Определение законов неоднородности покрытия упругого цилиндра с цилиндрической полостью, обеспечивающих минимальное звукоотражение Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

УДК 539.3; 534.26

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНОВ НЕОДНОРОДНОСТИ ПОКРЫТИЯ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ МИНИМАЛЬНОЕ ЗВУКООТРАЖЕНИЕ

Л.А. Толоконников

Получено приближенное аналитическое решение задачи о дифракции плоской звуковой волны на упругом однородном цилиндре, имеющем цилиндрическую полость и радиально-неоднородное покрытие. На основе решения прямой задачи рассмотрена обратная задача об определении законов неоднородности покрытия, обеспечивающих наименьшее звукоотражение.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, упругий цилиндр, цилиндрическая полость, неоднородное упругое покрытие, законы неоднородности.

Изменение звукоотражающих характеристик упругих тел можно осуществить с помощью непрерывно-неоднородных покрытий. Такие покрытия можно реализовать с помощью многослойной системы тонких однородных упругих слоев с различными значениями механических параметров.

Дифракция звуковых волн на неоднородных упругих телах цилиндрической формы исследовалась в работах [1 - 8]. В [1, 2] материал цилиндра полагался изотропным, в [3] - трансверсально-изотропным, в [4] - анизотропным общего вида, в [5] - термоупругим. В работах [1- 5] падающая волна полагалась плоской. Изучению дифракции цилиндрических волн на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке посвящена работа [6]. Учет вязкости содержащей среды осуществлен в [7, 8].

Рассеяние звуковых волн на сплошных цилиндрических телах с неоднородными покрытиями рассматривалось в работах [9 - 13]. В [9] исследовалось рассеяние звука при нормальном падении плоской волны, а в [10] - при наклонном. В [11] полагалось, что падающая волна является цилиндрической. Влияние тепловых процессов на рассеяние звука термоупругим

67

цилиндром с термоупругим покрытием изучено в [12]. В [13] решена задача о рассеянии плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием.

Обратная задача дифракции об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука, решена в [14].

В настоящей работе решается обратная задача об определении параметров неоднородности покрытия полого упругого цилиндра, обеспечивающих минимальное звукоотражение в определенном направлении при падении плоской волны.

1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечный однородный упругий цилиндр радиуса , материал которого характеризуется плотностью

Р0 и упругими постоянными 10 и ^0. Цилиндр имеет покрытие в виде радиально-неоднородного упругого слоя, внешний радиус которого равен /, и концентрическую цилиндрическую полость радиуса R . Цилиндрическая система координат r, ф, z выбрана таким образом, что координатная ось z является осью вращения цилиндра. Полагаем, что плотность р и модули упругости 1, m материала неоднородного цилиндрического слоя являются функциями цилиндрической радиальной координаты r. Окружающая цилиндр жидкость является идеальной. Ее плотность и скорость звука соответственно равны Р1 и c.

Пусть из внешнего пространства на цилиндр вдоль оси х падает плоская звуковая волна, потенциал скоростей которой в цилиндрической системе координат записывается в виде

Y) = ^)exp[/(£r cos ф-wt)],

где - амплитуда волны; k = w/c - волновое число падающей волны;

w - круговая частота. В дальнейшем временной множитель e~iwt будем опускать.

Определим законы неоднородности покрытия цилиндра, обеспечивающие минимальное звукоотражение в заданном направлении.

2. Прямая задача. Определим акустическое поле, рассеянное полым цилиндром с неоднородным покрытием. В рассматриваемой постановке задача является двумерной. Все искомые величины не зависят от координаты z.

Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [15]

DY1 + k 2Y1=0, 68

где ¥1 = + ¥ - потенциал скоростей полного акустического поля; ¥ - потенциал скоростей рассеянной волны. При этом скорость частиц V и акустическое давление р в жидкости определяются по формулам V = grad Ч^, р = /'Р1 юЧ^. Оператор Лапласа в цилиндрической системе

координат А =

Э2 1 Э 1 Э

+--+

2

Эг2

г Эг г2 Эф2

[16]

Потенциал скоростей падающей плоской волны представим в виде

¥о(г,ф) = Ао I /пЗп(кг)е/пф,

П =—¥

где Зп (х) - цилиндрическая функция Бесселя порядка п .

С учетом условий излучения на бесконечности [15] функцию ¥, удовлетворяющую уравнению Гельмгольца, будем искать в виде

¥ (г, ф)= I АпНп (Рг)е/пф,

(1)

П=—¥

где Нп (х) - цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка п .

Уравнения движения неоднородного изотропного упругого цилиндрического слоя в случае установившихся колебаний в цилиндрической системе координат имеют вид [17]

Эогг 1 Эо

Эг Эо

+

гф

огг офф _

гф

г Эф 1 Эо

2

ю риг;

фф

2

(2)

Эг г Эф

огф = —ю Рф,

где иг, Ыф - компоненты вектора смещения и частиц неоднородного слоя;

Оу - компоненты тензора напряжений в неоднородном слое, р = р(г).

Соотношения между компонентами тензора напряжений и вектора смещения в неоднородном покрытии записываются следующим образом

[17]:

п ..ЭЫг 1 (ЭЫ л огг = (1+2т)-

1

+—

Эг г

ф

Эф

+ и

Офф

1+2т

Эы

ф

Эф

+ иг

л Эиг + 1 г

Эг

Огф т

1 Эиг Эи

ф иф

г Эф Эг

г

(3)

где 1 = 1(г); т = т(г).

Используя соотношения (3), запишем уравнения (2) через компоненты вектора смещения:

сю

г

г

г

(1+2m)

2 ^2 2 э ur 1+цо m э ur

Эг2 r ЭгЭф r2 Эф2

1'+2m'+

1+2m

ЭиТ

Эг

+ -

r

2

1 (., 1+3m ^ Эиф ( 1' 1+2m 2Л

1'-

Эф

+ w р

ur = 0;

2

m

э uj 1+,^ ur 1+2mэ uj

Эг 2 1

+ -r

m +

r ЭгЭф 1+3m ^ Эu/

r

/

Эф

2

Эф

m +

V r у / \ mm 2

^+w2p

r r2 у

m ^ э^

ф

Эг

uф = 0,

(4)

где штрих означает дифференцирование по г.

Компоненты вектора смещения и в упругом слое являются периодическими функциями координаты ф с периодом 2р . Поэтому функции иг (г, ф) и ф (г, ф) будем искать в виде рядов Фурье

An = r2

C = n

ur(r, ф)= I U1n (r)втф; Uф(r, ф)= £ ^ (r)втф. (5)

Подставляя выражения (5) в уравнения (4), получим следующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций u1n (r) и u2n (r) для каждого n:

An un + Bn u'n+Qu n = 0, (6)

где U n = (U1n ,U2n ; A~n, Bn, C~n - матрицы второго порядка:

(1+2m 0\ ~ = ((1+2m')r2+(1+2m)r i«(1+m)r4

; Bn 0

V 0 mу V in(1+m)r m'r2+mr

' ООО / \ ^

1'r—1—(2+n )m+w pr in(1 'r—1—3m)

in(m'r+1+3m); —m'r—n21—(2n2+1)m+w2pr2 у

Рассмотрим теперь уравнения, описывающие распространение малых возмущений в упругом однородном цилиндре.

Представляя вектор смещения u0 частиц упругого изотропного однородного цилиндра в виде

u0 = grad Y + rot Ф, div Ф = 0,

где Y и Ф - скалярный и векторный потенциалы смещения, из уравнения Ламе получаем два волновых уравнения [15], которые для установившегося режима движения переходят в волновые уравнения Гельмгольца

AY + kfY = 0, АФ + к2Ф = 0,

r

2

r

r

r

у

r

сю

оо

где kl = w/c - волновое число продольных упругих волн; kt = w/ct - волновое число поперечных упругих волн; ci = + 2Д2)/Р2 и ct = 1/Ц2/Р2 - скорости продольных и поперечных волн соответственно.

Так как Ф = Ф(r, ф)еz, где ez - единичный вектор координатной оси z, то векторное уравнение Гельмгольца сведется к одному скалярному уравнению

ДФ + к^Ф = 0.

Функции Y(r, ф) и Ф(г , ф) будем искать в виде

¥

Y(r, j)= I [B^Jn (kir) + B^Hn (klr)]einj, (7)

n=-¥ ¥

F(r, j)= I [B^Jn (V) + вП4)Нп (kxr)]einj. (8)

П=—¥

Компоненты вектора смещения u0 записываются через функции Y(r, ф) и Ф(у, ф) следующим образом:

0 = 1 ЭФ 0=1 ЭФ

Uy + , Uj

Лг* г* ИГЛ т

Эг r Эф r Эф Эг

апряжений sij

Соотношения между компонентами тензора напряжений a° и век-

тора смещения и0 в однородном изотропном упругом цилиндре аналогичны соотношениям (3) для неоднородного упругого слоя. Только в выражениях (3) модули упругости 1(г) и т(г) следует заменить на упругие постоянные 1 о и то .

Компоненты тензора напряжений 0° и оф выразим через функции ¥(г, ф) и Ф(г, ф) с учетом того, что А¥ = —к/ ¥ . Получим

a°r = —WY + 2mo

Э 2 Y ЭФ +1Э 2Ф Эу2 r2 Эф r ЭуЭф

^0

аф = ^0

2 +Э^Ф— 2_3Y — Э^Ф +1 ЭФ r ЭуЭф r2 Эф2 r2 Эф Эу2 r Эг

Коэффициенты Ап, Б^) (у = 1,4) разложений (1), (7), (8) и функции ^1п (г ),и 2п (г) из разложений (5) подлежат определению из граничных условий.

Граничные условия на внешней поверхности неоднородного покрытия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой неоднородной среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений:

при г = г - тиг = Vг, оГГ = - p, Оф = 0. (9)

На внутренней поверхности покрытия при переходе через границу раздела упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения:

при г = Го иг = 4°), Uф = uф, Огг = О°г, ОГф = о°ф. (10)

На поверхности полости должны выполняться граничные условия, заключающиеся в отсутствии нормальных и тангенциальных составляющих тензора напряжений:

при г = R: о°Г =0, о°ф = 0. (11)

Из условия равенства нормальных скоростей при г = Г1 находим коэффициенты An, выраженные через величины Uln (Г1):

А = - ар^^П (kгl) + ^и1п (г1) (12)

п Ш'п (kгl) '

где штрихи означают дифференцирование по аргументу.

Из первых двух граничных условий (10) и условий (11) получаем систему четырех линейных уравнений

МпВп = Ьп, (13)

где Вп = (В^\вПр,В§\В^)Т - вектор-столбец неизвестных; Мп -

Т

матрица коэффициентов системы; Ьп = (Ц[п(г°),и2п(г°),0,0) - вектор-столбец свободных членов. При этом

Г т11п (г0) т12п (г0) т13п (г0) т14п (г0) Л

т21п (г0) т22п (г0) т23п (г0) т24п (г0)

т31п ( R) т32п т33п (R) т34п (R)

Ш41п(R) т42п(К) т43п(R) т44п Величины Шу (г) (индекс п будем опускать) определяются следующими выражениями:

^п ^п

тЪ = к/^п (к/г), +2 = — (^сг), = — (k/г),

г г

+2 = -кх 4 (^сг), = к/'\-102п (k/г) + (k/г)],

72

Мп =

/п /п

т3^+2 =2то-у[—■^ (V) + кхг2'п (кхг)], Ш48 = 2то—[к^ (к/К) — (к/г)],

т4+2 = то -2[—кк1г (ктг ) + ктг4 (ксг ) — (ктг)] = 1,2). г2

Здесь 1п (х) = Ап (х) при я = 1 и 1п (х) = Нп (х) при я = 2 .

Из системы (13) находим коэффициенты Бп) (у =1,4), выраженные через величины и^ (го) и и 2п (го):

бп )= ЬЦ Цп (го) + (го). (14)

Выражения для коэффициентов Ьп не приводятся из-за их громоздкости.

Из второго и третьего граничных условий (9) получаем два краевых условия, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (6):

2 Апип + Епип

V г

= Д

п

(15)

Jг=г

где элементы матриц Еп = (~уп )2х2, Д = (^т )2х1 определяются следующими выражениями:

,2,

т

~ 1 ю Р1Нп (кг) ~ _/пк ~ _/пт ~

е11п--+ 1и УП \ , е12п--, е21п--, е22п~-

г кНп (кг) г г г

2'"АоЮр1 , =о.

1 17 1/1 \, и2п шг{Нп (щ)

При получении выражения для й1 было использовано выражение для вронскиана [18]

2/

Ап ( х) Н'п ( х) — Ап ( х) Нп ( х) = —.

рх

Из последних двух граничных условий (1о) с учетом выражений (14) находим еще два краевых условия для системы дифференциальных уравнений (6):

2 Апип + п

V г

= о,

(16)

Jг=гп

где элементы матрицы Гп =( /уп )2Х2 определяются следующими выраже-

ниями:

f11n = glln (r) f12n = — -S\2n (r) r r

f2ln = g 21n (rX f22n = g22n (rX rr

где

gtsn(r) = bPmt+2,i(r) + bS2)mt+2,2(r) + c)l)mt+2,з(г) + épmt+2,4(r) (t,s = 1,2).

Коэффициенты An, д!/) (j = 1,4) могут быть вычислены по формулам (12) и (14) лишь после решения краевой задачи (6), (15), (16).

3. Решение краевой задачи. Краевая задача (6), (15), (16) может быть решена различными методами, например, методами, приведенными в [19]. Найдем приближенное аналитическое решение краевой задачи методом степенных рядов [19, 20].

Решение системы (6) будем искать в виде

Ujn(r)= I ujs}n>(r - a)s (j =1,2), (17)

s=0

где a - некоторая точка отрезка [ro, rj.

Если на отрезке [ro, rj функция p(r ) является дифференцируемой, а функции 1(r ) и m(r ) имеют непрерывные производные до второго порядка включительно, то все коэффициенты системы (6) будут представлять собой функции, непрерывные вместе со своими первыми производными на [ro,Ш. Тогда ряды (17) будут сходящимися на [ro,rj [20].

Предположим, что функции p, l и m имеют вид многочленов относительно переменной r (или аппроксимированы такими многочленами):

p(r)= I p(k)(r-a)k, 1(r)= 11(k)(r-a)k, m(r)= I m(k)(r-a)k, (18) k=0 k=0 k=0

где N - степень многочленов.

Сведем краевую задачу (6), (15), (16) к задачам с начальными условиями в некоторой точке r = a, принадлежащей отрезку [r0, rj .

Найдем четыре линейно независимых решения системы дифференциальных уравнений (6). В качестве фундаментальных решений можно

выбрать четыре решения задачи Коши Un (r) (l = 1,2,3,4) системы (6) с начальными условиями, являющимися линейно независимыми. Возьмем следующие начальные условия:

Uln lr=a = (Sl,Ô21 )T, unlr=a = («3l,«4l) (l = 1,2,3,4), (19)

l l l T

где Un =(U1n,U2n) ; l - порядковый номер задачи Коши; ôj - символ Кронекера.

Каждую составляющую вектора Un будем искать в виде

Ujn = I ufXr — a)s (j = 1,2). (20)

s=0

Получим рекуррентные соотношения для нахождения коэффициента ujn.

Запишем систему (6) в координатной форме

2 ~ „ ~ ~

I (Aijnu"jn + Bijnujn + Cijnujn) = 0 (i = 1,2X (21)

j=1

где Ajn, Bjjn, Cijn - элементы матриц ^, Bn, ~.

Так как элементы матриц An, Bn,Cn выражаются через модули упругости и плотность, то с учетом (18) получаем

~ N+2 пл » ~ N+1 » ~ N+2 ,

Aijn = I Ajjkj(r — a)k, Bjn = I Bj)(r — a)k, Cijn = I C(fn)(r — a)k. k=0 k=0 k=0

2 2 2 Используя выражения r = (r — a) + я иг = (r — a) + 2a(r — a) + я ,

будем иметь

A£? = a2 g(0), а(П> = a(ag(1) + 2 g(0)

A(k> = a 2g(k ) + 2ag(k—1) + g(k—2) (k = 2,3,..., N ),

AT'^N ) + g(N—1), AT 2> = g(N) (i = 1,2),

aS = A2S = 0 (k = 0,1,k, N + 2), B1(0n = a (ay(1) + g(0) ) B« = 2a2g(2) + 3ag(1) + g(0), Bik) = (k +1 )a2 g|k+1 * + (2k +1 )ag(k * + ky<k—(k = 2,3, к, N — 1), B1(N„) = (2N + 1)ayiN> + Ng(N—1), B1(f„+1»=(N + 1)y(N>,

g(k) = i(k>+2m(k), g2k)=m(k*,

B(0)= B<0> = »a(l(0) +m(0) 1 B8 = B& = in(l(k—1) + a1(k) +m(k—1) + am(k)) (k = 1,2,...,N),

BN+1) = B2Nn+1)=in(i( N *+m( N * )

B20Î, = a(am(1)+m(0) ) BS = a 2(k + 1)m(k+1* + a(2k + 1)m(k * + km(k—1) (k = 1,2, к, N — 1),

75

В™ = а(2N+1)т(N)+лц(N-1), в^;1»=(N+1)т(я>, С<®) = а1(1) -1(0) - (2 + п2)т(0) + и2а 2р(0), С« = 2а1(2) - (2 + п2)т(1) + и2а(ар(1) + 2р(0)) = (к +1 )аХ("+1) + (к -1 )1(к) - (2 + п2 )ц(к) + + й>2(а2р(к) + 2ар(к-1) + р(к-2)) (к = 2,3,к,N -1),

С® = (N -1 )1(*) - (2 + п2 )т( N) + и2 (а2р(Н» + 2ар(Н-1) + р(Н-2)

С<1П+1) = и2 (2ар( N» + р( ^ ) С<Щ+ 2) = и2р( N», С10)= 4л(1) -1(0) - 3т(0))

С2П = 'п((к +1 )а1(к+1) + (к -1 )1(к* - 3ц(к)) (к = 1,2,...,N -1), С2П>= 4 N - ^ - 3т( N>) С(2П+1>=0; с(2П+2> = 0,

С*0», = /п(ат(1) + 1<°> + 3Ц<0); С<1П = 'п((к +1 )ат(к+1) + 1(к) + (к + 3)т(к)) (к = 1,2,...,N -1), <> = +(N+з)т(ы) ) c<Nn+1) = 0, c2Nn+2> = 0,

С^ = -ат(1) - п21(0) - (2п2 + 1)т(0) +и2а2р(0), С22п = -2ат(2) - п 21(1) - 2(п2 + 1)т(1) +и2а(ар(1) + 2р(0) С(22п = -(к +1 )ат(к+1) - п21(к) - (к + 2п2 + 1)т(к) + + ш2Па2р(к) + 2ар(к-1) + р(к-2)) (к = 2,3,к,N -1), 21N> - (N + 2п + 1)т( N) +и2 (а 2р( N > + 2ар( Н-1) + р( N-2)

с(^+1) = ®2 (2ар( + р( Ы~1)) C<N,+2) = и2р(").

Подставляя (20) в уравнения (21) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени (г - а), получаем уравнения для определения коэффициентов иП (j = 1,2):

2 N

ЕЕ [(* +1 - к )(* + 2 - к) А§и1п+2-к) + j=1к=0

+ (* +1 - к)в^и1,+1-к) + С$и1П-к)] = 0, * = 0,1,2,...; 1 = 1,2, где N = шт( N + 2, *), I = 1,2,3,4.

Выделяя из первой суммы последнего равенства член с индексом к = о , будем иметь

2 2

I (я + 1)(я + 2)Ми^+2) = — II {(я +1 — к)[(я — к)У1 + У=1 у=1к=о

+ +1—к) + к)} (/ = 1,2). (22)

Составим из (22) систему двух уравнений при / = 1 и / = 2 относительно неизвестных иЩ+2) и 2):

а(я)и1 (я+2) + (¿) и1 (я+2) = ,(я).

а11ии1и + а12пи 2п а1п ; (23)

где

a(s) rrl(s+2) + a(s) rrl(s+2) = d(s) a21nU1n + a22nU 2n d 2n

ajHs + l)(s + 2)4$ (i, j = 1,2),

2 N1

d<? = - Z Z {(s +1 -k)[(s-k)4j+1) + jwn ) + Cjiujs-k»!

j=1k=0

(i = 1,2). Решая систему (23), находим

jl(s+2) = _L(a(s) d(s) - a(s) d(s))

U1n ,(s) (a22nd1n a12nd2n ),

— n

U2n+2) = - a^), s = 0,1,..., (24)

n

D(s) = (s) (s) _ (s) (s) где -n a11na22n a12na21n'

Рекуррентные соотношения (24) позволяют вычислить все коэффициенты разложений (20) за исключением U j0 и jj1 (j = 1,2).

Учитывая начальные условия (19), находим

иЩ0)= g1l; U2f = d2l; <> = 531; U2(n1) = S41 (l = 1,2,3,4).

Однородность системы (6) позволяет представить решение краевой задачи (6), (15), (16) в виде линейной комбинации фундаментальных решений

4 .

Un = Z ClUln, (25)

l=1

где Cl - произвольные постоянные.

Подставляя (25) в краевые условия (15), (16), получим систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Cl (l = 1,2,3,4)

4 (

I С/

/=1 V г 4

I С/ /=1

2 Апип п

п

= а

п

У г =г

-1 ЛиП'+Р,и{

пп

v г

= 0.

уг=Гп

Определив коэффициенты С/, находим приближенное аналитическое решение краевой задачи (6), (15), (16)

и]п(г)= IС/ I [//^(г - я/ (У = 1,2).

/=1 5=0

В качестве точки г = а выберем середину отрезка [го,г] .

После решения краевой задачи (6), (15), (16) по формулам (12) и

(14) вычисляются коэффициенты Ап, Б^) (У = 1,4). В результате получаем аналитическое описание волновых полей в упругом теле и вне его.

4. Обратная задача. Особый интерес для изучения звукоотражаю-щих свойств упругого цилиндра с неоднородным покрытием представляет исследование дальней зоны рассеянного акустического поля. Используя асимптотическую формулу для цилиндрической функции Ханкеля первого рода при больших значениях аргумента [18] (кг >>1)

Нп (кг ) =

2

ркг

ехр

^ рп

кг----

v

2 4

Л

из (1) находим

кг -р

v

4

Л

Р (Ф),

где

Р (Ф)

2

I (-0пАп ехр(/пф)

д/ркг^

1 п=-¥

С помощью выражения для амплитуды рассеяния в дальней зоне поля | Р(ф) | строятся диаграммы направленности и частотные характеристики рассеянного поля, позволяющие изучить звукоотражающие свойства тела в различных направлениях и резонансное рассеяние звука.

Возникает проблема нахождения таких параметров неоднородного покрытия, которые обеспечивают наименьшее звукоотражение полого цилиндра в определенном направлении.

Построим функционал Ф1, определенный на классе функций р(г), 1(г), т(г) и характеризующий рассеивающую способность тела в направлении полярного угла ф = ф*:

оо

Р (ф*)2

Ф1^ 1 т]= ,

Ао

В случае, когда частота звуковой волны не является фиксированной, а изменяется в некотором диапазоне [ю^, Ю2], построим функционал Ф 2, выражающий усредненную интенсивность рассеяния звука в заданном диапазоне частот при фиксированном угле наблюдения ф = ф* :

1 ю2 2

Ф2[р, 1,т] =- | I Р(ю,ф*)|2 dю.

ю2 -ю1 Ш1

Для случая, когда требуется иметь минимальное звукоотражение в заданном угловом секторе наблюдения [ф1, ф2] при фиксированной частоте ю = ю*, построим функционал Ф 3:

1 ф2 2

Фз[р, 1, т]=-| |Р (ю*, ф)|2 dф.

ф2 -ф1 ф1

Для функций р(г), 1(г), т(г), определенных на отрезке [го,гц], введем ограничения

ао £р(г)<аь Ьо <1(г)<Ръ То <Ж>)<71, ге[го,п],

где а у, Р у, 7 у (у = о,1) - некоторые положительные константы.

Найдем такие значения коэффициентов р( ), (к = о,1,к,Ы) функций р(г), 1(г), т(г), определенных разложениями (18), при которых функционалы Ф у ( у =1,2,3) достигают минимального значения.

Если в (18) положить N = 1, то для нахождения линейных законов неоднородности материала покрытия можно воспользоваться алгоритмом, предложенным в [14], который использует метод направленного перебора.

Если в (18) положить N = 2, то для нахождения параболических законов неоднородности покрытия можно воспользоваться алгоритмом, разработанным в [21]. Нахождение оптимального решения осуществляется с помощью процедуры поиска минимума функции многих переменных. Вычислительная процедура построена на основе комбинации методов случайного поиска и покоординатного спуска.

Осуществив минимизацию соответствующего функционала, получаем аналитическое описание механических параметров неоднородного покрытия.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Правительства Тульской области (проект № 16-41-71оо83).

Список литературы

1. Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами // Акустический журнал 1986. Т. 32. № 6. С. 762-766.

2. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле //Акустический журнал 1987. Т. 33. № 6. С.1060 - 1063.

3. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журнал. 1995. Т. 41. № 1. С. 134 - 138.

4. Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4 - 5. С.11 - 14.

5. Ларин Н.В., Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т.73. Вып. 3. С. 474 - 483.

6. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке // Оборонная техника. 1998. № 4 - 5. С. 9 - 11.

7. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С.61 - 70.

8. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С.151 - 160.

9. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850 - 857.

10. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265 - 274.

11. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С.202 - 208.

12. Ларин Н.В. Рассеяние звука твердым цилиндром с неоднородным термоупругим покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 154 - 164.

13. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242 - 250.

14. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 54 - 62.

15. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.

16. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

17. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

18. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамови-ца, И. Стигана М.: Наука, 1979. 832 с.

19. Толоконников Л. А., Ларин Н.В. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. 232 с.

20. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.3. Ч. 2. М.: Наука, 1969. 672 с.

21. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоот-ражающими свойствами // Прикладная математика и механика. 2016. Т. 80. Вып. 4. С. 480 - 488.

Толоконников Лев Алексеевич, д-р физ.-мат. наук, проф., tolokonnikovlaamail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

DETERMINATION OF THE INHOMOGENEITYLA WSFOR AN COVERING OF AN ELASTIC CYLINDER WITH CYLINDRICAL CAVITY, PROVIDING MINIMUM SOUND REFLEXION

L.A. Tolokonnikov

The approached analytical solution of a problem on diffraction of a plane sound wave by elastic homogeneous cylinder having a cylindrical cavity and radially-non-uniform covering is received. On the basis of solution of a direct problem a inverse problem on determination of the inhomogeneity laws for providing minimum sound reflexion covering is considered.

Key words: diffraction, sound waves, elastic cylinder, cylindrical cavity, non-uniform elastic coating, inhomogeneity laws.

Tolokonnikov Lev Alexeevich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, tolokonnikovlaa mail.ru, Russia, Tula, Tula State University