Математическое моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра, находящегося в плоском волноводе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3; 534.26

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ПОКРЫТИЯ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА, НАХОДЯЩЕГОСЯ В ПЛОСКОМ ВОЛНОВОДЕ

Л. А. Толоконников, Н.В. Ларин

Решены обратные задачи дифракции звука об определении законов неоднородности покрытия упругого цилиндра в плоских волноводах с акустически мягкими и абсолютно жесткими границами, обеспечивающих наименьшее рассеяние звука в заданном сечении волновода. Получены аналитические выражения, описывающие механические параметры неоднородного покрытия.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, упругий цилиндр, неоднородное упругое покрытие, плоский волновод.

Распространение звуковых волн в плоских волноводах, содержащих цилиндрические тела, изучалось в ряде работ. Дифракция звуковых волн на сплошном однородном упругом цилиндре в волноводе с абсолютно мягкими границами исследована в [1]. Задачи дифракции звука на неоднородном трансверсально-изотропном полом цилиндре в волноводе с акустически мягкими и жесткими стенками в случае симметричного расположения тела и симметричного распределения источников относительно оси волновода решены в [2, 3]. В [4 - 7] найдены аналитические решения задач дифракции звуковых волн на упругом полом цилиндре при произвольном расположении тела и произвольном распределении источников в волноводах с идеальными границами. При этом в [4, 5] цилиндр полагался неоднородным, а в [6, 7] - анизотропным.

Задачи дифракция звуковых волн на однородном упругом цилиндре с радиально-неоднородным покрытием в волноводах с акустически мягкими и жесткими границами решены в [8, 9]. В настоящей работе на основе решений прямых задач [8, 9] получим решения обратных задач дифракции звука об определении законов неоднородности покрытия упругого цилиндра в плоских волноводах с идеальными границами, обеспечивающих наименьшее звукоотражение в заданном сечении волновода.

Рассмотрим плоский волновод шириной й с идеальными границами (акустически мягкими или абсолютно жесткими), заполненный идеальной жидкостью с плотностью Р1 и скоростью звука с (рис. 1). В волновод помещен бесконечный сплошной однородный изотропный упругий цилиндр радиуса г0 с плотностью р 0 и упругими постоянными 10 и т о. Цилиндр имеет покрытие в виде коаксиального радиально-неоднородного изотропного упругого цилиндрического слоя с внешним радиусом г. Полагаем, что плотность материала покрытия Р является непрерывной функцией радиальной координаты г, а модули упругости 1 и т - дифференци-

315

руемыми функциями координаты г цилиндрической системы координат г, ф, 2, связанной с цилиндрическим телом. Ось вращения цилиндра совпадает с осью 2 и параллельна стенкам волновода.

Рис. 1. Схема задачи

Пусть вдоль стенок волновода по нормали к поверхности цилиндрического тела распространяется гармоническая звуковая волна давления Ро с круговой частотой w, возбуждаемая заданным распределением источников на сечении волновода, расположенного на расстоянии Хо от оси цилиндра (рис. 1). Будем рассматривать общий случай произвольного расположения источников относительно оси волновода.

Введем прямоугольную декартову систему координат x, y, z так,

чтобы ось x проходила по нижней стенке волновода, ось y лежала в сечении волновода с заданным распределением источников звука, а ось z была параллельна оси цилиндра (рис. 1). В системе координат x, y, z нижняя граница волновода определяется уравнением y = 0, верхняя граница -уравнением y = d, а положение оси цилиндра определяется координатами

x = X о, y = 7о, -¥< z <¥ .

Введенные прямоугольные и цилиндрические координаты связаны между собой соотношениями

x = Хо + r cos j, y = Yo + r sin j, z = z .

Определим законы неоднородности материала покрытия, при которых будем иметь наименьшее рассеяние звука при фиксированной частоте в заданном сечении волновода

x = x*, о £ y £ d, - ¥< z<¥.

316

Для определения законов неоднородности упругого материала покрытия, обеспечивающих требуемое звукоотражение, приходим к необходимости решать коэффициентную обратную задачу. В [10] при решении обратной задачи предложен подход, использующий исключительно решение прямой задачи дифракции звука и не требующий экспериментальных замеров акустических откликов. Такой способ применен при решении обратных задач в [11 - 13] и будет использован ниже.

Так как прямая задача о рассеянии звука упругим цилиндром с неоднородным упругим покрытием, находящемся в плоском волноводе с идеальными границами [8, 9] является двумерной (все искомые величины не зависят от координаты 2), то и рассматриваемая обратная задача будет двумерной.

В области х > 0 давление в падающей волне может быть представлено совокупностью собственных волн волновода, распространяющихся вдоль оси х

Р0 fe y )= Z Ane'jnX Ш sin1 пУ ,

ig nx - iwt

Ane

n=0

где

/ 2 2

gn = V k - 1n , k = w/ c, 1 n = pn/ d, An - заданные амплитуды. Временной множитель exp(- iwt) далее опускается.

В цилиндрической системе координат падающая волна может быть записана следующим образом:

¥

Р0 (r, j)= Z amJm (kr)eimj ,

m=-¥

где

¥ ^ f 1 Л

im Z a eignXo sin 1 n70 - m arcsin

v k J

ат = т I лпе^л0вт

п=0

Зт (кг) - цилиндрическая функция Бесселя порядка т .

Давление полного акустического поля в волноводе

Р = Ро + Ps .

Давление рассеянного цилиндром поля р8 представляется в виде потенциала простого слоя [8, 9]

Ps (х, У )= !П1 (хо, Уо О(х, УI хо, Уо №о ,

Ьо

где У1(хо, Уо) - неизвестная функция, описывающая распределение источников поля р8 на внешней поверхности неоднородного покрытия; О (х, у | хо, У о) - функция Грина; Ьо - окружность радиуса г с центром в точке (X о,Го); = г^ф о - элемент контура Ьо.

317

Функция Грина в случае мягких границ волновода имеет вид [8]

¥ ' 'II

в(х,у | Х0,У0 )= Т-т— sin(1„у) sin(1„У0)вПп|Х-п=0 "Уп

а в случае жестких стенок волновода - вид [9]

¥ ' 'II

в(х,у | Хо,Уо)= Т -тт.—- ч ^(1пУ)cos(1nУ0)егУпХ"Х°, п=0 "(1 + 5 0п )У п

где 5 оп - символ Кронекера.

В полярных координатах выражение для р8 записывается в виде

2р

р8(г,ф)= |у(фор(г,ф| Г1,фо)фо, о

где п(хо,Уо) = г1п1(хо,Уо).

Нахождение функции плотности источников на внешней поверхности покрытия п(фо) приведено в [8, 9].

При определении законов неоднородности покрытия с требуемыми звукоотражающими свойствами будем считать, что функции р(г), Х(г), ^(г) аппроксимированы многочленами второй степени относительно переменной г, то есть будем рассматривать следующие параболические законы неоднородности упругого материала покрытия:

Л(г ) = л1л(г), (1)

где

Л(г) = Л(о) + Л(1)г + Л(2)г2, (2)

1 г-,

Л - характеристика однородного материала покрытия. Здесь и далее под символом л подразумеваем каждую из величин р, 1, т. Построим функционал вида

1 " 2 p[р, 1 т]=- лр5 (х*, у} "У , (3)

" о

определенный на классе параболических функций р(г), Х(г), ^(г) и выражающий усредненную интенсивность рассеяния звука в заданном сечении волновода ( х = х* ).

Найдем такие значения коэффициентов параболических функций (1), при которых функционал достигает минимального значения.

Для функций р(г), Х(г), ^(г), определенных на отрезке [го, г- ], введем ограничения

С-л<Л(г )< С2л, (4)

где С-л и С2л - некоторые положительные константы.

Геометрически каждое неравенство (4) задает в прямоугольной системе координат с осью абсцисс г и осью ординат / бесконечное множество кривых, лежащих в прямоугольной области

П(Л(о),Л(1),Л(2)) = {(г,/): го £ г £ гь С^ £ / £ С2Л}, показанной на рис. 2, а.

а

б

Рис. 2. Область ^(л(о),л(1),Л(2)) и допустимые параболические зависимости для функции р(г)

В области ^(л(о),Л(1),Л(2)) каждую параболу будем определять тремя точками Оол (го , /ол ), О1л (г, /1л ) , О2л (гь /2л ), где г = (го + Л)!2, /дл е [С1л, С2л ] (Я = о, 1,2). Подставляя координаты точек Оол, О^, О2л в выражение (2), приходим к системе трех линейных уравнений с неизвестными л(о), л(1), л(2). Решая полученную систему, находим

П = R _1f

h

где fh = (/ол, /1h> f2h )T' R

П = (h(0), h(l), h(2))

2 ^

r0 "

T

(5)

0

r r2

r1

Выбирая из отрезка [С\л, C^h ] значения для ординат /ол, , / и вычисляя с помощью соотношений (5) значения коэффициентов h(0),

h(1), h(2), получаем параболические (линейные при h(2) = 0) законы неоднородности материала покрытия. При этом не все параболические законы подлежат рассмотрению. Если выполняется условие

319

2

л^ ,(2)

r0 <--^Г<

2л

то это означает, что абсцисса вершины параболы принадлежит отрезку [ro, п ]• В этом случае параболу следует рассматривать только тогда, когда ордината ее вершины принадлежит отрезку [С^, C^ ], то есть когда выполняется условие

C <Л(0) Л(1)2 < C С]Л<Л - ^Л(5)< C2h •

Нахождение значений неизвестных коэффициентов Л(0), Л(1), л(2) функций (1), удовлетворяющих условиям (4) и минимизирующих функцию девяти переменных

р(р(0), р(1), р(2), 1(0), 1(1), 1(2), m(0), m(1) , m(2))® min

осуществим методом последовательного перебора.

Осуществив минимизацию функционала (3), получаем аналитическое описание оптимальных механических параметров неоднородного покрытия.

Ниже приведены результаты численной реализации описанного выше алгоритма.

Были проведены расчеты интенсивности рассеяния звука Р для цилиндра радиуса /q = 1 м с покрытием толщиной 0.1 м, находящегося в плоском волноводе шириной d = 5 м, заполненном водой (р1 = 1000 кг/м3, c = 1485 м/с). Положение оси цилиндра определялось координатами X0 = 10 м и 70 = d/2 м. Амплитуды An полагались равными единице. При расчетах рассматривался алюминиевый цилиндр (р0 = 2700 кг/м3,

10 = 5.3 • 1010 Н/м2, m0 = 2.6 • 1010 Н/м2) с покрытием на основе полимерного материала (р1 = 1070 кг/м3, 11 = 3.9 • 109 Н/м2, m1 = 9 8 • 108 Н/м2), неоднородного по плотности. При этом для функции р(г) вводилось ограничение (4), в котором С1р = 0.5, С2р = 1.5. Такие значения границ неравенства (4) обеспечивают достаточно широкий диапазон изменения функции р(г), когда максимально возможное значение функции больше минимально допустимого значения в три раза. При проведении вычислений в области ^(р(0), р(1), р(2)), строилась двумерная сетка для одинаковых шагов (Нур= 0.5, q = 0,1,2), отмеченная на рис. 2б точками. Рассчитанные на

этих сетках наборы коэффициентов р(^ определяют в области

320

W(p(0),р(1),р(2)) все допустимые функции p(r), показанные на рис. 2б. Из этих законов в соответствии с изложенным выше алгоритмом выбираются те, которым соответствует минимальное значение Р.

Вычислительный эксперимент проводился для сечения волновода с абсолютно жесткими границами при х* = (X0 - ri)/2 и при частоте падающей волны, соответствующей волновому числу kr1 = 2. Порядок усечения рядов N выбирался равным 2[kr¡ ], где [ • ] - целая часть числа. Для

рассматриваемой частоты увеличение N практически не сказывается на результатах расчетов. Минимальному значению Р равному 0.377 соответствует упругое покрытие со следующими свойствами:

p(r) = 1070 • (l06 - 205r + 100r2),

l(r ) = 3.9 • 109, m(r ) = 9.8 • 108.

Таким образом, осуществлено математическое моделирование непрерывно-неоднородного покрытия, обеспечивающего наименьшее рассеяние звука упругим цилиндром в заданном сечении волновода с идеальными границами.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-41-710083) и Правительства Тульской области.

Список литературы

1. Применение метода интегральных уравнений к задаче о дифракции акустических волн на упругих телах в слое жидкости / В.Е. Белов, С.М. Горский, А.Ю. Зиновьев, А.И. Хилько // Акуст. журн. 1994. Т. 40. Вып. 4. С. 548-560.

2. Толоконников Л. А., Садомов А. А. О дифракции звука на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке в слое жидкости // Известия Тульского государственного университета. Серия «Математика. Механика. Информатика». 2006. Т. 12. Вып. 5. С. 208-216.

3. Садомов А. А. Дифракция звука на неоднородной анизотропной цилиндрической оболочке в волноводе с жесткими границами при симметричном распределении источников первичного поля // Вестник Тульского государственного университета. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи». 2007. Вып. 1. С. 76-83.

4. Толоконников Л. А., Романов А.Г. Распространение звука в волноводе в присутствии неоднородной цилиндрической оболочки произвольной толщины // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С.161-176.

321

5. Толоконников Л. А., Романов А.Г. Дифракция звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2оо9. Вып. 1. Ч. 2. С.3-Ю.

6. Толоконников Л.А. Дифракция звука на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2оо9. Вып. 3. С. 154-163.

7. Толоконников Л. А. Дифракция звука на анизотропном цилиндре в волноводе с акустически жесткими границами // Вестник Тульского государственного университета. Серия «Математика. Механика. Информатика». 2оо9. Т.15. Вып. 2. Механика. С. 95-Ю6.

8. Толоконников Л. А Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими границами // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2о15. Вып. 1. С. 43-53.

9. Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с абсолютно жесткими границами // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2о15. Вып. 2. С. 76-83.

10. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Определение законов неоднородности плоского упругого слоя с заданными звукоотра-жающими свойствами // Акустический журнал. 2о15. Т. 61. № 5. С. 552558.

11. Ларин Н.В., Скобельцын С. А., Толоконников Л.А. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоот-ражающими свойствами // Прикладная математика и механика. 2о16. Т. 8о. № 4. С. 48о-488.

12. Толоконников Л.А., Ларин Н.В., Скобельцын С.А. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукотра-жающими свойствами // Прикладная механика и техническая физика. 2о17. Т. 58. №. 4. С.189-199.

13. Толоконников Л.А., Ларин Н.В., Скобельцын С.А. Моделирование неоднородного покрытия упругого шара с требуемыми звукоотража-ющими свойствами // Математическое моделирование. 2о17.Т. 29. № 11. С. 89-98.

Толоконников Лев Алексеевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, 1о1окопп1коу1аа,таИ. ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Ларин Николай Владимирович, канд. физ.-мат. наук, доцент, ¡аппаеЫпдтаП.ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет

322

MATHEMATICAL MODELLING OF AN INHOMOGENEOUS COATING OF AN ELASTIC

CYLINDER IN A PLANE WA VEGUIDE

L.A. Tolokonnikov, N. V. Larin

The inverse problems of sound diffraction are solved for determining the inhomoge-neity laws of the coating of an elastic cylinder in plane waveguides with acoustically soft and absolutely rigid boundaries that ensure the smallest sound scattering in a preset section of the waveguide. The analytic expressions describing the mechanical parameters of an inhomoge-neous coating are obtained.

Key words: diffraction, sound waves, elastic cylinder, non-uniform elastic coating, plane waveguide.

Tolokonnikov Lev Alexeevich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, tolokonnikovlaamail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Larin Nikolai Vlaqdimirovich, candidate of physical and mathematical sciences, do-cent, larinaelena mail. ru, Russia, Tula State University