Две задачи Сен-Венана для кругового анизотропного цилиндра Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДВЕ ЗАДАЧИ СЕН-ВЕНАНА

ДЛЯ КРУГОВОГО АНИЗОТРОПНОГО ЦИЛИНДРА*

Ю. А. Устинов

Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

1. Введение. В большинстве публикаций (см., например, список литературы [1]) построение решений Сен-Венана основывается на полуобратном методе, т. е. на априорном представлении о виде решения. В частности, такой подход используется для построения решений Сен-Венана задач кручения и растяжения в [3, 4]. В [1, 2, 5-7] разработан и используется другой метод построения решений Сен-Венана, основанный на методе однородных решений (МОР) и спектральной теории операторов, поскольку МОР приводит к исследованию в общем случае несамосопряженной спектральной задачи. При применении МОР решение любой задачи Сен-Венана (задача растяжения, задача кручения, две задачи чистого изгиба и две задачи изгиба поперечными силами) является линейной комбинацией «нетривиальных» и «тривиальных» элементарных решений. «Тривиальные решения» описывают различные смещения цилиндра как твердого тела (три поступательных и три вращательных), и отвечающее им напряженно-деформированное состояние (НДС) тождественно равно нулю. Они необходимы для удовлетворения геометрических граничных условий на торцах цилиндра. «Нетривиальные» решения описывают НДС типа Сен-Венана с главным вектором и главным моментом напряжений в поперечном сечении отличными от нуля. Если материал кругового цилиндра изотропный или цилиндрически ортотропный, то кручение не приводит к появлению продольных деформаций и, наоборот, растяжение не сопровождается кручением. При более сложных типах анизотропии крутильная деформация может сопровождаться продольной и, наоборот, продольная — крутильной. Так, например, такое взаимовлияние возникает в цилиндре с винтовой анизотропией [1].

В данной работе построение решений задач Сен-Венана кручения и растяжения для кругового цилиндра с ромбоэдрической цилиндрической анизотропией (в работе [4] названа цилиндрической анизотропией типа II) проводится методом однородных решений (МОР). Показано, что в случае задачи кручения, крутильная деформация сопровождается продольной. В работе [4] в силу принятых гипотез этот эффект не обнаружен.

2. Постановка задачи. Введем цилиндрическую систему координат г, у>, г. Обозначим через р, К внутренний и наружный радиусы цилиндра соответственно (линейный размер цилиндра по оси Ог в данном случае значения не имеет). Положим К = 1, считая тем самым, что координаты г, г нормированы внешним радиусом цилиндра.

Будем считать, что упругие свойства цилиндра обладают ромбоэдрической цилиндрической анизотропией и, соответственно, соотношения обобщенного закона Гука име-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00065-а) и Южного математического института Владикавказского научного центра РАН.

© Ю. А. Устинов, 2011

ют следующий вид:

агг — сззегг + с1з(ефф + егг),

Офф с13егг + с11ефф + с12егг + с14 егфі

Огг с13егг + с12ефф + с11егг с14ег^?

О гф — с66 егф с14егг ,

Огг с14егф + с44еггі

Огф с14ефф с14егг •

Замечание. Здесь форма соотношений (1) такая же, что ив [4], изменен только порядок равенств.

Уравнения равновесия в напряжениях имеют вид

где дг, дф, дх — символы соответствующих частных производных.

Будем считать, что боковые поверхности цилиндра свободны от напряжений

Обозначим через иг, иф, иг проекции вектора смещений на оси цилиндрической системы координат. Для компонент тензора деформаций имеем следующие выражения:

3. Построение решения. Согласно МОР общее решение в рассматриваемом случае является линейной комбинацией четырех элементарных решений (ЭР):

Здесь первые два решения являются «нетривиальными» ЭР, последние два — «тривиальными», при этом третьему слагаемому (6) отвечает поворот цилиндра как твердого тела вокруг оси Ох, четвертому — поступательно перемещение вдоль этой же оси. Они необходимы для удовлетворения граничным условиям в случаях, когда на торцах задаются перемещения.

Обратимся к построению «нетривиальных» решений.

3.1. Упрощая обозначения, первое решение будем отыскивать в виде

дг (гОгг ) - Офф + дф О гф + гдг О гг — 0, дг (гОгф ) + Огф + дфОфф + гдг ^Огф 0і дг (гОгг ) + гдгОхх — 0.

(2)

при г — га (а — 1, 2) : Огг — 0, Огф — 0, Огг — 0.

(3)

(4)

(5)

и — + ^2^2 + Сзаз + С4а4,

(6)

где

(7)

иг — аг, иф — гх + о„ф, иг — аг

(8)

Прежде всего заметим, что поскольку смещения не зависят от ^ и линейно зависят от г, компоненты тензора деформации и, соответственно, компоненты тензора напряжений являются функциями только переменной г. Поэтому, на основании уравнений равновесия (2) и двух последних граничных условий (3) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(гЬгг) — °, Ьгф = Ьгг = 0 (9)

и граничные условия

Ьгг(р)— 0, Ьгг (1)—0. (10)

Здесь штрих означает обыкновенную производную по г, а символ а заменен на символ Ь:

, , , сіз аг

Ьгг с33аг -\- ,

г

і , , . с14аф /і і \

Ьфф — с\3аг — сца^ Н----—, (11)

ЬГср сиаг -\- С44 (^(р ^ ^

Ьгг — —С14Г + С44а^.

Аналитический вид решения очень громоздкий. Поэтому для описания результатов выбран компромиссный вариант: большинство аналитических формул, описывающих различные полевые характеристики, приводятся для конкретных значений модулей , отвечающих кристаллам гексагонального графита [4]. Некоторые, наиболее простые формулы приведены в общем виде.

Приведем значения упругих постоянных в ГПа:

е11 — 1050, е12 — 168.5, е13 — 7.9, (12)

Є33 — 36.5, Є44 — 5, Є14 — 1.93, Є66 — 440.

В результате интегрирования системы уравнений (9)—(11) получаем

аг — —9.127 • 10-2г* + 7.2 • 10-6г-*,

аф — 3.05 • 10-2г* + 8.93 • 106—6г-*, (13)

ах = ——, или ах = 0.193г2,

2с44

Ьгг — 7.9 — 7894г*-1 — 0.005г-*-1,

Ь^ — —99.24г*-1 — 7.5 • 10-2г-*-1 (14)

Ьгг — 0, Ьгф — 0,

Ьгг — — 17г*-1 — 0.011г , (15)

е

Ьфг = С66-------Г, или = 440.075г, (16)

е44

где

„2 \ 1/2

_ ( С44С12 + С2и V V С33С44 )

Для выбранных значений (12) і — 2.153.

3.2. Обратимся к построению второго элементарного решения. В данном случае решение отыскиваться в виде

иг — аг, и. — а., иг — г + аг. (17)

В результате подстановки (17) в уравнение (9) и в граничные условия (9) получаем

, , , Є13 аг

огг — с33а +

г + Є13

I, _ ' I с11аг , /1сЛ

— сіза -\--------;----- ( а----] + С12, (18)

г + е14 V ^ г /

і ______________ , . е12аг / , N

— сіза И--------------(а — аф) + сц,

г — Є14 *

сцаг + С44 -— сі4,

— ^14 I ^44 Ьгг — 0, Ь.г — °.

Краевая задача, отвечающая рассматриваемому случаю, сводится к следующей системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций аг, аф, решение которых должно удовлетворять граничным условиям (10).

(тЬгг) 0, 0. (19)

Результаты интегрирования этой задачи при заданных выше значениях следующие:

аг = 3.933гЬ - 0.003145г—Ь - 7.8448, (20)

аф = —4.307гЬ — 0.000385г—Ь + 3.414г 1п г, аг = 0,

о и-Ь— 1

Ьгг — 340.2г + 31.31г-*-1 — 340.4,

Ь.— 4184г*-1 + 4.764г-*-1

Ьгф = —20.75гЬ—1 — .355 • 10—5г—Ь—1 — 20.23, Ьгг = 0.

Ьхх = 6626гЬ—1 — .4779г—Ь—1 — 340.3, Ь^ = 0. (21)

Замечание. Аналитическое решение этой задачи приведено в [4].

3.3. Рассмотрим линейную комбинацию построенных элементарных решений

и = + 6*2^2. (22)

Опираясь на полученные выше результаты, определим продольную силу Рг и крутящий момент Ыг. Для этого выпишем линейную комбинацию выражений, необходимых для вычислений этих интегральных характеристик НДС. Имеем

^ , (23)

79

^ = CibL + C2b2z. (24)

Здесь b\z,b^z определены формулами (14), b‘2zz, 62z — формулами (21).

Для главного момента и главного вектора напряжений, отвечающих выражениям (24), (23), получаем

dii Ci = Mz, d21 Ci + ^22^2 = Pz • (25)

Для выбранного материала

d11 = 220.3пД4, d21 = — 10.52пД2, d22 = 116.3пД2.

Физический смысл постоянных: C1 —относительный угол закручивания, C2 —относительное удлинение (в работе [4] C1 = т, C2 = е).

Аналитическая формула для элемента матрицы жесткостей dn (в данном случае этот элемент символизирует жесткость цилиндра на кручение) имеет вид

_ тгД4 / с?4Л 4

dn — —С66-----------(1 - /э ).

2 V с44 /

Если в формулах (25) считать, что Mz = 0, Pz = 0, то получаем

d21

-Mz

^11^22

т. е., для выбранного типа анизотропии закручивание цилиндра порождает продольную деформацию. В тоже время из формул следует, что растяжение цилиндра (Мг = 0, Рг = 0) не сопровождается кручением. Для выбранного материала е = 4.1240—4Мг/Д2. При вычислении по этой формуле Д следует брать в метрах, а Мг —в н-м.

4. Заключение. Данная работа носит оттенок дискуссии с авторами работ [3, 4], которые занимаются построением решений задач Сен-Венана для призмы и кругового цилиндра из материалов с ромбоэдрической анизотропией на основе полуобратного метода. Здесь уместно заметить, что полуобратный метод «изобрел» сам Сен-Венан, и он успешно применялся и применяется для построения приближенных решений для призматических тел (в том числе и для задач нелинейной теории упругости). Однако этот метод эвристический в том смысле, что «Неигека», если угадал правильный вид решения, а если нет? Для тел со сложной анизотропией не всегда интуиция позволяет правильно выбрать исходный вид решения. Так, например, в [4] при построении решения первой задачи (задачи кручения) авторы предполагают, что решение Сен-Венана следует отыскивать в виде

иг = та(г), = гг, иг = тЬ(г). (26)

Выбранный вид решения отличается от (17) отсутствием дополнительного слагаемого в выражении для иф. Отсутствие этого слагаемого приводит авторов, в частности, к выводу, что

Отт О'рф Огг °

в то время, как показывает проведенное выше исследование, эти напряжения отличны от нуля, хотя их максимальные значения для выбранного материала существенно меньше максимальных значений основного напряжения офг. Но они есть!

Особо следует обратить внимание на то, что для выбранного типа анизотропии кручение цилиндра сопровождается продольной деформацией. В работе [4] об этом эффекте не сказано ни слова.

Литература

1. Устинов Ю. А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. М.: Наука, 2003. 128 с.

2. Устинов Ю. А. Решение задачи Сен-Венана для стержня с винтовой анизотропией // Докл. РАН. 2001. Т. 360. №6. С. 770-773.

3. Городцов В. А., Лисовенко Д. С. Упругие свойства графитовых стержней и многослойных углеродных нанотрубок (кручение и растяжение) // МТТ. 2005. №4. С. 42-56.

4. Гольдштейн Р. В., Городцов В. А., Лисовенко Д. С. К описанию многослойных нанотрубок в рамках моделей цилиндрически анизотропной упругости // Физическая мезомеханика. 12. 5. 2009. С. 5-14.

5. Устинов Ю. А., Ватульян К. А. Задача Сен-Венана для графитовых стержней и углеродных нанотрубок // Тр. Х междунар. конф. (г. Ростов-на-Дону, 5-9 декабря 2006 г.) Изд. ООО «ЦВВР». 2006. С. 299-303.

6. Ватульян К. А., Устинов Ю. А. Решения задач Сен-Венана для призмы с ромбоэдрической анизотропией // Владикавк. мат. журн. 2008. Т. 10. Вып. 4. С. 23-30.

7. Ватульян К. А., Устинов Ю. А. Задачи Сен-Венана для тел с винтовой ромбоэдрической анизотропией. Задачи растяжения-кручения // ПМТФ. 2010. Т. 51. №1. С. 125-133.

Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.