Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи плоскости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 2

УДК 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-199-216

Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи плоскости 1

Толоконников Лев Алексеевич — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

e-mail: [email protected]

Аннотация

В статье рассматривается задача дифракции плоской звуковой волны на однородном упругом шаре с раднально-неоднородным упругим покрытием, находящемся вблизи плоскости. Полагается, что тело помещено в идеальную жидкость, подстилающая плоская поверхность является абсолютно жесткой или абсолютно мягкой, законы неоднородности материала покрытия описываются непрерывными функциями.

Задача сведена к задаче дифракции на двух телах. Согласно методу мнимых источников граница раздела сред заменена на зеркально отображенный мнимый шар, находящийся в поле двух плоских волн. Получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на двух одинаковых однородных упругих шарах с радиально-неоднородными покрытиями, находящихся в безграничной идеальной жидкости. Для решения задачи использована теорема сложения для сферических волновых функций. Получено аналитическое описание волновых полей в содержащей среде и однородных упругих телах в виде разложений по сферическим функциям, а для нахождения полей смещений в неоднородных покрытиях шаров построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. На основе решения задачи дифракции плоской волны на двух телах записано решение дифракционной задачи в случае рассеяния второй плоской волны. Путем суммирования результатов решения двух дифракционных задач получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом шаре с покрытием, находящемся вблизи плоской поверхности.

С помощью непрерывно-неоднородных упругих покрытий можно эффективно изменять характеристики рассеяния тел в определенных направлениях, если подобрать соответствующие законы неоднородности для механических параметров покрытия.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, однородный упругий шар, неоднородное покрытие.

Библиография: 24 названий. Для цитирования:

Л. А. Толоконников. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи плоскости // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, вып. 2, С.199-216.

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).

200

il. A. Tojiokohhhkob

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 2

UDC 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-199-216

Diffraction of a plane sound wave by an elastic sphere with an non-uniform coating located near a plane

Tolokonnikov Lev Alekseevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University. e-mail: [email protected]

Abstract

In paper the problem of diffraction of a plane sound wave by a homogeneous elastic sphere with radially non-uniform elastic coating located near a plane. It is necessary that the body-is placed in an ideal fluid, the spreading flat surface is absolutely rigid and absolutely soft, heterogeneity laws of a coating material are described by continuous functions.

The problem is replaced by a problem of diffraction on two bodies. According to a method of imaginary radiants the dividing boundary of mediums is substituted by with mirrorly mapped imaginary sphere which is situated in the field of two plane waves. The analytical solution of the problem of diffraction of a plane sound wave by two identical homogeneous elastic spheres with radially non-uniform coatings situated in an ideal unlimited fluid is received. For solution of the problem the addition theorem for spherical wave functions is used. Analytic expressions In the form of decomposition on spherical functions are obtained which describe the wave fields in the containing medium and the homogeneous elastic bodies. The boundary-value problem for the system of ordinary differential equations of the second order is constructed for determination of the displacement fields in non-uniform coatings. On the basis of solution of problem of diffraction a plane wave by two bodies the diffraction problem for case of scattering of second plane wave is received. By summation of results of solutions of two diffraction problems the analytical solution of the problem of diffraction of a plane sound wave by a elastic sphere with coating located near a plane is received.

By means of an continuous-non-uniform elastic coatings it is possible to change effectively-scattering performances of bodies in determinate directions if to pick up corresponding the inhomogeneity laws for mechanical paramétrés of a coating.

Keywords: diffraction, sound waves, uniform elastic sphere, non-uniform coating.

Bibliography: 24 titles.

For citation:

L. A. Tolokonnikov, 2018, Diffraction of a plane sound wave by an elastic sphere with an nonuniform coating located near a plane", Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 199-216.

1. Введение

Многие реальные объекты хорошо аппроксимируются телами сферической формы. Исследованию дифракции звуковых волн на упругих сферических телах, находящихся в безграничной жидкости, посвящена обширная литература. Дифракция звуковых волн на однородных изотропных упругих сплошных шарах и сферических оболочках изучалась, например, в работах [1-5]. В работе [1] рассмотрено рассеяние плоских волн сплошным шаром. В [2] изучено рассеяние плоской волны тонкой сферической оболочкой, описанной по безмоментной теории. В [3] для анализа рассеяния звука шаром использована теория резонансного рассеяния. Задача дифракции плоской звуковой волны на сферической оболочке произвольной толщины, описанной по трехмерной теории упругости, решена в [4]. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью исследована в [5]. В [6] рассмотрено рассеяние звука неоднородным трансверсально-изотропным сферическим слоем. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном изотропном термоупругом полом шаре, помещенном в невязкую теплопроводную жидкость, изучена в [7].

Изменение звукоотражающих свойств упругих тел можно осуществить с помощью непре рывно-неоднородных покрытий, подбирая соответствующие законы неоднородности для механических параметров покрытия. Работы [8-13] посвящены изучению влияния покрытий сферических упругих тел на их звукоотражающие свойства. В работах [8-10] решены задачи дифракция плоской, сферической и цилиндрической звуковых волн на упругом шаре с радиально-неоднородным покрытием. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с непрерывно-неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической полостью рассмотрена в [11]. В [12] осуществлено моделирование неоднородного покрытия упругого шара с требуемыми звукоотражающими свойствами. В [13] показана возможность моделирования непрерывно-неоднородного по толщине покрытия шара системой однородных упругих слоев.

В упомянутых выше работах полагалось, что упругие тела помещены в безграничное пространство. Однако в реальности тела находятся в присутствии ограничивающих поверхностей, влияние которых на рассеянное акустическое поле является значительным. В известных работах, посвященных изучению рассеяния звука сферическими телами, находящимися вблизи границ раздела сред, рассматривались рассеиватели, не имеющие покрытий. Рассеяние плоской звуковой волны абсолютно жесткой сферой в присутствии абсолютно мягкой или абсолютно жесткой плоской поверхности исследовано в [14, 15]. В [16] методом Т-матриц решена задача о рассеянии плоской звуковой волны упругой сферической оболочкой, находящейся вблизи границы раздела сред жидкость-упругое полупространство. В [17] численно исследовано рассеяние звука жесткими и мягкими сферами в присутствии плоской поверхности. Дифракция звуковых волн, излучаемых точечным источником, на импедансной сфере вблизи ипмедансной плоскости исследована в [18]. Дифракция звука на упругой или импедансной сфере, расположенной вблизи импедансной или упругой границы полупространства, рассмотрена в [19].

Задачи дифракции звука на сферических телах с неоднородными покрытиями в присутствии ограничивающих поверхностей представляют значительный теоретический и практический интерес. С математической точки зрения такие задачи являются существенно более сложными по сравнению с дифракционными задачами для тел, расположенных в безграничной среде.

В настоящей работе рассматривается задача дифракции плоской звуковой волны на однородном упругом шаре с непрерывно-неоднородным упругим покрытием, находящемся вблизи плоской поверхности.

2. Постановка задачи

Рассмотрим однородный изотропный упругий шар радиусом го- Материал шара характеризуется плотностью ро и упругими постоя иными Ао и ро- Шар имеет покрытие в виде радиально-неодпородпого изотропного упругого слоя с модулями упругости А и р. Внешний радиус покрытия г\. Шар находится в полупространстве, заполненном идеальной жидкостью с плотностью р! и скоростью звука с, вблизи плоской поверхности Г, которая является абсолютно жесткой или акустически мягкой. Расстояние от центра шара до плоскости равно й {(I > п).

Пусть из внешнего пространства на шар падает плоская звуковая волна с временной зависимостью е-гш\ где ш — круговая частота; Ь — время. При рассеянии звука шаром возникают многократные переотражения между телом и плоскостью.

Определим акустическое поле, рассеянное шаром с неоднородным покрытием в присутствии плоскости.

3. Сведение задачи к задаче дифракции на двух телах

В качестве основной системы отсчета возьмем прямоугольную декартову систему координат (х, у, z) с началом в точке О, лежащей на плоскости Г. При этом оси х и у расположены на плоскости, ось z — перпендикулярна Г центр шара находится на оси z.

Потенциал скорости падающей плоской волны, распространяющейся в направлении волнового вектора ki, в основной системе координат имеет вид

Ф01 = Aexp[¿(ki ■ r) - ut)],

Где а _ амплитуда волны; ki = [к sin в0 cos р0, к sin в0 sin р0, к cos в0}\ r = [x,y,z] — радиус-вектор; к = ш/с — волновое число жидкости; и ^>0 — полярный и азимутальный углы падения плоской волны.

В дальнейшем временной множитель е-гш1 будем опускать. Потенциал скорости полного акустического поля

Ф = Ф01 +Ф5,

где Ф5 — потенциал скорости волны, рассеянной шаром и плоскостью.

Скорость частиц v и акустическое давление р в содержащей жидкости определяются по формулам

v = gradФ, р = гр1шФ.

Г

в равенстве нулю нормальной скорости частиц жидкости

<9Ф

dz

= 0.

z=0

Г

в равенстве нулю акустического давления

= о.

Сведем поставленную задачу к задаче дифракции звука на двух одинаковых телах. Для этого исключим плоскую границу раздела сред, вводя зеркально отраженный от нее рассеивающий объект и вторую падающую плоскую волну, распространяющуюся в направлении

волнового вектора кг- Причем век тор кг является зеркальным отражение м вектора ki относительно плоскости Г к2 = [к sin в0 cos р0, к sin в0 sin р0, —к cos в0}.

Чтобы граничные условия на плоскости Г (при z = 0 ) удовлетворялись автоматически, потенциал скорости второй падающей плоской волны должен быть равен

Ф02 = Aexp[¿(k2 ■ r)], если плоскость Г абсолютно жесткая, и

Ф02 = —A exp[¿(k2 ■ r)],

Г

Таким образом, исходную задачу свели к задаче дифракции двух плоских волн с потенциалами скорости Ф01 и Ф01 на двух одинаковых упругих шарах с неоднородными покрытиями, находящихся в безграничном пространстве, заполненном однородной идеальной жидкостью. Так как рассматриваемая задача является линейной, то следует найти решение задачи дифракции каждой из двух плоских волн на двух сферических телах, а затем полученные результаты просуммировать.

Потенциал скорости полного акустического поля будет равен

Ф = Ф01 + Ф02 + Ф*1 + Ф«2,

где Ф.,1 и Фs2 — потенциалы скорости рассеянных двумя шарами первой и второй плоских волн соответственно.

4. Аналитическое решение задачи дифракции плоской волны на двух шарах с покрытиями

Рассмотрим задачу дифракции плоской волны с потенциалом скорости Ф01 на двух одинаковых однородных упругих шарах радиусом Г0 с радиально-неоднородными покрытиями, внешний радиус которых п. Расстояние между центрами шаров 2d.

Наряду с основной системой координат (х, у, z) введем локальные прямоугольные декартовы системы координат (ж+1 , у+1,2+1) и (ж—1, у-1, 2—1), связанные с шарами, находящимися в верхнем (z > 0) и нижнем (z < 0) полупространствах соответственно. Оси локальных координатных систем одинаково ориентированы с соответствующими осями основной системы координат. При этом центры локальных систем координат О+1 и 0—1 находятся в центрах шаров и лежат на оси z.

Свяжем с основной и локальными прямоугольными системами координат сферические системы координат (г,0,^), {г+1,0+1,^+1), {г-1,в-1,^-1) соответственно. В локальных сферических координатах уравнения внутренней и внешней поверхностей покрытия I - го шара имеют вид r¡ = Г0 и r¡ = Г1 соответственно (I = ±1).

Полагаем, что модули упругости Л и р материала покрытия I - го шара описываются дифференцируемыми функциями сферической радиальной координаты r¡, а плотность р — непрерывной функцией координаты п (I = ±1): Л = Л(г1), р = p(r¡), р = p(r¡).

Определим акустическое поле, рассеянное шарами.

Ф1

Ф1 = Ф01 + Ф*Ь (1)

При этом скорость частиц жидкости V1 и акустическое давление Р1 во внешней среде определяются по формулам

v1 = gradФ1, р1 = гр1шФ1.

Так как r = r¿ + roí (I = ±1) т0 падающую волну запишем в виде

Ф01 = Aexp[¿(ki ■ roí)} exp[¿(ki ■ r)},

где roí = [0, 0, Id} — радиус-вектор, соединяющий точку О с точкой Oí (I = ±1). При этом k1 ■ r0i = kdl cos в0.

Представим потенциал скорости падающей волны в локальных сферических координатах в виде разложения [21]

те п

Ф01(П, e¡, ^) = АегШcosd0 £ ^ lmnjn(kri)P™(cos вг) cos т(<рг — Ы (I = ±1), (2)

n=0 т=0

(w — т)\

где 1тп = (2п + 1)(2 — 50т)гп^———yjPm(cos 00); jn(x) — сферическая функция Бесселя порядка щ РПт(х) — присоединенный многочлен Лежандра степени п порядка т\ ¿0т — символ Кропекера.

Потенциал скорости волны, рассеянной двумя шарами, Ф51 является решением уравнения Гельмгольца

ДФ,1(г, в, ф) + к\Ф31(г, в,ф) = 0

и удовлетворяет условиям излучения на бесконечности [20]. Потенциал Ф51 будем искать в виде суммы двух слагаемых

ф-1 = Е ф^, (3)

г=±1

каждое из которых представляет собой потенциал скорости волны, рассеянной I - ым шаром.

Функции ФЙ являются решениями уравнений Гельмгольца, которые в локальных сферических координатах имеют вид:

+2^ + ^á (sin*^) + ^íf + *?Ф2 = 0, (= ±1.

drf rl drl г2 sin Ql dQl \ d9l I rf sin2 6l d^f

С учетом условий излучения на бесконечности функции Ф® будем искать в виде

те п

ф2(пД) = £ ^ A<£nhn(kri)P™(cos61 )cosт(щ - щ), l = ±1, (4)

n=0 m=0

где hn(x) — сферическая функция Ганкеля первого рода порядка п; — коэффициенты, подлежащие определению из граничных условий

Е виде

u0° = gradL(l) + rotФ(l), divФ(l) = 0,

где L(f и Ф(1^ — скалярный и векторный потенциалы смещения в I - ом шаре, которые в случае установившегося режима движения удовлетворяют уравнениям [20]

AL(l) + kfL(l) = 0, (5)

ДФ(1) + к2 Ф(1) = 0, (6)

где kl = ш/ci и кТ = ш/ст — волновые числа продольных и поперечных упругих волн; Cl = л/(А0 + 2^0)/р0и ст = л/р0/р0 — скорости продольных и поперечных волн.

Представим вектор смещения ц^ частиц упругого изотропного однородного I - го шара в

Скалярный потенциал смещения являющийся решением уравнения (5) в локальной сферической системе координат, при учете условия ограниченности будем искать в виде

те п

Ь(1)(п, в1,щ) = £ £ В(Ъп(кг1 )РГ(ес8 вг )со8т(щ -<р0), 1 = ±1. (7)

п=0 т=0

Представим векторный потенциал смещения через две скалярные функции ии

V(1) [22]

Ф(1) = гс^гсй( пи (1)еГ1) +кТ rot(nV (1)еГ1),

где еГ1 — орт сферической координатной оси Г1. В результате вместо векторного уравнения (6) получим два скалярных уравнения Гельмгольца относительно введенных скалярных функций и(1) и V(1)

А и(1) + к2ги(1) = 0, Д V(1) + к^(1) = 0.

Функции

и (» и V « при учете условия ограниченности будем искать в виде

те п

и(1)(п, вищ) = £ £ стшкгП)Рпт(ео8 в1)8\пт(щ - <ро), (8)

п=0 т=0

V(l1(rl, 6г щ) = ^ ПтпЭп(кгП )Рпт(со8 вг )со8т(щ - щ).

(9)

п=0 т=0

Б разложениях (4), (7), (8), (9) вид зависимостей от щ определяется соображениями симметрии векторов скорости V и смещения и^) относительно плоскости щ = <ро, що + ж (компо-

ненты уг, и00^, и00д симметричны, а компонента и)0)^ антисимметрична).

(0

Компоненты вектора ^ 1 выражаются через функции и( 1) и V (1) следующим образом:

и(0 = ЁЬ + к

и0г = д п + кт

В2

^ (г ¡V (1))+кт 2 г ¡V(1)

(I) = 1дЬ + кг_

ио° = пдв г + п

ктп ди(1) д2

и(1) = 1 дЬ + кг 0 ^ Г1 8Ш в\ дщ Г1

8т вг дщ дщдвг 1 д2

((1))

(10)

8т в I дгфщ

(г^(1)) - кгП

ди(1) ~двГ

Соотношения между компонентами тензора напряжений „00гг> ао0гв> а0г<р в однородной части I - го шара и компонентами вектора смещения и0^ имеют вид [23]:

.(0

„(Ч = (А + 9» )ди0г + Д0 [9и(0 + ди01(1 ,и(1) ctgл + 1 ди001

„0гг = (А0 + 9»0)-^— + — 9и0г + и0в ^ +

ДО ^,,лди0г. + ^ [9„(0 + ди0в , „.(0

" " дп + П \9и0г + двг

(I) = ¡1 ди0г и0в + ди0в | „(') = » ( 1 ди0г + —0

в = »М Г1 дд1 п + дп ¡, „0гV = »0\ п 81п в1 дщ п + дп

1 д и

( ) ( )

( )

и0в + ди00

^ (0 (

I , „0г ч> = »0 I -

81п дщг

( ) и( ) д и( )

1 ди0;) и0^

0 <р

)

(11)

Используя (10), выразим „0,1, и и(0 и V(0 с учетом того, что

( )

А Ь(г ) = -к2Ь(11.

уравнениями движения упругой среды, которые для установившегося режима движения в сферической системе координат имеют вид [23]

да?} 1 до®

ß)

+

гв + 1 дат^ 1

dri ri д0i ri sin 0i дщ ri

+ - (2 - a¡S - а®, + a¡S ctg 0^ = -р(п)üü2uíl\

'гв

до

1 д а ( i ) 1

^ + - ^ + —Цг д^ + - а« ) ctg Ol + За«] = -pinWuf, (12)

дri ri д0i ri sin 0i 'дщ ri ««

даг\ 1 д0в1 . 1 да(^ . 1 (i) . 0 (i) , д ч , ч 2 (i)

+ —^д + ——К^Р1- + -(За^ + 2o¿¿ ctg 6>i) = -р(П)e д^ п дvi 77 sin vi дщ п « «

(i) (i) (i) (i) (i) где ur, u^ , u« и агу — компоненты вектора смещения u(l) и тензора напряжении в покрытии

Используя связь компонентов тензора напряжений с компонентами тензора деформаций (обобщенный закон Гука), а также выражения компонентов тензора деформаций через компоненты вектора смещения [23], получаем в сферической системе координат следующие соотношения:

а

« = ( А + 2,) ^ + - ( 2uii) + ^ + u¡¡) ctg 0i +

(

д u

( )

( )

1 д u

o(i) = А а an — А

äul

д ri

+

дп п 1 r

]-4) +

д Oi

sin Oi дщ

2( А + ,).,(i) , (А + 2,) д^о) + -((i)^ü , 1

+ од +

п дOi п 1 р

П

(

,

1 д u

( )

sin Oi дщ

= ^ + ^u<i) + + (Л+М / .<i)ctg, + -L*^ ,

« дri ri ri дOi п у ° sin Oi дщ J

uf+ Cu^] aii)= ( 1 du^ ul +

yri д Oi п дг i J ■ 0rip ß y n sin Oi дщ п дг i J '

(13)

( )

art) — ,

аS = ß (A" f + df -«!? ctg 4

r i y sin Oi дщ дOi «

( )

( )

)

Подставим выражения (13) в (12). Вводя новые функции и из с помощью соотношений

u

( )

д u

( )

+

1 du

( ) 3

дOi sin Oi дщ

u

1 du2i du

(i) 3

(i) = , « sin 0i дщ d0i '

(14)

приходим к системе уравнений, записанных относительно функций uT\ u^ и u3i):

( А + 2ß)

д2пГ)

д г"2

+

А' + 2,,' +2(А + 2">

ri

duri)

dri г,2

+ 4 ^[uri)]+

+

2 . , А + 2,\ 2

— ( А'--- j + peo2

П

í r) +

n

. d А + 3,

( А + ,)—+ А'--^

dri п

Q[u2i)] — 0,

1

П

. д , 2(А + 2,)

dri п

duP д01

+ ^^ ü[u2i)] +

д

+ ^ + ^i - 7i + pe2

du

(i)

+

1 д u

(i )'

3

döi sin 0i дщ

d Oi

+

rj sin 0i дщ

д2 ^ +

d Q[u3i)] — 0,

(15)

(16)

2

2

1

ri sin 6i

. д , 2(Л + 2 j)

( Л + j)—+j + ^-^

дп п

+

1 ди2° sin di dipi

д и

(i)'

д i

+

dpi

Л + 2j д

rf sin в др1

' д2 í , 2j\ д j' 2

^ rf \ ri ) д ri ri

^[ufl)] - ^[4i)] = 0,

rf д 6i

где

д2 д 1

д2

дв2 6 двг sin2 вгдр2'

(17)

Штрихами обозначено дифференцирование по радиальной координате ri.

Проделаем следующие преобразования. Уравнение (16) домножим на sin 8i и продифференцируем по 0i, а уравнение (17) продифференцируем по pi. Складывая полученные уравнения, приходим к уравнению, содержащему только функции и и^'

1

П

. д , 2(Л + 2j)

( Л + j)— + j + ^-^

дп п

q[41)]+

+

д2 ( , 2j\ д j 2 Л + 2j 1

' д rf

дп п

П[и(2) ] = 0.

(18)

Затем продифференцируем уравнение (16) по pi и вычтем уравнение (17), предварительно умноженное на sin 8i и продифференцированное по 0i. Получим уравнение, в котором присут-

и

(i).

д2 ( . 2и\ д jj 2 j^r i

J—2 + (/ + ^ - j + >[ ]

д rf

Q[4°] = 0

В результате приходим к системе, состоящей из уравнений (15), (18) и (19). Функции иг \ 4°, ид1 будем искать в виде

и

( 0/

( П, 0i,Pi) = ^Y. Ui™(ri)P™(cos di) cos m(pi - po)

n=0 m=0

(19)

и

( i),

( П, u2L(n)Pram(cos di) cos m(pi - po)

4%, вх ) = £ £ и^Ъ )ВДсо8 ^ )81пт(рг - щ).

п=0 т=0

При этом вид зависимостей от рг в этих разложениях определяется соображениями симметрии вектора смещения и (относительно плоскости рг = Р0, Р0 + ж. Подставим разложения (20) в уравнения (15), (18) и (19).

Воспользовавшись уравнением для присоединенных многочленов Лежандра [24]

п=0 т=0 оо п

(20)

d2 d

¿рРп (cos в) + ctge-P™(cosв) +

п(п + 1) -

m

sin2

P™(cos в) = 0

и свойством ортогональности сферических гармоник [24], получим для каждой пары индексов т,п (п = 0,1,...; т ^ п) систему линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций и|^п(г{) (] = 1, 2, 3):

т(Ч" тт(Ч' тт(Ч' тт(Ч

( Л + 2 j)Ulmn + buUlmn + bi2U2mn + CllUlmn + Cl2U2mn = 0

X

(

X

2

/^п + ^йт + Ь22и21п + С21и((^п + С22и21п = 0, (21)

/и3<тп + Ьгги^тп + сззи3тп = °

где

611 = Л' + 2/' + 2(Л + 2ц)/п; 612 = -п(п + 1)(А + /)/п;

Ь21 = ( Л + /)/п, Ь22 = Ьзэ = (Г1 / + 2/)/гг;

си = рш2 + [2Л'п - 2(А + 2/) - п(п + 1)/]/г?; си = п(п + 1)(Л + 3/ - ггЛ')/гг2;

С21 = [ П/ + 2(Л + 2/)]/гг2; С22 = рш2 - [V + п(п + 1)(Л + 2/)]/гг2;

Сзз = рш2 - [ Г1 / + п(п + 1)/] /т2.

Анализ системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (21) показывает, что все коэффициенты системы не зависят от индекса т. В третье уравнение системы (21) входит только функция и33тп, причем в первые два уравнения этой системы она не входит.

Искомые функции Ф^, Ь<1\ и<1\ V<1), иг\ и^ и иЗ (I = ±1) должны удовлетворять граничным условиям.

чаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой неоднородной среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений: при п = Г1

-г шпг) = у1г, = - Р1, = 0, ¿гф = 0; I = ±1. (22)

вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения: при гг = Го

(0 = (0 (0 = (0 (0 = (0 иг = иог, ив = ио0, иф = , .

¿1) = а(I) ¿1) = а<1) ¿1) = ¿1); 1 = ±1 (23)

Огг = Оогг, Огд = Оогв, Огф = ОоГф; I = ±1.

Для нахождения из граничных условий коэффициентов ^пт Втп, Стп, разложений (4), (7-9) и функций и<(^п(г1), и(^п(Т1), и<1^п(г{) в разложениях (20) воспользуемся теоремой сложения для волновых сферических функций, которая позволяет волновую функцию

Ъ,п(кп)Р™(со80п), записанную в г - ой локальной системе координат {I = 1 либо I = -1),

(- )

Так как начала локальных координатных систем лежат на одной прямой ( ось Ох) и их соответствующие координатные оси О%1 и Оуг (I = ±1) одинаково ориентированы и лежат в одинаковых плоскостях, то азимутальные углы р+1 и р-1 будут равны. В этом случае теорема сложения имеет вид [21]

мкп)РГ(ео8в1) = ^ Я^пЗч(кг-1 )РГ(со«в-1); 2й > Г-1, (24)

д=т

где

= ^-п(2п + Е (кГ1—1 )р° (со« ).

а=1д—п|

Здесь через гг-, в^—, обозначены сферические координаты начала О— (—I) - ой локальной системы координат в I - ой локальной системе координат с началом в О\. Коэффициенты ^птдт) ВЬ1ражаются через коэффициенты Клебша - Гордана [21].

Подставим разложения (2), (4), (7)-(9) и (20) в граничные условия (22) и (23) с учетом выражений (3), (10), (11), (13), (14) и (24).

Из первого и второго граничных условий (22) получаем две бесконечные системы уравпе-ний для определения коэффициентов А^

те

+ 3 = 1, 2 (п = т,т + 1,... ;т = 0,1, 2,...; 1 = ±1), (25)

д=т

гпр А - ,1) = ^ (кг 1) Г)(1-1) ; 1) =-А>ч ^(кг 1) РМ1 ^о _ п(г 1).

Ып(кг 1)Чтптд; ^Ь™ А1тп ^(кпГ кЬ^кп) :

(-,1) = Зп(кГ 1) п{ 1,-1) ; „(I) = _, ,]п(кГ 1) гкЛ сое во I

"2тп" = к (ккг 1)Чтпт<1; Г 2тп = Атп К(кг 1)е +

( А(г 1) + 2ц(г 1)) и£> 1) + ^иЦа(г 1) - ^п(п + 1)и®п(г 1)

+ Р1 шкп(кг 1)

штрихи означают дифференцирование по аргументу функций.

При выводе (25) использовалось уравнение для присоединенных многочленов Лежандра и свойство ортогональности сферических гармоник.

Решение бесконечной системы линейных уравнений может быть найдено методом усечения. Приближенные значения неизвестных находятся с заданной точностью путем сопоставления последовательных решений конечных систем, получаемых из бесконечной системы ее усечением с различными возрастающими значениями порядка усечения N. При порядке усечения N для каждого т необходимо решить N + 1 систем уравнений, состоящих из 2(^ — т + 1) линейных уравнений с 2( N — т + 1) неизвестными А^^ и Ат^■

Понизим вдвое порядок систем при порядке усечения N без усложнения вычислений их матричных элементов и правых. Учитывая, что г+1,-1 = ^-1,+1 = 2 й, $-1,+1 = 0 ^+1,-1 = ^ и ятктд = ( — 1)1г+ЯЯ(п1п-т1д [21], ПОЛУЧавМ

а\тп1 = ( 1) а\тпа = а]тпд (3 = 1, 2).

Тогда усеченные системы (25) принимают вид

N

Е

д=т

А+1) А-1) = р(+1)

Атп + 2—1 и-]тпдАтд — г]тп ,

Атп,) + Е ( О-^пд^тд ) = Fjm.fl; 3 = 1, 2.

д=т

Умножим второе уравнение системы на (—1)п, и осуществим почленное сложение и вычитание уравнений полученной системы. В результате приходим к двум независимым системам линейных уравнений порядка ( N — т + 1) для каждого т (т = 0,1,..., N)

N

Е

д=т

У! \$пд + ( °](тпд\%тд — ^jmп,

(26)

N У '

Е [($пд — ( —1)« &jmпg ] Утд — ^j^mn д=т

(т = 0,1, 2,...,Х; п = т,т + 1,...,Ы; 3 = 1, 2)

с неизвестными %тп = А^ + (-1)пА—, утп = А+ - (-1)пА—

и правыми частями Х^ = рЩ + ЫТ^т1, ¥зп = Р^Щ - (-1)nFjmll, где 5пт — символ Кронекера. Тогда

Атп) = (%т'п + Утп)/2, А]тп = (-1) (%тп - Утп)/2. (27)

В матричном виде системы (26) запишутся следующим образом:

Б^х = Е, + gJ и1+1) + 8, и2+1) +1, и[+1У + ^ и(1-1) + и2-1) + и(1-1)', (28) БуУ = Е + gJи1+1) + 8,и2+1) + tJи1+1)' - g3и1-1) - 8,и2-1) -^и1-1)',

где = (5пд + (- 1)та,тпд)<м-т+1)х<М-т+1) ; = (- (-1)1П^,тпд)<м-т+1)х<М-т+1) ;

х = (%m,%<m+l),.. .,%м)Т; у = (Ут,y<т+l),..Ум)Т;

= (yPjтт, Р]т<т+1), . . . , ; = (yPjтт, Р]т<т+1), . . . , Р,тМ) ;

gjи1+1) = (г 9,<т+1)и1т{^+1)(гl),..(г^) ;

g] u1 ^ = (yjmULm (n), 9j(m+i)Uilrn1()m+1)(r г),..., gjNu[^ (п))

!(+1 ) -(s- u 1+1

^•Tj(-() — (V u(-1

T+Y - {+. TT(+1

sj U2+1Y — ((rl), Sj(m+1)U2l++¡Ym+l)(rl), SjNu2nN (rl))

si U2 1) — (S^iJi (Г 1), Sj(m+1)u{^rn1(^+1)(r l), SjNl^J^ (Г ;

T

tJ"U1+1)' — (t^ui^ (П), Ь^и^+^г 1),..., tiNU^ (r 1)) t,u1-1)' — (t^u^ (П), tj(rr+1)u$m+1)(r1),..., tjNuU; (n)f ;

Е- — e(+1) + (-l)ne(~1); E ■ — e(+1) - (-l)ne(~1);

E]mn — ejmn + ( 1) tjmn; E3mn — ^jmn ( 1) ^jmn;

JO — i'n(kr 1) jkdl cose0; p(l) in (kr1) ,kdl cos()o ( );

C1mn — Almn h'n(k r 1f ; C2mn — Almn hn(k r lf (i — ±i);

9jn — ( —1) 9jn; Sjn — ( —1) Sjn; tjn — ( —1) tjn (j — 1, 2);

ш 2 i A( r 1) n(n + 1)A( r 1)

91n kh'n(kr 1); 92n np1whn(kr 1); S1n ; S2n r1p1uhn(kr 1);

tm — 0; i>2n — !iAM+2^M (n — m,±m + 1,...,±N).

piwhn(kr 1)

Найдем решения систем (28) методом обратной матрицы:

x — (R^)"1 (e, + gJu1+1) + s^^ + tJu1+1)' + gJu1"1) + 8,и2_1) + tJu1"1)' y — (R,)-1 fE + gJu1+1) + siu2+1) + tJu1+1)' - giu1f1) - 8JU2"1) - tJu1"1)'

Запишем в в координатной форме последние два выражения, обозначая через т:^гппд и гУутпя элементы обратных матриц ( Н,х)-1 и (Я,у)-1 соответственно.

На основании формул (27) находим выражения для коэффициентов Атп (I = ±1)-Получаем при ] = 1

V1 N

Атп = ^^ [(Г'*тпд^1тд + 1г1тпдЕ 1тд) + Г1тпд91ди1тд (г 1) + Г1тпд9 1ди1тд (Г1) (29)

д=т

и при ] = 2

1п N

Атп = У ] |(Т1тпд^2тд + Iг2тпд^2(тд) + д=т

+г (°

1 2тпд

^т? ( п)+^20 1)+^и^' ^ 1)

+

1 2тпд

^иЦ^ П) + 52,и2т^)(г 1) + ¿2диЦУ (Г 1)] } (п = т, т + 1,...,^, (30)

гяе = (т**^ + ]^^ ) ■ /г( г) = (т**^ _] т^ ) ( 7* = 1 2)

^ ^тга2 ^^тпд 1 jтпд)' ^тпд V^тпд ^тпд) V ' У *

Приравнивая правые части уравнений (29) и (30), получаем одно из шести краевых условий для нахождения частного решения системы (21)

N

[(^1тпд^1тд + Iг^тпд^1тд) (г2ттд^2ппд + Iг2тпдЕ2тд) + 1? Г2тпд92д^ и!тд) +

д=т

+ (-г) - _ (-г) - А и(-1) + МО _ (0 А и(+1) + ( (-0 - _ (-0 - А и(-1) +

+ ^Г1тпд91д г2тпд92д) и 1тд + ^Г1тпд81? Г2тпд82д) и2тд + ^Г1тпд81т г2тпд82д) и2тд +

К+1)' I (-1) 1 Л-1) 1 Vг(-1)'

+ (^Шпд^ 1д Г2тпди!тд + (Г!тпд^ 1д Г2тпд^2^ и!тд) = 0 ( = ±1). (31)

Из первых трех граничных условий (23) найдем коэффициенты вШ , Стп и ^Шо выраженные через величины и(ППп(гс) (] = 1, 2, 3).

Из первого граничного условия (23) получаем уравнение

ащВППп + а2пО((п = и^ гс), (32)

где

&1п = к^'п (кг Гс); а.2п = к2 [кг гсз'Ккт гс) + 2^п (кт гс) + кт гсЗп(кт гс)].

Из второго и третьего граничных условий (23) получаем два уравнения, которые преобразуем следующим образом. Сначала первое из них умножим па 8Ш0, продифференцируем по

т

и2(тг п( с), (33)

где

О3п — Зп

(кг гс)/гс, О4п = кт [Зп(кт гс)/гс + кт]'п (кт гс)]. т

умноженным на 8Ш0 и продифференцированным по в. В результате находим

г (I) = и3тп(Г с) (34)

тп к2ТЗп(кТгс). ( )

Из системы уравнений (32) и (33) находим

ВППп = ^((Гс) + Р2пи(Пп( Гс), Птп = Азп^ПА Гс) + ^Ос), (35)

где

а а4п а а2п а а3п а ОЦп .

р1п = Р2п =--Р3п =--р4п = ^ = &1п&4п — ^2п<^3п.

Заметим, что неизвестные коэффициенты а(>п > вПп> СПп И ОПп разложений (4), (7)-(9) можно вычислить по формулам (29), (34) и (35) лишь после определения полей смещений в неоднородных покрытиях шаров.

Из оставшихся неиспользованными граничных условий получим пять краевых условий, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (21). При этом будем использовать уравнение и условия ортогональности для присоединенных полиномов Лежандра, а также выражение для вронскиана [24]

3п(х)Ып(х) - э'п(хЖ(х) = г/х2.

Кроме того, при выводе краевых условий из последних двух граничных условий (22) и последних двух граничных условий (23) будем выполнять преобразования каждой пары уравнений, аналогичные проведенным при получении уравнений (33) и (34).

В результате с учетом выражений для коэффициентов вПп, сПп и ОП-п получаем следующие краевые условия:

" [ „тТ(О' + Еи(1) _ Еи(О ] =0

[„ л2тп + г^и1тп г^и2тп]Г1=г 1 =

[ итт_ Еи(1) ] =0

[„ л 3тп л 3тп ]П=П = 0,

[( А + 2„)и(Пп + ¡11и(Пп + к2и^Пп]г1=г0 = 0, (36)

[„ Л2/ПП + /21и1(Пп + ¡22и(тп]П =0 = 0,

[„ Л3/ПП + /33и31тп}п=го = 0,

где

/11 =2 А/г - Рыд 1п - $3п92п; /12 = -Ап(п + 1)/г - Р2п91п - @4п92п; /21 = „/г-„с($1п93п + Р3п5'4п); /22 = е/г-„с(Р2п93п + Р4п94п); /33 = -„/г - „с95п/Зп(кТг);

91п = ( Ас + 2„с)к^зп(к1 г) + 2 Аск^Ккг)/г - Асп(п + 1)зп(кг)/г2; 92п = Аск^[ктг^п (кт г) + 5з'п(кт г) + ктг^(кт г) + 3]п(кт г)] +

+2„ск^[ктг^п'(ктг) + 3зЧ(ктг) + ктг?п(ктг) + ^(ктг)] - Асп(п + 1)кт^(ктг)/г2;

93п = 2[ка'п(к1 г) - ]п(кг)/г]/г;

94п = кг[2 к^з'Кктг) + 2кт ]'п(ктг)/г + ( к^ - 2/г2) ]п(ктг)]; дЪг1 = кт ]'п(ктг) - ]п(ктг)/г.

Функция и3Пп(гг) не связана с функциями и|Пп(гг) и и2Пп(Г1) не только в уравнениях системы (21), но и в краевых условиях (31) и (36). Так как дифференциальное уравнение и краевые условия для нахождения функции л3Пп(ч) однородны, то отсюда следует, что и3Пп(п) = 0. Тогда сПп = 0.

В результате получаем, что и3\гг, дг,^) = 0 и и(г)(гг, 0\, щ) = 0.

Таким образом, для определения полей смещения в неоднородных покрытиях шаров необходимо решить краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, состоящей из первых двух уравнений (21), с краевыми условиями (31) и первым, третьим и четвертым условиями (36).

Для каждого т (т = 0,1,..., N и п = т,т + 1,..., N эта краевая задача может быть решена разными методами, например, методом сведения ее к задачам с начальными условиями [6,8] или методом сплайн-коллокации [7].

Затем, используя значения u1^tn(r 1), по формуле (29) вычисляются коэффициенты A&

(I — ±1).

В результате на основании (3) и (4) получаем аналитическое описание акустического поля, рассеянного шарами

те n

Ф,1 — Е Е Е A^nhn(kп)Р™(cos ег) cos m(ipi - <р0). (37)

I=±1 n=0 т=0

5. Заключение

Используя решение дифракционной задачи в случае, когда падающая плоская волна имеет потенциал скорости Ф01, запишем решение задачи дифракции плоской волны с потенциалом скорости Фо2- Для этого в полученном выше решении достаточно заменить компоненты волнового вектора k1 на компоненты вектора k2, если подстилающая плоскость является акусти-

A - A

мягкая.

При этом потенциал скорости второй падающей волны в локальных сферических координатах представляется разложением

Ф02(Г1, Oi,pi) — ±Ae"kdlcost)0 E Wn(kn)P^(cosвг)cosm(w - щ) (I — ±1).

~)mt n

n=0 m=0

Суммируя результаты решения двух дифракционных задач, получаем решение задачи дифракции плоской звуковой волны с потенциалом скорости Ф01 на упругом шаре с покрытием, находящемся вблизи плоской поверхности. Потенциал скорости рассеянной волны определяется выражением

Ф S — Ф02 + Ф 81 + Ф 82.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres //J. Acoust. Soc. Amer. 1951. Vol. 23, № 4. P. 405-418.

2. Junger M.C. Sound scattering by thin elastic shells //J. Acoust. Soc. Amer. 1952. Vol. 24, № 4. P. 366-373.

3. Flax L., Varadan V. K., Varadan V. V. Scattering of an obliquely incident acoustic wave by an infinite cylinder // J. Acoust. Soc. Amer. 1980. Vol. 68, № 6. P.'1832-1835.

4. Goodman R. D., Stern R. Reflection and transmission of sound by elastic spherical shells //J. Acoust. Soc. Amer. 1962. Vol. 34, № 3. P. 338-344.

5. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 114-122.

6. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Рассеяние звука неоднородным трансверсально-изотропным сферическим слоем // Акустический журн. 1995. Т.41, № 6. С. 917-923.

7. Ларин Н. В., Толоконников Л. А. Рассеяние звука неоднородным термоупругим сферическим слоем // Прикладная математика и механика. 2010. Т.74, вып. 4. С. 645-654.

8. Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78, вып. 4. С. 519-526.

9. Толоконников Л. А., Родионова Г. А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 131-137.

10. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругой сфере с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79, вып. 5. С. 663673.

11. Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической полостью // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 181-193.

12. Толоконников Л. А., Ларин И. В., Скобельцын С. А. Моделирование неоднородного покрытия упругого шара с требуемыми звукоотражающими свойствами // Математическое моделирование. 2017. Т. 29, № 11. С. 89-98.

13. Толоконников Л.А. Моделирование непрерывно-неоднородного покрытия упругого шара системой однородных упругих слоев в задаче рассеяния звука // Прикладная математика и механика. 2017. Т. 81, вып. 6. С. 699-707.

14. Gaunaurd G. С., Huang Н. Acoustic scattering by spherical body near a plane boundary //J. Acoust. Soc. Amer. 1994. Vol. 96, № 4. P. 2525-2536.

15. Gaunaurd G. C., Huang H. Sound scattering be a apherical object near a hard flat bottom // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control. 1996. Vol. 43. P. 690-700.

16. Bishop C. G., Smith J. Scattering from an elastic shell and a rough fluid-elastic interface: Theory //J. Acoust. Soc. Amer. 1997. Vol. 101, № 2. P. 767-788.

17. Bishop C. G., Smith J. Scattering from rigid and soft targets near a planar boundary: Numerical results // J. Acoust. Soc. Amer. 1999. Vol. 105, № 1. P. 130-143.

18. Li К. M., Lui W. K. The diffraction of sound by an impedance sphere in the vicinity of a ground surface // J. Acoust. Soc. Amer. 2004. Vol. 115, № 1. P. 43-56.

19. Шендеров E. Л. Дифракция звука на упругой или импедансной сфере, расположенной вблизи импедансной или упругой границы полупространства // Акустический журн. 2002. Т. 48, № 5. С. 684-694.

20. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.

21. Иванов Е. А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

22. Морс Ф. \!.. Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 886 с.

23. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

24. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963. 358 с.

REFERENCES

1. Faran, J.J. 1951, "Sound scattering by solid cylinders and spheres", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 23, no 4, pp. 405-418.

2. Junger, M. C. 1952, "Sound scattering by thin elastic shells", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 24, no 4, pp. 366-373.

3. Flax, L., Varadan, V. K. k Varadan, V. V. 1980, "Scattering of an obliquely incident acoustic wave by an infinite cylinder", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 68, no 6, pp. 1832-1835.

4. Goodman, R. D. k Stern, R. 1962, "Reflection and transmission of sound by elastic spherical shells", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 34, no 3, pp. 338-344.

5. Tolokonnikov, L. A. k Filatova, Yu. M. 2010, "Diffraction of a plane acoustic wave by an elastic sphere with any way located spherical cavity", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 1, pp. 114-122 fin Russian].

6. Skobel'tsyn, S.A. k Tolokonnikov, L.A. 1995, "Sound scattering by an inhomogeneous transversalv isotropic spherical layer", Acoustical Physics, vol. 41, no 6, pp. 812-818.

7. Larin, N.V. k Tolokonnikov, L.A. 2010, "Scattering of sound by an inhomogeneous thermo-elastic spherical layer", J. Appl. Math. Mech., vol. 74, no. 4, pp. 460-466.

8. Tolokonnikov, L. A. 2014, "The scattering of a plane sound wave by an elastic sphere with an inhomogeneous coating", J. Appl. Math. Mech., vol. 78, no. 4, pp. 367-373.

9. Tolokonnikov, L.A. k Rodionova, G.A. 2014, "Diffraction of a spherical acoustic wave by an elastic sphere with a non-uniform covering",Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 3, pp. 131-137 fin Russian].

10. Tolokonnikov, L.A. 2015, "Diffraction of cylindrical sound waves by an elastic sphere with an inhomogeneous coating", J. Appl. Math. Mech., vol. 79, no. 5, pp. 467-474.

11. Tolokonnikov, L. A. 2014, "Diffraction of a plane acoustic wave by an elastic sphere with a nonuniform covering and arbitrarily situated spherical vacuity",Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2, pp. 181-193 fin Russian].

12. Tolokonnikov, L. A., Larin, N. V. k Skobel'tsyn,S. A. 2018, "Modeling an inhomogeneous coating of an elastic sphere with the required sound reflecting properties", Mathematical Models and Computer Simulations, vol. 10, no. 3, pp. 333-340.

13. Tolokonnikov, L.A. 2017, "Modelling of a continuously inhomogeneous coating of an elastic sphere by a system of homogeneous elastic layers in the problem of sound scattering", J. Appl. Math. Mech., vol. 81, no. 6.

14. Gaunaurd, G.C. k Huang, H. 1994, " Acoustic scattering by spherical body near a plane boundary", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 96, no 4, pp. 2525-2536.

15. Gaunaurd, G.C. k Huang, H. 1996, "Sound scattering be a apherical object near a hard flat bottom", IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control. , vol. 43, pp. 690-700.

16. Bishop, C.G. k Smith, J. 1997, "Scattering from an elastic shell and a rough fluid-elastic interface: Theory", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 101, no 2, pp. 767-788.

17. Bishop, С. G. к Smith, J. 1999, "Scattering from rigid and soft targets near a planar boundary: Numerical results", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 105, no 1, pp. 130-143.

18. Li, K. M., Lui, W. K. 2004, "The diffraction of sound by an impedance sphere in the vicinity of a ground surface", J. Acoust. Soc. Amer., vol. 115, no 1, pp. 43-56.

19. Shenderov, E. L. 2002, "Diffraction of sound by an elastic or impedance sphere located near an impedance or elastic boundary of a halfspace", Acoustical Physics, vol. 48, no 5, pp. 607-617.

20. Shenderov, E. L. 1972, "Wave problems of underwater acoustics", Sudostroenie, Leningrad, 352 p. fin Russian].

21. Ivanov, E.A. 1968, "Diffraction of electromagnetic waves by two bodies", Nauka i tekhnika, Minsk, 584 p. fin Russian].

22. Mors, F.M., Feshbah H. 1953, "Methods of Theoretical Physics". Vol. 2., McGraw-Hill, New York.

23. Nowacki, W.1973, "Teoria sprezystosci", PWN, Warszawa.

24. Lebedev, N.N. 1963, "Special Functions and their Applications", Fizmatgiz, Moscow, 358 p.fin Russian].

Получено 13.06.2018

Принято в печать 17.08.2018