Построение новой теории изгиба канатов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ПОСТРОЕНИЕ НОВОЙ ТЕОРИИ ИЗГИБА КАНАТОВ © 2009 г. Н.М. Романова, Ю.А. Устинов

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

344090, Ростов н/Д, ул. Мильчакова, 8а, 344090, Rostov-on-Don, Milchakov St., 8a,

dnjme@math. sfedu.ru dnjme@math. sfedu.ru

Предлагается исследование задачи изгиба каната, основанное на теории композитов и решении Сен-Венана задачи чистого изгиба для цилиндра с винтовой анизотропией (ЦВА). Получена приближенная формула для изгибной жесткости каната и проведен сравнительный анализ с численным решением, полученным по теории Сен-Венана для ЦВА.

Ключевые слова: изгиб каната, изгибная жесткость каната, цилиндр с винтовой анизотропией, задача Сен-Венана, теория композитов, метод малого параметра.

Researching of the rope bending problem is based on the composite theory and Saint-Venant's pure bending problem solution for cylinder with helical anisotropy. The approximate formula of rope bending rigidity is obtained and analyzed comparatively with numerical solution, obtained under Saint Venant 's theory.

Keywords: rope bending, rope bending rigidity, cylinder with helical anisotropy, Saint-Venant's problem, composite theory, small parameter method.

Существуют различные виды канатов. Отличаются они по форме поперечного сечения, числу прядей и проволок в пряди, виду сердечника и направлению свивки. Наиболее широкое распространение получили круглые стальные канаты одинарной (спиральные) и двойной свивки (тросы). Под свивкой понимают скручивание проволок или прядей каната между собой. Спиральные канаты получаются скручиванием пучка проволок. Волокна у спиральных канатов располагаются по винтовым линиям вокруг центрального прямолинейного волокна в несколько слоев. Трос является канатом, в котором из проволок сначала свивают прядь, а из прядей - канат.

Известны два основных подхода к построению элементарной теории каната одинарной свивки. В одном из них [1, 2] канат представляется в виде дискретной системы криволинейных стержней, и применяются методы строительной механики. 2-й подход основывается на уравнениях сплошной упругой среды с криволинейной анизотропией [3, 4].

При новом подходе канат рассматривается как цилиндр из композитного материала, который получается в результате винтовой намотки тонких волокон из жесткого материала на цилиндрическую поверхность малого радиуса таким образом, что шаг винтовой спирали h и крутка г = 2л!к остаются постоянными. Одновременно с намоткой осуществляется покрытие волокон полимерным связующим. После полимеризации получается круговой цилиндр из волокнистого композита.

Основные соотношения теории упругости для тела с винтовой анизотропии и постановка краевой задачи

Для описания упругих свойств полученного композита поступим следующим образом. В геометрическом центре одного из поперечных сечений цилиндра поместим основную (декартову) систему координат x1, x2, x3. В качестве сопутствующей введем винтовую систему координат r, в, z, связанную с декартовой соотношениями x = r cos^, x2 = r sin ^, x3 = z, где г = = 2ж/h = const - «крутка»; h - шаг винтовых линий,

2 i , 2 g = 1 + x , x = Tr .

определяемых условиями r = const,, в = const. Радиус-вектор точек винтовой линии R = re + ze2, где e/=ijCos^+i2sin\\; e2' =-i1sin^+i2cos\; il5i2,i3 -орты декартовой системы координат; \=в+т2.

С винтовой линией свяжем репер Френе n = el5 b = e2, t = e3, где n,b, t - орты главной нормали, бинормали и касательной. Ортогональная матрица перехода от базиса e j к базису ej имеет вид

-10 0 0 -1/g x/g 0 X/g 1/g

Для описания упругих свойств полученного композита используется теория усреднения [5], на основании которой материал цилиндра при достаточно большом количестве слоев намотки считается локально трансверсально-изотропным; главная ось симметрии совпадает с направлениями орта e 3. Тогда в базисе Френе соотношения обобщенного закона Гука имеют следующий вид: 7t = CjSj, i, j = 1,...,6;

7k = 7kk , <4 = ^ <5 = ^ 76 = <12 ; Sk = % > ^4=2£23,

es=2e13, е6=2е12; k = 1,2,3. Здесь - компоненты тензора напряжений; £iJ- - компоненты тензоров малых деформаций в базисе ei(i = 1,2,3).

Упругие свойства трансверсально изотропного материала в базисе e j определяются 5 независимыми техническими постоянными [6] E , E', G', v , v'. Модули Cj выражаются через эти постоянные формулами:

= _E(E' — Ev '2)

Cl1 = С22= Ki + v) '

_E(E'v + Ev'2) _ _ EE'v'

c12 ' C"i3 C23

y(1+v) у

y = E (1-v) - 2Ev '2,

c15 = c16 = c25 = c26 = c35 = c36 = c44 = c:

E (1 — v)

у

E

2(1+v)

(1) = G'.

::

Пусть Е и у1 - модуль Юнга и коэффициент Пуассона несущих спиральных элементов (волокон); Е2 и у2 - модуль Юнга и коэффициент Пуассона полимерной матрицы (заполнителя); к1, к2 - концентрации несущих элементов и заполнителя соответственно. Тогда, по теории усреднения [5],

E =

1 -v,

к-!-+к2

1 -v\ v'2 --+—

E, E

k VL-VL+кг

E,

G' =

2(1 + vi) 2(1 + v2)

&1 + к 2

E

E9

E

(2)

E' = k-E- + k2 E2, v' = klvl + k2v2, kx + k2=\ . Соотношения закона Гука и выражения для модулей c'y в винтовой системе координат приведены в [7].

Компоненты тензора деформаций в базисе винтовой системы координат выражаются через смещения

ur,пв,u2 : err = дrur, евв =-(иг +двив), ezz = Du

r

zz z >

2ere = д rue+ -(deur - ue I 2erz = д ru2 + Dur >

r

2eze = дeu2 + Due .

Уравнения равновесия в напряжениях в данном случае будут иметь вид

дr (r&rr ) -&вв+ двав + rD&rz =0 >

дr (r°re) + are + двавв + rD&e =0 > (3)

д r (rarz ) + дв^в2 + rDazz =0.

д д д Здесь дr =—, дв =—, д = —, D = д-тдв . дr дв д2

Пусть r = R - радиус боковой поверхности цилиндра. Предполагается, что она свободна от напряжений r = R: arr = crre = ar2 = 0.

Введем вектор смещений u= (ur,ue,u2)T . Тогда задачу можно представить в векторно-операторном виде относительно матричных дифференциальных операторов нулевого, 1 и 2-го порядков по переменным r,в M(д, т) u= д2A0u + дЛ^и + A2u = 0 , N(д, т) u= (дВ0u + Bu)| г = 0 .

Коэффициенты этих операторов зависят от r и т , но не зависят от 2 , что позволяет отыскивать реше-

У 2

ние в виде u = aey .

В результате получаем спектральную задачу на сечении 2 = const

Ml (у) a= {M (у) a, N (у) a} = 0 . (4)

Известно [7 - 9], что решение Сен-Венана определяется тремя 4-кратными собственными значениями (СЗ)

У о = 0, У\ = ±т, и, кроме уf, других чисто мнимых СЗ не существует. Поэтому в общем представлении решение задачи (4) можно записать в виде u= u S + u p .

Здесь u S = YCi u; - решение Сен-Венана, отвечаю-

i

щее СЗ У0,У- ; uр =Х С-u- (2) + с- u + (2-L)\

k

uf (2) = af exp(yk2) - решение, отвечающее остальной части спектра. При этом напряженно-дефор-

мированное состояние (НДС), отвечающее и р , является самоуравновешенным; С1, С± - произвольные постоянные, определяемые при удовлетворении граничным условиям на торцах цилиндра г = 0,Ь.

НДС, отвечающее первым 6 элементарным решениям Сен-Венана, тождественно равно нулю, так как эти решения определяют перемещение цилиндра как твердого тела; остальные 6 - НДС, эквивалентное в каждом поперечном сечении продольной силе и крутящему моменту (у0 = 0), изгибающим моментам и

поперечным силам (у± = ±1т).

Элементарные решения Сен-Венана задачи чистого изгиба

Решение Сен-Венана задачи чистого изгиба [7, 8], является линейной комбинацией элементарных решений (ЭР), отвечающих СЗ у± = ±1т, и может быть представлено в виде

u 5 =2Re\^C1 u ¡\, ui =

i=1

l-к

k=1(l - к)!

(5)

а 1=(и,0)г, а2=(0,0,-г)Т, а3=(аr 3,iaвз,¡а2 3)т , где аг3,ав3,аг3 находятся интегрированием краевой задачи [7].

Отметим, что НДС, отвечающее ^ (С3 а 3), 3(С3 а 3), эквивалентно только изгибающим моментам Ыч, -ЫХ2 .

Для краевой задачи с граничными условиями на торцах цилиндра г = 0: иг = пв= п2 = 0; г = Ь: аГ2 = рг, ав, = рв , ^22 = Рг, в предположении, что вектор внешних усилий рг, рв, р2 в интегральном смысле эквивалентен только изгибающим моментам

я

Ыч , М [7], имеем ¿С3 = -Мщ, ё = 2п\Ь22^г,

0

при т = 0; ё = яЕ'Я4 ¡2.

Таким образом, постоянная С выражается через компоненты главного момента и определяется «точно»; постоянные С, С «точно» могут быть определены только на основе решения бесконечной системы алгебраических уравнений. Метод построения одного из вариантов такой системы приведен ранее [7, 10]. Асимптотический анализ таких систем показывает, что С , С имеют порядок Я / Ь , и поэтому можно положить С1=С2=0..

Вектор напряжений о = (а1,...,а6)т, отвечающий элементарному решению а , можно представить в виде о= г11* Ь, у = в + т г,

Ь= (ЬГГ,Ъвв,Ъгг,ьвг, 1ЬГг, 1Ьгв)Т . (6)

Из (3) вытекает, что компоненты вектора Ь удовлетворяют следующим уравнениям и граничным условиям:

(ГЪгг )* - Ъгв - Ъвв = 0 , (ГЪгвУ + Ъгв - Ъвв = 0 , (7)

(ГЬГ2 )'+ Ь2д =0 ,

brr (ra) = 0 bzg(ra) = 0, brz (ra) = 0 >

-1

2

2

2

2

Vr, -V

V

2 •2

+

V

E

2

a

к

где (/) * = —. С другой стороны, на основании соот-

йг

ношений обобщенного закона Гука (1) и решений Сен-Венана (5), имеем

Ь = С £, (9)

£=

da,

r,3 ar,3

ar, - a.

0,3

az,3

da

z, 3

dr

-,-r,--,1-

r dr

da

0,3

ar,3 - ae,3

WT

dr

4

Жесткость цилиндра на изгиб определяется по формуле

(10)

В = -^0\гг2й .

Определение изгибной жесткости цилиндра с винтовой анизотропией, таким образом, приводит к интегрированию вытекающей из соотношений (6) - (9) системы 3 дифференциальных уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами относительно функций аг, ав, а2 .

Если Е2Е = т > 10-2 , задача решается численно

методом прогонки для любых значений 0 < а < 900, tgа = тК .

При т < 10-2 численное интегрирование при больших значениях а становится неустойчивым из-за наличия малого параметра при старшей производной.

Однако при малых значениях безразмерного параметра т0 = тК можно получить приближенные аналитические решения, применяя для интегрирования задачи метод малого параметра. Для этого в формулах сделаем замену переменной г = (^е[0,1]) и

разложим ст,' в ряд по параметру т0. Сохраняя главные члены разложений, получаем

С11 = С22 = С11> С12 = С12> С13 = С23 = С13> С33 = С33> с44' = С55' = С44? с6б'=1(с11 - с12) , си=т0%(с\3 - С12)'

С24' = т0^(с13 + 2с44 — С11) , С34' = т0^(с33 — С13 — 2с44 с56"т0#(с44 — С66) . (11)

Если решение отыскивать в виде

(12)

то после подстановки (11), (12) в соотношения (7), (9) и интегрирования краевой задачи получаем следую-

у'г2 2

щие приближенные формулы: аг 3 = + О(т0),

a}- = a(0) +г0a+...,

ae,3 = + °(7о2), az,3 = ^ (r2 -3R2) + O(r03),

2

E'r

Rg4

l0)' az,3 -2Л

8GR

3Г0В1 2 T-)2\

bzz,3 = -—(! + O(ri2)), brz,3 =-±j(r -R2)(l + ОД)),

3ToBl(3r2 -R2)(1 + O(r0)),

b0z,3 Rg4

brr,3 = bee,3 = bre,3 = °(т0) .

Здесь v' =

C11 + C12 B1 = E - 2(1 + v ')G '.

' - °13 77' -

E = -2v Cr,, G' = c.

О численном методе построения решения

При построении численного решения для любого а е [0,900] интегрирование исходной краевой задачи удобнее свести к интегрированию 4 задач Коши для системы 6 дифференциальных уравнений 1 -го порядка. Для этого введем 6-координатный вектор

У = 01У 2Уб)Т > где У1 = аг, У2 = ав, У3= а2,

гЬгг гЬгв гЬ г2

У4=—, У5 = , Уб= —. С11 С11 С11 Теперь исходную систему 3 ОДУ 2-го порядка можно записать в виде

— = Ay + q .

dr

(13)

Ненулевые элементы матрицы A и координаты

векторов q имеют вид: A11 A12 = _ C12 , A13 4

rC11 rC11

A14 : - A = A = 1 a21 a22 , A25 = . C55' K1 A26 = A35 = C56' K1

r r r

A36 = _ C66' K1 А -, a41 = - A42 = K2 A , a43 = Ki , A44 _ C12'

r r r rC11

1 K

A45 = ~ , A5j = -A4j , (j = 1,2...б) , A61 = -A62 = — K 6 л _ C14' _ C13'

A63 = , A64= —^, ^1,3="

rc,

'11 rc11

94,3 = -<?5,3 = rK3 , 96,3 = rK5 .

Здесь Kj = ■

c

11

C56 C55 C66

V - C11C22 C12

K 2--2-

¡^ _ C11C23 C12 C13 ^ _ C11C24 C12 C1

K3--3- , K4--"2-

v _ C11C34 C13 C14 у _ C11C44 C14

K5--5-, K 6--2-

C

C11

При численном интегрировании краевых задач (8),

3

0 р

(13) решения отыскиваются в виде у = у + £X рур,

р=1

где у0, ур - решения следующих задач Коши:

о

dy0 = Ay0 + q, yО(0) = (0,0,0,0,00)т, = Ay p,

йг йг

у:(0) = (1,0,0,0,С,0)Т , у2(0) = (0,1,0,0,(00)Т,

у3(0) = (0;0;1;0;((0)T.

Чтобы решения удовлетворяли граничным условиям при г = К , постоянные Xр определяются из

3

соотношений у,(К) = £Хрур(К) + уг0(К) = 0, I = 4,5,6.

р=1

Определение изгибной жесткости каната

Будем рассматривать канат как описанный выше цилиндр из композитного материала, упругие характеристики которого Е2 = 0 , у2= 0. В этом случае, переходя в (2) к пределу при Е2 ^ 0 , v2 ^ 0, получаем Е = кхЕ\, у' = .

r

r

1

1

Таким образом, из соотношений (1), (2) следует, что отличным от нуля будет только один элемент матрицы модулей С, а именно с33 = Е'.

Введя безразмерный параметр г = с11/Е', при Г ^ 0 для модулей с^' получаем следующие формулы:

сп '= E ' r2, c22 '= E X 4l g 4 + O(r2),

■7t 2 , 4 , т„2л ,_ т-ч 3 , 4 ,

c11 E r , c22 c23<= Ex2/g4 + Oir2) , C24' = E'x3lg4 + O(rz), (14)

С33'= Е'/Я4 + О]2) , С34' = Е'х/я4 + О]2),

с 44 ' = Е'х / Я 4 + О(Г2) , с12 ~ с13' ~ с14' ~ сбб'= О(Л2) .

Для малых т слагаемыми О(г/2) в (14) можно

пренебречь и принять с33'= Е' / я 4.

Для стальных канатов а = 10° -18°, что позволяет воспользоваться формулами (10), (14), полагая

Ъ'г = -с'33Г.

В результате получается следующая приближенная формула для определения изгибной жесткости каната:

R r 3 B = nE f-——

J л . 2 2\2 0 (1+ T r )

dr =

nkR 4E1

2tg 4 a

(2lncosa + sin a).

(15)

Некоторые результаты численного анализа

На базе численного решения проведен сравнительный анализ поведения изгибной жесткости каната, вычисленной по приближенной формуле с численным решением, полученным по теории Сен-Венана для ЦВА при m = E2l E1 = 0,1. Для расчета выбран волокнистый композиционный материал со следующими упругими характеристиками: E1 =240n Па; E2 = E1 ■ m ; v1= 0,3 ; v2 = 0,45 .

На рисунке приведен график поведения нормированной изгибной жесткости d * = dld0 (d0 = E R 414). Кривая 1 - отвечает формуле (15), 2 - результатам численного интегрирования.

Изгибная жесткость каната

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (07-01-00254a, 09-01-000645-а) и Южного математического института Владикавказского научного центра РАН.

Литература

1. Глушко М.Ф. Стальные подъемные канаты. Киев, 1966. 327 с.

2. ДинникА.Н. Статьи по горному делу. М., 1957. 195 с.

3. Thwaites J.J. Elastic deformation of rod with helical ani-sotropy // Intern. J. Mech. Sci. 1977. Vol. 19, № 3. Р. 161-169.

4. Мусалимов В.М., Мокряк С.Я. О некоторых задачах для спирально-изотропной среды // Механика сплошных сред. Томск, 1983. С. 88-96.

5. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М., 1984. 335 с.

6. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1977. 415 с.

7. Устинов Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. М., 2003. 128 с.

8. Устинов Ю.А. Решение задачи Сен-Венана для цилиндра с винтовой анизотропией // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 1. С. 89-98.

9. Устинов Ю.А. Некоторые задачи для цилиндрических тел с винтовой анизотропией // Успехи механики. 2003. № 4. С. 37-62.

10. Друзь А.Н., Устинов Ю.А. Тензор Грина для упругого цилиндра и приложения его к развитию теории Сен-Венана // ПММ. 1996. Т. 60, вып. 1. С. 102-110.

Поступила в редакцию

30 июня 2008 г.