CC BY
37
УДК 622:517.2 С.В. Шерстов
СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЕФОРМАЦИЙ В КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ЦИЛИНДРАХ ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ
Преобразование в цилиндрической системе координат уравнений движения анизотропной среды гексагональной симметрии позволило получить более простую систему уравнений относительно физических характеристик деформаций: проекции ротора перемещений на ось Z, плоским относительным изменением объема и продольной деформации.
Ключевые слова: гармонические волны, физические характеристики деформаций, гексагональная симметрия, дифференциальный оператор, цилиндрическая система координат.
М
одель линеино-упругого анизотропного тела определяется замкнутой системой дифференциальных уравнений в инвариантном виде [1], [2]
ПТ П\
Ч-Т = Г-^ (1)
т = с
(2)
~ 1 *
^ = ± (Чи + (Чи )*) (3)
где Т, S - тензоры 2-го ранга напряжений и малых деформаций, С - тензор 4-го ранга упругих постоянных материала среды, и - вектор перемещений, Ч - набла оператор Гамильтона, (Чи) - транспонированный тензор перемещений (Чи),
точка обозначает операцию свертывания тензоров. Тензор упругих постоянных содержит 81 константу, которые являются компонентами тензора 4-го ранга. С учетом симметрии тензоров деформаций и напряжений, и симметрии свободной энергии по компонентам тензора деформаций число независимых постоянных сокращается до 21. В такой общей постановке система трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно компонент вектора перемещений имеет сложный вид и форма решения не ясна. В случае, когда анизотропная среда обладает симметрией, свойственной кристаллам гексагональной группы симметрий, число независимых постоянных материала сокращается до 5, которые записываются в двухиндекс-ном виде [1]. Для тел, состоящих из описанных выше материалов и ограниченных цилиндрическими поверхностями необходимо расписать систему (1), (2), (3) в цилиндрической системе координат (г, р, г). Преобразованная система дифференциальных уравнений относительно физических компонент вектора перемещений иг, ир, иг имеет вид [3]
П Г * , ( , л 1 П-Гс660*] А
Dr Гс11£ + (С13 + С44К ]---------- ------- = А 44"
ТЛ Г £)*Т I П-[С11£ + (с13 + С44)^] л ґлл
Пг [С660 ] + —------------------------------ = Д44и— (4)
Г
(С13 + С44)ПЖ + С44Д" = А 33й,
где для дифференциальных операторов введены обозначения
„ д" ^ д 2и . д2" д 2и
П" =& ' П-к“ =Ш ■ ^ = Р~¥ - С44 &,
. д2" д2" . д2" 1 д" 1 д2"
А33" = р 2— С33 2, А" = 7 ,---------------------, 2-2,
д д, дг г дг г д-
а 0* ,є* ,єа являются дифференциальными характеристиками движения:
проекцией ротора перемещений на ось Z, плоским относительным изменением объема и продольной деформацией соответственно.
" П "
0х = П,и +-£■------^
г -
Г Г
* П "Г П-"- /г\
є = ПГ"Г + —------— (6)
г г
є = П„"„
Применим дифференциальную операцию (Пг +1/ г) ко второму уравнению (4) и вычтем из него первое уравнение, к которому применим операцию П- / г . Затем применим операцию (Пг +1/ г) к первому уравнению и сложим со вторым, к которому применена операция П- / г . В результате получим уравнение
с66А0”=А & (7)
и систему
Г [С11А — А44]є + Г(с13 + С44)Д]^ = 0 (8)
[[(С13 ^ С44)П ]Є ^ [С44Д — Д33 ]"г = 0
Продифференцируем второе уравнение (8) и получим симметричную систему
[СПД — А44 ]є + Г(с13 + С44)А]є,, = 0 (9)
I Г(с13 ^ С44 )П22 ]є ^ [с44Д — Д33 ]єгг = 0
Если определить в*',£*, £* из (7) и системы (8), и подставить в левую часть (4),
то (1) превратятся в уравнения волнового типа относительно перемещений.
Рассмотрим гармонические решения системы (4) [5] и = V ■ ехр .(у* -юt) (9)
где V не зависит от z и t , а параметр ю действительный. Подстановка (6) в (4) -(8) дает
\£* = £■ ехр 1(У2 -Юt)
^ (10)
[в* = в-ехр .(у*-ю()
и для определения £,в, Vz получим уравнение
с66Ав + (рю2 -е44у2)в = 0 (11)
и систему
ГЬП£ + = 0
I 11 12 * (12)
[Ь21£ + Ь22 = 0
где Ьш дифференциальные операторы 2-го порядка по переменным г и р, зависящие от параметров ю, у,с..
Умножив слева систему (9) на матрицу-оператор алгебраических дополнений к
II тТ II
транспонированной матрице ^ т.е.
С д - д \
22 12
V-Ь21 Ь1\ У
получим систему
\Ь£ = 0
I (13)
К = 0
где L - операторный определитель матрицы Д. 1 . Ь.. - есть линейные операторы
II . II .
относительно А, следовательно Ь есть квадратичная по А функция с коэффициентами, зависящими от ю,у,с. .
Ь (А) = ДА2 + Д А + А3
и Ь(А) представим в виде
Ь (А) = Л,(А + д2)(А + р2)
2
где р. - корни характеристического уравнения
Ь(-р2) =
-СцР2 + р2 - С44У2 - У(С13 + С44 )Р2
.У(С13 + с44) - С44Р2 + р2 2 - С33У2
= 0
Обозначив Р3 = (рю2 - с44у2)/с66 , запишем уравнение (11) в виде (А + р32)в = 0
Дифференциальные уравнения (11)-(13) определяют математическую форму величин £,в, V*.
------------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М: Издательство Московского университе-та,1971.
2. Лурье А.И. Теория упругости. - М: Наука, 1970 г.
3. Шерстов С.В. Представление решений одной системы дифференциальных уравнений через решения операторного уравнения 2-го порядка относительно плоского оператора Лапласа. В кн.: Измерения, автоматизация и моделирование в промышленности и научных исследованиях: Межвузовский сборник. Бийск: Изд-во Алт.гос.техн.ун-та,2005, с.46-48.
4. Шерстов С.В. Нормальные волны в цилиндрических пьезоэлектрических волноводах и связанные с ними граничные задачи. - МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва,1985. (Деп., ВИНИТИ 1985). ШШ
— Коротко об авторе ---------------------------------------------------------------------
Шерстов С.В. - доцент кафедры высшей математики, кандидат физико-математи-ческих наук, Московский государственный горный университет,
Moscow State Mining University, Russia, [email protected]
----------------------------------- ДИССЕРТАЦИИ
ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИЙ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ
Автор Название работы Специальность Ученая степень
СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГТУ)
МАСКОВ Сергей Петрович Повышение эффективности и безопасности электровзрывания при производстве массовых взрывов на рудниках 25.00.22 05.26.03 к.т.н.
ТРОЦЕНКО Оксана Александровна Повышение эффективности и безопасности пневматического заряжания скважин россыпными взрывчатыми веществами при подземной добыче руд 25.00.22 05.26.22 к.т.н.
