CC BY
56
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 181-193
Механика =
УДК 539.3:534.26
Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической полостью *
Л. А. Толоконников
Аннотация. Получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на однородном упругом шаре с радиально-неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической полостью.
Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, упругий шар, сферическая полость, неоднородное упругое покрытие.
Дифракция звуковых волн на однородных изотропных упругих сферических телах рассматривалось в ряде работ, например, в [1]. Исследованию рассеяния звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным полым шаром посвящена работа [2]. Рассеяние звука неоднородным термоупругим сферическим слоем изучалось в [3]. В [4] решена задача дифракции плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием исследуется в [5].
Дифракция звуковых волн на цилиндрических телах с неоднородными покрытиями рассматривалась в работах [6-9].
В настоящей работе находится аналитическое решение задачи дифракции плоской монохроматической звуковой волны на упругом шаре с радиально-неоднородным упругим покрытием и произвольно расположенной сферической полостью.
1. Постановка задачи. Рассмотрим изотропный однородный упругий шар радиуса т2, материал которого характеризуется плотностью р2 и упругими постоянными А2 и ^2.
Шар имеет покрытие в виде неоднородного изотропного упругого слоя, внешний радиус которого равен Т\. Полагаем, что модули упругости
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514-р_центр_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).
А и р материала неоднородного сферического слоя описываются дифференцируемыми функциями радиальной координаты r сферической системы координат r, в, ( с началом в центре шара, а плотность р — непрерывной функцией координаты г.
Шар имеет сферическую полость радиуса R, расположенную произвольным образом. Полагаем, что в полости — вакуум.
Окружающая тело жидкость является идеальной. Ее невозмущенная плотность и скорость звука соответственно равны pi и с.
Свяжем с полостью сферическую систему координат р, р, ( с началом в центре полости. При этом систему координат 9, р, (9 выберем так, чтобы соответствующие координатные оси систем r, в, ( и 9, р, (9 были одинаково ориентированы.
Пусть из внешнего пространства на шар падает плоская звуковая волна. Без ограничения общности будем полагать, что плоская волна распространяется в направлении в = 0. Тогда в сферической системе координат потенциал скоростей падающей волны запишется в виде
Ф0 = A exp[i(kr cos в — ut)],
где A — амплитуда волны; к = и/с — волновое число в окружающей жидкости; и — круговая частота. В дальнейшем временной множитель е-гш1 будем опускать.
Определим отраженную от тела волну, а также найдем поля смещений в упругом шаре и неоднородном слое.
2. Определение волновых полей. Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [10]
ДФ(1) + к2Ф(1) = 0,
где Ф(1) = Фо + Фз, Фз — потенциал скоростей рассеянной волны.
При этом скорость частиц v и акустическое давление p в жидкости определяются по формулам: v = gradФ(1), p = гр1иФ(1).
Очевидно, что ввиду отсутствия осевой симметрии задачи, возбуждаемые волновые поля будут зависеть от трех пространственных сферических координат.
Потенциал скоростей падающей плоской волны в системе координат r, в, ( представим в виде [11]
ГО П
Фо(г, в, () = £ £ Ymnjn(kr)Pm(cos в)егтV, (1)
n=0 m=-n
где jn(x) — сферическая функция Бесселя порядка n; P™(x) —
присоединенный многочлен Лежандра степени n порядка т. При этом Ymn = Ain(2n + 1), если m = 0, и ymn = 0, если m = 0.
С учетом условий излучения на бесконечности функцию будем искать в виде
те п
" ' " ' 0гт(р
Ф«(r, в, () = £ ^ Amnhn(kr)P™(cos e)eimv,
(2)
n=0 m=-n
где hn(x) — сферическая функция Ханкеля первого рода порядка n.
Уравнения, описывающие распространение малых возмущений в упругом однородном шаре, в случае установившегося режима движения имеют вид [10]
ДФ(2) + кг2Ф(2) = 0, (3)
ДФ + к2 Ф = 0, (4)
где Ф(2) и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения; ki = и/ci и kT = и/сТ — волновые числа продольных и поперечных упругих волн;
Ci = л/(А2 + 2у2)/р2 и сТ = л/у2/р2 — скорости продольных и поперечных
волн соответственно.
При этом вектор смещения u(2) частиц упругого изотропного однородного шара определяется выражением
u(2) = gradФ(2) + го1Ф, divФ = 0.
Решение уравнения (3) будем искать в виде линейной комбинации решений этого уравнения, записанного в координатных системах r, в, ( и
9, 9, р:
оо n
Ф(2) = Е Е [Bmnjn(klr)Pnm(cOS в)е^ + Cmnhn(ki9)Pnm(cOS 9)eimV] . (5)
n=0 m=-n
Представим векторный потенциал смещения Ф через две скалярные функции U и V [12]
Ф = rotrot(rU er) + kT rot(rV er),
где er — орт сферической координатной оси r.
Тогда векторное уравнение (4) сведется к двум скалярным уравнениям Гельмгольца относительно введенных скалярных функций
Ди + k^U = 0, Д V + k^V = 0. (6)
Компоненты вектора u(2) выражаются через функции U и V следующим образом:
иГ2) =
д Ф(2) dr
+ kT
(2)
uy =--------------—
в r дв
1 d Ф(2) kT
+-----
r
^ (rV)+ kT 2rV
kT r dU d2
+ ^Tr(rV)
sin в d( дrдв
_і_____(Гу) - к г —
8Іп в дгдр т дв
По аналогии с решением уравнения (3) решения уравнений (6) будем искать в виде
и = ^ ]Т [ВтпІи(кгГ)РГ(СС8 в)ет + ЕтпНп(ктР)Р™(с08 в)в
п=0 т=—п го п
V ^ ^ [^тпіп(ктГ)РГ(С08 в)еіт^ + СтпЬп(ктР)РГ (™8 в)е
гш^р
п=0 т=—п
гш(р
, (8)
. (9)
Соотношения между компонентами тензора напряжений аг(2) и вектора
г.}
смещения и(2) в однородном упругом шаре получим, используя обобщенный закон Гука [13]. Будем иметь
а,
(2)
= (Л2 + 2,2) ^ ^ (2„<2) + ^ + ctg «и™ + ^
дг г \ дв д 8іп в др
(2) _ л диг ) , 2(Х2 + ^2) (2) , (Х2 + 2,2) ди0 ,
а^д — ^2—о— +-------------------Щ +-------------от;—+
(2)
дг
дв
(2)
8ІП в др I ’
(2) х д„г . 2(Х2 + ,2) „(2) . Х2 дид .
— х"-----+-------------------+ Т~дТ +
ат ^2‘ дг . (х2 + 2,2)
Г
ctg виД2) + -1 д%
(2)
8Іп в др
(2)
(2) I 1 диг
аг0 — ,2
иД2) + диД2)
г дг
(10)
аг*і ^2
1 ди!2) ди12)
г 8Іп в др Г
+
дг
Распространение малых возмущений в упругом неоднородном сферическом слое описывается общими уравнениями движения сплошной
г
среды [13]. В сферической системе координат для установившегося режима колебаний они имеют вид
даТ
1
+ -
+
1 да.
Т(р
дг r дО r sin О др 1 дав1р
+— (2агг — а$$ — avv + аго ctg О) — —p(r)u2ur
дг
1
+ -
+
1
+ -
r дв r sin О др r
— avv) ctg О + Загв] — —p(r)u2ue, (11)
да
Тф
дr
+ -
1 дав
+
1 да
r дв r sin О др
w + -(3а^ + 2ав!р ctg О) — —p(r)u2uv,
где иг ,щ ,иу — компоненты вектора смещения и в неоднородном слое; о^ — компоненты тензора напряжений в неоднородном слое.
Соотношения между компонентами тензора напряжений о^ и вектора смещения и в неоднородном упругом сферическом слое получаем из (10), заменив упругие постоянные Л2 и ц2 на функции Л = Л(т) и ц = ц(т).
Используя эти соотношения, запишем уравнения (11) через компоненты вектора смещения и, вводя новые функции и,2 и из, связанные с и,0 и и,у соотношениями
ди2 1 ди3
ив — —+
ит —
1 ди2 ди3
~дВ
(12)
дО ' sin О др' ф sin О др Получим систему уравнений, записанных относительно функций иТ, и2 и
из:
+
(Л + 2ц)
д2иТ
дr2
+
Л' + 2ц' +
2(Л + 2ц)
дит ц т ,
— + ^ L(Ut ) + дr r2
2 (\/ Л + 2ц \ 2
- ( Л'---------------- ) + рш2
Ut + —
, . д ' Л + 3ц
(Л + ц)— + Л--------------------^
cjr r
, д ' 2(Л + 2ц)
(Л + ц) — + ц' + -Ь---------------------^
дr r
дит Л + 2ц д г , .
~м + дjL
L(u2) — 0, (13)
+
д2 ( ' 2ц\ д ц' 2
цд^ + ( ц + т)дТ — 7 + рш
(ди2 + 1 диз' + \дО + sin О др 1 +
1
r sin О
цд
+ 7¡ ~K~L(u3) — 0,
r2 sin О др
. д ' 2(Л + 2ц)
(Л + ц)— + ц' + ^^ дr r
(14)
диТ
др
+
+
д2 2ц д ц 2
цдТ2 + ( ц + т) дГ — 7 + рш
1 ди2
sin О др
диз
дО
+
Л + 2цд. . ц д г . .
+ —7) ~о~ L(u2)-2 ЯД L(u3) — 0,
r2 sin О др r2 дО
r
r
дд 1 д2
где L = ——7 + ctg в — +-• Штрихами обозначено дифференцирова-
дв2 дв sin2 в др2
ние по радиальной координате r•
Проделаем следующие преобразования. Уравнение (14) домножим на sin в и продифференцируем по в, а уравнение (15) продифференцируем по р. Складывая полученные уравнения, приходим к уравнению, содержащему только функции ur и П2'-
,д , 2(А + 2ß)
(Л + ß)^-+ ß' + -----------—
дг r
L(u,r)+
+
д2 / ' 2u\ д а' 2 А + 2а
^дт2 + ( ß+ - 7 + + r2
L( )
L(u2) = 0. (16)
Затем продифференцируем уравнение (14) по р и вычтем уравнение (15), предварительно умноженное на sin в и продифференцированное по в. Получим уравнение, в котором присутствует только функция U3:
д2 ( ' 2ß\ д а' 2 ß г. .
адГ2 + (ß+ "7 ) 0г - 7 + PW+ r2 L( )
L(u3) = 0.
(17)
В результате получили систему, состоящую из уравнений (13), (16) и (17). Функции иг (т,в,р), щ (т,в,р) и и3 (т,в,р) будем искать в виде разложений:
u
■М,р) = £ ^ Uimn(r)Pm(cos в)е
0im(p
n=0 m=-n
го п
и2(т,0,<р)=^ ]Т U2mn(r)Pnm(cOS р)е^, (18)
п=0 т=—п го п
изМ,р)=^ ]Т ЦзтпМРЛ^ р)в^.
п=0 т=-п
Коэффициенты Атп-; Bmn, Стп10тп1 Emn, Ртп-} Сп разложений (2) (5), (8), (9) и функции и1тп(т),и2тп(т),и3тп(г) из разложений (18) подлежат определению из граничных условий.
Граничные условия на внешней поверхности слоя заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой неоднородной среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений:
На внутренней поверхности слоя при переходе через границу раздела упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения:
r = r2 :
ur = и
(2)
(2) Щ = Щ
(2) (2) Trr — Оrr , (TrQ — О rQ ,
О,
Г(р
= т(2)
r<p •
(20)
На границе полости Г = К должны выполняться граничные условия, заключающиеся в отсутствии нормальных и тангенциальных составляющих тензора напряжений
г = R :
Используя формулы
оГ
(2) = 0' О(2) = 0' О(2) = 0
rr — °, Tr0 — °, Trip — 0
(21)
Уп = д(Фод+ , Р = -¿Р1(Фо + Ф«)
дг
и выражения (10), (12), запишем граничные условия (19) через функции иг, и$ и и3. Получаем при г = г1
д(Фо + Фя) дг
ди А
(А + 2р) ~дг + r [2ur + L(u2)] = —*Plw(^0 + ^í¡)í
д (ur — u2 i du2 ^ +1 д ^ ди3 u3
дв
+
дг
sin в др \ дг r
1 д (ur — u2 : ди2\ д í ди3 u3
sin в др
+
дг
дв V дг r
= 0, = 0.
(22)
Рассмотрим третье и четвертое уравнения (22). Третье уравнение домножим на sin в и продифференцируем по в, а затем сложим с четвертым уравнением, предварительно продифференцированным по р. Получим уравнение, содержащее функции ur и и2:
1 1 д rL(ur) — rL(U2) + д~ГЬ(и'2)
0.
(23)
Теперь продифференцируем третье уравнение по р и вычтем четвертое уравнение, предварительно умноженное на sin в и продифференцированное по в. Получим уравнение, в котором присутствует только функция U3:
1д - L(U3) — — L(u3) r дr
r=ri
r
r
r=ri
Используя выражения (7), (10) и (12), запишем граничные условия (20) через функции иг, и2, и3 и Ф(2), и,У. При г = г2 получаем
д Ф(2)
ur
дr
+ kT
д2
(rV) + кт 2rV
дr2
ди2 1 ди3 1 д Ф(2) кт
дв + sin в др r дв + r
кт r ди д2 . .
T Т- ^^Tí(rV)
1 ди2 ди3
~дв
sin в др
1 дФ(2) кт
-------------------+ —
r sin в др r
sin в др дrдв
1 д2 , m , ди
• а ~я~я~( ) — ктr^¿
sin в dr—р дв
[A(r) + 2^(r)j C—Ur + А~ [2ur + L(u2)] =
= — А2к2Ф(2) + 2^2
д2Ф(2)
dr2
+ 2кт
V2r
d3V
dr3
+
o x—2V /А2 ,Л —V ,2т' + (А2 + 3^2) -—^2 + ( 7" + ^Kj -—r + ^2ктV
v(r)
д (ur — u2 i du2 ^ +1 д ^ du3 u3
дв
+
dr
sin в др \ dr r
2 д —
д — к; д —
V(r)
= ^2\ ЯДФ + к^ЯД V + U ) ’
\r дв дв sin в др )
1 д ^ ur — u2 + du2 ^ d ( du3 u3
sin в др
= V2
r
dr
дв \ dr r
2
д — кт d —
— Ф+^ ~V — к2
r sin в др sin в др
- дФ(2) i (2) — ди 1 тт
Ф = я Ф > U = "я U
dr r dr r
- d2V 2 dV . Л 2 2 '
V — 2 ^ ^ +-----------------— + кт ( кт — —^ ) V.
(25)
где
dr2 r dr
Преобразуем второе и третье уравнения (25). Второе уравнение (25) умножим на sin в и продифференцируем по в, а затем сложим с третьим уравнением (25), продифференцированным по р. Получим при r = r2
д
L(Ф(2)) + кт — L(rV)
dr"
(26)
Теперь продифференцируем второе уравнение по р и вычтем третье уравнение, предварительно умноженное на sin в и продифференцированное по в. Получим при r = r2
r
Аналогично преобразуем последние два уравнения. Получим при г = Г2
М-)
1 1 д -L(Ur) - -rL{u2) + g-L(u2)
2 ____ __________
— L^) + kT L(V) r
M-)
д1 ^L(us) - - L(us) д
= ^k"2 L(U).
(28)
(29)
Граничные условия (21) на границе полости запишем через функции Ф(2), и и V. Будем иметь при г = Я
д2ф(2)
-Л2 кг2Ф(2) + 2^2'
д-2
+ 2kT
№-
d3V д-3
+
„ ^д2V /Л2 ,Л dV ,2т'
+ (Л2 + 3^2) -д—2 + ( ~ + ^2-kT J -Q- + ^2krV
= 0,
(30)
Р2
Р2
2 д — kT д — 2 д —\
• д я- ф + • д я- V — krTifí U ) = 0
-sinв др sin в дір дв )
2 д — kT д — 2 д — \
—•—д я- ф + •—ЪТГ V — krTifí U ^ = °'
-sin в др sin в др дв
Над последними двумя уравнениями проделаем преобразования, аналогичные описанным выше. Получим
2 — — -L^) + kT L(V) = 0.
L(U) = 0.
(31)
(32)
Анализ уравнений движения и граничных условий позволяет утверждать, что при из = 0 и и = 0 будут удовлетворяться все уравнения (6), (13), (16), (17) и граничные условия (24), (27), (29), (32), где присутствуют эти функции.
Таким образом,
Етп — Етп — и3тп — °
Подставим разложения (18) в уравнения (13), (16). Воспользовавшись уравнением для присоединенных многочленов Лежандра [14]
1 d
sin в dв
d
sin в^Р™(СШ в)
+
n(n + 1)---------т
m
sln2в
и свойством ортогональности этих многочленов [14]
П
í (cos в) pm (cos в) sin вdв =| N
J ^ Nmn,
pnm(cos в) = 0
n = k; n = k,
где
лт 2 (п + т)!
тп = (2п + 1) (п - т)!
— квадрат нормы присоединенных многочленов Лежандра, получим для каждой пары индексов т,п (п = 0,1,...; |т| ^ п) систему линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций ^1тп(г) и и2тп(г)
АпИ тп + -6пИ тп + спи тп = 0, (34)
где
U mn — (Ulmni U2 mn)
А ___ ( a11n 0 i R _ ( b11n b12n A CR _ f c11n c12n
An V 0 a22n ) ,Bn V b21n b22n ) ,Cn V C21n ^22n
Здесь
aun — A + 2ц, a22n — ц,
bun — A' + 2ц! + 2(A + 2 ц)/r, b12n — -n(n + 1)(A + ц)/т,
b21n — (A + ц)/т, b22n — (тЦ + 2ц)/т,
C11n — pw2 + [2AV - 2(A + 2ц) - n(n + 1)ц]/т2,
C12n — n(n + 1)(A + 3ц - )/т2,
C21n — [тц' + 2(A + 2ц)]/т2, C22n — pw2 - [тц' + n(n + 1)(A + 2ц)]/т2,
Отметим, что все коэффициенты системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (34) не зависят от индекса m.
Подставим разложения (1), (2) и (18) в граничные условия на внешней поверхности покрытия (первые два уравнения (22), (23), (24)).
Из первого уравнения (22) находим коэффициенты Amn, выраженные через величины U1mn(n)
А _ Ymnkjn(krl) + ги^т^т^ Го^
mn Ш^ктх) ' (35)'
Здесь и далее штрихи означают дифференцирование по аргументу.
Оставшиеся граничные условия при т — т1 дают следующие два краевых условий при т — т1 для нахождения решения системы (34):
(iRnUmn + -^^nUmn )r=ri — DRmn, (36)
где
R _ ( enn e12n \ R _ ( YmnWp1 0 \T
En ^ e21n e22n Г V (кп)2Ып(кп) ,
Здесь
2А u2pihn(kr) А
eiin =-------1--,,,,,, х , ei2n = — n(n + 1),
r kh’n(kr) r
-i -i Є21п = ^r , Є22п = -Цr .
При выводе краевых условий (36) воспользовались уравнением для присоединенных многочленов Лежандра (33) и выражением для вронскиана сферических функций Бесселя [14]
jn(x)h'n(x) - j'n(x)hn(x) = i/x2.
Заметим, что на границе r = ri все функции, присутствующие в граничных условиях, записаны в системе координат r, 9, (.
Теперь подставим разложения (5), (9), (18) в граничные условия на внутренней поверхности покрытия (первое и четвертое уравнения (25), (26), (28)), а разложения (5), (9) — в граничные условия на поверхности полости (зо) и (31).
В полученных уравнениях будут присутствовать функции координат обеих систем r,9,( и 9, р, (9. На границе r = r2 необходимо все функции записать в первой координатной системе, а на границе полости 9 = R — во второй.
Для этого воспользуемся теоремами сложения для сферических волновых функций [11], которые имеют следующий вид:
го q
jn(krr)PnT(cOS 9)вгтір = ^ ^ Qpqmn(ri2,9i2,(i2,kT)jq(kT9)Р£(COS 9)eW;
q=0 p=-q
hn (кт 9) Pm (cos 9)eim(9 =
го q
= ^ Rpqmn(r2i,92i,(2i,kT)hq(ктr)Pqm-p(cOS 9)e%im-p)v,
q=0 p=-q
где
iq-n q+n
Яр.шп = 2 -а Ь^Р)Іа(ктП2)Рт-Р(с08 ;
а=\я-п\
Ч+п „а
КрЯши = 2г*-п £ —Ь^^За (кг Г2і)Р?(со8 92і)еір^21.
І І ^ра
а=\д—п\
Здесь через т3з, 93з, р3^ обозначаются сферические координаты начала 3 - ой системы координат О^ в в-й системе с началом 03 (3, в = 1, 2) (системе г, 9, р
соответствует 1, а системе г,9,р — 2). Коэффициенты Ь(п’тдр') определяются через коэффициенты Клебша-Гордана [11].
В результате получаем бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, из которых находим коэффициенты Bmn, Cmn, Fmn, Gmn и получаем для каждой пары индексов m, n два краевых условия при r = = Г2, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (34).
Решение бесконечных систем находятся методом усечения [15]. Построенная краевая задача для системы дифференциальных уравнений (34) решается каким-либо методом (см., например, [16]). После ее решения по формуле (35) определяем коэффициенты Amn.
В результате получаем аналитическое описание в виде (2) акустического поля, рассеянного упругим шаром, имеющим неоднородное упругое покрытие и сферическую полость, расположенную в теле произвольным образом.
Список литературы
1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // Acoust. Soc. Amer. 1951. V. 23. № 4. P. 405-420.
2. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсаль-но-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журнал. 1995. Т. 41. № 1. С. 134-138.
3. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Рассеяние звука неоднородным термоупругим сферическим слоем // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74. Вып. 4. С. 645-654.
4. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 114-122.
5. Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 18. Вып. 4. С. 519-526.
6. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.
7. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.2. Ч. 2. С. 265-274.
8. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.3. С. 202-208.
9. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.3. С. 179-192.
10. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.
11. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.
12. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. М.: ИЛ, 1960. 886 с.
13. Новацкий В. Теория упругости. Т.2. М.: Мир, 1975. 872 с.
14. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.; Л.: Физматгиз, 1963. 358 с.
15. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. 708 с.
16. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. 232с.
Толоконников Лев Алексеевич (tolokonnikovla@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Diffraction of a plane acoustic wave by an elastic sphere with a non-uniform covering and arbitrarily situated spherical vacuity
L.A. Tolokonnikov
Abstract. The analytical solution of the problem of the diffraction of a plane acoustic wave by an elastic sphere with a radially non-uniform elastic coating and arbitrarily situated spherical vacuity is obtained.
Keywords: diffraction, sound waves, elastic sphere, spherical vacuity, nonuniform elastic coating.
Tolokonnikov Lev (tolokonnikovla@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 20.04-2014
