Дифракция плоской звуковой волны на термоупругом цилиндре с непрерывно-неоднородным покрытием Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3; 534.26

ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ НА ТЕРМОУПРУГОМ ЦИЛИНДРЕ С НЕПРЕРЫВНО-НЕОДНОРОДНЫМ ПОКРЫТИЕМ

Н.В. Ларин

Решены прямая и обратная задачи дифракции плоской гармонической звуковой волны на термоупругом цилиндре с непрерывно-слоистым покрытием, находящимся в невязкой теплопроводной жидкости. При решении прямой задачи определены волновые поля в цилиндре и вне его. Обратная задача посвящена определению законов неоднородности материала покрытия, обеспечивающих наименьшее звукоотражение в определенном угловом секторе и в заданном диапазоне частот.

Ключевые слова: прямая и обратная задачи дифракции, звуковая волна, термоупругий цилиндр, неоднородный термоупругий слой, невязкая теплопроводная жидкость.

Прямые задачи дифракции плоской звуковой волны на изотропных упругих круговых сплошных цилиндрах и цилиндрических оболочках рассматривались во многих работах. При этом в большинстве работ материал тел полагался однородным. Например, исследовался случай нормального падения волны на цилиндр [1] и цилиндрическую оболочку [2]. Случай наклонного падения волны на эти тела изучен в [3, 4]. В [5] дифракционная задача решена с учетом термоупругости материала цилиндра. В ряде работ рассматривались тела из неоднородного материала. В [6] рассмотрено нормальное падение волны на дискретно-неоднородную цилиндрическую оболочку с жидким или упругим заполнителем полости. Задача с наклонным падением волны на такую оболочку с жидкостью в полости решена в [7], а с упругой средой в полости - в [8]. Исследовано рассеяние звука неоднородными цилиндрической оболочкой [9] и цилиндром [9, 10]. В некоторых работах помимо неоднородности учитывались другие свойства материала рассеивателей, а также реальные свойства содержащих сред. В частности, получены решения дифракционных задач для непрерывно-неоднородной толстостенной цилиндрической оболочки с учетом анизотропии ее материала [11, 12], его термоупругости и теплопроводности жидкостей контактирующих с оболочкой [13], вязкости жидкостей вне и внутри оболочки [14]. Отдельно можно выделить работы [15-18], в которых рассматривались непрерывно-неоднородные покрытия цилиндрических тел.

Значительно меньше работ посвящено обратным задачам дифракции звука по определению свойств цилиндрических рассеивателей. Выбраны параметры среды резонаторов перфорированного покрытия цилиндра, обеспечивающие заданный уровень гашения поля дифракции на ци-

линдре [19]. Исследована эффективность тонкого покрытия с протяженной реакцией, которое применено к однородному цилиндру для снижения рассеяния падающей на него звуковой волны [20, 21]. Выявлены условия, при которых совместный выбор импедансов упругой цилиндрической оболочки и ее покрытия позволяют минимизировать рассеянное акустическое поле [22]. Определены линейные законы неоднородности материала упругой цилиндрической оболочки, обеспечивающие наименьшее звукоотра-жение в заданном направлении [23]. Решена задача идентификации плотности материала упругого цилиндра по рассеянному акустическому полю [24]. Рассмотрена задача по определению законов неоднородности покрытия упругой цилиндрической оболочки, обеспечивающих минимальное звукоотражение [18].

В настоящей работе на основе решения прямой задачи дифракции звука на термоупругом цилиндре с непрерывно-неоднородным по толщине покрытием решена обратная задача по определению параболических законов, описывающих физико-механические характеристики материала покрытия для обеспечения минимального рассеяния звука.

Рассмотрим однородный изотропный термоупругий бесконечный цилиндр радиуса го, плотность материала которого Ро, упругие постоянные 1 о и то, температурный коэффициент линейного расширения а0,

коэффициент теплопроводности А°т, объемная теплоемкость с° (рис. 1).

Прямоугольная система координат х, у, £ выбрана таким образом, что ось £ совпадает с осью вращения цилиндра. Свяжем с прямоугольной системой координат цилиндрическую систему координат г , ф, £.

Цилиндр имеет покрытие в виде неоднородного изотропного термоупругого цилиндрического слоя с внешним радиусом Г1. Модули упругости 1 = 1(г) и т = т(г), температурный коэффициент линейного расширения ат =ат (г) и коэффициент теплопроводности 1т = 1т (г) материала покрытия являются дифференцируемыми функциями координаты г ; плотность материала покрытия р = р(г) и его удельная теплоемкость се = се(г) - непрерывные функции координаты г .

Источники тепла в цилиндрическом теле отсутствуют.

Окружающая тело жидкость - невязкая теплопроводная, ее равновесная плотность ру, скоростью звука с, отношение удельной теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном

объеме 7, тепло- и температуропроводность 1т и %т соответственно, кот

эффициент температурного расширения а .

Считаем, что в невозмущенном состоянии тело и жидкость имеют одну и ту же постоянную температуру то.

Рис. 1. Геометрия задачи

Пусть из жидкости на цилиндр с покрытием произвольным образом падает плоская звуковая волна с волновым вектором , потенциал скоростей которой

Y (г, j, z )= A expjk [r sin 9 0cos (j-j 0) + z cos 9 0 ]- iwt}; k1 = W,

с

где A — амплитуда волны ; k1 — волновое число звуковых волн в жидкости; 9 0 и j 0 - полярный и азимутальный углы падения волны; ю — круговая частота. Временной множитель exp(-iwt) в дальнейшем опускаем.

Определим отраженные от термоупругого тела и возбужденные в нем волновые поля.

Потенциал скоростей падающей волны представим в виде [25]

Y(r, j,z) = elklzZ XanJn (к\Л

где

ikizz XanJn (klrrein(ф-Фо)

n=-¥

k1z = k1 cos 9 0, k1r = k1 sin 9 0, a n = Ai

n

к1г и к1г - проекции волнового вектора к^ на координатные оси 7 и г соответственно; Зп (х) - цилиндрическая функция Бесселя порядка п.

Потенциалы скоростей отраженных от термоупругого тела звуковой Y1 и тепловой Y2 волн являются решениями следующих уравнений Гельмгольца [26]:

АЧт + 4 = о, т = 1,2,

где

к 2 =лт (1 +1), Лт =

1

юу

2ст

к 2 - волновое число тепловых волн в жидкости.

С учетом условий излучения на бесконечности функции Ч и Ч будем искать в виде

Чт (г,ф,2) = е1кт*г ТУтпНп (ктгг¥п(ф~фо), т = 1,2, (1)

П =-¥

где к22 и к2г - проекции волнового вектора тепловых волн в жидкости к2 на координатные оси; ^, - неизвестные коэффициенты;

Нп (х) - цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка п. При

этом

к 2г + к 22 = к%

и, кроме того, согласно закону Снеллиуса [27]

к2 2 = к12 .

Волновые поля, возбужденные в однородном термоупругом цилиндре, будем описывать уравнениями линейной связанной динамической задачи термоупругости однородного изотропного тела [28].

Представим вектор смещения частиц однородного цилиндра ио в

виде

ио = grad(Ф1 + Ф2) + го1Ф3 . (2)

Скалярные потенциалы смещения продольных термоупругих волн Ф1, Ф 2 и векторный потенциал смещения поперечных упругих волн Ф3 -решения следующих уравнений Гельмгольца [28]:

ДФт +ктФт = о, т = 1,2; ЛФ 3 +К2 Ф 3 = о, (3)

где К1 и к 2 - волновые числа продольных термоупругих волн; к 3 - волновое число поперечных упругих волн. При этом [28]

4=£ {+80+£)-(- ^1 - 2йа-е)+52 а+£)2

1 о ю

т = 1,2; к 3 = — с т 2

Здесь 5 = %, к1 = —, кт =цт (1 +1), ^т =.

к2 с1

ю

2Ст '

с1 _

10 + 2т 0

ст_

Ро А/

т о С _1°т__1(31 о + 2т о )аТ

Ст , е_

,0

2

То

р0 С° (1 о + 2т о )со

где к1 и кт — волновые числа продольных упругих и тепловых волн соответственно; с\ и ст — скорости продольных и поперечных упругих волн соответственно; %т — коэффициент температуропроводности материала

цилиндра; е — параметр связанности.

Представим вектор Ф3 в виде [29]

Фз _ го^Фзхег ) + КзФЗ2ег, (4)

где Ф31 и Ф32 - скалярные функции координат г, ф, г; ег — орт оси г. Тогда векторное уравнение (3) заменится двумя скалярными уравнениями Гельмгольца относительно функций Ф31 и Ф 32

АФ3т + К2Ф3т _ 0, т _ 1,2. (5)

С учетом условий ограниченности решения скалярных уравнений (3), (5) будем искать в виде

Фт(г,ф,;)_е'Кт-'- IWm„J„(к„,ггУ"(ф-фо),

П _-¥

Ф3т (г,ф,2)_ ^ (К3гг)егп(ф-ф0), т _ 1,2

(6)

Ш(ф-ф0 )

,пи п'

п _-¥

где ки кр (р _ 1,2,3) - проекции волнового вектора кр на координатные оси; W%n (т_ 1,2,3,4) - неизвестные коэффициенты. При этом

222 КР + Кр _ К] , К1г _ К2г _ К3г _ к1г ,

где последнее соотношение следует из закона Снеллиуса.

Волновые поля, возбужденные в неоднородном термоупругом покрытии, будем описывать системой уравнений линейной связанной динамической задачи термоупругости неоднородного изотропного тела [30], которая включает уравнения движения сплошной среды

ЭОгг + 1 ^ф + + агг -афф_-рЮ2^г,

Эг г Эф Эг г

Эа гф 1 Э^фф Эф 2 2 ™

Эг г Эф Эг г ^ ^

Эа^ + + ^ + 1а --РЮ2М

т т т и гг — рш м г

Эг г Эф Эг г 158

сю

и уравнение притока тепла

1

э2т '

т

Эг

2

1т +

1

т

эт 1т э 2т э 2т

— + -Г —- ++ ю^рам = -1юсгт (8) 2 2 2

эг г2 эф

Э2

записанные в цилиндрических координатах, где компоненты тензора напряжений огг, огф, ог2,... связаны с компонентами иг, Ыф, и2 вектора

смещения и и изменением температуры т в покрытии соотношениями Дюгамеля-Неймана [3о]

Эи

о гг = 2)1—^ + - рт, о гф = т Эг ^

Эиг Эф

- и

ф

Эи

+ ■

ф

Эг

О г2 =)

Эи2 Эиг 2 + г

V

Эг Э2

офф =

2)

Эи

ф

Эф

+ и

(9)

Эиф + 1 Эи2

Э2 г Эф

Эи,

о 22 = 2)^ + -рт, Э2

Эиг 1 dlvu = —- + —

Эг г

Эи

ф

Эф

+ и

+ •

Эи2 Э2

, р = (31 + 2))ат

В уравнении (8) и далее штрихом обозначена производная по г . Используя соотношения (9) запишем систему уравнений (7), (8) через компоненты вектора смещения и и изменение температуры т:

(1 + 2))

Э иг Эг 2

+

2

1+2)+1±2) 1 эЫг+1+)Э иф+(1+т)Э^-

Эг г ЭгЭф

ЭгЭ2

22

Эт ) Э иг Э иг (1 1 + 2) 2

Эг г2 Эф2

+)

+

Э2 '

+ рю

иг +

+

1 + 3)

г2 у

Л ^ф+ьф.-рт = о

Эф

Э2

)

Э иф 1 + ) Э иг

Эг 2 г ЭгЭф

+

) +

г

Эи

ф

Эг

+

1 + 3) ^ Эиг 1 + 2)Э

V

и

Э~ и

+)

ф

+

Э2<

С г

) ) 2 ^ ^ + рю2

г

г

2

2

г г2 у 2

Эф

+

ф

г2 Эф2

+

1 + ) Э 2и2 рЭт Л

иф +---2 - -— = о.

у г Э2Эф г Эф

(1о)

Э 2 и

Э 2иг

+ (1+))^- +

Эг2

ЭгЭ2 2

)

2

Эи2 ( , ^ 1 + )^ Эиг 1 + )Э иф

Эг 2

+

) +

Э2 г ЭфЭ2

+

) Э и2 /. _ чЭ и2 2 оЭт _ ^^Г + (1 + 2))^^ + рю2и2-0—= о

г2 Эф2

Э2

159

Э2

г

г

г

2

г

г

г

г

г

Э 2Т

Эиг (п, 1т ^ ЭТ

1Т — + /юТоР^ + 1Т +

Эг

Эг

. . „ ЬЭиф

+ /юТ0- иг + 1ЮТ0-—— + Эг г г Эф

. _пЭиг 1Т Э2Т ч Э2Т

+

+ 1

Т

2 + /ЮСеТ _ 0

Эг г2 Эф2 ~ Эг2 Так как неоднородность материала покрытия проявляется лишь в радиальном направлении, то зависимость функций иг (г, ф, г), иф(г, ф, г),

иг (г, ф, г), Т(г, ф, г) от координаты г, согласно закону Снеллиуса, имеет вид ехр^'к^). Кроме того, эти функции являются периодическими по углу ф с периодом 2р . Поэтому их будем искать в виде следующих рядов Фурье:

(иг (г, ф, г), иф (г, ф, г), и2 (г, ф, г ),Т (г, ф, г ))_

_ е

¡кХ2г

I(и1п (г),и2п (г),и3п (г),и4п (г))е

(ф-фо)

(11)

п _

где и%п (г) (т_ 1,2,3,4) - неизвестные распределения компонент вектора смещения и изменения температуры по толщине покрытия.

Подставляя выражения (11) в систему уравнений (10) и используя условие ортогональности функций ехр[п(ф-фо)], получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций и%п (г) (т_ 1,2,3,4) для каждого значения п _ 0,±1,±2,...

Апип + Впип + Спип _ ^ ип _(и1п,и2п,и3п,и4п )

Т

(12)

где

Здесь

Ап _ а1ав{йГ11, ^ а44 }, Вп _ )4х4, Сп _ (съ)

Мх 4'

ац _ 1 + 2т, ^22 _ ®33 _ т, а44 _ ^Т,

Ьц _ 1'+2т'+1——т, ¿>12 _ ¿21 _ (п ^+т, ¿13 _ ¿31 _ /к1г (1+т), ¿14 _-Р г г

¿22 _ ¿33 _ т' + т, ¿23 _ ¿24 _ ¿32 _ ¿34 _ ¿42 _ ¿43 _ ^ г

¿41 _ /юТоР, ¿44 _ 1Т +

%Т

2 т т 2 1' 1 + 2т 2 С11 _-п ^ - к12г т +---Т-^ + РЮ2,

с12 _ 1П

(1' 1 + 3тЛ

г г2 у

г г 2

, с13 _ /к1г1, с14 _-р' = 160

г

г

г

с 21 =т

гт' +1+3ц

V

г

г2 у

с22:

с23 = с32 — -пк1

21 + 2т ?2 ц ' ц 2

п2—^ - к{2 д-—+р®2:

г

1+т

г

2

г

, с24

-т Р,

г

с31 - ¿к1г

Р

1 + ц^ 2 Ц 2 ! \ 2

ц +-- , С33 - -п2 - к^ (1 + 2ц) + рю2, с34 - -1кър:

V

г

у

г

2

р Р 21т 2

С41 - ¿юТо , С42 - -пю2о , С43 - -к^ЮТ0Р, С44 - -п —Т- - к]_2+ /юс£. г г г 2

Элементы атт, , сТ5 должны быть снабжены индексом п, который здесь и в дальнейшем у элементов других матриц для простоты записи опускаем.

Неизвестные коэффициенты в разложениях (1), (6) должны быть определены из граничных условий.

Граничные условия на внешней поверхности покрытия включают равенство нормальных скоростей частиц термоупругой среды и жидкости, отсутствие тангенциальных напряжений, равенство нормального напряжения и акустического давления, непрерывность акустической температуры и теплового потока:

г - г1:

тиг

Ъг, Огф

дТ

О

г2

о, о

гг

-Р,

Т -0, 1Т — -1

т

д0

дг дг

На внутренней поверхности покрытия должны быть непрерывны компоненты смещения частиц взаимодействующих однородной и неоднородной термоупругих сред, нормальные и тангенциальные напряжения, температура и тепловой поток:

.о . о „о _ о

г — го : иг — иг , иф — ^ф, и^ — и^ , Огг — Огг '

Т - то, 1Т дТ-1от дт

О -Оо О -Оо

Огф — Огф , Ог2 — Огг ■

о

(13)

дг 1 дг а )

Нормальная компонента скорости частиц жидкости Ъг, акустическое давление Р и акустическая температура 0 определяются выражениями [26]

д

Ъг-дг № + У + ^2), Р - ¿юр у (У + 4*1 + ^2),

0-

а

Т

(у + у +У2) + - А(У + ^1 +У2) 2 ю

юу

с

компоненты тензора напряжений огг, о гф, о г1 связаны с компонентами

вектора смещения частиц однородного термоупругого цилиндра и

161

о о

и

ф-

и0 и возмущенной температурой цилиндра Т0 соотношениями Дюгамеля-Неймана (9), в которых функции 1, т, ат следует заменить постоянными

10, то, , а выражение для величины Т0 имеет вид [28]

Т0

1 о + 2т о

$ (Ф1 +Ф 2 )+Д(Ф1 +Ф 2)]. (15)

(310 + 2то )ат

При этом на основе представлений (2), (4) составляющие вектора смеще-

ния и0 принимают вид

иг0 _.

ЭФ1 ЭФ

+

2

Э 2Ф

31

к3 ЭФ

32

Эг Эг

ЭгЭг 2

г Эф

о _ 1 ЭФ1 + 1 ЭФ2 + 1 Э2Ф31 к ЭФ32

иф _ _^ГТ + _ -Л- + _ -Л.--Л--К3

г Эф г Эф г ЭфЭг

Эг

(16)

и

0

ЭФ1 ЭФ 2

+

Эг Эг

Э 2Ф31

Эг

2

+ К3Ф31.

Используя формулы (15), (16) и соотношения Дюгамеля-Неймана,

.0

(гф,

выразим компоненты тензора напряжений а°г, а°ф, а0г через функции

Ф1, Ф2, Ф31, Ф32:

а0 _ V

а гг I т _1

2

2т о

Э 2Ф

т

Эг

+ ЛтФ т

3

ЭФ31 , 2тоК3 Э

+ 2т о

Эг 2Эг

Эф

Лт _ 2т о к т -(1 о + 2т о )к2,

а ф_ 2Ьо

2 Э (ЭФт 1 _ ^ 2т0 Э2 (ЭФ

'гф

г

т _1 ф

-т о К3

Эг

_ф

т

+

г ЭфЭ.

г

31

Эг

ЭФ 32 1 Ф ---ф 32

Эг г

1Ф 31

г у

22 Э2Ф32 1 ЭФ32 1 Э2Ф32

V

Эг

2

агг _ 2т 0 I

2 Э 2 Ф т

Э

т

^ +т о

_1 ЭгЭг Эг

г Эг

Э 2Ф31 2 2-Д + К 2 Ф 31

г2 Эф2

Эг

2

+

тоК3 Э Ф32 г ЭфЭг

Рассмотрим граничные условия (13). Из условий равенства нормальных скоростей частиц взаимодействующих сред и непрерывности акустической температуры находим выражения для коэффициентов отражения ^1п, Р2п

_ г1: V _{рп1Еп)ип -ДЛп«п, V _(ПпУ2п)Т,

где ап _(к1^п(к1гг)С^п(к1гг))Т, Вп _(^дт)2х2, Еп

162

(ет^ )

2х4'

+

г

г

г

Здесь

ктгНп(ктгг), ^2т СтНп(ктгг); Ст

т т а

юу к

2

т

Vе У

т -1,2,

611 — -/Ш, 612 - ^13 - еи - 621 - ^22 - 623 - 0, 624 -1. Из оставшихся четырех граничных условий (13) находим

г - п : Апип + р ип - О Уп + Ь п ап, (18)

где

Ьп - (- ¿юРу-1п (к1гг),0,0,1ТСЛг^ (к1гг)Т , Рп - (fxs )4х4 , Оп - (&хт )4х2 .

Здесь

у11 -1, у12 - ¿п 1, у13 - ¿к1г1, у14 —-Р, у21 - ¿пЦ, у22 — -Ц, г г г г

у23 - у24 - у32 - у33 - у34 - у41 - у42 - у43 - у44 - 0, у31 - 1к1гЦ,

&1т --юР уНп (ктгг), &2т - &3т - 0, &4т -1Т С тктгИ'п(ктгг); т -1,2. После подстановки выражения (17) в формулу (18) получаем краевые условия для системы дифференциальных уравнений (12) на внешней поверхности покрытия

г — г1 : Апип + ^П^п — спап,

(19)

где

^п — Рп - Оп {рп Еп ), сп — Ьп - (опРп )ап ■ Теперь рассмотрим граничные условия (14). Из условий непрерывности компонентов вектора смещения и температуры находим выражения для коэффициентов Жхп (х-1,2,3,4)

г - го : Wn - Т-Ч, Wn -(Жы ,^2п Ж3п Ж4п )Т, (2о)

где Тп - (1хэ )4Х4.

Здесь

К3

Нт - %1т , 43 - ¿к1г% 13 , 44 - ¿п-%03,

г

*2т - ¿п ~ % от , 123 --пкЪ ~ % 03, *24 --К3 Z13, 13т - от, гг

133 -(кЗ - к1г %о3, ^34 - ^43 - t44 - 0, 14т -п(к/2 -КП от , т - 1,2

V

1 о + 2Цо

% о у - -1п (К гг), у - к ^п (к ^г); у -1,2,3.

п\ Уг

'1У

У

(31 о + 2цо )ао

Из условий непрерывности компонентов тензора напряжений и теплового потока (14) находим

г - го: Ап и; + Рп и п - Уп Wn, (21)

163

где

Здесь

уп -( .Уху ).

4x4'

у1т - 2т022т + Лт20т , у13 - 2г'т0к1г223 , у14 - 2*пМ-0к3 _

С

\

у2т

2шц 0 —

г

2-

1т

12

^0т Г у

У23

-2иц0 к121

г

213 -1203 V Г у

л

1 г

213 203

У24 0 к3

^ 1 2 Л 223 --213 203

У3т - 2^0къ2ы, У33 -т0 Й - 2к12 )213, У34 --«^0къК312 У4т - ^Тп (к? - кт Кт , У43 - У44 - 0; т -1,2 5

Г

03

2 2 у -к ^«(к ]гГ), У -1,2,3.

После подстановки выражения (20) в формулу (21) получаем краевые условия для системы дифференциальных уравнений (12) на внутренней поверхности покрытия

г - Г0 : А«и« + 4%« - 0, (22)

где

Т(0) - р - у Т_1 ^п 1 п 1тп •

Из выражений (17), (20) следует, что коэффициенты Vln, V2п, Ж1п, Ж2п, Wзn, Ж4п могут быть вычислены лишь после решения краевой задачи (12), (19), (22).

Найдем приближенное аналитическое решение краевой задачи (12), (19), (22) методом сплайн-коллокации [31]. Введем на отрезке [г0, г ] равномерную сетку Г0 -Х0 <Х>1 < ..<ХN -Г1 с шагом И. Будем искать приближенное решение краевой задачи в виде кубических сплайнов Бхп (г) (х- 1,2,3,4) дефекта 1 с узлами на сетке. Здесь Бхп(г) - сплайн-функция, приближающая функцию ихп (г).

Представим кубические сплайны в виде разложения по базису из нормализованных кубических В -сплайнов [31]

N+1 м

stn(г)- i ьхп]вк(г), х- 1,2,3,4, к--1

(23)

где Ь

(к) -

хп

коэффициенты разложения, которые подлежат определению; Вк (г) - базисная сплайн-функция, отличная от нуля на интервале-носителе (Хк-2,Xк+2) со средним узлом Xк.

164

г

Для того чтобы все базисные функции в (23) были определены, сетка должна быть дополнена узлами

X7-4 = Хо + О - 4)к, XЖ+4-7 = XN + (4 - 7 $, 7 = 1,2,3.

Потребуем, чтобы сплайны 8хп (г) удовлетворяли системе (12) и краевым условиям (19), (22) в узлах коллокации, совпадающих с узлами введенной сетки. Используя выражения для узловых значений В -сплайна и его производных [31], получим систему 4 N +12 линейных алгебраических уравнений относительно такого же числа неизвестных коэффициен-

тов )

^b0n _ 0, Qknbkn _ 0, к _ 0,1,...,N, Nn _ SNn, (24)

b _(b(k-1) b (k-1) b (k-1) b (k-1) b (k) b (k) b (k) b (k) b (k+1) b(k+1) b(k+1) b (k+1) b kn _ \b1n , b2n , b3n , b4n , b1n , b2n , b3n , b4n , b1n , b2n , b3n , b4n

S Nn _ 6h cnan, Pci0 _ (Pxa) )4xi 2, Qkn _ (qta )4x12, РА1и _ (pXa

где

)kn

e " _ AU '-n^n, 10n ~ V^Xa /4x12, Qkn- Vqta Mx12, PNn " \pXa /4x12 . Здесь

pts]_-3hazs + h2/W, pM+4 _ 4A2/<I), PXg]+8 _ + h2/t?), g_ 0,1,

qts _ 6ats - 3hbxs + h Cts, qx,s+4 _ -12^ + 4h cxs, qt,s+8 _ 6aXs + 3hbts + h2cXs, x s _1,2,3,4

а величинами /Xg) обозначены элементы матриц . Нижний индекс k (k _ 0,1,..., N) у каждой матрицы системы (24) указывает на то, что ее элементы, зависящие от r , вычисляются при r _Xk.

Решив систему уравнений (24), и подставив найденные значения в выражения (23), найдем приближенное решение краевой задачи.

Определив по выражениям (17), (20) коэффициенты в рядах (1), (6), получим возможность исследовать волновые поля в цилиндрическом теле и вне его.

Для практического применения востребованы покрытия с заданными звукоотражающими свойствами. Отсюда возникает проблема определения законов неоднородности термоупругого материала покрытия по известному акустическому полю, т.е. приходим к необходимости решать коэффициентную обратную задачу.

Следует отметить, что число работ, в которых рассматривались коэффициентные обратные задачи термоупругости невелико. В известных автору работах для нахождения параметров или функций, характеризующих неоднородность, используется сопоставление теоретических и измеряемых величин в некоторой области. К таким работам относятся, например, [32-36].

Ниже при решении обратной задачи использован подход, предложенный в [23, 37, 38] для упругих тел и распространенный на случай термоупругого тела в [39], не требующий экспериментальных замеров акустических откликов.

Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Используя асимптотическую формулу для цилиндрической функции Ганкеля первого рода при больших значениях аргумента [40] (х >> 1)

нп(х):

2

рх

ехр

г рп рЛ х 2 4

V

У

из формулы (1) при т - 1 находим 4*1 (г, ф, г) -. — ехр

7 7 Р

к1гГ + к1гг - ^

1г'

Р (V, ф),

где

Р (V, ф):

2

I (-' )п VI« ехр[/п(ф - ф0)], V - к1Г0,

п --¥

V - волновой размер однородного термоупругого цилиндра.

На основе решения прямой задачи, определим законы неоднородности материала покрытия, для которых будем иметь наименьшее звуко-отражение в дальней зоне акустического поля в заданном диапазоне частот, определяемом интервалом Ш1 <Ш<Ш 2, при фиксированном угле наблюдения ф-ф*, а также в заданном угловом секторе наблюдения ф1 < ф < ф2 при фиксированной частоте (V - V*).

Будем считать, что функции р(г), 1(г), т(г), ат (г), 1т (г), се(г) аппроксимированы многочленами второй степени относительно переменной г , т.е. будем рассматривать следующие параболические законы неоднородности термоупругого материала покрытия:

ц(г)-~ ц(г), (25)

где

ц(г) - ц(0) + Л(1)г + Л(2)г 2, (26)

~ - характерная величина материала покрытия. При этом здесь и далее под символом ц подразумеваем каждый из символов р, 1, т, ат, 1т, се. Построим функционалы ¡1 и 12 вида

1 2

| ¡(V, ф*)й?ю, (27)

51

2

¡1 [р, 1, т, ат, 1т, се] 1

Ш 2-®1 Ш1

12 [р, 1, т, ат, 1т, се]

ф2

- |¡(V*,ф)^ф, ¡(V,ф)-ф2 - ф1 ф!

р (V, ф)

А

, (28)

определенные на классе параболических функций (25) и выражающие усредненные интенсивности отражения звука в заданных диапазоне частот и угловом секторе наблюдения соответственно.

Для каждого функционала найдем такие значения коэффициентов функций (25), при которых он достигает минимального значения.

Для функций (26), определенных на отрезке [гд, г\ ], введем ограничения

С1Л<л(г)< С2Л, (29)

где С^ и С2ц - некоторые положительные константы.

Геометрически каждое из неравенств (29) задает в прямоугольной системе координат с осью абсцисс г и осью ординат / бесконечное множество кривых, лежащих в прямоугольной области

а(ц(0),ц(1),ц(2)) = {(г,/): гд < г < гь С1л< / < С2ц}, показанной на рис. 2.

В области а(ц (0), ц(1), ц(2) ) каждую параболу будем определять тремя точками: Goц(гo,/oц), ^1ц(г,/1ц), ^2ц(г1,f2ц), где г = (г0 + г1)/2, /дц^ [с1ц, С2ц] (Я = 0,1,2).

Рис. 2. Область а

Подставляя координаты точек Goц, Glц, G2ц в выражение (26), приходим к системе трех линейных уравнений. Решая полученную систему относительно коэффициентов ц(0), ц(1), ц(2), находим

П = Я, п = (ц(0),ц(1),ц(2)Г, (30)

167

где

f 1 r0 Г02

R = 1 r r 2

1 n Г12

f h = V 0h' 'f 2h,

Выбирая из отрезка [Qh, C2hJ значения для ординат f0h, /щ, f2h и вычисляя с помощью соотношений (30) значения коэффициентов

h(0),h(1),h(2), получаем параболические (линейные при h(2) = 0) законы неоднородности материала покрытия. При этом не все параболические законы подлежат рассмотрению. Если выполняется условие

,0 (31)

то это означает, что абсцисса вершины параболы принадлежит отрезку [,0, ,1J. В этом случае параболу следует рассматривать только тогда, когда ордината ее вершины принадлежит отрезку [C1h,C2hJ, то есть когда выполняется условие

(0) h(1)2

C1h £h(0)- 4h(2) £ C2h . (32)

Нахождение значений неизвестных параметров h(0), h(l), h(2) функций (26), удовлетворяющих условиям (29) и минимизирующих функцию восемнадцати переменных

Im (р(0), Р(1), Р(2),..., 40), c|2))® min, m = 1,2 (33)

осуществим с помощью следующего алгоритма.

Введем для ординаы fqh (q = 0,1,2) точки Gqh на отрезке [C^,C2h J

равномерную сетку

fqh\h = C1h + lqhhqh, q = 0,1,2, (34)

Здесь lqh = 0,1,...,nqh - номер узла сетки, hqh = (C2h - Qh)/nqh - шаг q- ой

сетки, nqh - количество равных частей, на которые разбит отрезок

[Qh, C2h J. Таким образом, построены двумерные сетки в каждой из шести

областей W, соответствующих неравенствам (29). На этих сетках, используя выражения (30) и условия (31), (32), рассчитываем наборы значений

коэффициентов h(0), h(1), h(2).

Нахождение оптимального набора параметров h(0), h(1), h(2) осуществим с помощью процедуры поиска минимума функции восемнадцати переменных (33). Вычислительная процедура построена на основе комбина-

168

ции методов случайного поиска и покоординатного спуска [41] и включает два этапа. При этом в качестве восемнадцати искомых координат выступают не сами параметры h(0), h(1), h(2), а соответствующие им наборы величин fзц, , f, присутствующие в выражениях (3 0).

На первом этапе случайным образом выбирается начальная точка -совокупность восемнадцати значений fоц, f^, f2ц

f = (f0p, f1p, f2pf0 Со ' ÂcP , f2ce) из множества допустимых дискретных сочетаний на введенной многомерной сетке.

На втором этапе в случайном порядке выбирается одна из координат и выполняется поиск минимума Im (m = 1,2) при изменении значений

этой координаты в узлах введенной для нее сетки (34). При этом другие семнадцать координат сохраняют неизменные значения. Интегралы (27), (28) вычисляются численно. Это повторяется до исчерпания непросмотренных координат. По окончании второго этапа получаем значение локального минимума функции Im и соответствующий набор координат f,

по которому с помощью формул (30) вычисляются искомые параметры h(0), h(l), h(2).

Поскольку в общем случае функция Im не является унимодальной, то ее локальный минимум и соответствующий ему набор материальных параметров, будут зависеть как от выбора начальной точки, так и от порядка перебора координат при покоординатном спуске. Поэтому процедура поиска локального минимума повторяется M раз. В качестве конечного

решения выбирается набор параметров h(0),h(l),h(2), обеспечивающий наименьшее значение Im среди локальных решений. Получаемое таким образом оптимальное решение является приближенным, точность которого зависит от выбора шага сетки hqц и числа M.

В заключение отметим, что в [8, 42, 43] показана возможность реализации непрерывно-неоднородных по толщине упругих покрытий с помощью системы однородных упругих слоев с различными значениями материальных констант.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Тульской области (код проекта 16-41-710083).

Список литературы

1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // Acoust. Soc. Amer. 1951. V. 23. № 4. P. 405-420.

169

2. Doolittle R.D., Uberall H. Sound scattering by elastic cylindrical shells // J. Acoust. Soc. Amer. 1966. V. 39. № 2. P. 272-275.

3. Лямшев Л.М. Рассеяние звука упругими цилиндрами // Акустический журнал. 1959. Т. 5. № 1. С. 58-63.

4. Векслер Н.Д., Корсунский В.М., Рыбак С. А. Рассеяние плоской наклонно падающей волны круговой цилиндрической оболочкой // Акустический журнал. 1990. Т. 36. № 1. С. 12-16.

5. Ларин Н.В. Рассеяние плоской звуковой волны однородным термоупругим сплошным цилиндром // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. Вып. 7. Ч. 2. С. 191- 202.

6. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 304 с.

7. Маляров К.В. Передача звука через упругую слоистую цилиндрическую оболочку // Акустический журнал. 1974. Т. 20. № 1. С. 7175.

8. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242-250.

9. Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами // Акустический журнал. 1986. Т. 32. № 6. С. 762-766.

10. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акустический журнал. 1987. Т. 33. № 6. С. 1060-1063.

11. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журнал. 1995. Т. 41. № 1. С. 134-138.

12. Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 11-14.

13. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474-483.

14. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки.

2009. Вып. 1. С. 62-70.

15. Романов А.Г., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и

механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

16. Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013.

Вып. 2. Ч. 2. С. 265-274.

17. Ларин Н.В. Рассеяние звука твердым цилиндром с неоднородным термоупругим покрытием // Известия Тульского государственного

университета. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 154-164.

18. Толоконников Л. А. Определение законов неоднородности покрытия упругого цилиндра с цилиндрической полостью, обеспечивающих минимальное звукоотражение // Известия Тульского государственного

университета. Технические науки. 2017. Вып. 4. С. 67-81.

19. Иванов В.П. Анализ поля дифракции на цилиндре с перфорированным покрытием // Акустический журнал. 2006. Т. 52. № 6. С. 791-798.

20. Бобровницкий Ю.И. Нерассеивающее покрытие для цилиндра // Акустический журнал. 2008. Т. 54. № 6. С. 879-889.

21. Бобровницкий Ю.И., Морозов К.Д., Томилина Т.М. Периодическая поверхностная структура с экстремальными акустическими свойствами // Акустический журнал. 2010. Т. 56. № 2. С. 147-151.

22. Косарев О.И. Дифракция звука на упругой цилиндрической оболочке с покрытием // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2012. Т. 46. № 1. С. 34-37.

23. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 54-62.

24. Скобельцын С.А. Идентификация плотности материала упругого цилиндра по рассеянному акустическому полю // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 158-169.

25. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

26. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. 232 с.

27. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.

343 с.

28. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев: Наук. думка, 1970. 308 с.

29. Morse P. Feshback H. Methods of Theoretical Physics. V. 2. N.Y.: McGraw-Hill, 1953 = Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 886 с.

30. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. 368 с.

31. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

32. Ломазов В.А. Задачи диагностики неоднородных термоупругих сред. Орел.: ОрелГТУ, 2002. 168 с.

33. Lukasievicz S.A., Babaei R., Qian R.E. Detection of material properties in a layered body by means of thermal effect // J. Thermal Stresses. 2003. V. 26. № 1. P. 13-23.

34. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об одном способе идентификации термоупругих характеристик для неоднородных тел // Инженерно-физический журнал. 2014. Т. 87. № 1. С. 217-224.

35. Ватульян А.О., Нестеров С. А. Коэффициентные обратные задачи термоупругости для функционально-градиентных материалов // Проблемы прочности и пластичности. 2014. Т. 76. № 4. С. 335-342.

36. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об особенностях идентификации неоднородного предварительно напряженного состояния в термоупругих телах // Прикладная математика и механика. 2017. Т. 81. Вып. 1. С. 103110.

37. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Определение законов неоднородности плоского упругого слоя с заданными звукоотра-жающими свойствами // Акустический журнал. 2015. Т. 61. № 5. С. 552-558.

38. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звуко-тражающими свойствами // Прикладная математика и механика. 2016. Т. 80. Вып. 4. С. 480-488.

39. Ларин Н.В. Определение законов неоднородности покрытия термоупругой пластины, обеспечивающих наименьшее звукоотражение // Известия Тульского государственного университета. Технические науки.

2016. Вып. 11. Ч. 2. С. 216- 234.

40. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физ-матгиз., 1963. 358 с.

41. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 552 с.

42. Поверхностные волны в материалах с функционально-градиентными покрытиями / Е.В.Глушков, Н.В.Глушкова, С.И.Фоменко, Ч.Жанг // Акустический журнал. 2012. Т. 58. № 3. С. 370-385.

43. Толоконников Л. А., Ларин Н.В. Прохождение звука через термоупругий дискретно-неоднородный плоский слой, граничащий с теплопроводными жидкостями // Прикладная механика и техническая физика.

2017. Т. 58. № 1. С. 108-116.

Ларин Николай Владимирович, канд. физ.-мат. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

DIFFRACTION OF A PLANE ACOUSTIC WAVE ON THE THERMOELASTIC CYLINDER WITH THE CONTINUOUSLYINHOMOGENEOUS COVERING

N.V. Larin

In the project we solved direct and inverse problems of the plane harmonic acoustic wave diffraction on the thermoelastic cylinder with the continuously layered covering, provided that the cylinder is located in the inviscid heat-conducting fluid. We determined the wave fields in the cylinder and outside it by the direct problem solving. In the inverse problem we defined the inhomogeneity laws of the covering material, which provide the minimum reflection of the sound in the preset angular sector andfrequency range.

Key words: direct and inverse problems of the diffraction, acoustic wave, thermoelastic cylinder, inhomogeneous thermoelastic layer, inviscid heat-conducting fluid.

Larin Nikolay Vladimirovich, candidate of physical and mathematical sciences, do-cent, Larinaelenamail. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 631.51; 631.8; 635.21

САМОЗАГРУЖАЮЩИЙСЯ РАЗБРАСЫВАТЕЛЬ МИНЕРАЛЬНЫХ

УДОБРЕНИЙ

К.П. Андреев

Предлагается описание устройства самозагружающегося разбрасывателя твердых минеральных удобрений из мягких контейнеров, который в агрегате с энергетическим средством выполнял бы функции по транспортировке минеральных удобрений до поля, погрузке их в бункер разбрасывателя и распределение их по поверхности поля.

Ключевые слова: удобрения, разбрасыватель, бункер, испытания, внесение.

Направленность сельского хозяйства на получение максимальных урожаев является основой широкого применения удобрений. Разнообразие почв и возделываемых культур, различие их плодородия требуют практически неограниченного сочетания видов и доз минерального питания. Решение этой проблемы осуществляется путем последовательного внесения каждого вида питательных элементов, сложных удобрений или их смесей различных форм и состава (органо-минеральные смеси; смеси твердых и жидких удобрений и ряд других).