Математическое моделирование неоднородного покрытия упругого шара со сферической полостью и оптимальными звукоотражающими свойствами Текст научной статьи по специальности «Физика»

30. Gorelov A.S., Preis V.V., Morozov V.B. Design principles for integrated automated statistical quality-control systems in manufacturing // Russian Engineering Research. 2008. Т. 28. № 3. С. 251-254.

Морозов Владимир Борисович, канд. техн. наук, доц., qtayaramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

FORMATION OF THE TECHNOLOGICAL COMPLEX OF WATER PURIFICATION UNDER ACTUALLY REQUESTED OPERATIONAL CONDITIONS

V.B. Morozov

The technological complex on purification of initial water for needs of food and adjacent productions under the actual high-quality requirements is provided and concretized.

Key words: water purification, technological complex, processing equipment, quality.

Morozov Vladimir Borisovich, candidate of technical sciences, docent, qtay@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 539.3; 534.26

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ПОКРЫТИЯ УПРУГОГО ШАРА СО СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ И ОПТИМАЛЬНЫМИ ЗВУКООТРАЖАЮЩИМИ СВОЙСТВАМИ

Л.А. Толоконников

Получено приближенное аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом однородном шаре, имеющем сферическую полость и ради-ально-неоднородное покрытие. На основе решения прямой задачи рассмотрена обратная задача об определении законов неоднородности покрытия, обеспечивающих наименьшее звукоотражение в заданном направлении.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, упругий шар, сферическая полость, неоднородное упругое покрытие, законы неоднородности

Создание покрытий с требуемыми звукоотражающими свойствами является актуальной проблемой. В настоящее время предложены различные способы получения таких покрытий применительно к телам различной геометрической формы. Требуемые звукоотражающие характеристики упругих тел можно получать с помощью покрытий в виде непрерывно-неоднородного упругого слоя.

Исследованию дифракции гармонических звуковых волн на упругих однородных изотропных сплошных сферических телах и сферических оболочках, находящихся в жидкости, посвящена обширная литература (например, [1-4]). Дифракция звука на упругих сферических телах с произвольно расположенными сферическими полостями изучена в работах

[5, 6].

Дифракция звуковых волн на упругих неоднородных телах сферической формы исследовалась в работах [7, 8]. В [7] решена задача о рассеянии плоской волны трансверсально-изотропным неоднородным полым шаром. В [8] изучено рассеяние звука неоднородным термоупругим сферическим слоем.

В работах [9-11] решены задачи дифракции плоских, сферических и цилиндрических волн на сплошном упругом однородном шаре с ради-ально-неоднородным покрытием. Исследованию дифракции плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической полостью посвящена работа [12]. В [13] рассмотрено моделирование дискретно-слоистого покрытия упругого шара радиально-неоднородным слоем в задаче рассеяния звука.

В данной работе рассматриваются прямая задача дифракции плоской звуковой волны на полом упругом шаре с непрерывно-неоднородным покрытием и обратная задача об определении параметров неоднородности покрытия с оптимальными звукоотражающими свойствами.

1. Постановка задачи. Рассмотрим однородный изотропный упругий шар радиусом fq , материал которого характеризуется плотностью ро и упругими постоянными 1q и то. Шар имеет покрытие в виде радиально-неоднородного упругого слоя, внешний радиус которого равен r, и концентрическую сферическую полость радиуса R. Полагаем, что плотность р и модули упругости l, m материала покрытия являются функциями радиальной координаты r сферической системы координат r, 0, j. Окружающая цилиндр жидкость является идеальной. Ее плотность и скорость звука соответственно равны р 1 и c.

Пусть из внешнего пространства на шар падает плоская звуковая волна. Без ограничения общности будем полагать, что волна распространяется в направлении 0 = 0. Тогда в сферической системе координат потенциал скоростей падающей волны запишется в виде

Yq = ^о exp[/(kr cos 0 - wt)],

где ^о - амплитуда волны; k = w/c - волновое число в окружающей жидкости; w - круговая частота. В дальнейшем временной множитель e-iwt будем опускать.

Определим акустическое поле, рассеянное шаром, и законы неоднородности покрытия шара, обеспечивающие оптимальные звукоотра-жающие свойства тела.

2. Прямая задача. Определим акустическое поле, рассеянное полым шаром с неоднородным покрытием, и поля смещений в однородном шаре и неоднородном покрытии. Очевидно, что ввиду осевой симметрии задачи и свойств упругого материала покрытия, возбуждаемые волновые поля вне и в самом теле, не будут зависеть от координаты ф.

Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [14]

ДЧ + k2 Ч = 0,

где 41= Чо + Ч - потенциал скоростей полного акустического поля; -потенциал скоростей рассеянной волны. При этом скорость частиц V и акустическое давление p в жидкости определяются по формулам

V = grad 41, p = Ф1ШЧ1.

Оператор Лапласа в сферической системе координат имеет вид

D Ч -

2 Эг

Г . л

r

2 Э

r —

Эг

+

1 Э

r2 sin 0Э0

Sin 0 —

Э0

1Э

2

r2 sin2 0Эф2

[15]

Потенциал скоростей падающей плоской волны представим в виде

Yo(r,0)= £ gnJn(kr)Pn(cos0), gn = A/'(2n +1), n=0

где jn (x) - сферическая функция Бесселя порядка n; Pn (x) - многочлен Лежандра степени n.

Учитывая условия излучения на бесконечности [14], функцию Ys будем искать в виде

¥

Ys(r, 0)= Z Anhn (kr)Pn (cos 0), (1)

n=0

где hn (x) - сферическая функция Ганкеля первого рода порядка n .

Распространение малых возмущений в упругом неоднородном покрытии описывается общими уравнениями движения сплошной среды [16]. В сферической системе координат для установившегося режима колебаний они имеют вид

ЭОгг 1 ЭОг0 1 /_ л 2

"ЭГ + 7~Э0 r' rr-°00-°ФФ + ог00) = Pur,

+ + \[(О00-Офф)0 + 3°r0] = -W2PU0, ( )

сю

где иг и п§ - компоненты вектора смещения и в неоднородном слое; -

компоненты тензора напряжений в неоднородном слое; р = р(г).

Соотношения между компонентами тензора напряжений и вектора смещения в неоднородном сферическом слое записываются следующим образом [16]:

/1 , о , l

srr = (i+2m) r 1

Эг

~ Эие

2ur +--- + uq

r Э0 0

see

i Эur 2(i+m) (i+2m) Эие i

l ~ + Ur + i +

Эг

r

r

+ —ue Э0 r 0

i Эur 2(i+m) i Эu0 (i+2m)

l ~ I ur + +

r r Э0

Эг

u

r

(3)

sre = m

1 Эur uq ЭU0

V г Э0 г Эг

где 1 = 1(г); т = т(г).

Используя соотношения (3), запишем уравнения (2) через компоненты вектора смещения и:

(i + 2m)

Э 2ur

+

i'+2m'+

, 2(i+2m)'

+

Эг 2

A2i' 2(i + 2m) 2 Л v ^ + w2p

Э^

m э 2ur i m

Эг

г2 Э02

+

2 0 Э0

r

2

r

ur +

i+mr^u0 i ( , i+3m Л Эu -0--!— i

Эг г

0

Э0

i+i^2u0 i (i+3m

ЭгЭ0

i'

ctg 0u0 = 0,

(4)

m

Э u0 i + 2m Э u0 ( , 2mЛ Эu0 i + 2m ^u

-L -L II _L _L 0_

Эг2

г

Э02

m +

Эг

Э0

V i+2m 2 Л

^ + —--—w2p

V

r

r2 sin2 0

Л

i+m Э ur i ( , 2(i+2m)

У

u0+—m +

r ЭгЭ0 r V

Эu

r

Э0

= 0,

где штрих означает дифференцирование по г .

Функции ur (r, 0) и u0 (r, 0) будем искать в виде разложений

¥ ¥ J

ur (r,0)= I Uin(r)Pn(cos0), u0(r,0)= £ U2n(r)—Pn(cos0). (5)

n=0 n=0 d0

Подставляя выражения (5) в уравнения (4) и используя дифференциальное уравнение для многочлена Лежандра [17]

1 d ( d Л

sin 0—Pn (cos 0) + n(n +1) Pn (cos 0) = 0,

d0 У

sin0 d0

r

г

г

r

r

r

г

г

0

2

r

r

r

получим следующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций и1П (г) и и2П (г) для каждого п :

AnUn + BnU'n + CnUn = 0,

(6)

T

где Un = (U1n,U2n) ; An,Bn,Cn - матрицы второго порядка,

г

An

n

( 1+2m

v 0

0 ! m,

Bn =

l+2m'+2(1+2m)

- n(n +1)

1+m

1+m

V

r

(21' 2(1+2m)+n(n+i)m + w2p

с =

2m

m +—

r y / 1 , 1 Л Л

r

r

2

n(n+1) (., 1+3m 1--

m' 2(1+2m)

V

r

У

m , ,д+2m 2

- — - n(n +1)—^ + w2p r2

r r r

Уравнения, описывающие распространение малых возмущений в упругом однородном изотропном шаре, в случае установившегося режима движения имеют вид [14]

AY + fy2 Y = 0, АФ + к2Ф = 0, (7)

где ki = w/с/ - волновое число продольных упругих волн; к% = ю/ст -

волновое число поперечных упругих волн; ci = -^/(10 + 2m0)/P0 и

ct = Vm0/P0 - скорости продольных и поперечных волн соответственно; АФ = - rot rot Ф + grad div Ф.

Вектор смещения u(0) частиц упругого однородного шара определяется выражением

u(0) = grad Y + rot Ф, div Ф = 0. Так как рассматриваемая задача осесимметричная, то Ф = F(r, 0)ej, где ej - единичный вектор координатной оси ф. Тогда векторное уравнение (7) сведется к одному скалярному уравнению относительно функции

F(r,0) , которое в сферической системе координат имеет вид

\

1

г

АФ +

кх

V

r 2 sin2 0

Ф = 0.

Функции Y (r, 0) и Ф(г , 0) будем искать в виде

¥

Y (r, 0)= S [ вП1)]п (kir) + b£\ (klr)]Pn (cos 0),

n=0

Ф(r,0)= S [Bn3)jn(V) + B^hn(k%r)]dPn(cos0).

n=0

d0

r

r

r

Компоненты вектора смещения и записываются через функции ¥ (г, 0) и Ф (г, 0) следующим образом:

40) =

+

1 Э

Эг г Бт 0Э0

(БШ 0Ф),

ш0 г

Э¥ ЭФ

Э0 Эг

Ф

Соотношения между компонентами тензора напряжений о° и вектора смещения и0 в однородном изотропном упругом шаре аналогичны соотношениям (3) для неоднородного упругого слоя. Только в выражениях (3) модули упругости 1(г) и т(г) следует заменить на упругие постоянные

1о и то.

Компоненты тензора напряжений о^ и о°0 выразим через функции ¥ (г, 0) и Ф (г, 0) с учетом того, что А¥ = -к/ ¥ . Получим

о°. = -1о£/2¥ + 2то

Э 2¥ 1 Э'

Эг 2 бш 0 ЭгЭ0

( 0^ } -Ф

V г )

У

^0 ог0

то

2 Э 2¥ 2 Э¥ Э 2Ф

г ЭгЭ0 г2 Э0 Эг2

г

2 ^ 1 Э г

2 -2 Э0

г

1 _э_

бШ 0Э0

(бш 0Ф)

Коэффициенты Ап, вЩ) (7 = 1,4) разложений (1), (8) и функции Щп (г),и 2п (г) в разложениях (5) подлежат определению из граничных условий.

Граничные условия на внешней поверхности неоднородного покрытия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой неоднородной среды и жидкости, равенстве нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений

г = т\: - /ошг = \г, огг = - р, ог0 =0. (9)

На внутренней поверхности покрытия при переходе через границу раздела упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, нормальные и тангенциальные напряжения

г = г0 : шг = ш°, Ш0 = ш0, огг = о0г, ог0 = о00. (10)

На поверхности полости (в полости вакуум) должны выполняться граничные условия, заключающиеся в отсутствии нормальных и тангенциальных составляющих тензора напряжений

.0

0

г = Я: огг =0, ог0 = 0.

(11)

Из условия равенства нормальных скоростей при г = г находим коэффициенты Ап, выраженные через величины и1п (ц):

142

A = gnkfn (kl) + iwU1n (r1) (12)

n к^П (kr\) '

где штрихи означают дифференцирование по аргументу.

Из первых двух граничных условий (10) и условий (11) получаем систему четырех линейных уравнений

MnBn = Ln, (13)

где Bn = (вП^, вП2), B^, B^)T - вектор-столбец неизвестных;

T

Ln = (^1n(ro),U2n(ro),0,0) - вектор-столбец свободных членов; Mn -матрица коэффициентов системы:

А ^11n (ro) ^12n (ro) ^13n (ro) ^14n fo) Л m21n M m22n (r0) m23n (r0) m24n (r0* w31n ( R) m32n (R) w33n ( R) m34n ( R) m41n ( R) m42n ( R) m43n ( R) m44n ( R), Величины mj (r ) определяются следующими выражениями (индекс n для упрощения записи опускаем):

m1s = k/z'n (klr X m1,s+2 = - n(n +1) zn (kxrX m2s =1 zn (k/r),

r r

1 2

m2,s+2 = kxzn(V) + -Zn(kTr), m3S = к/ [-I0Zn(k/r) + 2^0(k/r)],

r

m3,s+2 = 2^0 n(n +1) [Zn(V) - kxrzn(kTr)], r 2

m4s = 2^0 -^[k/Z (k/R) - Zn (k/r)], r2

Mn =

m4,s+2 = m0-2[-kTr24'(ktr) + 2zn(ktr) - n(n +1)zn(ktr)] (s = 1,2).

г

Здесь 2п (х) = ]п (х) при £ = 1 и 2п (х) = Нп (х) при £ = 2.

Из системы (13) находим коэффициенты Б^/) (] =1,2,3,4), выраженные через величины (го) и и2п(го):

Б(п]) = $ Ъы (го) + ь2 пп)и2п (го) а = 1,2,3,4). (14)

Выражения для коэффициентов Ь;(п) и Ь^^ не приводятся из-за их громоздкости.

Из второго и третьего граничных условий (9) получаем два краевых условия, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (6):

(лпип+4и п )г=^ = ъп,

(15)

где

С о

2— ю р1^п (кг)

/) =

+

кИп (кг) |1г-1

-— п(п +1)

г

|г

-1

£>п =

УпЮр1

(кг1)2 к'п (кг1) 0

При нахождении Г)п было использовано выражение для вронскиана [16]

уп (Ф'п (х) - Л (Фп (х) = А- •

х2

Из последних двух граничных условий (10) с учетом выражений (14) находим еще два краевых условия для системы дифференциальных уравнений (6):

(16)

где

Рп =

2—

(Лип + п )г=г0 =0,

&11п(г) - 1 п(п +1) - &12п(г)

г

1-& 21п (г)

V г

1- &22п (г) г

(г) = 2,1(г) + ЪтЩ+2,2(г) + 2,3(г) + ЙЧ+2,4(г)

(Г, ( = 1,2).

Коэффициенты Лп, В^) (у =1,2,3,4) могут быть вычислены по формулам (12) и (14) лишь после решения краевой задачи (6), (15), (16).

3. Решение краевой задачи. Найдем приближенное аналитическое решение краевой задачи (6), (15), (16) методом степенных рядов [18]. Решение системы (6) будем искать в виде

иуп (г ) = £ (г - а)( (у =1,2),

(17)

(=0

где в качестве точки г = а выберем середину отрезка [г0, .

Если на отрезке [г> функция р(г) является дифференцируемой, а функции —(г) и |(г) имеют непрерывные производные до второго порядка включительно, то все коэффициенты системы (6) будут представлять собой функции, непрерывные вместе со своими первыми производными на [г0,п]. Тогда ряды (17) будут сходящимися на [г0,[18].

Предположим, что функции р, — и | имеют вид многочленов относительно переменной г (или аппроксимированы такими многочленами):

144

г

N N N

Р(г)= I Р(1)(г - а)1, 1(г )= X 1(1)(г - а)1, т(г)= I |!(1)(г - а)1, (18)

k=0 1=0 1=0

где N - степень многочленов.

Сведем краевую задачу (6), (15), (16) к задачам с начальными условиями в точке г = а. Найдем четыре линейно независимых решения системы дифференциальных уравнений (6). В качестве фундаментальных решений можно выбрать четыре решения задачи Коши Ц^ (г) (1 = 1,2,3,4) системы (6) с начальными условиями, являющимися линейно независимыми. Возьмем следующие начальные условия:

Ц1п 1г=а = (51/, 52/ )Т, Ц1п 1г=а = $31, §4/ ) (1 = 1,2,3,4), (19) / / / Т

где Цп = (и1п,и2п) ; 1 - порядковый номер задачи Коши; 5щ - символ Кронекера.

Однородность системы (6) позволяет представить решение краевой задачи (6), (15), (16) в виде линейной комбинации фундаментальных решений

4 /

Цп = I сип, (20)

/=1

где ип = (и{п ,и 2п); С1 - постоянные.

Каждую составляющую вектора цЦп будем искать в виде

и)п = I и$)(г - а)£ (Щ = 1,2). (21)

£=0

Получим рекуррентные соотношения для нахождения коэффициентов и}£.

2 2 Л Умножим уравнение (6) на г . Обозначим элементы матриц г Ап,

22

г Бп, г Сп через Ап, Бщп, Сщп соответственно.

Запишем систему (6) в координатной форме: 2

I (АЩгРщп + БЩгРп + С1]пи]п) = 0 ( I = 1,2). (22)

Щ=1

Так как элементы матриц г2 Ап, г2 Бп, г 2Сп выражаются через модули упругости и плотность, то с учетом (18) получаем

N+2 ПЛ , N+1^,4 , N+2 пл

Ащп = I А(п\г - а)1, Бщп = I Б>Щп?(г - а)1, Сщ = I ^(г - а)1. (23) 1=0 1=0 1=0

2 2 2 Используя выражения r = (r - a) + a и r = (r - a) + 2a(r - a) + a ,

находим коэффициенты Л^, Bjn, cjj :

4?= a 2y(0), Л^= a 2уР + 2ay(0), Л(^) = a 2g(k ) + 2ag(k-1) + g(k-2) (k = 2,3,k, N), AlN+1) = 2ag(N) +g(N-1), AlN+2)= N) (i = 1,2), Л1(2П= л2!П = 0 (k = 0,1,..., N + 2), В^ = a(ag(1) + 2g(0)),

B(£ = (k + 1)(a2Yl(k+1) + 2ag(k) + ^-1)) (k = 1,2,...,N -1), Bfï = (N + 1)(2ay(N) + g(N-1)), В&+1) = ( N + 2)g(N), -n(n + 1)B2S (k = 0,1,^, N +1), Bon = a(1(0)+ |i(0)),

В2ы = a(i(k ) + m(k )) + I(k-1) + m(k-1) (k = 1,2,k, N), <+1) = 1(N)+m(N), B(2n = a(am(1)+m(0)), Bkn = (k + 1)a2|i(k+1) + (2k + 1)am(k) + (k + 1)|i(k-1) (k = 1,2,...,N -1), bN = (2 N + 1)am( N ) + ( N + 1)m(N-1), B2Nn+1) =( N + 2)m(N), C(°n = 2a1(1) - 2y(0) - n(n + 1)|i(0) + w2a2p(0), с(Ц = 2a1(2) - [4 + n(n +1)]||(1) + w2a(ap(1) + 2p(0)), C^ = 2(k + 1)a1(kf1) + 2(k - 1)1(k) - [4 + n(n + 1)]|i(k) + + w2(a2p(k) + 2ap(k-1) + p(k-2)) (k = 2,3,k,N -1), CN = 2(N -1)1(N) - [4 + n(n +1)]|(N) + ¿(n 2p( N ) + 2ap( N-1) fp( N - 2))

+ w2(a 2p(N ) + 2ap( N "1) + p( N "2)),

1)

11n

C,(Nn+1> = w2(2ap( N ) + p( N-1)), CÎN,+2) = w2p( N ),

С(«П = -n(n + ^al«-1(0) - 3|(0)),

C1kn = -n(n + 1)[(k +1 )a1(k+ * + (k - 1)1(k) - 3|(k)] (k = 1,2,..., N -1),

= -n(n +1)[( N-1)1(N) - 3|(N)], CÎN+^0, C{N+ 2) = 0,

с20П = am(1) + 2g(0),

С2Щ = (k + 1)a|i(kf1) + 21(k) + (k + 4)|i(k) (k = 1,2,k,N -1),

146

С™ = 2Х<*> + (N + 4*1™, <+1) = 0, С<^+2)=0,

21п

21п

С

(0) = -а||(1) -

22п

а| (1)

- п(п + 1) у(0) + ш2а 2Р(0),

С2'п = -2а|(2) -п(п +1)у^ + ю2а(ар(1) + 2р(0)),

С22п = -(1 + 1)а|(1+1) - п(п + 1)у(1) - 1|

(1) +

+ ш2(а2р(1) + 2ар(1 ч) + р(1 -2)) (1 = 2,3,к, N -1), С® = -п(п + N) - Л|( N > + «2(а 2р(м) + 2ар( N+ р( N-2)),

= «2(2ар<N»+ р(N-1»), C2N„+ 2) = «V"),

у«1 ) = I1) + 2|(1), у 21 )= 1(1) (1 = 1,2,к, N + 2). /' Г

Производные иуп и иуп согласно (21) запишем в виде иЩп = I (£ + 1)иЩ£+1)(г - а)£, иЩп = I (£ +1)(£ + 2)и(£+2)(г - а)£. (24)

С учетом разложений (23), (21), (24) будем иметь

Ауи"]п I £=0

N

I (£ +1 -1)(£ + 2 -1) А1и)

1=0

(г - а)£,

Бщищ =

£=0

N-1

К £ +1 -1) Щи(^»

1=0

(г - а)£,

Си ■ = I ^и щп

£=0

N

т1 С (1 )и (£-1)

^ уп Щп

1=0

(г - а)£

где N1 = шт( N + 2,1).

Подставляя последние выражения в уравнения (22) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени (г - а) , получаем уравнения для

определения коэффициентов иЩ£ (Щ = 1,2)

2 N1

II [(£ +1 -1 )(£ + 2 -1)А^и^+2-1)

у=11=0

(£+1 -1) Б^п+1-1)+СЩМ£-1)] = 0,

+

+ (£ +

уп щп уп щп

£ = 0,1,2,...; I = 1,2, где ^=шт( N + 2, £); / = 1,2,3,4.

Выделяя из первой суммы последнего равенства член с индексом 1 = 0 , будем иметь

£=0 £=0

сю

сю

сю

2 2

х (*+1)(.+2) +2) = - XX {(*+1 - к )[(* - к) +

7=1 7=1к=0

+ «+1-к) + С^и^} (1 = 1,2). (25)

Составим из (25) систему двух уравнений при I = 1 и I = 2 относительно неизвестных иЩ+2) и и ^+2):

а(*) и1 (*+2) + (*) и1 (*+2) = ,(*) а11пи1п + а12пи 2п а1п '

а(*) и1(*+2) + а(*) и1 2) = а(*) (26)

а21пи1п + а22пи 2п а2п , (26)

где

а7) = (* +1)(* + 2)7 О', 7 =1,2),

2 N

4?) = - X Х{(*+1 - к)[(* - к)71 + +1-к) + С^-к)}. 7=1к=0

Так как Л^ = Л^Щ = 0, то = а21)п = 0 . Поэтому из (26) получа-

ем

7+2)= (7 =1,2; * = 0,1,...). (27)

Рекуррентные соотношения (27) позволяют вычислить все коэффициенты разложений (21) за исключением и и1^1 (7 = 1,2).

Учитывая начальные условия (19), получаем

иГ = 8«; и2(п0)= 82,; бэ,; = 64, (, = 1,2,3,4).

Подставляя (20) в краевые условия (15), (16), получим систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных С, (, = 1,2,3,4):

X с, (лпи1п + Еп и1п \=г = 4,

,=1 1

XX С, (лпи1п + Рпип Г = =0.

,=1 0

Определив из этой системы коэффициенты С,, согласно (20) находим приближенное аналитическое решение краевой задачи (6), (15), (16):

4 ¥

и7п(г) = XС X и§\г - а)* (7 = 1,2). (28)

/=1 *=0

Теперь, используя (28), по формулам (12) и (14) можем вычислить коэффициенты Ап, БУ) (Щ = 1,4). В результате получаем аналитическое описание волновых полей в упругом теле и вне его.

Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Используя асимптотическое представление сферических функций Ганкеля первого рода при больших значениях аргумента (1г >>1) [17]

^Иг

hn (kr)»(-1)"+1 *

kr

из (1) получаем

Y = iexp(zkr) F (0), 2r

где

-Л ¥

F(0) = — I (-i)"+1 A"P"(cos0).

kr1 n=0

Амплитуда рассеяния | F (0) | характеризует рассеивающие свойства тела в разных направлениях.

4. Обратная задача. На основе полученного решения прямой задачи рассмотрим обратную задачу об определении законов неоднородности

покрытия полого шара, обеспечивающих минимальное звукоотражение в

*

направлении 0 = 0 .

Построим функционал Ф , определенный на классе функций p(r),

1(r), m(r) и характеризующий рассеивающую способность тела в направ-

*

лении полярного угла 0 = 0 :

* 2 F(0*)

Ф[р, 1, |]= ,

А0

Предположим, что функции р(г), 1(г) и |(г) аппроксимированы многочленами первой степени относительно переменной г , то есть будем рассматривать линейные законы неоднородности упругого слоя:

р(г) = р(0) + р(1)г, 1(г) = 1(0) + 1(1)г, |(г) = |(0) + |(1)г. (29)

Найдем такие значения коэффициентов р(1) , |( ) (1 = 0,1)

функций р(г), 1(г), т(г), при которых функционал Ф достигает минимального значения. Воспользуемся алгоритмом минимизации функционала, предложенным в [19].

Для функций р(г), 1(г), т(г), определенных на отрезке [г0, п], введем ограничения

а0 < р(0) + р(1)г <а1, Р0 £ 1(0) + 1(1)г < р1,

У0 <|(0) +|(1)г<У1, ге[/0,п], (30)

где ащ , Рщ , ущ (Щ = 0,1) - некоторые положительные константы.

Геометрически каждое из неравенств (30) вида ¿0 < / (г) < ¿1, где

/(г) = а(0) + а(1)г, задает в декартовой системе координат г, f бесконечное множество отрезков, лежащих в прямоугольной области

^(а(0),а(1)) = {(г, f) | г0 < г < гь¿0 < f (г) < ¿1}, концы которых (точки А и Б) принадлежат прямым г = г0 и г = г1 (рисунок). Здесь под парой коэффициентов (а(0),а(1)) подразумеваем каждую из пар (р(0),р(1)), (1(0), 1(1)), (|(0),|(1)), а под Ь0 и Ь1 -

соответствующие границы. Область ^(а(0),а(1)) является областью определения законов неоднородности.

Область определения законов неоднородности

Точки А и Б имеют координаты (г0,/0) и (г1,/1) соответственно. При этом /щ е [¿0,¿1] (Щ = 0,1). Тогда из системы уравнений

а(0) + а(1)гщ = /щ (Щ = 0,1) 150

находим

а(0) = г1/0 - г0/1, а(1) = А-Д . (31)

г1 - г0 г1 - г0

Задавая разные значения ординат /0 и /1 из отрезка [¿0, ¿1] и вычисляя с помощью формул (31) коэффициенты а(0) и а(1) , получаем разные линейные законы неоднородности материала слоя /(г).

Нахождение неизвестных величин р ', #) , т( ) (1 = 0,1), удовлетворяющих условиям (30) и минимизирующих функцию

Ф(р(0), р(1), 1(0), 1(1), т(0), т0)),

осуществим с помощью следующей вычислительной процедуры.

Разобьем границы области О (отрезки СБ и ¥Е) на М0 и М равных частей соответственно. Таким образом, для величин /щ (Щ = 0,1) на

отрезке [¿0, ¿1] введем равномерную сетку с узлами

Щ = ¿0 + , кщ = , I. = 0,1,...М (Щ = 0,1).

^ з J М- ' 7

Далее, используя соотношения (31), рассчитываем (М 0 + 1)(М1 +1) пар коэффициентов (а(0),а(1)), которые определяют (М0 + 1)(М1 +1) законов неоднородности материала слоя /(г) = а(0) + а(1)г для области О(а(0), а(1)).

Разбивая левую и правую границы каждой из трех областей О(р(0),р(1)), О(1(0), 1(1)), О(т(0),т(1)) способом, описанным выше, для каждой области получим значения пар коэффициентов (р(0),р(1)),

(1(0), 1«), (т(0), т0*).

Методом перебора последовательно для каждой тройки пар вычисляем значение Ф и определяем наименьшее из полученных значений, после чего фиксируем коэффициенты р( ), т( ) (1 = 0,1), соответствующие этому наименьшему значению Ф .

В результате получаем аналитическое описание (29) оптимальных механических параметров материала неоднородного покрытия шара.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Правительства Тульской области (проект № 16-41-710083).

Список литературы

1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // J. Acoust. Soc. Amer. 1951. V. 23. № 4. P. 405-420.

2. Junger M.C. Sound scattering by thin elastic shells // J. Acoust. Soc. Amer. 1952. V. 24. № 4. P. 366-373.

3. Goodman R.D., Stern R. Reflection and transmission of sound by elastic spherical shells // J. Acoust. Soc. Amer. 1962. V. 34. № 3. P. 338-344.

4. Flax L., Dragonette L.R., Uberall H. Theory of elastic resonance excitation by sound scattering // J. Acoust. Soc. Amer. 1978. V. 63. № 3. P. 723731.

5. Толоконников Л. А., Филатова Ю.М. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 115-123.

6. Толоконников Л. А., Филатова Ю.М. О дифракции цилиндрической звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 134-141.

7. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звука неоднородным трансверсально-изотропным сферическим слоем // Акустический журн. 1995. Т. 41. Вып. 6. С. 917-923.

8. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Рассеяние звука неоднородным термоупругим сферическим слоем // Прикладная математика и механика, 2010. Т. 74. Вып. 4. С. 645-654.

9. Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. Вып. 4. С. 519-526.

10. Толоконников Л.А., Родионова Г.А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 131-137.

11. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругой сфере с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 5. С. 663-673.

12. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 181-193.

13. Толоконников Л. А., Свечников И.М. О моделировании дискретно-слоистого покрытия упругого шара радиально-неоднородным слоем в задаче рассеяния звука // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 170-177.

14. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.

15. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

16. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

17. Справочник по специальным функциям / под ред. М.Абрамо-вица, И.М.Стигана: Наука, 1979. 832 с.

18. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1969. Т.3. Ч. 2. 672 с.

19. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 54-62.

Толоконников Лев Алексеевич, д-р физ.-мат. наук, проф., tolokonnikovlaamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

MATHEMATICAL MODELLING OF THE INHOMOGENEOUS COVERING OF AN ELASTIC SPHERE WITH THE SPHERICAL CAVITY AND OPTIMUM SOUND REFLEXION

L.A. Tolokonnikov

The approximate analytical solution of a problem on diffraction of a plane sound wave by elastic homogeneous sphere having a spherical cavity and radially-non-uniform covering is received. On the basis of solution of a direct problem a inverse problem on determination of the inhomogeneity laws for providing minimum sound reflexion covering in the set direction is considered.

Key words: diffraction, sound waves, elastic sphere, spherical cavity, non-uniform elastic coating, inhomogeneity laws.

Tolokonnikov Lev Alexeevich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, tolokonnikovlaa mail.ru, Russia, Tula, Tula State University