Дифракция плоской звуковой волны на двух упругих цилиндрах с неоднородными покрытиями Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 1

УДК 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-1-238-254

Дифракция плоской звуковой волны на двух упругих цилиндрах с неоднородными покрытиями1

Толоконников Лев Алексеевич — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

e-mail: tolokonnikovla@mail.ru

Аннотация

В статье получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на двух однородных упругих цилиндрах с радиально-неоднородными покрытиями, находящимися в идеальной жидкости. Волновые поля в содержащей среде и однородных упругих телах находятся аналитически, а для нахождения полей смещений в неоднородных покрытиях построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

С помощью непрерывно-неоднородных упругих покрытий можно эффективно изменять характеристики рассеяния тел в определенных направлениях, если подобрать соответствующие законы неоднородности для механических параметров покрытия. Задача представляет интерес для изучения дифракции звука на решетке цилиндрических тел, а также служит необходимым элементом решения методом мнимых источников задачи о дифракции звука на одиночном однородном упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящемся вблизи акустически мягкой или абсолютно жесткой плоской поверхности.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, однородный упругий цилиндр, неоднородное покрытие.

Библиография: 31 названий. Для цитирования:

Л. А. Толоконников. Дифракция плоской звуковой волны на двух упругих цилиндрах с неоднородными покрытиями // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, вып. 1, С. 238-254.

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 1

UDC 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-1-238-254

Diffraction of a plane sound wave on two elastic cylinders with

non-uniform coatings

Tolokonnikov Lev Alekseevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University. e-mail: tolokonnikovla@mail.ru

Abstract

In paper the analytical solution of a problem about diffraction of a plane sound wave on two uniform elastic cylinders with radially non-uniform coatings is received. Analytic expressions are obtained which describe the wave fields in the containing medium and the homogeneous elastic bodies. The boundary-value problem for the system of ordinary differential equations of the second order is constructed for determination of the displacement fields in non-uniform coatings.

By means of an continuous-non-uniform elastic coatings it is possible to change effectively-scattering performances of bodies in determinate directions if to pick up corresponding the inhomogeneity laws for mechanical paramétrés of a coating. The problem is of interest for analysis of sound diffraction on a lattice of cylindrical bodies and also serves as a necessary-element of solution by a method of imaginary sources of a problem about sound diffraction on the single homogeneous elastic cylinder with the non-uniform covering which is close to acoustically soft or absolutely rigid flat surfaces.

Keywords: diffraction, sound waves, uniform elastic cylinder, non-uniform coating.

Bibliography: 31 titles.

For citation:

L. A. Tolokonnikov, 2018, "Diffraction of a plane sound wave on two elastic cylinders with nonuniform coatings" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 238-254.

1. Введение

Создание покрытий, обеспечивающих требуемые звукоотражающие свойства тел, является актуальной проблемой. Обычно покрытия применяются для повышения звукопоглощения и уменьшения отражения звука в определенном направлении. Существуют различные виды покрытий, наносимых на твердые тела. Изменение звукоотражающих свойств упругих тел можно осуществить с помощью непрерывно-неоднородных покрытий. С помощью непрерывно-неоднородного упругого покрытия можно эффективно изменять характеристики рассеяния тел в определенных направлениях, если подобрать соответствующие законы неоднородности для механических параметров покрытия. При этом непрерывно-неоднородные покрытия можно реализовать с помощью многослойной системы тонких однородных упругих слоев с различными значениями механических параметров. С математической точки зрения такое представление эквивалентно аппроксимации непрерывных функций, характеризующих переменные параметры непрерывно-неоднородного слоя, кусочно-постоянными функциями.

Значительный интерес представляют рассеиватели, имеющие форму кругового цилиндра, так как многие реальные объекты достаточно хорошо аппроксимируются телами цилиндрической формы. Задачи дифракции звуковых волн на одиночных упругих цилиндрах, находящихся в безграничной жидкости, рассматривались во многих работах. Дифракция звуковых волн на однородных изотропных упругих сплошных цилиндрах и цилиндрических оболочках исследовалась, например, в работах [1-4]. В [1-2] рассматривался случай нормального падения волны, а в [3-4] — случай наклонного падения. В работах [5, 6] решена задача о рассеянии плоских звуковых волн на неоднородном изотропном упругом цилиндре. Исследованию рассеяния звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем посвящена работа [7]. В [8] найдено решение задачи дифракции плоской звуковой волны на неоднородном анизотропном полом цилиндре в общем случае анизотропии. Решения задач о рассеянии плоской и цилиндрической звуковых волн неоднородными упругими полыми цилиндрами в вязкой жидкости получены в [9, 10]. В работе [11] изучена дифракция плоских звуковых волн на неоднородном изотропном термоупругом цилиндре, помещенном в невязкую теплопроводную жидкость. Исследованию дифракции цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины посвящена работа [12]. В [13] теория резонансного рассеяния использована для анализа рассеяния звука неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочкой. В [14] определены линейные законы неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука.

Серия работ посвящена изучению влияния покрытий цилиндрических твердых тел на их звукоотражающие свойства. В [15] рассмотрены прямая и обратная задачи дифракции плоской звуковой волны на цилиндре с перфорированным покрытием. Выбраны параметры среды резонаторов перфорированного покрытия, обеспечивающие заданный уровень гашения поля дифракции на цилиндре. В [16, 17] обсуждается задача о нерассеивающем покрытии для цилиндра, делающее его акустически прозрачным. Для снижения рассеяния падающей на цилиндр звуковой волны применено тонкое покрытие с протяженной реакцией. Дифракции плоской звуковой волны на упругой цилиндрической оболочке с однородным упругим покрытием исследована в [18]. Выявлены условия, при которых совместный выбор импедан-сов покрытия и оболочки позволяет минимизировать рассеянное поле. Задачи о рассеянии плоских и цилиндрических звуковых волн жестким цилиндром с непрерывно-неоднородным упругим покрытием решены в [19, 20]. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с непрерывно-неоднородным покрытием рассмотрено в [21], а с дискретно-слоистым покрытием — в [22]. Влияние термоупругости материалов цилиндра и его радиально-неоднородного покрытия на рассеяние звука изучено в работах [23, 24]. При этом в [23] рассмотрены как прямая задача дифракции, так и обратная задача об определении законов неод-

нородности материала покрытия, обеспечивающих наименьшее звукоотражение в определенном угловом секторе и в заданном диапазоне частот. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами осуществлено в [25]. В [26] получено приближенное аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на однородном упругом цилиндре, имеющем цилиндрическую полость и радиально-неоднородное покрытие. На основе решения прямой задачи рассмотрена обратная задача об определении законов неоднородности покрытия, обеспечивающих минимальное звукоотражение. В [27] решена задача дифракции плоской звуковой волны на двух неоднородных упругих цилиндрах с жесткими включениями.

В настоящей работе рассматривается задача дифракции плоской звуковой волны на двух однородных упругих цилиндрах с непрерывно-неоднородными упругими покрытиями, находящимися в идеальной жидкости.

2. Постановка задачи

Рассмотрим два одинаковых бесконечных однородных изотропных упругих цилиндра радиусом го, оси которых параллельны. Материал цилиндров характеризуется плотностью ро и упругими постоянными Ао и ^о- Цилиндры имеют покрытия в виде неоднородного изотропного упругого слоя с внешним радиусом г\. Окружающая цилиндры жидкость является идеальной. Ее плотность и скорость звука соответственно равны р\ж с.

Введем основную (х, у, z) и локальные [x+i,y+i,z+i): (х-1,у-1, z-1) декартовы прямоугольные системы координат. Оси локальных координатных систем одинаково ориентированы с соответствующими осями основной системы координат. При этом центры локальных систем координат 0+1 и 0-\ находятся на оси у и на осях вращения цилиндров z+\ ш z-\, расположенных в верхней и нижней полуплоскостях (относительно оси х) соответственно (рис. 1).

Свяжем с основной и локальными прямоугольными системами координат цилиндрические системы координат (r,ip,z), {r+1,(¿>+1, z+1), {r-1,(¿>-1, z-1).

В локальных цилиндрических координатах уравнения внешних поверхностей I - го цилиндра и его покрытия имеют вид r¡ = Го и r¡ = Г1 соответствен но (I = ±1).

Полагаем, что модули упругости А и у материала покрытия I - го цилиндра описываются дифференцируемыми функциями цилиндрической радиальной координаты r¡, а плотность р — непрерывной функцией координаты п (I = ±1): А = X(r¡), у = p,(ri), р = p(r¡).

Пусть из внешнего пространства на цилиндры падает плоская звуковая волна, распространяющаяся в направлении волнового вектора к, который лежит в плоскости ху и образует угол ^о с положительным направлением оси х.

Потенциал скорости падающей волны в системе координат x,y,z равен

Фо = A exp[f(k ■ r) - ut)],

где А— амплитуда волны; ш— круговая частота; к = {к cos ^>о; к sin (ро; 0} r = {х,у, 0}-радиус-вектор; к = ш/с— волновое число жидкости; t — время. В дальнейшем временной множитель е~ш1 будем опускать.

Падающая плоская волна будет рассеиваться цилиндрами. При этом имеет место многократное переотражение между телами.

Определим акустическое поле, рассеянное цилиндрами.

В рассматриваемой постановке задача является двумерной. Все искомые величины не зависят от координаты z.

Рис. 1: Геометрия задачи

3. Аналитическое решение задачи

Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [28]

ДФ(г, ф) + к2Ф(г,р) = 0,

где Ф — потенциал скорости полного акустического поля.

При этом скорость частиц v и акустическое давление р в жидкости определяются по формулам

v = gradФ, р = гр\шФ.

В силу линейности рассматриваемой задачи потенциал Ф представим в виде

Ф = Фо + Ф„ (1)

где Ф s — потенциал скорости волны, рассеянной двумя цилиндрами.

Потенциал скорости рассеянной волны является решением уравнения Гельмгольца и должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности [28]. Учитывая, что

r = r + r0i (l = ±1),

падающую волну запишем в виде

Фо = A exp[f(k ■ roí)] exp[¿(k ■ r)],

где roí = {0, Id} — радиус-вектор, соединяющий точку О с точкой Oí (I = ±1). При этом k ■ r0 = kdl sin (p0.

Представим потенциал скорости падающей волны в локальных цилиндрических координатах в виде разложения [29]

те

Фо(п) = Aeikdlsinp0 ^ inJn(kri)ein(pí-po) (i = ±1), (2)

где ^(х) — цилиндрическая функция Бесселя порядка п. Потенциал Ф 8 будем искать в виде суммы двух слагаемых

Ф, = £ Ф« (3)

г=±1

каждое из которых представляет собой потенциал скорости волны, рассеянной I - ым цилиндром.

Функции Ф^) являются решениями уравнений Гельмгольца, которые в локальных цилиндрических координатах имеют вид:

-— +---— +---— + к2Ф() =0, I = ±1.

дг2 Г1 дг1 г'22 д^2 5 '

С учетом условий излучения на бесконечности функции Ф ^) будем искать в виде

те

Ф1°(П,^)= £ А^Нп(кпI = ±1, (4)

n=—oo

n= — 00

где Нп(х) — цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка п; АП — коэффициенты, подлежащие определению из граничных условий.

Рассмотрим теперь уравнения, описывающие распространение малых возмущений в одно-

родных упругих цилиндрах и их неоднородных упругих покрытиях

Предст; дра в виде

Представим вектор смещения ц^ частиц упругого изотропного однородного I - го цилин-

и0° = gradL(г) + rotФ(г), ё1уф(г) = 0,

где Ь(1^ и Ф(г) — скалярный и векторный потенциалы смещения.

Из уравнения Ламе получаем два волновых уравнения [30], которые для установившегося режима движения переходят в скалярное и векторное уравнения Гельмгольца

АЬ(1) + кТЬ(1) = 0, АФ(1) + к2т Ф(1) = 0,

где к[ = ш/с1 и кт = ш/ст — волновые числа продольных и поперечных упругих волн; С1 = л/(Ао + 2^о)/рои ст = л/№/ро — скорости продольных и поперечных волн.

Так как Ф(г) = Ф(1^(г, где ех — единичный вектор оси г, то от векторного уравнения Гельмгольца приходим к одному скалярному уравнению относительно функции Ф(1\г,<£)

АФ(1) + кТФ(1) = 0.

Компоненты вектора смещения и0г) записываются через функции Ь(1) и Ф(1) следующим образом:

(1) _ дЬ(1) 1 9Ф(г) (1) _ 1 дЬ(1) дФ(1)

У'0т дг1 + п дщ , и°р п д(р1 дп .

Соотношения между компонентами тензора напряжений аООгп а0гр в однородной части I -го цилиндра и компонентами вектора смещения и0г) имеют вид [32]

т = (х +2и ) дь01 + Ао (дьОР + ,0\ ,0 = и ( 1 дуО) + дуор у0р\

аогг =(Ло+2№)^т+ю ^ж+иог), аогр=*+^- ^р) .

Компоненты тензора напряжений &огг ъ аогр выразим через функции Ь(1) и Ф(1) с учетом того, что АЬ(1^ = -кТЬ(1\ Получим

о~огг = -\окТь(1) + 2№

дгТ Г1 дф1 \ дг1 Г1

дТЬ(1) + 1 д ^дФ(1) 1ф (г)'

(

2 дТЬ(1) 1 дЬ(1) дТФ(1) 1 дТФ(1) 1 дФ(г)

а(1) = , ___________|_____+ _

°гр ' Г1 дг1 дф1 гт дф1 дгт гт дфТ г дг1

С учетом условия ограниченности функции и Ф(г) будем искать в виде

те

ь(1)(п,ф)= ^ в^иьпУ^-^, (5)

п=-те те

Ф(1)(гг,ф) = ^ С^Ыктп)егп(р-р0). (6)

п=

Волновые поля в неоднородных упругих покрытиях цилиндров описываются общими уравнениями движения упругой среды [30], которые в локальных цилиндрических координатах имеют вид

ßAi) ßJi) _(0 _(0

Uürr 1 дОгт Orr O mm 2 (j)

-x--1---^ +--— = -ш2риГч,

д n n дщ п

^ + 1 + = -¿Ч0; * = ±i,

дп п дщ п m m

( ) ( ) ( ) ( )

где иг , um и — компоненты вектора смещения u(l) и тензора напряжении в покрытии I -го цилиндра; р = р(ri).

Используя соотношения, связывающие компоненты тензора напряжений с компонентами тензора деформаций (обобщенный закон Гука) [31], а также соотношения, связывающие компонентов тензора деформаций с компонентами вектора смещения [31], из уравнений (7) получаем следующие уравнения движения, записанные через компоненты вектора смещения в локальных цилиндрических координатах:

„ лд2ur] А + ß д2иЮр) ц.д2иГ1) Л/ „ / А + 2ß\ диГ1)

( А + 2ß) —-f- +-Z + ^^г + А + 2ß +-^ +

дг2 П дпдщ г2 дщ V П / дп

1 /, А + 3ß \ диЮ (А' А + 2ß 2 Ч П)

+- А--ß ^ +---2-ß + ш2р) и« = 0, (8)

П V n J дщ \П г2 )

д2иЮ) + А + ß д2иГ1) + А + 2ß д2иЮ) + / , + ди$ 1 дrf ri дпдщг rf дЩ \ fi) дri

("' + ß)

+ 1 (ß + дЩ- + (-ß - ß + ^2р) иЮ) =0; I = ±1,

ri \ П ) дщ V n r2 J m

V

где Л = А(г{)\ ц = ц(Г1); штрих означает дифференцирование по

Компоненты вектора смещения и(г) в неоднородном упругом покрытии I - го цилиндра являются периодическими функциями координаты ^ с периодом 2тт. Поэтому функции и,г\Г1,щ) и иРр (Г\,щ) (I = ±1), удовлетворяющие уравнениям (8), будем искать в виде рядов Фурье

иГ°( П,щ1)= Е и£(n) em(m'-m0), иЦ)(г1 )= Е u2^(ri ). (9)

Подставляя выражения (9) в уравнения (8), получим следующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций иЦ(п) и и2п(Г1) Для каждого п:

л«иГ + Б(М0' + («и« = 0; I = ±1, (10)

где и«) = (и^( 1"I),и2п(Г1)) ) АР, Б®, (Р — матрицы второго порядка.

/ ,/ / Л + 2ц Л + ц \

А + 2ц' +-- т--

A (I) = ( А +2ß М ; -R (1) = ' . П п

A V о ß ); Dn

А + ß iß

гп--ß +--

ri n /

n=—oo

n=—oo

с П° =1

Г1

( А + (2 + пТЬ Т X----— + шТрг1

гп

V

п

гп[ ¡л, +--

V П )

А' -

А + 3ц

П

пТ\ + (2пТ + 1)ц Т

---— + шТрп

П

/

Искомые функции Ф®, Ь(1\ Ф(1), и^ и иРр) (/ = ±1) должны удовлетворять граничным условиям.

заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой неоднородной среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений:

при Г1 = Г\

■ (I) —г шиу

V г,

а{>)

и ту

,

а-

= 0; I = ±1.

(11)

упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения:

при Г1 = Го

(I)

и,г

и.

(1) ог ,

и,

(1)

и,

(1) ор,

а{>)

и ту

о.

(1) огг,

а-

(0 - „(') • / -

гр

огр'

I = ±1.

(12)

Соотношения между компонентами тензора напряжений а®, а^Р в неоднородном покрытии I - го цилиндра и компонентами вектора смещения и(г) имеют тот же вид, что и для однородного упругого материала. Только в этих соотношениях упругие постоянные Ао и цо следует заменить на модули упругости А(гг) и г{).

Для нахождения коэффициентов ап , Вп\ С^} разложений (4-6) и функций и((ц(гг), ^ТП(гг) в разложениях (9) из граничных условий воспользуемся теоремой сложения для волновых цилиндрических функций, которая позволяет волновую функцию Нп(кг{)егпр1, записанную в I - ой локальной системе координат (I = 1 либо I = —1), выразить через волновые функции, но записанные уже в другой, (—I) - ой системе координат.

Теорема сложения имеет вид [29]

Нп(кп)етр = £ Нп-т(2кс1).1т(кг-1)е«п-т)р1,-1*тр-1, 2й> Г-г.

(13)

т=—оо

Здесь через ^1-1 обозначена полярная координата начала О— (—I) - ой локальной системы

2 + I

координат в I - ой локальной системе координат с началом в О\. При этом = —-—п.

Подставляя соответствующие выражения в первое и второе граничные условия (11), получаем две бесконечные системы уравнений (при ] = 1 и ] = 2) для определения коэффициентов л(1)

Лп

^ + £ «ЦМ-0 =*% (П = 0, ±1, ±2,...; * = ±1),

(14)

где а

(-1,1) = ^п(к Г\) П Л(т-п)(р-1!1-р0); р(г) = _л Ап ^п 0 ргкЛ втро +

Тпт = Нп(кг 1)Ит-п(2т)е ; рТп = Аг Нп(кп)6 +

+ -

р!Ш

( Х(г 1) + 2^(п)) (П) + ^ {и(^(г 1) + ыиТКп)

Здесь штрихи означают дифференцирование по аргументу функций.

(-11) = 1) „ (2,,) А(т-п)(р-ц-ро); р (г) = _Л .¡п ^п(кг1) АкЛ втр0_ (Г1) ;

1пт = нп(кп)Ит-п(2т)е ; р1п = Аг Н'п(кп)е кН'п(кг 1);

р

т=

Решение бесконечной системы линейных уравнений может быть найдено методом усечения [30]. При этом приближенные значения неизвестных находятся с заданной точностью путем сопоставления последовательных решений конечных систем, получаемых из бесконечной системы ее усечением с различными возрастающими значениями порядка усечения N.

Для регуляризации систем (14) сделаем в них замену неизвестных А^ новыми неизвестными а^п (] = 1, 2), положив при ] = 1 ъ ] = 2 соответственно [29]

= З'п (кг 1 )а£ I = ±1 (15)

А^ = ,1п(кг 1)а£ I = ±1. (16)

В результате системы N - го порядка усечения (при ] = 1 и ] = 2) будут иметь вид N

4) + £ = ^ (п = 0, ±1, ±2,...^; 1 = ±1), (17)

где С->г) = ^(кг 1) С->г); ^) = ; С-) = 3™(кт 1) С(-); =

^ 1пт т/ /ит \ 1пт ' <11п л \ ' 2пт т \ 2пт ' <12п

Лп(кг 1) 1пт ' •/1п ^(кг 1)' 2пт Мкп) 2пт ' •/2п 7п(кг 1)' Системы (17) является системами (4N + 2) уравнений с (4 N + 2) неизвестными а^ и аУп 1).

Проведем преобразования, позволяющие понизить вдвое порядок систем (17) (при неизменном значении порядка усечения N) без усложнения вычислений матричных элементов и правых частей систем.

Учитывая, что ф+1-1 = 3— 1+ = —, получаем

4т+1) = (-1)т-п^"1) = СЦгт и = 1, 2).

Тогда система (17) принимает вид

а+1) + N С- а-1) = г(+1)

ауп + Суптаут = 1 уп ,

т=-N

Л-1) + (_1)т-пС. Л+1) = А~1)

ауп + ( 1) С]птаут = Э уп .

т=-N

(-1) п

тание уравнений полученной системы. В результате приходим к двум независимым системам линейных уравнений порядка (2 N + 1)

N

£ [ 5пт + (-1Г СУпт\хУт — ХуП, т=-N , „

(18)

N

У! [(&пт ( 1) Супт\уут —

т=-N

(п = 0, ±1, ±2,..., ± N; 2 = 1, 2)

с неизвестными хуп = аУ+1) + (—1)паУп1), ууп = аУ+1) — (—1)паУп1)

и правыми частями Хуп = /]т+1) + (—1)п= /]т+1) — (—^¡у-1^, где Ьпт — символ Кронекера.

и

(20)

Тогда

^1 = (хуп + У3п)/2, а{~1 = (—1)п(х,п — У3п)/2 (,] = 1, 2). (19)

В матричном виде системы (18) запишутся следующим образом:

РзхХз = Ез + §^-и(1+1) + +з^иТ+1) + ^■и(1+1)' + ^и1-1) + ^иТ-1) + ^■и(1-1)' Р зу Уз = Е + gJu(l+1) + 8зИ+1) + ^и1+1)' — ^и^ — 8,иТ-1) — ^И-1 ,

где Р зх = (5пт + ( — 1)т<а]пт)(ТМ+1)х(ТЫ+1) ; РЗУ = (^пт — ( — 1)т<а]пт)(ТМ+1)х(ТЫ +1) ;

ХЗ = (%-З N ,xj(-N+l),..., xjо,xjl,..., ХуМ )Т; Уз = (учм ,yj(-N+l),..., yjо, у^ ..., )Т;

ЕЗ = {Е-jN, Ej(-N+1),..., Ejо,..., EjN)Т ; Ез = (Е-jN, Ej(-N+1),..., Ejо,..., EjN) ; (+1) _ („ ..тт(+1) („л „,,тт(+1)г„л „ „тт(+1)1 хТ

gjU(l+1) = (g-зNU(1+УN(г 1),...,9зои(1^1)(г 1),...,gзNU(1p(r 1)) ;

«зИ^ = (п),..., з3ои{2^1)(г 1),..., 8^иТР(г 1 ))Т;

^'И1+1)' = (г 1),..., 13ои(+1)(п),..., ^и{+1У (г 1))Т ;

= (^и^ (п),.. .,д3ои^+1](г 1),.. .,д^и[++1](г 1))Т; «зИ^ = (П),..., в3ои{2^1)(г 1),...,^иТР(г 1 ))Т ;

^И^' = (Г-^и^(г 1),...,Ъои^Нп),...,^и[+1у(г 1))Т ; Е- = р(+() + ^1)пр(-1); Е- = Р(+()- ^1)пе(-1);

Е3'а = ^Зп + ( 1) ^Зп ; Езп = с-зп ( 1) ^Зп ;

Л1) = Л ^ пгкЛ1 Бт ро; и) = л Ъ ЛкЛ Бтро (/__11);

б1п = Лнп (кг 1)е ; ^ = ЛНп(кп)е (' = ±1);

д Зп = (—1) дз«; = (—1) &зп; ^з« = (—1) ^з« О' = 1,2);

ш г п

91п кНп(кг(),1п(кп); 92п р1шг 1.1п(кг 1); 81п ; 82п р1шг 1.1п(кг 1);

Г1п = 0; ГТП = »[ 1 ) +(2^()1)] (П = 0, ±1,..., ±Ю.

р1Ш,1п{кг 1)

Методом обратной матрицы найдем решения систем (20)

Хз = (Язх)-1 Ез + gjИ^ + 8зИт+1) + ^И1+1) + 1зИ1 1) + «зИТ 1) + ^-ИС

'З I ЬЗ^-Ч I ^З^Т <^3^1 I ЬЗ^-Ч I ^З^Т "Т" ЬЗ '

т(+1) I „ п(+1) I + п(+1)' ~ тт(-1) о тт(-1) г тт(-1)'

Уз = [Рзу )-1 [Ез + gзU(l+1) + 83и+ + tзU(l+1) — 1зИ1-1) — 8зИт-1) — tj■UСl

Запишем в в координатной форме последние два выражения, обозначая через Я_ЗХптъ с1Уупт элементы обратных матриц ((^зХХ)-1 ъ (<3ЗУ)-1 соответственно.

На основании формул (15), (16) и (19) находим выражения для коэффициентов А$. При ] = 1 получаем

Р N

А<п) = ^(кг 1) £ (ЯытЕ1т + IдУуптЕ 1т) + (Я1пт + I(Цпт)91ти{^) (П) +

т=—N

+ ( Я 1пт — I (Цпт)91т^1(-1 )(П) (1 = ±1).

(21)

При ] = 2 будем иметь

N

А(а) 1) ^ {(д?>ПтЕ2т + 1 ч1птЕ2т) +

т=-N

+ (Я2пт + IЯУ2пт) ^т^^ (г 1) + ^т^+^Г 1) + ^т^' (П) ,у тт(~1)(^Л < ^ тЛ-1)^^!, тЛ-1)- "

+

+ (Я1пт — IЯУ2пт) ЪтЩт V 1) + «2т^т V 1) + ^т^т ) 1) (I = ±1)

(22)

Приравнивая правые части уравнений (21) и (22), получаем краевое условие для нахождения частного решения системы (10)

N

Е

т=-N

Уп (кГ 1)

(ЯЛптЕ1т + 1(1\птЕ 1т) — (Ч2птЕ2т + 10^2птЕ2т)

+

+

+

+

+

_Зп(кг 1) ,Г,п (кГ о

Л ((? 1пт + ^ 11пт)91т (Я2пт + ^?2пт)$2т ((? 1пт — 101пт)У 1т — (Я2пт — ^ Я^2пт) 92т

+

Зп(кг 1)

Зп(к

и (+1)+

и1т +

((? 1пт + ¿Огпт) & 1т ( Я2пт + ^ Я^2пт) 8 2т

Зп(к п)

Зп(к г1)

Зп(к п)

Зп(к г1) (пх 1 пУ ^ З (кг 1)(^1пт 1,С11пт)81т

и

(-1) 1 т

+

12пт

"Мп т) 8 2 т

11 (+1) + и2 т +

и(-1)+ и2 т +

( к Г1) {

,!п(к п)

( Я Ыт + I Яыт)^ 1т ( Я2пт + ^ Я^2пт) ^2т

и

(+1)'

1 т

+

+

Зп(кг 1)

Зп(кг 1)

(Я Ыт ^Ыт)^ 1т (Я2пт ^Я"2пт)

и

(-1)' 1 т

= 0 (1 = ±1). (23)

Г1=Г 1

С (0

Сп

Из первых двух граничных условий (12) находим выражения для коэффициентов В^ и

(24)

В() = 7ши}п) (г о) + 72пи2п)(гс), С« = 7зпи|п)(гс) + 74пи2п)( гс) (/ = ±1),

где 71п = кТ гоЗ^ (кТ го)/Дп; 72п = %пЗп(кт го)/Дп 7зп = гпЗ,п(к1 го)/Дп

74п = —к гоЗп (к Го)/Дп; Дп = [кг гоЗ^ (к го)кт гоЗ^ (кт го) — п2Зп(кг го )З,п(кт го)]/го.

Заметим, что неизвестные коэффициенты А®, вО и С$ разложений (4-6) можно найти лишь после определения полей смещений в неоднородных покрытиях.

Из третьего граничного условия (11) и двух последних граничных условий (12) с учетом выражений (24) получаем еще три краевых условия для нахождения частного решения системы (10)

пи® (гг) + гпи()(п) — и()(п)

( )

( )

П=г 1

= 0 (1 = ±1),

{[ Л( п) + 2ц( п )\и1 п( Г1) + [71п^1п + 7зп^2п + А( п)/п\и1п(п) +

+ [72п^1п + 74п^2п + гпЛ( п)/Г1 ]и2п(Г1 )}Г1=Г0 = 0, {ц(п)/цои2п(п) + [71п^3п + 7зп(кп + гпц( п)/(цо П )\и1п( П)+

(25)

+ [l2nd3n + l4nd4n - ß(ri)/(ßon)]U2n(n)}ri =ro = О, (27)

где dln = kf[\oJn(kiro) - 2ßoJ"(h^o)]; d2n = 2/j.oin[Jn(krro) - krroJñ(krro)]/;

d3n = in[Jn(kiro) - 2kiroJ'n(kiro)]/r0; (hn = [k^J"(krro) - krroJ'n(krro) + n2Jn(krro)]/r^.

Таким образом, для нахождения искомых функций ul¿l(ri) и r¡) (I = il) при n = О, il, i2,..., iN необходимо найти решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (10), удовлетворяющих краевым условиям (23), (25) - (27).

Построенная краевая задача решается каким-либо численным или аналитическим методом. Затем по формуле (21) вычисляются коэффициенты (п = О, il, i2,..., iN ; I = il). В результате на основании (3) и (4) получаем аналитическое описание акустического поля, рассеянного цилиндрами

N

Ф,= £ £ A^Hn(kri)én(pi-po\

I=±ln=-N

4. Заключение

Задача дифракции плоской звуковой волны на двух однородных упругих цилиндрах с непрерывно-неоднородными упругими покрытиями, находящимися в идеальной жидкости, представляет интерес не только для изучения дифракции звука на решетке цилиндров, но также служит необходимым элементом решения методом мнимых источников задачи о дифракции звука на одиночном однородном упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящимся вблизи идеальной плоской поверхности (акустически мягкой или абсолютно жесткой).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres //J. Acoust. Soc. Amer. 1951. Vol. 23, № 4. P. 405-418.

2. Doolittle R. D., Uberall H. Sound scattering by elastic cylindrical shells //J. Acoust. Soc. Amer. 1966. Vol. 39, № 2. P. 272-275.

3. Flax L., Varadan V. K., Varadan V. V. Scattering of an obliquely incident acoustic wave by an infinite cylinder // J. Acoust. Soc. Amer. 1980. Vol. 68, № 6. P. 1832-1835.

4. Векслер H. Д., Корсунский В. M., Рыбак С. А. Рассеяния плоской наклонно падающей волны круговой цилиндрической оболочкой // Акустический журн. 1990. Т. 36, вып. 1. С. 12-16.

5. Безруков A.B., Приходько В.Ю., Тютекин В. В. Рассеяние звуко-вых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами // Акустический журн. 1986. Т. 32, вып. 6. С. 762-766.

6. Коваленко Г. П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акустический журн. 1987. Т. 33, вып. 6. С. 1060-1063.

7. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журн. 1995. Т. 41, № 1. С. 134-138.

8. Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 11-14.

9. Романов А. Г., Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 61-70.

10. Толоконников Л. А., Романов А. Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 151-160.

11. Ларин И. В., Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73, вып. 3. С. 474-483.

12. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 9-11.

13. Толоконников Л. А. Резонансное рассеяние звука трансверсально-изотропной неоднородной цилиндрической оболочкой // Известия Туль-ского гос. ун-та. Серия Геодинамика, физика, математика, термодинами-ка, геоэкология. 2006. Вып. 3. С. 106-114.

14. Ларин И. В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 54-62.

15. Иванов В. П. Анализ поля дифракции на цилиндре с перфорированным покрытием // Акустический журн. 2006. Т. 52, № 6. С. 791-798.

16. Бобровницкий Ю.И. Нерассеивающее покрытие для цилиндра // Акустический журн. 2008. Т. 54, № 6. С. 879-889.

17. Бобровницкий Ю. П., Морозов К. Д., Томилина Т. М. Периодическая поверхностная структура с экстремальными акустическими свойствами // Акустический журн. 2010. Т. 56, № 2. С. 147-151.

18. Косарев О. И. Дифракция звука на упругой цилиндрической оболочке с покрытием // Проблемы машиностроения и надежности ма-шин. 2012. Т. 46, № 1. С. 34-37.

19. Романов А. Г., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75, вып. 5. С. 850-857.

20. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202-208.

21. Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Часть 2. С. 265-274.

22. Ларин И. В., Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242-250.

23. Ларин Н.В. Дифракция плоской звуковой волны на термоупругом цилиндре с непрерывно-неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 6. С. 154-173.

24. Ларин Н.В. О влиянии непрерывно-неоднородного покрытия на звукоотражающие свойства термоупругого цилиндра // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 9. Часть 1. С. 395-403.

25. Толоконников Л. А., Ларин И. В., Скобельцын С. А. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами // Прикладная механика и техническая физика. 2017. № 4. С. 189-199.

26. Толоконников Л. А. Определение законов неоднородности покрытия упругого цилиндра с цилиндрической полостью, обеспечивающих минимальное звукоотражение // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 4. С. 67-81.

27. Толоконников Л. А, Логвинова А. Л. Дифракция плоской звуковой волны на двух неоднородных цилиндрах с жесткими включениями // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 54-66.

28. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.

29. Иванов Е. А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

30. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1994. 560 с.

31. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

REFERENCES

1. Faran, J.J. 1951, "Sound scattering by solid cylinders and spheres", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 23, no 4, pp. 405-418.

2. Doolittle, R. D. к Uberall, H. 1966, "Sound scattering by elastic cylindrical shells", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 39, no 2, pp. 272-275.

3. Flax, L., Varadan, V. К. к Varadan, V. V. 1980, "Scattering of an obliquely incident acoustic wave by an infinite cylinder", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 68, no 6, pp. 1832-1835.

4. Vexler, N.D., Korsunskii, V. M. к Rvbak, S. A. 1990, "Scattering of an sloping incident plane wave by a circular cylindrical shell", Akust. Zhurnal, vol. 36, no. 1, pp. 12-16.

5. Bezrukov, A. V., Prihod'ko, V. Yu. к Tvutekin, V. V. 1986, "Scattering of sound waves by elastic radiallv-lavered cylindrical bodies", Akust. Zhurnal, vol. 32, no. 6, pp. 762-766.

6. Kovalenko, G.P. 1987, "About a problem of diffraction of acoustic wave by an inhomogeneous solid body", Akust. Zhurnal, vol. 33, no. 6, pp. 1060-1063.

7. Skobel'tsyn, S.A. к Tolokonnikov, L.A. 1995, "Scattering of sound waves by a transversely isotropic inhomogeneous cylinder layer", Acoustical Physics, vol. 41, no 1, pp. 114-117.

8. Tolokonnikov, L. A. 1998, "Diffraction of sound waves by an inhomogeneous non-isotropic hollow cylinder", Oboron. Tekh., no 4-5, pp. 11-14.

9. Romanov A. G. k Tolokonnikov, L.A. 2009, "Scattering of a plane sound wave bv an inhomogeneous elastic hollow cylinder in a viscous fluid", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 1, pp. 61-70.

10. Tolokonnikov, L.A. k Romanov A.G. 2008, "Diffraction of cylindrical sound waves by an inhomogeneous hollow cylinder in a viscous fluid", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no 2, pp. 151-160.

11. Larin, N. V. k Tolokonnikov, L. A. 2009, "Diffraction of a plane acoustic wave by a non-uniform thermoelastic cylindrical layer bounded by inviscid heat-conducting fluids", J. Appl. Math. Mech., vol. 73, no. 3, pp. 336-343.

12. Tolokonnikov, L. A. 1998, "Diffraction of cylindrical waves by an inhomogeneous transverselv-isotropic cylindrical shell", Oboron. Tekh., no 4-5, pp. 9-11.

13. Tolokonnikov, L.A. 2006, "The resonant sound scattering by a transverselv-isotropic inhomogeneous cylindrical shell", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Geodinam., Phiz., Matem., Termodinam., Geoekolog., pp. 3, pp. 106-114.

14. Larin, N.V., Skobel'tsvn, S.A. k Tolokonnikov, L.A. 2014, "About definition of linear laws of heterogeneity of the cylindrical elastic layer having the least reflexion in the set direction at sound scattering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 4, pp. 54-62.

15. Ivanov, V. P. 2006, "Analysis of the field diffracted by a cylinder with a perforated coating", Acoustical Physics vol. 52, no 6, pp. 683-690.

16. Bobrovnitskii, Yu.I. 2008, "A nonscattering coating for a cylinder", Acoustical Physics, vol. 54, no 6, pp. 758-768.

17. Bobrovnitskii, Yu. I., Morozov, K. D. k Tomilina, T. M. 2010, "A periodic surface structure with extreme acoustic properties", Acoustical Physics, vol. 56, no 2, pp. 127-131.

18. Kosarev, O. I. 2012, "Diffraction of sound by an elastic cylindrical shell with a coating", Probl. Mashinostr. Nadezh. Mashin, vol. 46, no 1, pp. 34-37.

19. Romanov, A.G. k Tolokonnikov, L.A. 2011, "The scattering of acoustic waves by a cylinder with a non-uniform elastic coating", J. Appl. Math. Mech., vol. 75, no. 5, pp. 595-600.

20. Tolokonnikov, L.A. 2013, "Diffraction of cylindrical sound waves by an cylinder with a nonuniform elastic coating", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 3, pp. 202-208.

21. Tolokonnikov, L.A. 2013, "Scattering of an obliquely incident plane sound wave by an elastic cylinder with a non-uniform covering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2-2,

pp. 265-274.

22. Larin, N.V. k Tolokonnikov, L.A. 2015, "The scattering of a plane sound wave by an elastic cylinder with a discrete-layered covering", J. Appl. Math. Mech., vol. 79. no 2, pp. 164-169.

23. Larin, N.V. 2017, "Diffraction of a plane acoustic wave on the thermoelastic cylinder with the continuously inhomogeneous covering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 6,

pp. 154-173.

24. Larin, N.V. 2017, "Influence of the continuously inhomogeneous coating jn the thermoelastic cylinder sound-reflecting properties", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 9-1,

pp. 395-403.

25. Tolokonnikov, L. A., Larin, N. V. k Skobel'tsvn, S. A. 2017, "Modeling of inhomogeneous coating of an elastic cylinder with given sound-reflecting properties", J. Appl. Mech. and Techn. Physics, no 4, pp. 733-742.

26. Tolokonnikov, L. A. 2017, "Determination of the inhomogeneitv laws for an covering of an elastic cylinder with cylindrical cavity,providing minimum sound reflexion", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki , no 4, pp. 67-81.

27. Tolokonnikov, L. A. k Logvinova, A.L. 2015, "Diffraction of a plane sound wave on two nonuniform cylinders with rigid inserts", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no 1, pp. 54-66.

28. Shenderov, E.L. 1972, "Wave problems of underwater acoustics", Sudostroenie, Leningrad, 352 p.

29. Ivanov, E.A. 1968, "Diffraction of electromagnetic waves by two bodies", Nauka i tekhnika, Minsk, 584 p.

30. Sedov, L.I. 1994, "Mechanics of a continuous medium", vol. 2, Nauka, Moscow, 560 p.

31. Nowacki, W. 1975, "Teoria sprezystosci", Mir, Moscow, 872 p.