МЕТОДИКА АНАЛИЗА МОДЕЛИ ПЛОСКОГО ГИДРОАКУСТИЧЕСКОГО ЭКРАНА С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ ВНУТРЕННИХ ТУННЕЛЬНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОЛОСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№1-2 (62-63) / 2018.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.3

©2018. В.Е. Болнокин, М.Н. Пачева, В.И. Сторожев, Зыонг Минь Хай, Чан Ба Ле Хоанг

МЕТОДИКА АНАЛИЗА МОДЕЛИ ПЛОСКОГО ГИДРОАКУСТИЧЕСКОГО ЭКРАНА С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ ВНУТРЕННИХ ТУННЕЛЬНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОЛОСТЕЙ

Представлена разработка теоретической численно-аналитической методики анализа модели трансформации упругих волн при их распространении по толщине контактирующего с акустическими средами деформируемого слоя, содержащего периодический ряд однотипных параллельных плоским граням внутренних протяженных туннельных цилиндрических полостей. Методика базируется на введении представлений потенциалов волнового поля для многосвязного слоя в виде суперпозиций разнотипных базисных решений в основных координатах и в локальных цилиндрических координатных системах с полюсами в центрах сечений перфорирующих полостей. Используются теория Флоке, теоремы сложения цилиндрических функций, разложения Якоби, а также метод ортогональных рядов, с применением которого задача сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно постоянных коэффициентов в рядах по базисным частным решениям волновых уравнений.

Ключевые слова: плоский гидроакустический экран, перфорированный упругий слой, внутренние туннельные полости, внешняя акустическая среда, краевая задача волновой механики, численно-аналитическая методика анализа, уравнения для волновых потенциалов, метод суперпозиции рядов по базисным частным решениям, теория Флоке, теоремы сложения цилиндрических функций, метод ортогональных рядов, бесконечные системы алгебраических уравнений.

Введение. Решение задач дальнейшего поиска механизмов эффективного функционирования систем гидроакустического экранирования [1-5] в качестве подлежащих анализу направлений предполагает, в частности, исследование моделей трансформации упругих волн при их распространении по толщине контактирующего с акустическими средами деформируемого слоя с различными типами внутренней неоднородности физико-механических и структурно-геометрических характеристик [6-10]. Одним из типов изучаемых в этой связи актуальных конструкций гидроакустических экранов является плоскопараллельный упругий слой с периодическим рядом внутренних туннельных параллельных плоским граням протяженных однотипных цилиндрических полостей. Применительно к объектам данной структуры актуальная проблема анализа процессов волнового деформирования может быть исследована на базе представляемой в данной работе численно-аналитической методики.

1. Постановка и численно-аналитическая методика исследования рассматриваемой проблемы. Полагается, что рассматриваемая конструкция гидроакустического экрана в модели представляет собой перфорированный изотропный слой с параметрами Ламе Л, ц и плотностью р, содержит бесконечный периодический ряд отстоящих друг от друга на расстояние 21 туннельных цилиндрических полостей радиуса К (К < Н) с центрами на оси Ох\ и занимает в координатном пространстве Ох1х2х3 область

^ = {—Н < Х3 < Н, (Х1,Х2) е К2}\ и Ур, (1)

р=—х

где Ур = {(х1 — 2рГ)2 + хЗ < К2, —ж <Х2 < те} - подобласти-полости с граничными поверхностями Гр = {(Х1 — 2р1)2 + х2 = К2, —ж < Х2 < ж}, в сечениях которых плоскостью ОХ1Х3 введены локальные полярные координатные системы Ортрвр, гр ■ ехр(1др) = Х1 — 2р1 + 1х3, с центрами в точках Ор(2р1, 0).

Полубесконечные области У+ = {Н < Х3, (х1 ,х2) е К2} и У- = {хЗ < —Н, (х1, х2) е К2} полагаются заполненными идеальной слабо сжимаемой жидкостью. Процессы распространения гидроакустических волн в этих областях соответственно описываются уравнениями для потенциалов акустических полей, а также соотношениями связи указанных потенциалов с полями скоростей , волновых колебательных смещений частиц акустической среды и волновыми акустическими давлениями р+, р-:

= (С0±))-2д2р±, у± = —дтай , рт = р0±}дь(2)

где = (к(±)р0±^)-2 - скорости объемных акустических волн в жидкостях, к(±) — адиабатические модули сжимаемости для акустических сред, р± - плотности акустических сред в невозмущенном состоянии. В рассматриваемом случае полагается, что из глубины полубесконечной области У- вдоль положительного направления оси Ох3 на поверхность Г- = {х3 = —Н, (х1,х2) е К2} нормально падает плоская монохроматическая волна гидроакустического давления с циклической частотой ш и комплексным потенциалом = Р0 ) ■ ехр(—1(ш1 — к^ )х3)), в котором Р( ) - задаваемый амплитудный параметр, к^ )- волновое

число. При этом в заполняющей У- акустической среде возникает отраженная волна с потенциалом = ■ехр(—1(ш1+к—х3)), а в области У+ с граничной поверхностью Г+ = {х3 = Н, (х1,х2) е К2} генерируется прошедшая экранирующий слой У^ акустическая волна с потенциалом = ■ехр(—1(ш1—к(~+^х3)). На поверхностях контакта слоя V^ с жидкостными полупространствами У+ и У— задаются условия

(&33 + Р±)хя=±Н = ° )хя=±Н = 0 =1, 2), (3)

(дь из — Уз± )х3=±к = о,

где г>з± - соответствующие компоненты векторов v+, v— скоростей движения частиц акустических сред.

В слое Vl экранирующего элемента при рассматриваемых воздействиях формируется поле двухпарциальных упругих волн, описываемых посредством введения соответствующих потенциалов Ф(х\,x3,t), Ф(x1,x3,t) для комплексного вектора волновых упругих перемещений

u(xi,x3,t) = (ui(xi,x3,t),u3(xi ,хз ,t)) = (4)

= grad ^(x\,x3,t) + rot ^(x1,x3,t) ■ e2.

Вводимые потенциалы подлежат определению из уравнений

(X + 2^)D2ф(xl, x3,t) - pd2/дt2Ф(xl,xз,t) = 0, ^D^(xbx3,t) - pd2/dt2^(xi,x:i,t) = 0.

При указанном характере воздействий экранирующий слой Vl находится в состоянии динамической плоской деформации в плоскостях, коллинеарных 0x1x3. Соответственно, в случае введения комплексных амплитудных характеристик волновых упругих перемещений {ulp1 (rp,0p), u^ (rp,0p)} и динамических напряжений &0ф(гР,9р) (а, в = rP,9P) для материала слоя Vl, граничные условия на свободных от напряжений поверхностях Гр записываются в виде

(4L](R,eP))rP = 0, )(я,9р))Гр = о. (6)

В рамках разрабатываемой методики для потенциалов волнового поля в Vl, с учетом свойства периодичности упругих перемещений и напряжений вдоль Oxi с периодом 21, обеспечивающего возможность применения теории Флоке [11, 12], вводятся представления в виде суперпозиций разнотипных базисных решений в основных координатах 0x1x3 и в локальных координатных системах Oprp9p с подлежащими определению группами постоянных коэффициентов An±,

Cn±, Bq, Gq:

ф = [ (An+ exp(innl 1xi + Cn+x3) + An- exp(innl 1xi + (n—x3))+

00

(7)

+ Bq ^2 HqV(arp)exp(iqdp)] ■ exp(iwt).

q= — << р= — <

ф = [ ^2 (Cn+ exp(innl 1 xi + x3) + Cn— exp(innl 1xi + (,n—x3)) +

00

(8

+ E GqY. H1 (erp)exp(iq9p)] ■ exp(iut),

q= — < р= — <

n=

n=

а = (рш2/(X + 2^))1/2, в = (ри2/^)1/2, а = (X + 2р)/р,

<п± = ±(Р^2/(Х + 2/л) + п2п2/12)1/2, (9)

^ = ±{ри2/^ + п2п2/12)1/2,

в которых Н(1 (г) - цилиндрические функции Ханкеля первого рода с индексом ц и аргументом г. В окрестностях граничных поверхностей Г+, Г_ с использованием описываемых в работе [12] соотношений введенные потенциалы могут быть преобразованы к виду

Ф± = [52 (Ап+ ехр(1ппГ1Х1 + Сп+хз) + Ап_ ехр(тп1_1х1 + (,п_хз)) +

п=_гс

ГС

+ £ вдтк-г)*1 52 <_1(«р ± цл1_1)/«2 - (цп1_1 )2)1/2у■

Я=_гс р=_гс

■ ехр({дп1_1х1 т (дрХ3)] ■

Ф± = [ 52 (°п+ ехр(тж1 1Х1 + (п+хз) + Сп_ ехр(тж1 1Х1 + £п_хз)) +

п=_гс

гс гс

+ 52 °я(2/1)(-г)'+1 52 <_1(«р ± цп1_1)/((2р - (о.пГ1)2)1^■

(10)

•яК2/1)(~г) Ьр (К^р -1- Чп1 1)/((р '

Я=_гс р=_гс

■ вхр(гдп1_1х1 т (ярх3)] ■ ехр(гш$.

(11)

где выбор знака ± зависит от значения координатной переменной хз и соответствует здп(хз), а остальные используемые обозначения совпадают с приведенными приведены в работе [12]. Граничные представления, получаемые из соотношений (9), (10) на Г+ и Г_, представляют собой ортогональные ряды по переменной х1. В свою очередь, представления (7), (8) могут быть записаны на контуре Го в центральной локальной координатной системе как ортогональные разложения по переменной во с использованием теорем сложения цилиндрических функций в форме, приводимой в работах [11, 12], а также с применением полученных в [13] соотношений

ехр(гпп1 1х1 + Яп±хз) = 52 г3К($п± - пп1 1)/(я'2± - (пп1 1)2)1/2 х

«=—ос

(12)

х.и((я2± - (пп1 _1 )2)1/2г) ■ ехр(гвв),

ехр(гпп1 1х1 + £п±хз)= 52 г3((£п± - пп1 1)/(£1± - (пп1 1)2)1/2 х

в=_ гс

хШ£± - (пп1 _1)2)1/2г) ■ еМгзв),

на основе которых преобразуемые представления (7), (8) последовательно принимают вид

те те

Ф = Е Е (А* - пп1-1)/(я2+ - (пп1-1)2)1/2•

я=-те п=-те

•Зя(((я2+ - (ппг1)2)1'2Т0) • еМгяво)+

те

+ Е Е (Ап- гя((<п- - пп1-1)/(,2- - (ппГ1)2)1^ (14)

я= -те п=-те

^я (((яп

•Зд(((я2- - (ппГ1)2)1/2Т0) • еМгдОо)+

+ Е Вя Е НЯ1](аТр')ехр(гдвр) • вхр(гшг),

Я=—те р=—те тете

* = Е Е (Сп+ гя(((п+ - пп1-1)/((2+ - (пп1-1)2)1/2•

я=-те п=-те

З((((2+ - (ппГ1)2)1/2То) • ехр(гдво) +

те

+ Е Е (Сп- гя(((п- - пп1-1)/(еп- - (ппГ1)2)1/2- (15)

я= -те п= -те

З((((2- - (ппГ1)2)1'2то) • ехр(гдво) +

тете

+ Е °я Е НЯ1](втР) еЩ)(гд6р) • ехр(гшг),

Я=—те р=—те тете

Ф= Е [ Е Ап+ гя((п+ - пп1-1)/(я2п+ - (пп1-1)2)1/2•

я=-те п=-те

'я (((Яп+

•Зя(((п+ - (пп1-1)2)1/2то)+

+ £ Ап- гя((Яп- - пп1-1)/(я2- - (пп1-1)2)1/2^

п= -те

•Зя(((£- - (пп1-1)2)1/2то)+ +Вяяя1^(ато) + ЗяЗ(ато)] ехр(гдво) • ехр(гш1) =

те те те

Е [ Е Ап+ Хпя+ ЗяЫ+т0) + Ап- Хпя-Зя(7п-то) +

я=-те п=-те п=-те

+Вяяя1^(ато) + ЗяЗя(ато)] ехр(гдво) • вхр(гш1),

тете

*= Е [ Е Сп+ гя (((п+ - пп1-1)/((2+ - (пп1-1)2)1/2^

я=-те п=-те

'я ((((п+

Зя((((2+ - (пп1-1)2)1/2то) +

(16)

(17)

+ £ Сп_ гд(({п- - ппГ1)/^- - (ипГ1)2)1'2■

п=_ГС

■Зд (((£_ - (пп1-1)2)1/2Г0) +

+Сди(1^(вто) + РдЗд(вГо)] ехр({дво) ■ ехр(Ш) =

У] Сп+ Ппд+ Зд (&п+ Го) + ^2 Сп_ Ппд_ Зд (&п_ Го) +

= _гс п=_гс п=_гс

+Сди(1^(вго) + РдЗд(вго)] ехр({дво) ■ ехр(ъшг),

гс гс

^ = Е Т.вр(ня-р(2®Ы)+ нр_д(2ак1)),

ГС ГС

Рд = Е 52Ср(Н{Л(2фк1) + н_(2вЫ)).

р=_гск=1

Заключительный этап реализации представляемой численно-аналитической методики заключается в получении и использовании найденных в виде разложений в ортогональные ряды контурных представлений для характеристик волновых деформационных полей в экранирующем слое на центральной цилиндрической поверхности:

отт = (-2^)х х Е [[ Е (Ап+ Хпд+ (а1п+ЗдЫ+ Го) +

' тт

ГС ГС

дп

д=-ГС п=-ГС

+!п+(-Зд+1(Уп+ Го) + ЯЫ+ГоГЗд(уп+ Го)) - (д/Го)2Зд(уп+Го)) + +А п_Хпд~

+7п_(-Зд+1(уп_Го) + д(Уп_го)_1Зд(Уп_Го)) - (д/го)2Зд(уп_го))~ -Сп+Ппд+гдго_1(5п+ (-Зд+1(5п+ Го) + +д(5п+ Го)_1 Зд (5п+Го)) + Г__1Зд (5п+Го))~

-Сп_Ппд_гдГ-1(5п_ (-Зд+1(5п_ Го)+ (18)

+д(5п_Го) 1 Зд (6п_Го)) + Г__1Зд (5п_ Го)))] +

+Вд (аа2нд1^(аГо) + а-Н^сжо) +

+д(аГо)_1н(1^(аГо)) - (д/Го)2Н^ (аГо))+ +Бд (аа2Зд (аГо) + а(-Зд+1(аГо) +

+д(аГо) 1Зд(аГо)) - (д/Го)2Зд(аГо)) +

-Од гдГ-1(в(-Н{<++11(вГо) + д(вГо )_1н(1 (вГо)) + г^Н™ (вГо ))-

гд (

1

-Рд 1дГ-1(в (-Зд+1(вГо) + д(вГо)_1Зд (вГо)) +

+Г0 Зд (вГо)))] ехр({дво) ■ ехр(шг),

are = (2 у) X

те те

X Е [[ Е (Cn+ Vnq+ (№+ /2)Jq (5n+ Го) +

д=-те п=-те

+Sn+ (-Jq+l(Sn+ ro) + q(6n+ ro)-Jq(Sn+ro)) - (q/ro)2Jq(Sn+ Го)) +

+Cn-Vnq- ((Sn — /2) Jq (Sn- To) +

+Sn- (-Jq+l(Sn— ro) + q(Sn— ro) — lJq(Sn—To)) - (q/ro f'Jq(Sn— To))-

,,-h

-An+Xnq+Íqro (Yn+(-Jq+l(Yn+ro) + +q(Yn+ ro)—lJq (Yn+ro)) + r—lJq (Yn+ro))-

-Án—Xnq—iqr-l(Yn—(-Jq+i(Yn—ro)+ (19)

+q(Yn— ro) — lJq (Yn— ro)) + r—lJq (Yn— To)))] + +Gq ((¡32/2)H(l (ero) + e (-H(ll(Pro)+

+q(ero)—lHqi\ero)) - (q/ro)2Hql(ero))+

+ Pq ((e2/2)Jq (ero)+ в( Jq+l вo) +

+q(Pro)—lJq(Pro)) - (q/ro)Jq(Pro)) + -Bq iqr-l(a(-H(4l(aro) + q(aro)—lH(l (aro)) + r—lH^(aro))--Pq iqr—l(a(-Jq+l (aro) + q(aro)—lJq (aro)) + +r—lJq(aro)))] exp(iqdo) • exp(iwt).

Соответственно, для точек на плоских гранях Г+, Г— экранирующего слоя записываются представления для характеристик напряженного состояния:

a3±) = 2ydld^± + у(д2 - д$)'Ф± =

те

= [2у[ (Án+ innl—lSn+ • exp(innl—lxl + (n+x3) +

n= —те

+Án— innl—l^n— • exp(innl—lxl + (n—X3))+

те

+ Bq(2/l)(-i)q+l X

q= — те

те

(20)

X £ gl(((p ± qnl—l)/(Z2p - (qnl—l)2)l/2)q(iqnl—l)(TSqP)

— lU/- ±___1—lM2 j—l\2\l/2\qf¿„„ — l\

р=—те

• exp(iqnl—lXl T ZqpX3)] + l 2 2 l

+у[ E (Cn+((innl l)2 - (sn+ )2)exp(innl lXl + Ín+хз)+

n= -те

+Cn—((innl—l)2 - ($n—)2) exp(innl—lxl + £n—X3))+

ж

+ 52 Gq(2/l)(-i)q+1 X

q= —ж

oo

X 52 (—1(((2 ± qnl — 1)/«2p - (qnl — 1)2)1/2)q ■ ((iqnl—1)2 - (,qp)2)

2= — ж

■ exp(iqnl—1x1 t Zq2x3)]] ■ exp(iwt), = + (X + 2ß)öi )Ф± + 2^д1дз^± =

ж

= i52 (Лп+ХшпГ1)2 + (X + 2ß)(^n+ f) ■ exp(iunl—1xl + Zn+x:i)+

n= —ж

+Лn-(X(iuпl-1)2 + (X + 2ß)(sn— )2) ■ exp(iunl—1xl + Zn—X3)) +

ж

+ 52 Bq(2/l)(-i)q+1 X

q= —ж

ж

X 52 д\((2 ± qnl—1)/(Z2 - (qnl—1 )2)1/2)q(X(iqnl—1 )2 + (X + 2^)(т^)2>

2= — ж

■ exp(iqnl—1xl T (qpX3)}+ (21)

ж

+2ß 52 (Cn+(iunl—l)(^n+ )exp(iunl—1xl + (n+X3) +

n= —ж

+Cn—(iunl—1)(çn—) exp(iunl—1xl + £n—X3))+

ж

+2^52 Gq(2/l)(-i)q+1 X

q

q= —ж

ж

—1 —1 2 —1 2 1/2 q

X 52 (~1(((2 ± qnl—1)/(Z2 - (qnl—1)2)1/2)q ■ (iqnl—1)(T^qp)

2= — ж

■ exp(iqnl—1x1 T Zq2x3)] ■ exp(iwt), Ot из = Ot (дзФ± + д!Ф±) =

ж

i 52 (Лп+Сп+ exp(iunl—1xl + Zn+X3) + Лп— Zn— exp(iunl—1xl + Zn—X3))+

n= —ж

oo oo

+ 52 Bq(2/l)(-i)q+l 52 Zpl((Zp ± qnl — 1)/(Z2 - (qnl — 1)2)1/2)q ■ (Tïqp)

q= — <x 2= — ж (22)

■ exp(iqnl—1xl T ZqpX3)+

ж

+ 52 (Cn+ (iunl—1 )exp(iunl—1xl + in+X3)+

n= —ж

+Cn— (iunl—1) exp(iunl—1x1 + {n—x3)) +

+ £ Сд(2/1)(-г)д+1 £ (—1(((р ± дп1—1)/((2р - (дп1—1)2)1/2)д(гдпГ1)-

д=—те р=—те

■ ехр(гдп1—1х1 ^ (дрх3)] • ехр(гш$. а также для характеристик поля гидроакустических волн

у3— = (гк{—У)(-Р0—) • еМ-г№ - к(—)х3)) + Р— • ехр(-г(шг + к(—)х3))), уа+ = (-гк{+)Р0+) • вМ-г(шг - к{+хз)),

р— = р0—)д= (23)

= (-гшр(0—)) • (р0—) • ехР(-г(шг - к{—)х3)) + р(—) • ехр(-г(шг + к{—)х3))), р+ = р(+)= р(+)р(+ (-гш) • вхр(-г(шг - к{+х3)).

При этом, ввиду учтенного свойства периодичности, из серии краевых условий на цилиндрических поверхностях рассматриваются только условия для центральной контурной поверхности Г о.

Свойства ортогональности контурных представлений позволяют эффективно трансформировать функциональные краевые условия в бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для коэффициентов Ап±, Сп±, Вд, Сд, Р( ^, Р(+ в представлениях характеристик волновых полей, имеющую вид:

те

Е

(Ап+ Хпд+ (а7^+Зд (7п+Я) + 7п+(-Зд+1(7п+Я) +

+дЫ+Я)—1ЗдЫ+Я)) - (я/В)2ЗдЫ+Я))+ +А п—Хпд— (а12— Зд Ьп—Я) + 7п—(-Зд+\(1п—Я) + +д(^п—Я)—1Зд(7п—Я)) - (я/Я)2Зд(7п—Я))~

-Сп+Ппд+гдЯ—1 (5п+(-Зд+1(5п+Я)+

+д(6п+ Я)—1Зд (6п+Я)) + г—1Зд (6п+Я))-

гдЯ—1 (5п—(-Зд+1(5п—Я) + +д(6п— Я)—1Зд (6п—Я)) + Я—1Зд (6п— Я))) + +Вд(аа2и(1)(аЯ) + а(-и(+)1(аЯ) + д(аЯ)—1 и(1) (аЯ)) - (д/Я)2и(1)(аЯ))+ +Бд(аа2Зд(аЯ) + а(-Зд+1 (аЯ) + д(аЯ)—1 Зд(аЯ)) - (д/Я)2Зд(аЯ)) + -Сд гдЯ—1(Р(-И[1+^1(вЯ)+ д(вЯ)—1 И^^Я)) + Я—1и(1">(вЯ))--Рд гдЯ—1(в(-Зд+1 (рЯ) + д(вЯ)—1Зд (рЯ)) + г——1Зд (рЯ))) = 0

(д = -ж, ж);

(24)

п=

52 (Cn+ Vnq+ ((Ön+ /2) Jq (Sn+R) + Sn+ (-Jq+l(Sn+ R) +

n=—x

+q(ön+R)—lJq(Sn+ R)) - (q/R)2Jq(Sn+R)) + + Cn— Vnq— (të— /2)Jq (Sn— R)+ Sn— (-Jq+l(Sn— R) + +q(Sn—R)—lJq(Sn— R)) - (q/R)2Jq(Sn—R))--An+Xnq+iqR—l (Yn+(-Jq+l (Yn+R) + q(Yn+R) — lJq(Yn+ R)) + R—lJq(jn+ R))--An—Xnq—iqR—l(Yn—(-Jq+l (Yn— R) + q(Yn— R) — l Jq (Yn— R)) + R—lJq (Yn—R))) + +Gq((ß2/2)Hql (ßR)+ ß(-H{q%(ßR)+ q(ßR)—lHql (ßR)) - (q/R)2Hql (ßR))+ +Pq ((ß2/2)Jq (ßR) + ß( Jq+l (ßR) + q(ßR) — lJq (ßR)) - (q/R)2Jq (ßR)) + -BqiqR—l(a(-H^+l(aR) + q(aR)—lH^ (aR)) + R—lHiq1) (aR))--Pq iqR—l(a(-Jq+l(aR) + q(aR)—lJq (aR)) + R—lJq (aR))) = 0

(q = -ж, ж);

2[An+ iunl—lÇn+ • exp(Zn+h) + An—iunl—lÇn— • exp((n—h) + +Bn(2/l)(-i)n+l x

x

X 52 Zpl(((p ± unl—l)/(Z2 - (unl—l)2)l/2)n(iunl—l)(T^nP) • exp(-(nPh)] +

p=—x

+(Cn+((iunl—l)2 - (çn+)2)exp(Cn+h) + Cn—((iunl—l)2 - (çn—)2)exp(Cn—h))+

+Gn(2/l)(-i)n+lx

X

: 52 Çl(((p ± unl—l)/(C2p - (unl—l)2)l/2)n • ((iunl—l)2 - (n)2)exp(-(nph) =

p=—x

(u = -ж, ж);

2[An+ iunl l^n+ • exp(-Zn+ h) + An—iunl lÇn— • exp(-(n—h)+ +Bn (2/l)(-i)n+l •

n

(

X 52 Zpl((Zp ± unl—l)/(Z2 - (unl—l)2)l/2)n(iunl—l)(T^np) • exp(Znph)] +

p= —(

+(Cn+((iunl—l)2 - (çn+)2)exp(-Cn+ h) + Cn—((iunl—l)2 - (<n—)2)exp(-£n—h))+

+Gn(2/l)(-i)n+l •

(

X 52 Çl(((p ± unl—l)/(Z2 - (unl—l)2)l/2)n • ((iunl—l)2 - (Çnp)2) exp((nph) = 0

p= —(

(u = -ж, ж);

Ап+(Х(гнп1—1)2 + (X + 2ц)(^п+)2) • ехр(-(,п+ К)+

+Ап—(Х(гип1—1)2 + (X + 2^)(яп—)2) • ехр(-(п—К)) +

п—

оо

+Вп(2/1)(-г)п+1 £ д\((р ± пп1—1)/($ - (ппГ1)2)1'2)п•

р=—те

•(Х(гпп1—1)2 + (X + 2^)(япР)2) • ехр(-СпрК)] + +2^(Сп+ (гпжГ1 )($п+)ехр(-£п+К) + Сп—(гпж1—1)(яп—)ехр(-^п—К)) +

+2ц.Сп (2/1)(-г)п+1 х

те

х £ (—1(((р ± пп1—1)/((2 - (пп1—1)2)1/2)п • (гпп1—1)(япр)ехр(-(дрк) --

р=—те

= ипо(-гшр0—у) • (р0—) • ехр(-гк— К) + р[—) • ехр(гк— К)), (що = 1; ^о = 0, п = 0), (п = -ж, ж);

Ап+ (Х(гпп1—1 )2 + (X + 2^)(яп+ )2) • ехр((п+Ъ) + +Ап—(Х(гпп1—1 )2 + (X + 2ц)(^п— )2) • ехр((п— К)) +

те

+Вп(2/1)(-г)п+1 £ д\((р ± пп1—1)/(<р - (ппГ1)2)1'2)'

р=—те

■^(г^Г1)2 + (X + 2^)(япр)2) • ехр(-(прП)] + +2^(Сп+(гпж1—1)(^п+) ехр(п+К) + Сп—(гпж1—1)(^п—) ехр(п—К)) +

+2ц.Сп (2/1)(-г)п+1 х

х £ (—1(((р ± пп1—1)/((2 - (пп1—1 )2)1/2)п • (гпп!—1)(-Япр)ехр(-СдрК)

р=—те

= ипо(-гшр(о+)) • Р(+) ехр(гку>К)), (що = 1; Vпо = 0, п = 0), (п = -ж, ж);

Ап+(п+ ехр(-(п+К) + Ап—(п— ехр(-(п—К) + +Вп(2/1)(-г)п+1 х

х £ (—1(((р ± пп1—1)/((2 - (пп1—1)2)1/2)п • (япр) ехр(-(прхз) +

те

Ср ± пп1 — 1)/((2 - (пп1—1)2)1/2)п - (,пр)

р= —те

+Сп+ (гпп1—1) ехр(-£п+К) + Сп—(гпп1—1) ехр(-£п—К) + +Сп (2/1)(-г)п+1 х

те

£ (—1(((р ± пп1—1)/((2 - (пп1—1)2)1/2)п(гпп1—1) • ехр(-(др}

р = —те

В.Е. Болнокин, М.Н. Пачева, В.И. Сторожев, Зыонг Минь Хай, Чан Ба Ле Хоанг

= Vno(ikf-))(—P(-) ■ exp(—ikf-)h) + p(-) ■ exp(ikf-)h)) (n = —ос, о);

An+ Zn+ exp((n+h) + An-Zn- exp((n-h) + +Bn (2/l)(—i)n+1 x

n

oo

x Zp\(Zp ± nnl-1)/(Z2p — (nnl-1)2)1/2)n ■ (—qnP)exp(—ZnPxs) +

-1)/(Z 2 i__i-b^l/^ n

Zp -L- nnl )/(Zp

p=-x

+Cn+(innl-1) exp(£n+h) + Cn-(innl-1) exp(£n-h)+

+Gn(2/l)(—i)n+1 x

<x

x 52 Z-1((Zp ± nnl-1)/(Z2 — (nnl-1)2)1/2)n(innl-1) ■ exp(—Zqph) =

p=-x

= Vno(—ik(f+))p0+) ■ exp(ikf+)h)) (n = —о, о).

Полученные системы при численной реализации описываемой методики полежат редукции, порядок которой определяется на основе контроля качества удовлетворения граничным условиям.

Выводы. Представлена методика теоретического численно-аналитического анализа показателей эффективности функционирования плоских элементов систем гидроакустического экранирования в виде многосвязного изотропного деформируемого слоя с периодическим рядом коллинеарных внутренних туннельных цилиндрических полостей одинакового кругового сечения. Анализ рассматриваемой модели элементов экранирования реализуется с использованием комплекса приемов получения ортогональных контурных представлений в рядах для характеристик волнового деформирования слоя многосвязного поперечного сечения и сведен к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов вводимых рядов по базисным частным решениям волновых уравнений. Полученные системы подлежат редукции при численной реализации представленной методики.

1. Кормилицын Ю.Н. Устройство подводных лодок: в 2 т. Т. 1. / Ю.Н. Кормилицын, О.А. Ха-лизев. - СПб: «Элмор», 2008. - 336 с.

2. Кормилицын Ю.Н. Устройство подводных лодок: в 2 т. Т. 2. / Ю.Н. Кормилицын, О.А. Ха-лизев. - СПб: «Элмор», 2009. - 280 с.

3. Корякин Ю.А. Корабельная гидроакустическая техника: состояние и актуальные проблемы / Ю.А. Корякин, С.А. Смирнов, Г.В. Яковлев. - СПб: Наука, 2004. - 410 с.

4. Свердлин Г.М. Физические основы прикладной гидроакустики. Гидроакустические преобразователи и антенны / Г.М. Свердлин, Ю.П. Огурцов. - СПб: СПб ГЭТУ «ЛЭТИ», 2009. - 165 с.

5. Урик Р.Дж. Основы гидроакустики / Р.Дж. Урик. - Л.: Судостроение, 1978. - 448 с.

6. Болнокин В.Е. Исследование систем гидроакустического экранирования для подводных транспортных средств / В.Е. Болнокин, В.И. Сторожев, Зыонг Минь Хай. - Воронеж: Научная книга, 2016. - 196 с.

7. Глазанов В.Е. Некоторые задачи распространения звука в упругих средах. Курс лекций / В.Е. Глазанов. - Таганрог: Таганрогский радиотехнический институт, 1970. - 123 с.

8. Глазанов В.Е. Экранирование гидроакустических антенн / В.Е. Глазанов. - Л.: Судостроение, 1986. - 148 с.

9. Глазанов В.Е. Экранирование гидроакустических преобразователей / В.Е. Глазанов, А.В. Михайлов. - СПб.: Элмор, 2004. - 246 с.

10. Глазанов В.Е. Акустические экраны для подводных преобразователей и антенн. Теория и расчет / В.Е. Глазанов. - СПб.: СПб ГЭТУ «ЛЭТИ», 2013. - 175 с.

11. Гузь А.Н. Дифракция упругих волн в многосвязных телах / А.Н. Гузь, В.Т. Головчан. -Киев: Наукова думка, 1972. - 255 с.

12. Головчан В.Т. Распространение упругих волн сдвига в упругом слое, перфорированном рядом цилиндрических полостей / В.Т. Головчан, А.Н. Гузь // Прикладная механика. -1976. - Т. 12, № 9. - С. 18-33.

13. Космодамианский А. С. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред / А.С. Космодамианский, В.И. Сторожев. - К.: Наукова думка, 1985. - 176 с.

V.E. Bolnokin, M.N. Pacheva, V.I. Storozhev, Duong Minh Hai, Tran Ba Le Hoang Method of analysis of the model of a plane hydroacoustic screen with a periodic system of the internal tunnel cylindrical cavity.

The development of a theoretical numerical-analytical technique for analyzing the model of transformation of elastic waves during their propagation through the thickness of a contacted with acoustic media deformable layer containing a periodic series of internal extended tunneling cylindrical cavities of the same type parallel to flat faces of layer is presented. The technique is based on introducing representations of the wave field potentials for a multiply connected layer in the form of superposition of different types of solutions of wave equations in the main coordinates and in local cylindrical coordinate systems with poles at the centers of the cross sections of the tunnel cavities. The Floquet theory, the theorem of addition of cylindrical functions, the Jacobi expansion, as well as the method of orthogonal series is used. The problem is reduced to an infinite system of linear algebraic equations with respect to constant coefficients in series containing basic particular solutions of wave equations. Keywords: flat hydroacoustic screen, perforated elastic layer, internal tunnel cavities external acoustic medium, wave mechanics boundary value problem, numerical-analytical analysis technique, equations for wave potentials, superposition of series on partial solutions, Floquet theory, addition theorems for cylindrical functions, orthogonal series method, infinite systems of algebraic equations.

Ин-т машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, Москва Получено 06.02.18

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Центральный научно-исследовательский Институт Военно-морских сил Вьетнама, Хайфон

ФГБОУ ВО "Национальный исследовательский университет

"МЭИ" МОН РФ, Москва

[email protected]