CC BY
16УДК 531.72:531.327
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
А. А. Губайдуллин, О. Ю. Болдырева
Тюменский филиал Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича
СО РАН, gubai@tmn.ru, timms@ikz.ru
В статье представлены математическая модель, используемая для исследования волновых процессов в пористых средах, два метода численного решения приведённой системы уравнений, а также результаты численного исследования задач о прохождении возмущения давления из флюида через пористый слой, о распространении и затухании акустических волн в пористой среде, насыщенной водо-нефтяной эмульсией, о распространении возмущения вдоль заполненной жидкостью цилиндрической полости, окружённой насыщенной этой же жидкостью пористой средой.
Ключевые слова: пористая среда, флюид, волны, прохождение, отражение.
COMPUTER MODELING OF WAVE PROCESSES IN POROUS MEDIA
A. A. Gubaidullin, O. Yu. Boldyreva
Tyumen Branch, Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, SB RAS, gubai@tmn.ru,
timms@ikz.ru
The mathematical model used to study wave processes in porous media and two methods for numerical solution of the given system of equations are described. The numerical studies of the pressure perturbation transmission from fluid through a porous layer, acoustic wave propagation and attenuation in porous medium saturated with water-oil emulsion, and propagation of pressure perturbations along a cylindrical borehole in a porous medium are presented.
Keywords: porous medium, fluid, waves, transmission, reflection.
Введение
Пористые материалы широко используются в современной промышленности, в частности, для поглощения вредных шумов, в архитектурной акустике, а также рассматриваются как демпфирующие среды для ослабления взрывных воздействий на сооружения. Распространение и взаимодействие волн в пористых средах изучаются в связи с задачами сейсмоакустики и воздействия на горные массивы и нефтегазовые пласты. Знание закономерностей прохождения и отражения импульсов давления от пористых пластин также необходимо для определения свойств и контроля качества пористых материалов. Для всех этих приложений очень важно исследовать взаимодействие импульсов давления с пористой средой и характер движения флюида внутри пор в широком диапазоне свойств материалов.
Теория распространения волн в дискретно- и непрерывно-слоистых средах изложена в монографии [1]. В частности, рассмотрено отражение звуковых волн от упругого слоя и от системы упругих слоёв. Связь собственных колебаний пористой упругой пластины с коэффициентами отражения и прохождения на границах изучалась в работе [2]. Также рассматривались особенности взаимодействия звуковых волн с плоским слоем [3] и акустическим экраном [4]. В [5, 6] исследовалось распространение ультразвуковых и звуковых волн вдоль границы упругой среды и жидкости.
В работе [7] с помощью метода матричного пропагатора исследовано распространение сейсмических волн из упругого основания в неоднородный осадочный слой, расположенный на морском дне. Получено аналитическое выражение для матричного пропагатора.
Прохождение линейных волн из флюида в пористое полупространство с неподвижным скелетом рассматривалось в работе [8]. Закономерности отражения волн давления от твёрдых поверхностей, покрытых пористым слоем, изучались в работах [9-16]. Метод определения акустических характеристик газонасыщенной пористой среды по результатам отражения ультразвуковых волн от границ пористого слоя с жёстким скелетом при наклонном падении предложен в работах [17, 18]. Метод позволяет определить коэффициент извилистости пор, характерные вязкую и температурную длины пористой среды.
В исследовании [19] описывается эксперимент по прохождению волн через погружённую в воду пористую пластину при нормальном падении. Сравниваются рассчитанный в рамках модели Био и полученный в результате обработки экспериментальных данных коэффициенты прохождения волны через пористый слой при нормальном падении. Показана возможность определения некоторых параметров пористой среды (зависимостей от частоты скоростей и пространственных декрементов затухания быстрой и медленной волн, коэффициентов отражения от границ) путём решения некоторой задачи оптимизации.
Для расчёта распространения акустических волн в пористых средах, прохождения волн через пористый слой обычно используется несколько основных методов. Для изучения закономерностей прохождения и отражения гармонических волн на границе флюида с пористой средой при нормальном или наклонном падении получают коэффициенты отражения и прохождения на границах флюида и пористой среды. В отдельных случаях (в предположении о неподвижности скелета, при пренебрежении инерционной составляющей межфазной силы, для начального импульса определённого вида) удаётся получить аналитическое решение задачи о распространении импульса в пористой среде или о прохождении импульса из флюида в пористую среду. Для описания распространения импульсов давления в пористой среде, прохождения волн давления из флюида в пористое полупространство применяются интегральные или дискретные преобразования Лапласа и Фурье [20, 8]. Определённый интерес представляет коэффициент прохождения через пористый слой гармонической волны. Этот коэффициент может быть рассчитан с помощью коэффициентов прохождения и отражения на границах пористой среды и флюида волн, возникших в результате прохождения в слой начальной волны, с учётом конечного числа отражений на границах [19]. Для расчёта прохождения акустического импульса в пористый слой также используют конечно-разностные методы [16, 21-23], в частности, метод Лакса—Вендроффа, а также модифицированный метод крупных частиц [24].
Актуальность задач о распространении и затухании акустических волн в пористой среде, насыщенной водонефтяной эмульсией, и о распространении возмущения вдоль заполненной жидкостью цилиндрической полости, окружённой насыщенной этой же жидкостью пористой средой обусловлена тем, что при добыче нефти при вытеснении нефти водой в порах нефтяного пласта возможно образование водонефтяной эмульсии. Для повышения нефтеотдачи может применяться метод виброволнового воздействия на пласт и призабойную зону скважин. Для совершенствования технологий виброволнового воздействия необходимо знание закономерностей распространения и затухания волн в пористой среде, насыщенной водонефтяной эмульсией. Заранее приготовленные эмульсии могут использоваться и в других технологиях добычи нефти.
Математическая модель
Для исследования распространения и затухания волн в пористой среде, насыщенной флюидом — жидкостью или газом, используем двухскоростную с двумя давлениями модель насыщенной пористой среды [25, 26].
Уравнения сохранения масс и импульсов фаз имеют вид:
где р/, Vj, оу — приведённая плотность, скорость, объёмное содержание /-ой фазы, / = [, 5; , р[ — приведённое напряжение в скелете и давление во флюиде соответственно.
Межфазное взаимодействие включает силы вязкого трения ^ и присоединённой массы Рт:
где р° — истинная плотность, а# — характерный размер зёрен скелета, г]т, ^^ — безразмерные коэффициенты взаимодействия фаз, зависящие от структуры среды, нижний индекс 0 означает невозмущённое значение величины.
В случае гармонических колебаний среды с частотой ш можно также включить в рассмотрение
¿¡Щ ь ь
РГЖ = "
йзУц ——к I ¡к „к
Р^-^Т = ~ ^ Р/ + + ^ '
силу Бассэ (здесь I — мнимая единица):
Р = Рт + Рм + Ре, РЕ = ^2р^0р¡ш (1 + I) - V.) .
Скелет пористой среды предполагается упругим с модулями упругости А.», ц:
=а8(\^8ыетГ + 2^' + , ^ = ^ + ^ , ^ = 2 ^ ^,
где £s — деформации твёрдой фазы. Возможно использование и других схем деформирования скелета, например, вязко-упругость, которая позволяет учесть эффект «сухого» трения.
Для твёрдой или жидкой фаз приняты линейные уравнения состояния в акустическом приближении:
р/ ~ Р/0 = К/(р°/ - Р^о) /pOj0, Р/ = «/Р/°, «S + «I = 1,
где К/ — объёмные модули упругости для материала /-ой фазы.
В случае газонасыщенной пористой среды в качестве уравнения состояния для газа принимается либо уравнение в акустическом приближении, либо уравнение Менделеева—Клапейрона:
Р! =Р!.
В последнем случае необходимо также рассмотреть уравнения баланса энергии для газовой и твёрдой фаз:
»•а !+^-*)-*■
¿ж=^+*
_ За., м м Г 2.0 + 0.106 Ре Рг1/3, Ре < 200
* = 2а. Ми ! ^ , Ми = { 2.27 + 0.6 Ре2/3 Рг'/з , Ре > 200 , Рг = ,
щ = Щ0 + С!v (Т— Т0) , Щ = щ.0 + Сs (Ts- Т0) .
Здесь Т, Т. — температуры фаз, А• — коэффициент теплопроводности газа.
Для замыкания системы уравнений используем соотношения между истинными давлениями в фазах и эффективным давлением в скелете:
Р.= (Р^ р{)
Предложенная система уравнений при заданных входящих в неё параметрах А^, , г]т, г][л, г]е является замкнутой и позволяет исследовать волновые процессы во флюидонасыщенных пористых средах.
Метод Фурье
При рассмотрении некоторых волновых процессов достаточно получить решение линеаризованной системы уравнений движения пористой среды. В этом случае исходная система дифференциальных и алгебраических уравнений, а также начальные и граничные условия линеаризуются. Затем ищется решение системы вида т — Wо = Ат ехр I (ш^ — кх). После подстановки решения указанного вида в систему уравнений получается система линейных уравнений относительно амплитуд Aт. Условие существования ненулевого решения (равенство нулю определителя полученной системы) приводит к дисперсионному уравнению Ф (ш,к) = 0, связывающему частоту колебаний ш и волновое число k. Полученное уравнение является биквадратным относительно волнового числа к Это показывает [27, 28], что в пористой среде возможно распространение продольных волн двух типов, деформационной
«-> —.11
Р.* = ^о (У.
1
Рис. 1. Система из чередующихся слоёв флюида и Рис. 2. Амплитуды исходной, отражённой, про-
пористой среды
шедших и отражённых быстрой и медленной волн
(быстрой) и фильтрационной (медленной). Дисперсионная зависимость ^ш) позволяет рассмотреть скорость и затухание быстрой и медленной волн в пористой среде как функции частоты [29].
Использование метода Фурье позволяет исследовать распространение в пористой среде импульса, заданного на границе среды, прохождение возмущения из флюида в пористую среду, а также распространение импульса через чередующиеся слои жидкости и насыщенной жидкостью пористой среды. Например, можно рассчитать эволюцию возмущения давления в показанной на рис. 1 системе из чередующихся слоёв флюида и пористой среды [30].
На каждой из границ «жидкость — пористая среда» при этом обычно рассматривается одно из условий — «открытые поры», что означает равенство давлений поровой жидкости и граничащей с пористой средой жидкости, либо «закрытые поры», когда скорость граничащей с пористой средой жидкости совпадает со скоростями скелета и жидкости пористой среды. Для решения такой задачи исходный импульс давления, заданный как функция дискретного времени, представляется в виде суммы гармонических волн. С помощью прямого преобразования Фурье исходного импульса давления по времени, а также условий на границах флюида и пористой среды определяются амплитуды каждой гармонической составляющей этого импульса. Затем, используя полученные значения амплитуд, с помощью прямого преобразования Фурье импульс восстанавливается в произвольной точке пористой среды или флюида. В расчётах использовались алгоритмы быстрого преобразования Фурье. Схематически амплитуды исходной, отражённой, прошедших и отражённых быстрой и медленной волн показаны на рис. 2.
Метод Лакса—Вендроффа
Метод Лакса—Вендроффа [23] позволяет численно рассчитать распространение волн в пористой среде в нелинейной постановке. В частности, при изменениях плотности газа, сравнимых с их равновесными значениями, в качестве уравнение состояния газа следует использовать, например, нелинейное уравнение Менделеева—Клапейрона. Другим случаем, когда возникает необходимость рассмотрения задачи в нелинейной постановке, является пористая среда, насыщенная неньютоновской жидкостью с нелинейным уравнением состояния, например, степенной жидкостью.
На приведённом рис. 3 показана схема вычислений на первом этапе в соответствии с двухша-говым методом Лакса—Вендроффа.
Процедура численного интегрирования методом Лакса—Вендроффа на каждом шаге по времени состоит из трёх этапов.
На первом этапе «замораживается» межфазное силовое взаимодействие и уравнения интегрируются с помощью двухшаговой схемы Лакса—Вендроффа. Пунктирными линиями на схеме обозначен вспомогательный шаг, на котором рассчитываются значения на промежуточном временном слое, сплошными линиями — основной шаг, на котором рассчитываются значения на следующем основном временном слое.
На втором этапе проводится пересчёт значений переменных с учётом межфазного взаимодействия.
При необходимости возможен третий этап сглаживания полученного решения.
г
; 1/2
I
]+1/2
— -ж--
N1/2
*
п
1
2 ]1
}
}+1 N1 \ N
Рис. 3. Схема вычислений на первом этапе в соответствии с двухшаговым методом Лакса—Вендроф-фа
Определённый интерес представляет также задача о распространении возмущения вдоль заполненной жидкостью цилиндрической полости, окружённой насыщенной этой же жидкостью пористой средой (рис. 4).
Рис. 4. Распространение возмущения вдоль заполненной жидкостью цилиндрической полости, окружённой насыщенной этой же жидкостью пористой средой
Такая задача является двухмерной осесимметричной. Распространение гармонических колебаний в такой системе может быть рассмотрено в линейной постановке. С помощью конечно-разностных методов можно исследовать распространение возмущений вдоль полости и их проникновение в окружающее пористое пространство. Это также возможно в случае заполнения полости и окружающей пористой среды неньютоновской жидкостью с нелинейным уравнением состояния.
Результаты расчётов
Описанные методы позволяют решать различные задачи, такие, как прохождение волны из флюида в насыщенную пористую среду с последующим распространением в ней; прохождение через пористый слой или систему слоёв во флюиде; воздействие волны на преграду, экранированную пористым слоем, при этом слой может примыкать к преграде или между слоем и преградой может оставаться зазор; распространение волн в цилиндрической полости, окружённой пористой средой. В качестве насыщающего пористую среду флюида может быть газ или жидкость, а также двухфазная среда (эмульсия, пузырьковая жидкость, газовый гидрат). Рассмотрим подробнее задачу о воздействии волны на преграду, экранированную пористым слоем.
Пусть в воздухе или воде расположена преграда (жёсткая стенка), перед ней находится пористый слой из зёрен кварца. Между стенкой и слоем имеется зазор. По флюиду в направлении преграды распространяется треугольный импульс давления. Требуется описать возникающее волновое течение.
В случае газонасыщенной пористой среды установлено, что присутствие зазора между пористым слоем и стенкой позволяет многократно уменьшить воздействие на экранируемую преграду: в этом случае возмущение давления на стенке имеет существенно меньшую амплитуду, но значительно большую продолжительность по сравнению с исходным, в то время как экранирование преграды пористым слоем без зазора может даже усилить воздействие на неё исходного импульса.
О
Расчёт методом Фурье, в отличие от конечно-разностного, позволяет детально описать и интерпретировать возникающую волновую картину. Профиль полного напряжения позволяет проследить поведение слабо затухающей быстрой (деформационной) волны, которая отражается поочерёдно от правой и левой границ слоя с газом в виде волн разрежения и сжатия соответственно. Амплитуда медленной волны мала. Профиль давления газа, записанный в середине слоя, даёт возможность проанализировать медленную (фильтрационную) волну, которая также отражается от границ слоя как медленная волна. Она быстро затухает и после двух отражений практически не наблюдается. Быстрая волна на профиле давления газа имеет пренебрежимо малую амплитуду. Возмущение в газе за пористым слоем формируется за счёт прохождения медленной волны, а ее амплитуда в четыре раза меньше амплитуды исходного возмущения в газе. Заметим, что за счёт подбора параметров слоя (например, размера зёрен) амплитуду прошедшего в газ возмущения можно многократно уменьшить.
Присутствие стенки слабо влияет на профиль полного напряжения. Профиль давления газа на преграде представляет собой последовательность импульсов сжатия, возникающих в результате отражения от стенки волны сжатия, прошедшей из пористого слоя, и последующих отражений ее в зазоре между пористым слоем и стенкой. При этом происходит наложение волн, возникающих в результате отражения от левой границы слоя волн, прошедших в слой через правую границу. В пористом слое амплитуда полного напряжения в основном определяется амплитудой быстрой (деформационной) волны в скелете и при отсутствии зазора основное воздействие на преграду производится этой волной. Но при прохождении из слоя в газ быстрая волна практически не вызывает в нём возмущений, в отличие от медленной (фильтрационной) волны давления pf.
В эксперименте [19] измерялся акустический сигнал, прошедший через погружённую в воду пластину толщиной 1 см из пористого материала QF-20, представляющего собой фильтр из кварцевого волокна (quartz fiber filter). В экспериментах несущая частота излучаемого импульсного сигнала составляла 200, 500 кГц и 1 МГц. Для интерпретации сложной волновой картины, зафиксированной в эксперименте, необходимо провести ее теоретическую обработку на основе вычислительного эксперимента. Расчёты показали, что при прохождении сигнала через пористую пластину происходит его разделение на быструю и медленную моды, которые далее частично отражаются от границы пластины с жидкостью и проходят в жидкость. Рассчитанные в рамках линейной теории скорости быстрой и медленной волн в пластине для частоты 1 МГц составляют 3 400 и 1 010 м/с. Следовательно, времена прохода быстрой и медленной волн через пластину равны 3 и 10 мкс.
Зарегистрированный сигнал повторяет форму исходного импульса. Кроме того, наблюдается хорошее качественное и количественное согласие между измеренным и расчётным сигналом, соответствующим приходу из пластины к приёмнику быстрой волны. При прохождении быстрой волны через пластину возникает отражённая от правой границы с жидкостью быстрая волна. Последняя порождает быструю волну, отражённую от левой границы. Эта волна проходит через слой с отставанием на 6 мкс (удвоенное время прохода через пластину) от первой быстрой волны. Затем (через 1 мкс) приходит медленная волна, которая накладывается на предыдущую волну. Для следующего за быстрой модой цуга волн, являющего, как выше уже было отмечено, суммой переотраженной от границ быстрой волны и медленной волны, также наблюдается совпадение измеренного и расчётного сигналов. Таким образом, приведённые выше данные о значениях скоростей быстрой и медленной волн в пористой среде, полученные в ходе линейного анализа, позволяют детально описать и расшифровать сложную волновую картину, возникающую при взаимодействии акустического сигнала с пористой пластиной, погружённой в воду.
Исследован процесс распространения и затухания акустических волн в пористой среде, насыщенной водонефтяной эмульсией. Для расчётов были использованы параметры нефтей и водонефтя-ных эмульсий, взятые из экспериментальных данных работы [31]. Нефть или эмульсия моделировались ньютоновской однородной жидкостью с эффективной вязкостью. Получены и проанализированы дисперсионные зависимости. Также проанализировано влияние упругих свойств скелета пористой среды, водонасыщенности, температуры на скорость и затухание быстрой (деформационной) и медленной (фильтрационной) волн. Установлено, что при увеличении значений упругих модулей скелета As#, цs* возрастают скорости быстрой и медленной волн, а затухание быстрой волны в области высоких частот уменьшается. При увеличении водонасыщенности s скорость распространения быстрой волны монотонно уменьшается, для медленной волны скорость при насыщении пористой среды эмульсией ниже,
чем при насыщении водой или нефтью. На затухание обеих волн влияние водонасыщенности немонотонное, т. е. при насыщении пористой среды эмульсией затухание происходит интенсивнее, чем в насыщенной водой или нефтью пористой среде.
Повышение температуры нефти незначительно изменяет скорость звука, но существенно уменьшает затухание: для быстрой волны — в области высоких частот, а для медленной — во всём рассмотренном частотном диапазоне. В случае насыщения пористой среды более вязкой нефтью или эмульсией (нефть Тобойского месторождения) наблюдается более значительное затухание волн по сравнению с менее вязкой нефтью (Тагринского месторождения).
Исследовано распространение треугольного импульса в пористой среде, насыщенной водой, нефтью или водонефтяной эмульсией. Расчёты проводились двумя методами: Фурье и Лакса—Венд-роффа. Результаты расчётов показали хорошее совпадение.
Таким образом, пористая среда, содержащая водонефтяную эмульсию, характеризуется повышенным затуханием волн по сравнению с пористой средой, насыщенной водой или нефтью.
Распространение и затухание высокочастотного импульса вдоль полости, а также проникновение возмущений в окружающее пористое пространство было исследовано с помощью численного интегрирования методом Лакса—Вендроффа. Рассмотрены случаи насыщения полости и пористого пространства водой, нефтью и водонефтяной эмульсией. Для эмульсии использовалось нелинейное уравнение состояния степенной жидкости. Возмущения в среде создавались источником жидкости внутри канала. Рассчитывалось изменение давления в нескольких точках на границе полости, а также вдоль радиальной координаты для нескольких моментов времени. Проведено сравнение скорости распространения, затухания волн в канале, а также глубины проникновения возмущений в окружающую пористую среду со случаями насыщения полости и пористого пространства водой, нефтью и водонефтяной эмульсией из этой нефти.
Расчёты показали, что в случае насыщения пористой среды и полости водонефтяной эмульсией или нефтью затухание импульса в полости может быть сильнее, чем при насыщении водой, и наблюдаются большее затухание и меньшая глубина проникновения возмущений в окружающее пористое пространство.
Уместно отметить, что предлагаемые в литературе подходы к осуществлению контроля качества гидроразрыва и расположения трещин акустическим зондированием и гидропрослушиванием можно обосновать результатами анализа последней задачи. Волны в пласте вокруг скважины быстро затухают из-за цилиндрической симметрии процесса («растекания» волны) в то время, как волна в трещине является одномерным процессом с плоской симметрией, и подобный механизм затухания отсутствует. Следовательно, волна по трещине распространяется на большие расстояния.
Заключение
Представлена математическая модель, используемая для исследования волновых процессов в пористых средах. Описаны два метода численного решения приведённой системы уравнений — метод Фурье, позволяющий исследовать поставленную задачу в линейном приближении, и метод Лакса— Вендроффа, дающий возможность получить решение задачи в нелинейной постановке. Продемонстрированы возможности этих методов на примере численного исследования задач о прохождении возмущения давления из флюида через пористый слой, о распространении и затухании акустических волн в пористой среде, насыщенной водонефтяной эмульсией, о распространении возмущения вдоль заполненной жидкостью цилиндрической полости, окружённой насыщенной этой же жидкостью пористой средой.
Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (Грант НШ-6987.2016.1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М. : Наука, 1973. 334 с.
2. Belloncle G., Franklin H., Luppe F., Conoir J. M. Normal modes of a poroelastic plate and their relation to the reflection and transmission coefficients // Ultrasonics, 2003. V. 41. P. 207-216.
3. Ефимов В. В., Семенцов Д. И. Фазовые соотношения при отражении и пропускании звуковой волны плоским слоем // Акустический журнал, 2001. Т. 47. № 6. С. 789-792.
4. Бойко А. И., Глазанов В. Е., Михайлов А. В., Тютекин В. В. Экспериментальные исследования элементов акустических экранов из резины с цилиндрическими каналами // Акустический журнал, 2003. Т. 49, № 1, С. 123-126.
5. Викторов И. А., Грищенко Е. К., Каекина Т. М. Исследование распространения ультразвуковых поверхностных волн на границе твёрдого тела с жидкостью // Акустический журнал, 1963. Т. 9. № 2. С. 162-170.
6. Губайдуллин А. А., Болдырева О. Ю. Распространение волн вдоль границы насыщенной пористой среды и жидкости // Акустический журнал, 2006. Т. 52, № 2, С. 201-211.
7. Yamamoto T. Propagator matrix for continuously layered seabeds // Bull Seism Soc Am. 1983. V. 73. P. 1599-1620.
8. Султанов А. Ш., Урманчеев С. Ф., Шагапов В. Ш. К решению задачи об отражении линейных волн в флюиде от насыщенного этим же флюидом пористого полупространства // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск. 2006. Т. 47. № 5. C. 16-26.
9. Кутушев А. Г., Рудаков Д. А. Математическое моделирование динамического нагружения слоя пористой порошкообразной среды сжатым газом // Математическое моделирование. 1991. Т. 3. № 11. С. 65-75.
10. Кутушев А. Г., Рудаков Д. А. Численное исследование воздействия ударной волны на преграду, экранируемую слоем пористой порошкообразной среды // Прикладная механика и техническая физика. 1993. № 5. С. 25-31.
11. Кутушев А. Г., Родионов С. П. Численное исследование влияния параметров слоя насыпной среды и падающей ударной волны на давление на экранируемой плоской стенке // Физика горения и взрыва. 1999. Т. 35. № 2. С. 105-113.
12. Кутушев А. Г., Родионов С. П. Взаимодействие слабых ударных волн со слоем порошкообразной среды // Физика горения и взрыва. 2000. Т. 36. № 3. С. 131-140.
13. Губайдуллин А. А., Дудко Д. Н., Урманчеев С. Ф. Моделирование взаимодействия воздушной ударной волны с пористым экраном // Физика горения и взрыва. 2000. Т. 36. № 4. С. 87-96.
14. Gubaidullin A. A., Britan A., Dudko D. N. Air Shock Wave Interaction with an Obstacle Covered by Porous Material // Shock Waves. 2003. V. 13. № 1. P. 41-48.
15. Gubaidullin A. A., Dudko D. N. Modelling of the Impact of Air Shock Wave on Obstacle covered by Porous Screen // Computational Mechanics. 2003. V. 31. № 6. P. 453-460.
16. Лукин С. В, Губайдуллин А. А., Урманчеев С. Ф. Закономерности отражения волн давления от твёрдых поверхностей, покрытых пористым слоем // Нефтегазовое дело. 2006. № 4. С. 35-40.
17. Fellah Z. E. A., Berger S., Lauriks W., Depollier C., Aristegui C., Chapelon J.-Y. Measuring the porosity and the tortuosity of porous materials via reflected waves at oblique incidence // J. Acoust Soc Am. May 2003. V. 113. № 5. P. 2424-2433.
18. Fellah Z. E. A., Depollier C., Berger S., Lauriks W., Trompette P., Chapelon J.-Y. Determination of transport parameters in air-saturated porous materials via reflected ultrasonic waves // J. Acoust. Soc. Am. November 2003. V. 114. № 5. P. 2561-2569.
19. Derible S. Debye-series analysis of the transmission coefficient of a water-saturated porous plate obeying Biot's theory // J. Acoust Soc Am. December 2005. V. 118. № 6. P. 3430-3435.
20. Губайдуллин А. А., Кучугурина О. Ю. Сферические и цилиндрические линейные волны в насыщенных жидкостью пористых средах // Теплофизика высоких температур. 1995. Т. 33. № 1. С. 108-115.
21. Губайдуллин А. А., Дудко Д. Н., Урманчеев С. Ф. Воздействие воздушных ударных волн на преграды, покрытые пористым слоем // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6. № 3. С. 7-20.
22. Болдырева О. Ю., Губайдуллин А. А., Дудко Д. Н., Кутушев А. Г. Численное исследование передачи ударно-волновой нагрузки экранируемой плоской стенке через слой порошкообразной среды и разделяющий их воздушный зазор // Физика горения и взрыва. 2007. Т. 43. № 1. С. 132-142.
23. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М. : Мир, 1972. 418 с.
24. Жилин А. А., Федоров А. В., Коробейников Ю. Г., Фомин В. М. Математическое моделирование механизма акустической сушки пористых материалов // Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т. 44. № 5. С. 102-117.
25. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М. : Наука, 1978. 336 с.
26. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М. : Наука, 1987. 464 с.
27. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. АН СССР, сер. Геогр. и геофиз., 1944. Т. 8. № 4. С. 134-149.
28. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid // J. Acoust Soc Am., 1956. V. 28. P. 168-191.
29. Nigmatulin R. I., Gubaidullin A. A. Linear waves in saturated porous media // Transport in Porous Media. 1992. V. 9. № 1,2. P. 135-142.
30. Губайдуллин А. А., Болдырева О. Ю., Дудко Д. Н. Взаимодействие акустических волн с пористым слоем // Теплофизика и аэромеханика, 2009. Т. 16, № 3, С. 455-470.
31. Отчёт о научно-исследовательской работе «Исследование влияния анакларида "рагена" на нефтеотдачу». Договор б/н, ООО «Реагент», Тюмень, 2006 г.
