERENCES
1. Il'yushin A.A. Mekhanika sploshnoi sredy. 2-oe izd. (Mechanics of continues medium, 2nd edition), Moscow, Izd-vo Mosk. un-ta, 1978, 287 p.
2. Mezon U. P'ezoelektricheskie kristally i ikh primenenie v ul'traakustike (Piezoelectric crystals and their using in ultraacoustics), Moscow, Izd-vo Inostr. lit., 1952, 447 p.
3. Nai Dzh. Fizicheskie svoistva kristallov), Moscow, Izd-vo Inostr. lit., 1960, 385 p.
4. Novatskii V. Teoriya uprugosti (Theory of elastisity), Moscow, Mir, 1975, 872 p.
5. Sherstov S.V. Izmereniya, avtomatizatsiya i modelirovanie v promyshlennosti i nauchnykh issledo-vaniyakh: Mezhvuzovskii sbornik (Measurements, automation and modeling in industry and scientific study: Mezhvuzovskiy collection), Biisk, Izd-vo Alt.gos.tekhn.un-ta, 2005, pp. 46-48.
6. Sherstov S.V. Normalnye volny v tsilindricheskikh pezoelektricheskikh volnovodakh i svyazannye s nimi granichnye zadachi (The normal waves in cylindrical piezoelectric waveguides and connected with them border problems), Moscow, MGU im. M.V.Lomonosova, 1985.
7. Sherstov S.V. Gornyi informatsionno-analiticheskii byulleten'. 2011, no 1, pp. 328-331.
8. Sherstov S.V. Gornyi informatsionno-analiticheskii byulleten'. 2011, no 2, pp. 398-400.
