Решения задач Сен-Венана для призмы с ромбоэдрической анизотропией Текст научной статьи по специальности «Физика»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, выпуск 4, С. 23-30

УДК 539.3

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СЕН-ВЕНАНА ДЛЯ ПРИЗМЫ С РОМБОЭДРИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ1

К. А. Ватульян, Ю. А. Устинов

К столетию со дня рождения академика С. Л. Соболева

На основе метода однородных решений даются решения задач Сен-Венана о растяжении, чистом изгибе призмы с прямолинейной ромбоэдрической анизотропией. Задача кручения сводится к двумерной краевой задаче для уравнений в частных производных. Доказывается ее разрешимость и дается вариационная постановка.

Ключевые слова: ромбоэдрическая анизотропия, задачи Сен-Венана, метод однородных решений, нанотрубки.

1. Введение

В настоящее время интенсивно развиваются нанотехнологии, области применения которых очень разнообразны [1]. Основными структурными элементами новых материалов являются углеродные нанотрубки — протяженные цилиндрические тела диаметром от одного до нескольких десятков нанометров и длиной до нескольких сантиметров, которые состоят из одной или нескольких свернутых в трубку гексагональных графитовых плоскостей (графенов) и заканчиваются обычно полусферической головкой. По своему молекулярному строению они очень схожи с графитом. Монокристаллический графит обладает сильной анизотропией молекулярного строения, которая находит отражение в сильной анизотропии его макроскопических свойств.

По анизотропии структуры и свойств графит наиболее часто относится к гексагональному типу симметрии. Гексагональный графит именуют также а-графитом. В природном графите наряду с такой основной модификацией десятки процентов составляет также в-графит с несколько другой симметрией, относящейся к ромбоэдрической системе.

Сами нанотрубки стали объектом исследований в механике относительно недавно. В частности, с точки зрения идентификации их свойств таких, например, как жесткости, необходимо иметь решение простейших задач о растяжении, кручении и изгибе таких структур. В статье [2] была сделана попытка исследовать напряженно-деформированное

© 2008 Ватульян К. А., Устинов Ю. А.

1Статья подготовлена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 07-01-00254в.

состояние (НДС) нанотрубки на основе решений задач Сен-Венана о растяжении и кручении призматической и цилиндрической нанотрубок при помощи полуобратного метода. Анализ этой работы показал, что при построении решения авторами допущены существенные ошибки.

В настоящей работе на основе спектральной теории операторов построение решений Сен-Венана задач растяжения, кручения и чистого изгиба для призмы из материала с ромбоэдрической симметрией сводится к решению двумерных задач на поперечном сечении. Данное исследование является продолжением работы [3]. Достаточно подробно основы метода изложены в [4, 5].

2. Операторная форма записи уравнений теории упругости

Рассмотрим равновесие упругого цилиндра (призмы), занимающего объем V = Б х [0, Ь]; здесь Б — поперечное сечение цилиндра; Ь — его длина; дБ — граница Б; Г = дБ х Ь — боковая поверхность цилиндра. Свяжем с этим телом декартову систему координат Ж1, Ж2, Хз. Ось Хз = Х параллельна образующей цилиндра, проходит через геометрические центры тяжести сечения, оси Х1 и Х2 направлены по главным осям инерции сечения.

Будем считать, что материал цилиндра имеет ромбоэдрическую симметрию упругих свойств. В этом случае обобщенный закон Гука можно записать в виде [6]:

а = Се, е = Ба,

а = (оц, ^22, О33, ^23, 0"13, ^12)Т,

е = (еи,е22,е33, 2в23, 2в13, 2в12)т, где оц — компоненты тензора напряжений, ец — компоненты тензора деформаций, а

С, Б = С- 1 1 имеют следующую структуру, описанную в [7]:

/сц с12 с13 с14 0 0 /«11 «12 «13 «14 0 0 ^

С12 с11 с13 -с14 0 0 «12 «11 «13 -«14 0 0

С13 с13 с33 0 0 0 , Б = «13 «13 «33 0 0 0

С14 -С14 0 с44 0 0 «14 -«14 0 «44 0 0

0 0 0 0 с44 С14 0 0 0 0 «44 «14

0 0 0 0 с14 С66/ 0 0 0 0 «14 «66/

С

Обозначим через

&к = 01к ¿1 + 02к ¿2 + 03к «3

вектор напряжений на площадках с нормалью, параллельной орту декартовой системы координат ¿к. Используя введенные обозначения, обобщенный закон Гука перепишем в следующем виде:

д

&к = (В к и + Ак3ди), да =

дХа

д = — дХ

(1)

где и — вектор перемещений,

с11 0 0 с14 0 0 с44 0 0

А11 = 0 с66 с14 , А22 = 0 с11 -с14 , А33 = 0 с44 0

0 с14 с44 0 -с14 С44 0 0 С33

0 с12 с14 0 с14 с13 с44 0 0

А12 = с66 0 0 , А13 = с14 0 0 , А23 = 0 -с14 с13

с14 0 0 с44 0 0 0 с44 0

А • • = А*

АЦ = АЦ

Вк = Ак1д1 + Ак2д2.

Здесь и ниже индекс * используется для обозначения сопряженных матриц и операторов (в данном случае А^ — транспонированная матрица Л^); е^ — упругие постоянные материала (в рассматриваемом случае независимых постоянных 6); греческий индекс принимает значения 1,2, латинский — 1, 2, 3.

Уравнения равновесия в напряжениях запишем в виде

0ааа + д = 0. (2)

Операторную форму уравнений равновесия в перемещениях получаем после подстановки (1) в (2)

Ь (д) и = -д2 С и - дВи + Ли = 0,

здесь

С = Азз, В = Вз + д1А1з + д2Л2з, А = -д«д^ Аа/3. Будем считать, что боковая поверхность цилиндра свободна от напряжений, т. е.

Па&а = 0. (3)

Г

Здесь п = (П1,П2, 0) — единичная внешняя нормаль к Г.

Подставив в условие (3) аа, выраженные формулами (1), представим также в операторном виде условия отсутствия напряжений на боковой поверхности цилиндра

М (д) и = (дО + О') и |Г = 0.

Здесь

О = иаАаз, О = Падв Аав.

Будем рассматривать и как вектор-функцию и (ж) со значениями в гильбертовом пространстве Н = Ь2(Б), в котором скалярное произведение определяется так:

(иь и) = J и1 (ж) ■ и2(ж) йБ = J Пк1Пк2 йБ.

...

Я 5

Можно также воспользоваться единой формой записи соотношений:

Ь1 (д) и = {Ь (д) и, М (д) и} = 0. (4)

Определение. Однородным решением будем называть любую вектор-функцию и (ж), удовлетворяющую уравнению (4).

3. Однородные элементарные решения

Будем отыскивать решение уравнения (4) в виде

и(ж) = е1Ха(ж1,ж2). (5)

Подставляя (5) в (4), получаем спектральную задачу на сечении цилиндра

Ь1(Т )а = 0, (6)

которая заключается в том, что необходимо найти множество собственных значений (СЗ) {7^} таких, что при подстановке любого из них в уравнение (6) соответствующая краевая

задача имеет нетривиальное решение а5, которое будем называть собственным вектором (СВ).

Элементарным решением (ЭР) задачи (6), отвечающим простому СЗ 7^ и СВ а5, будем называть вектор-функцию вида

и5(ж) = е7ажа5(жьж2).

Спектр представляет собой счетное множество с точкой сгущения на бесконечности, симметрично расположенное в комплексной плоскости 7. Как будет показано ниже, решению Сен-Венана отвечает 12-кратное СЗ 70 = 0. Поэтому общее решение может быть представлено в виде

12

и = и^ + ир , и^ = ^2 Скпк(ж).

к=1

Здесь и^ — решение Сен-Венана, ир — решение, отвечающее остальной части спектра. Первое является «основным», поскольку охватывает всю область, занятую призмой; второе — «погранслоем», поскольку локализуется вблизи торцов призмы Ж3 = 0, Ь и экспоненциально убывает по мере удаления от них.

4. Элементарные решения Сен-Венана

Для построения элементарных решений Сен-Венана (ЭРСВ) рассмотрим смещение цилиндра как твердого тела

п? = а? + Ш2ж — ш3 ж2, п2 = а2 + Ш3ж? — Ш?ж, п3 = а3 + ш?ж2 — ш2ж?.

ак — компоненты вектора поступательного перемещения, Шк — компоненты вектора малого поворота. Очевидно, что вектор и0 = (и?, и0, и0) является однородным решением, поскольку удовлетворяет уравнениям равновесия и однородным граничным условиям на боковой поверхности (3). Представим его в следующем виде

6

и0 = £ С,и,(ж). (7)

1=1

Здесь

и? (ж) = а0, и2 (ж) = жа? + а?, и3(ж) = а2, и4(ж) = жа2 + а2, и5 (ж) = а0, и6(ж) = а^, а? = (1, 0, 0)т, а? = (0, 0, —ж?)т,

а0 = (0,1, 0)т, а2 = (0, 0, —ж2)Т, (8)

а3 = (0, 0,1)т, а0 = (—ж2,ж?, 0)т, С? = а?, С2 = Ш2, С3 = а0, С4 = —ш?, С5 = а3, Сб = Ш3.

Из представления (7), (8) следует, что, во-первых, 70 =0 является собственным значением; во-вторых, ему соответствует по крайней мере четыре собственных вектора а0,

] = 1, 2, 3,4, и, в-третьих, а1, а\ являются присоединенными векторами. Элементарные решения (8) составляют только половину системы ЭРСВ, соответствующих 70.

Поскольку напряжения, отвечающие решениям ик, к = 1,..., 6, равны нулю, то эту группу решений будем называть тривиальными.

Определение остальных (нетривиальных) решений осуществляется путем построения жордановых цепочек так, как это показано в [4]. Для нетривиальных решений Сен-Венана характерно то, что их интегральные характеристики

Яг = ^¿3 М1 = Ж2СТ33

М2 = - X 1СТ33 ^ Мз = (ж 1 СТ23 - 13 ) JS ¿Я

где Я,Я — поперечные силы, Я — продольная сила, М1,М2 — изгибающие моменты, М3 — крутящий момент, отличны от нуля.

Для каждого ЭР «погранслоя» эти интегральные характеристики равны нулю.

5. Нетривиальные решения

1. Первое нетривиальное решение будем отыскивать в виде

и = £Ж3ао + аь

гр ГТ1 (9)

ао = (0,0,1) , а1 = (01,02,03) , аг = Ог(х1,Ж2),

где е — произвольная постоянная.

На основе соотношений закона Гука для напряжений получаем следующие выражения:

°п = аи + с13£, С12 = ^12,

^13 = ^03, ^22 = 022 + С13е, (10)

где

^23 = ^03, ^33 = ^33 + с33£, ^п = С11 д101 + 612^202 + 614^203, СТ^ = 612^101 + 6110202 - 6140203,

^03 = С13д101 + 6130202, ^03 = (¡14(0101 - 0202) + 6440203, (11)

^03 = 644^103 + 614 (0102 + 0201), СТ^ = 6140103 + 666(0102 + 0201).

Подстановка выражений (10) в уравнения равновесия (2) и граничные условия (3) приводит к следующей краевой задаче относительно функций 01, 02, 03:

01^1 + 02^02 = 0,

01^02 + 02СТ02 = 0, (12)

01^3 + 02^03 = 0, П1 СТп + П2^02 = -П1613£,

П1 ст0^ + И2^02 = -П2613е, (13)

И1^03 + = 0.

Решение краевой задачи (12), (13), которому отвечает единственное нетривиальное напряженно-деформированное состояние (НДС), имеет вид:

01 = -е^х1, 02 = -е^х2, 03 = 0,

где

С13

V

С11 + с 12

На основании (9), (11) получаем

^11 = ^22 = ^23 = 0, СТ33 = Ее, Ст13 = -2vеcl4, СТ12 = -2vеc66, Е = -2vclз + С33.

Из приведенных формул вытекает, что е — относительное удлинение, а Е можно рассматривать как модуль Юнга на растяжение.

Построенному ЭР отвечают следующие интегральные характеристики

= ^С141£ |е, ^2 = 0, ^3 = Е |е, М» = 0,

где 1 — площадь поперечного сечения.

2. Второе нетривиальное решение будем отыскивать в виде [4]:

и = аЖ3а0 + а1, ао = (-Ж2,Ж1,0)т, а1 = (аьа2,а3)т, а» = а»(ж1,ж2),

(14)

где а — относительный угол закручивания (произвольная постоянная). Определяя на основании (14) компоненты тензора деформаций и подставляя их затем в (1), а также используя выражения (11), получаем:

СТ11 = СТ01 - аС14Ж2, ^12 = СТ02 - аС14Ж2,

^13 = о-03 — ас44Ж2, ^22 = ^02 — ас14Ж1, (15)

^23 = + аС44Ж1, ^33 = .

Подстановка выражений (15) в уравнения равновесия (2) и граничные условия (3) приводит к следующей краевой задаче относительно функций а1, а2, а3:

^1^01 + ^ = 0,

д1^02 + д2ст02 = 0, (16)

+ ^ = 0,

П1^01 + П2СТ°2 = ас14 (П1Ж1 — П2Ж2) = /1,

П1^02 + П2СТ02 = —аС14(П1Ж2 + П2Ж1) = /2, (17)

И1^03 + И2^03 = ас44(—П1Ж2 + П2Ж1) = /3.

Однородная краевая задача (/1 = /2 = /3 =0) имеет два нетривиальных решения а0 = (—Ж2, Ж1, 0) и а0 = (0, 0,1). Поэтому неоднородная задача (16), (17) имеет решение тогда и только тогда, когда выполняются условия разрешимости:

(¿(0)аь а0) = 0, (¿(0)а1, а0) = 0, которые эквивалентны следующим:

£(—/1Ж2 + /2Ж1) ^ = 0, У/3 ^ = 0.

ая ая

Легко проверить, что они действительно выполняются. Имеем:

j)(xi /2 — x 2/1) ds = ac\4 j) \2n\X\X2 + n2(x1 — ж|)] ds

dS dS

= ac14 J \d1(2x1x2) + d2 (x1 — x2)] dS = 0,

S

j> /3 ds = ac44 j) (n1x2 — n2x1) ds = ac44 J (d1x2 — d2x1) dS = 0.

dS dS S

3. Третье нетривиальное решение, в соответствии с [4], будем отыскивать в виде:

Ж2

3

u = — «1 + x3a.2 + аз,

«1 = (1, 0, 0), а2 = (0, 0, —x1), аз = (0.1,0.2,0.3), (18)

а1 = a1(x1,x2), а2 = a2(x1;x2), а3 = a3(x1;x2 ).

Определяя на основании (18) компоненты тензора деформаций и подставляя их затем в (1), а также используя выражения (11), получаем:

о

= ^12>

(19)

-11 = -11 — 613x1, -12 „0 = —12

-13 „0 = -13> -22 = „0 —22 — 613x1

-23 „0 = 023> -33 = „0 -33 — C33x1

Уравнения равновесия в данном случае выглядят так:

д а°1 + дгст^ = с13,

01 -?2 + д2а02 = 0, (20)

д1 -?3 + д2а03 = 0.

Граничные условия

П1СТ°1 + П2-°2 = n1C13x1,

оо

П1а02 + и2^22 = П2С13Ж1, (21)

П1ст0з + П2а0з = 0.

Задача (20)—(21) имеет решение

аз = (^1,^2, 0)т, = 2(ж2 - ж2), ^2 = ^Ж1Ж2- (22)

Подставляя выражения (22) в (19), получаем следующие выражения для напряжений:

-11 = -22 = -2з = -1з = -12 = 0, азз = —ЕЖ1. Построенному решению удовлетворяют следующие интегральные характеристики:

$1 = ^2 = ^з =0, М1 = Мз =0, М2 = —Е/Ж2.

6. Вариационная постановка задачи кручения

Краевая задача (16), (17) эквивалентна нахождению минимума следующего квадратичного функционала:

Ф(а1) = У е°- ^ + 1(а1), (23)

где суммирование по г, = 1, 2, 3;

1(а?) = —2аС?^ У (е0?ж2 + е^2ж? + е°2ж2 + е°3ж2 — е^ж?) в

е0? = д?аь е02 = д2а2, 2е02 = д?а2 + д2аь

2е03 = д?а3, 2е03 = ^3.

Для построения единственного решения задачи (23) необходимо потребовать выполнение дополнительных условий:

J(а?ж2 — а2ж?) = 0, J а3 = 0.

Литература

1. Иванова Е. А., Индейцев Д. А., Морозов Н. Ф. К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов // ЖТФ.—2006.—Т. 76, вып. 10.—С. 74-80.

2. Городцов В. А., Лисовенко Д. С. Упругие свойства графитовых стержней и многослойных углеродных нанотрубок (кручение и растяжение) // МТТ.—2005.—№ 4.—С. 42-56.

3. Ватульян К. А., Устинов Ю. А. Задача Сен-Венана для графитовых стержней и углеродных нанотрубок // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X международной конференции. Ростов-на-Дону, 5-9 декабря 2006 г.—Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2007.— С. 299-303.

4. Устинов Ю. А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров.—М.: Наука, 2003.—128 с.

5. Устинов Ю. А. Решение задачи Сен-Венана для стержня с винтовой анизотропией // Докл. РАН.— 2001.—Т. 360, № 6.—С. 770-773.

6. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела.—М.: Наука, 1977.—415 с.

7. Шаскольская М. П. Кристаллы.—М.: Наука, 1985.—208 с.

Статья поступила 22 сентября 2008 г. Устинов Юрий Анатольевич

Южный федеральный университет, проф. каф. теории упругости РОССИЯ, 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-А;

Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН, гл. научн. сотр. РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22

Ватульян Карина Александровна Южный федеральный университет

РОССИЯ, 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-А E-mail: [email protected]