МЕТОДИКА АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ УПРУГИХ ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОМ АНИЗОТРОПНОМ ПАКЕТЕ МЕЖДУ АНИЗОТРОПНЫМИ ПОЛУПРОСТРАНСТВАМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545

^Курнал теоретической и прикладной механики. №2(59) / 2017.

УДК 539.3:534.1

©2017. В.Е. Болнокин, И.А. Глухов, В.И. Сторожев

МЕТОДИКА АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ УПРУГИХ ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОМ АНИЗОТРОПНОМ ПАКЕТЕ МЕЖДУ АНИЗОТРОПНЫМИ ПОЛУПРОСТРАНСТВАМИ

Рассматривается построение численно-аналитического решения пространственной задачи о распространении трехпарциальных локализованных упругих волн вдоль произвольно ориентированного направления в плоскости пакета из двух отличающихся по физико-механическим свойствам ортотропных деформируемых слоев произвольной толщины, расположенного между разнотипными ортотропными полупространствами. Рассмотрен случай идеального механического контакта плоских граней всех четырех составляющих волновода при условиях коллинеарности их упруго-эквивалентных направлений. Получено основное дисперсионное соотношение, проанализированы некоторые особенности топологических свойств траекторий действительных ветвей дисперсионных спектров при варьировании свойств компонентов волновода и описаны потенциально возможные механизмы предельного распределения скоростей исследуемых волн в высокочастотном коротковолновом диапазоне.

Ключевые слова: двухслойный ортотропный пакет, вмещающие ортотропные полупространства, идеальный механический контакт, трансцендентное дисперсионное уравнение, трехпарциальные локализованные волны, топологические особенности спектра, схема асимптотического анализа.

1. Введение и постановка задачи. Задачи волновой механики деформируемых сред составной многослойной структуры являются предметом интенсивных разноплановых исследований на протяжении нескольких последних десятилетий [1—4], однако несмотря на это в характеризуемой проблематике имеется целый ряд актуальных малоисследованных вопросов. Так, описание свойств локализованных упругих волн в деформируемом слое или пакете слоев, заключенном между вмещающими деформируемыми полупространствами, по целому ряду аспектов до сегодняшнего дня остается весьма малоисследованной проблемой, имеющей при этом широкий круг актуальных современных приложений по совершенствованию методологической базы геоакустических технологий, методов ультразвукового зондирования пластов полезных ископаемых [5, 6].

Указанные исследования также представляют интерес для прикладной механики композиционных материалов и акустоэлектроники [2, 3, 7].

Можно отметить, что задачи о распространении в объектах рассматриваемой структуры локализованных сдвиговых волн SH типа в случаях различных предположений о свойствах слоя и полупространств составляют наиболее доступный для анализа класс подобных задач [8-15]. Характеризуя результаты исследований по описанию дисперсионных спектров, кинематических и энергетических свойств локализованных упругих волн Р^У типа, либо локализованных трехпарциальных волн, распространяющихся вдоль слоя или пакета слоев, контак-

тирующего по внешним граням с вмещающими деформируемыми полупространствами, можно, прежде всего, указать работы [16-19], в которых получены и в определенной мере исследованы дисперсионные соотношения для изотропного слоя, окруженного однотипными по физико-механическим свойствам изотропными идеально упругими полупространствами. Изучены случаи распространения локализованных SH и Р-$У волн с симметричными и антисимметричными толщинными формами колебательных движений в рассматриваемой составной волноводной структуре в случаях, когда вмещающие полупространства являются изотропными. В работах подобные исследования обобщены на вариант задачи, в которых слой и эквивалентные по физико-механическим характеристикам вмещающие полупространства являются трансверсально-изотропными [19-24]. При этом рассмотрены случаи идеального либо неидеального контакта слоя с полупространствами. Можно также отметить, что в работе [25] волновод рассматриваемой структуры рассматривается как предельный вариант трехслойной пластины с идеальным контактом составляющих и неограниченно возрастающими толщинами внешних вмещающих слоев. В работе [26] рассмотрена задача о распространении упругих волн в окрестности тонкого анизотропного слоя. Осуществлён вывод интегральных уравнений для перемещений сплошной среды в окрестности слоя и предложен метод для их решений. Результаты численного анализа представлены в виде графиков амплитуд антисимметричной моды Р-SV-поляризации, распространяющейся вдоль слоя. В работах [27-29] представлены исследования дисперсионных свойств трехпарциальных локализованных упругих волн, которые распространяются вдоль ортотропного слоя, заключенного между эквивалентными по свойствам ортотропными полупространствами. В публикации [30] представлены качественные аналитические результаты теоретических исследований по построению дисперсионного соотношения для волновода в виде заключенного между полупространствами и идеально контактирующего с ними слоя в случае, когда материалы всех составляющих принадлежат произвольному классу анизотропии.

В контексте представленной краткой характеристики результатов исследований по рассматриваемой проблеме, данная работа посвящена открытой задаче построения и качественного исследования дисперсионного соотношения, описывающего спектры трехпарциальных локализованных упругих волн воль произвольно ориентированного направления в плоскости двухслойного ортотропного пакета, который расположен между разнотипными вмещающими ортотропны-ми полупространствами. Рассматриваются пакеты из отличающихся по физико-механическим свойствам ортотропных деформируемых слоев произвольной толщины, расположенного между разнотипными ортотропными полупространствами, и случай идеального механического контакта плоских граней всех составляющих волновода при условиях коллинеарности их упруго-эквивалентных направлений. Задача заключается в получении основного дисперсионного соотношения и описании некоторых особенностей топологических свойств траекторий действительных ветвей дисперсионных спектров при варьировании свойств ком-

понентов волновода и ориентации направления распространения. Анализу подлежат также потенциально допустимые варианты предельного асимптотического поведения и распределения скоростей исследуемых волн в высокочастотном коротковолновом диапазоне.

2. Получение основного дисперсионного соотношения. Рассматривается занимающий область

Vs = V(+) U V U V(-) (1)

волновод в виде заключенного между деформируемыми полупространствами V(-) и V(+) упругого двухслойного тела V, компоненты которого имеют в отнесенных к нормирующему параметру R* безразмерных прямоугольных координатах 0х\х2хз описания

V(-) = {(Х1,Х2) е R2; хз <-h11}, V(+) = {(xiX е R2; хз > h2], (2) V = ViU V2 = {(xi,X2) е R2; -hi < хз < 0}[j{(xi,x2) е R2, 0 < хз < h2},

и составлены из прямолинейно-ортотропных материалов с коллинеарными, ориентированными вдоль координатных осей одноименными упруго-эквивалентными направлениями. Полагается, что физико-механические свойства вмещающих полупространств V(+), V(-) не идентичны и отличаются от физико-механических свойств составляющих пакет слоев Vp (р = 1,2). Каждый из компонентов волновода соответственно характеризуется девятью независимыми отнесенными к нормирующему параметру с* модулями упругости cj, c(+), cj ) (ij = 11, 22, 33, 12, 13, 23, 44, 55, 66), а также плотностями p(p), р(+), р(-).

Для волновода с описанной структурой подлежат анализу процессы распространения в его плоскости локализованных гармонических упругих волн с круговой частотой ш вдоль произвольно ориентированного направления в первом квадранте координатной плоскости Ox1x2, составляющего угол ф (0 < ф < п/2) с осью 0xi (ni = cosф, n2 = sinф). Распространение исследуемых локализованных волн описывается спектральной краевой задачей, включающей системы уравнений волнового деформирования для всех компонентов волновода и краевые условия их идеального механического контакта.

На первом этапе реализации процедуры получения аналитической формы основного дисперсионного соотношения осуществляется аналитическое интегрирование систем дифференциальных уравнений волнового деформирования для составляющих орторопного двухслойного пакета, записываемых в форме

Ljd ,д2 ,дз ,dt)u() (xi,x2,x3,t) = 0 (3)

где

L<g(fh ,д, дз, д) = сЙЧ2 + + с^д2 - р(р)д2, L%¡(fh ,д, дз, д) = + с2?д2 + С^д2 - P(p)dt2,

ь33 (д1,д2, д, д) = 4?д2 + 4^2 + 4?дз2 - Р(р)д2, 4Р2)(д1,д2,дз,д4) = ¿2Р1)(д1,д?,дз,д4) = (с(р) + 4?)д1д2, ^1Рз)(д1,д2,дз,д4) = ¿3Р)(д1,д2,дз,д4) = (с(р) + 4?)^,

¿2з)(д1,д2, дз, д) = Ьз2>(д1,д2, дз, д) = (4? +

д? = д/дх?, дг = д/д1.

При подстановке в (3) исходных представлений для комплексных функций упругих перемещений в исследуемых волнах с волновыми числами к, имеющих вид

п(р)(хьх2,хз^) = (А(+ со8(Л(р)хз) + аР 81п(Л(р)хз))Е(ш,к,П1 ,п)

и = т^]Р = М).

(4)

4Р)(хьх2,хз,£) = (А(+ 81п(Л(р)хз) + а(- С08(Л(р)хз)№,к,П1,П2), к, п1,п2) = ехр(—— к(п1х1 + п2х2)),

соотношения (3) трансформируются в системы линейных алгебраических уравнений

С$(\)АЫ= О а,з=Ш (5)

где

СП(Л) = О2 — к2(сцп\ + евбП2) + е55Л2, ^22 (Л) = П2 — к2(сббп1 + С22П2) + С44Л2, Сзз(Л) = О2 — к2(с55п1 + С44п2) + сззЛ2,

(6)

С12 (Л) = ^21 (Л) = —к2(С12 + Сбб)п1п2, ^1з(Л) = Сз1(Л) = гк(С1з + С55 )п1Л, ^2з(Л) = Сз2(Л) = гк(С2з + С44 )п2Л.

С введением обозначений > 0, = 1,3) для корней бикубических

характеристических полиномов уравнений (4)

ей ■ (Л±Р))6 + 4± ■ (Л±Р))4 + 4± ■ (Л±Р))2 + е4± = 0 с коэффициентами

ы _ „(р)„(р)„(р)

<1± _ с33 с44 с55 >

<21 _ [с4Р4) (с53) + с5?)п1 + с5р)(с2р) +

С(Р)С(Р)(С(Р) п2 + С(Р) 2) С(Р)С(Р)(С(Р)п2 + С(Р) п2) -С33 С55 (С66 п1 + С22 П2) - с44 С55 (С55 п1 + С44 п2)-

С(Р)С(Р)(С(Р) п2 + ^2)^2 + [С(Р)С(Р) + С(Р)С(Р) + С(Р)С(Р)\02 -С33 С44 (С11 п1 + С66 п2)\^ + [с33 С44 + С33 С55 + С44 С55 \0 !

<31 _ [2(С2Р3 + с4Р4)(С(1Р3) + с5?)(С(1Р2) + С6Р6))п1п2--С33 (с12 + С66 ) П1П2 - (с13 + С55)) (с6б П1 + С22П2)П1-

-(С23) + С4Р4))2(СЙ) П2 + С6Р) П2)П2 + +с3Рз)(с6Р6)п2 + с2р) п2)(с(р) п2 + с6р) п2)+ +с4Р4)(с5Р5)п2 + С4Р) П2)(С(Р) П2 + с6Р) п2) + +с5Р)(с6Р6) П2 + с2Р)п2)(с5Р)п2 + с4Р)п2)\й4 + +[(С(1Р3) + с5?)2п2 + (с2р) + с4р))2п2 - с3р)(с6р)п\ + с2р)п2)-

С(Р)(С(Р)п2 I С(Р)п2) С(Р)(С(Р)п2 + С(Р)п2) С55 (С66 п1 + С22 п2) - С44 (С55 п1 + С44 п2)-

-с5?(с5?п1 + с4р)п2) - с3Рз)(сЙ)п2 + с6р)п2)-

-с^М + с6р)п2)\й2 02 + [с3р) + с4р) + с5р)\04,

<41 _ [СР + с6Р6 )2(с5? п2 + с4р)п2)п2п2-

-(с6р)п? + с2р) п2)(с5р)п? + с4р)п2)(с1р)п1 + +с6р)п2)\й6+ +[(с6р)п2 + с2р)п2)(с5р) п? + с4р)п2) + +(с6р) п21 + с2р)п2)(с1р) п21 + с6р)п2) +

+(с5Р5 п2 + с4р)п2)(с1р) п2 + с6р)п2)-

-(сР + с6р))2п1п2\й402 + 06-

-[(с6р) п1 + с2р)п2) + (с5р) п1 + с4р)п2) + (с1Р1)п1 + с6р)п2)\й204,

определяемых с применением формул Кардано

Л£2 = ±(^р) - /3)= 17з), ^ = АМ + Д(Р),

П2

(р)

пз

(р)

= -(А{р) + Б(р))/2 + Уз г((АМ - В(р})/2),

= -(А{р) + В{р))/2 - УЗ '¿((А^ - В{р))/2),

А(р) = (^Р/2 — Яр/2)1/з, В(р) = (—Я1р/2 — Ер/2)1/з, Яр = (Т*/3)г + (Яр/2)2, т; = —а2/3 + Ьр, Яр = 2(а,р/3)3 — арЬр/3 + Ср,

%> = 4±)М±\ Ьр = 4±)M±), ^ = ^М^

соответствующие им нетривиальные решения Аконструируются в виде представлений со структурой А= содержащих произвольные постоян-

( р )

ные коэффициенты

л(Р) = (Г(Р) (\(Р))Г(Р) (\(Р)) Г(Р) (\(Р))Г(Р) (\(Р)))П(Р) = в(Р) П(Р) А11± = (^12± (Л1±)^2з± (Л1±) — и22± (Л1±)^1з± (Л1±))и1± = в11±^1±,

А(Р) = (Г(Р) (Л(Р))Г(Р) (\Р) Г(Р) (Л(Р))Г(Р) (Л(Р)))П(Р) = в(Р) П(Р) А12± = (^1з± (Л1±^21± (Л1± ) — ^11± (Л1±)^2з± (Л1± ))и1± = в21± ^1±,

А(Р) = (Г(Р) (Л(Р))Г(Р) (\Р) Г(Р) (Л(Р))Г(Р) (Л(Р)))П(Р) = в(Р) П(Р) А1з± = (^11± (Л1±)^22± (Л1±) — и12± (Л1±)^21± (Л1±))^1± = Рз1±^1±,

А(Р) = (Г(Р) (Л(Р))Г(Р) (\Р) Г(Р) (Л(Р))Г(Р) (Л(Р)))П(Р) = в(Р) П(Р) А21± = (Ь12± (Л2±)Ь2з± (Л2±) — и22± (Л2±)Ь1з± (Л2±))-и2± = в12±и2±,

А(Р) = (Г(Р) (Л(Р))Г(Р) (\Р) Г(Р) (Л(Р))Г(Р) (Л(Р)))П(Р) = в(Р) П(Р) А22± = (Ь1з± (Л2±)Ь21± (Л2± ) — и11± (Л2±)Ь2з± (Л2± ))-и2± = в22± и2±,

А(Р) = (Г(Р) (Л(Р))Г(Р) (\Р) Г(Р) (Л(Р))Г(Р) (Л(Р)))П(Р) = в(Р) П(Р) А2з± = (Ь11± (Л2±)Ь22± (Л2± ) — и12± (Л2±)Ь21± (Л2± ))-и2± = Рз2± и2±,

Азр)± = (п2(с22± (Лз±)^зрз)± (Лзр±) — «21 (Лз±)^з:2)± (Лзр±))+

+ (п1(С1Рз± (ЛзРЬ)«з2)± (Лз±) — «1Р2)±(ЛзРЬ)«зз)± (Лз±)) = (7)

- в(р) п(р)

= в1з± ^з±,

Аз2± = (п2 («з1)± (Лз±)«зрз)± (Лзр±) — «2Р)± (Лз±)«з:з)± (лз±))+ +(п1(«1Р1)± (Лзръ)«зз)± (Лз±) — сзр1)±(Лзр))с1з)± (Лз±)) =

- в(р) п(р)

= в2з± ^з±,

Азр)± = (п2(с2Р1± (Лз±)«зр2)± (Лзр±) — «зр)± (лзр±))«2Р2)± (Лзр±))+

+ (п1(«зр)± (ЛзРЬ)«1Р2)± (Лз± ) — «11)±(лзрь)«з2)± (Лз± )) =

- я(р) п(р)

= Рзз± ^з±.

Введенные представления для коэффициентов обладают следующими свойствами

(А31± )щ =0 = 0, (Азр± )п2 =0 = 0; (А3р± )п1=о = 0, (А3р± )"2=0 = 0;

(8)

(А33± )П1 =0 = 0, (А33± )П2=0 = 0, устанавливаемыми с учетом соотношений

(^12± (А))Щ=0 = (^21)± (А))«1 =0 = (^12± (А))П2=0 = (^2Р± (А))П =0 = °

(^13±(А))«1 =0 = (^3Р±(А))«1 =0 = ° (^23±(А))«2=0 = (^32±(А))«2=0 = 0-

(9)

(р)

При условии, что величины А3± принадлежат тем ветвям корней характеристических уравнений систем (3), которые в предельных случаях щ = 0 и щ = 0 описывают нормальные волны SH—типа вдоль соответствующего координатного направления Ох^ в плоскости слоев, могут быть записаны представления вида

3

(р) (р) (р) (р) (р) (р) (р)

(Х1,Х2,Х3,г) = ес8(А^)х3) + П)?213%_ 81п(А<Р_Х3»

4=1

■Е(ш,к,п1,п2) (:) = 1,2),

(10)

(Х1,Х2,Х3,1) = Е^+вРЛ81п(А^)х3) + ^(-^(Р- ео8(А(_Х3))-4=1

■Е(ш,к,п1 ,п2),

которые обладают свойством предельного соответствия в описании структуры волновых полей для всего диапазона угловых параметров направлений распространения 0 < ф < ^/2 и могут быть эффективно использованы в дальнейшем теоретическом алгоритме получения верифицируемых дисперсионных соотношения для исследуемых трехпарциальных локализованных волн при задании соответствующих контактных краевых условий на противоположных гранях слоев.

По аналогичной схеме формируются и представления комплексных функций волновых упругих перемещений в областях, занимаемых вмещающими полупространствами. Для полупространства V(+) на основе задания исходных представлений

и(3+)(х1,х2,х3,1) = В^+ехр(-а+х3)Е(ш,к,П1,п2)и = 1,3) (11)

при условии Ке а+ > 0, система уравнений движения (3) трансформируется в линейные алгебраические уравнения вида

С++ (а+Щ+ = 0 (12)

В.Е. Болнокин, И.А. Глухов, В.И. Сторожев с выражениями С++ (а+), имеющими форму

(13)

С+1 (а+) = П2 - к2(ецп\ + С66П2) + с55а\,

С+2(а+) = П2 - к2(С66+ С22П2) + С44а+, С+з(а+) = П2 - к2(с55п\ + С44п2) + Сзза++,

С+2(а+) = С+1(а+) = -к2(с12 + С66)п1П2, С+з (а+) = С+ (а+) = -1к(с1з + С55)п1а+, С+з (а+) = С+2 (а+) = -гк(С2з + С44)п2а+.

С введением обозначений ад+ (уКеая+ >0, = 1,3) для корней соответствующего рассматриваемому случаю варианта бикубического характеристического полинома системы дифференциальных уравнений (3), для соответствующих этим корням нетривиальных решений системы (12) конструируются представления В-++ = с произвольными постоянными коэффициентами Од+

В(+ = (С+2(«1+)С+з(а1+) - С+2(а1+)С+,(а1+))С1+, в2+) = (С+з(«1+)С+1(а1+) - С+1(а1+)С+,(а1+))С1+, вз+) = (С+1 («1+)С+2(а1+) - С+2(а1+)С+(а1+))С1+, ВЦ = (С+2(«2+)С+з(а2+) - С+2(а2+)С+з(а2+))С<2+, в2++) = (С+з(«2+)С+1(а2+) - С+1 («2+)С+з(а2+))С2+,

Вз++) = (С+1 («2+ )С+2(«2+) - С+,(а2+ )С+(а2+))С2+,

В(3+ = (п2(С+2(аз+)С+з(аз+) - С+з(аз+)С+,(аз+)) +

+щ(С+з(аз+)С+2(аз+) - С+,(аз+)С+з(аз+)))Сз+, В+ = (п2(С+1 (аз+)С+з(аз+) - С+1 (аз+)С+з(аз+)) +

+щ(С+1(аз+)С+з (аз+) - С+(а:з+)С+з (аз+)))Сз+, В(++ = (п2(С+1 (аз+)С+,(аз+) - С+1 (аз+)С+,(аз+)) + +щ(С+1(аз+)С+2 (аз+) - С+(а:з+)С+2 (аз+)))Сз+,

и на этой основе записываются выражения вида

(14)

з _ (15)

= Ся+Пзя+ ехр(-ад+хз) • exp(-г(wí - к(п1Х1 + П2Х2))) (] = 1,3), 9=1

для компонентов вектора волновых перемещений в полупространстве V. При этом полагается, что величины аз+ принадлежат ветви корней характеристического полинома системы волновых уравнений для материала полупространства V (+\ описывающей в предельных случаях щ = 0 и П2 = 0 нормальные волны SH-типа вдоль соответствующего координатного направления Oxj в V (+).

Для полупространства V(-) на основе задания исходных представлений

и(~~\х\, Х2, жз, ¿) = В3_ ехр(а_жз) • Е (ш, к, «1, «2) = 1,3)

при условии , система уравнений движения (3) трансформируется в линейные алгебраические уравнения вида

С-(а-Щ- =0 (16)

с выражениями С-(а_), имеющими форму

С-1(а_) = О2 - к2(сип2 + Сббп2) + С55а-, С-2(а-) = О2 - к2(сббп1 + С22п2) + С44а-, С-3(а-) = О2 - к2(с55п1 + С44п2) + сзза-, С-2 (а-) = С-1(а-) = -к2(с12 + Сбб)п1п2, С-з (а-) = С-1(а-) = -гк(в1з + С55)п1а-, С-з (а-) = С-2(а-) = -гк(с2з + с44)п2а-.

С введением обозначений ая- (уКеая- > 0, д = 1,3) для корней соответствующего рассматриваемому случаю варианта бикубического характеристического полинома системы дифференциальных уравнений (3), для соответствующих этим корням нетривиальных решений Б^- системы (16) конструируются представления Б2д} = r|jq_Cq_ с произвольными постоянными коэффициентами Оя-

Б1- = (С12(а1-)С-з(а1-) - С22(а1-)С1з(а1-))С1-,

Б21_)= (С-з(а1-)С-1(а1-) - С-1 (а1-)С-з(а1-))С1-,

(17)

= (£-1(«1-)^22(«1-) - £-2(а1-1(а1-))С1-, = (С-2 (а2- )С-э(а2-) - С-2(а2-)С-з(а2-))С2-,

В2- = (£-3(а2-)С-1(а2-) - С-1(а2-)С-:з(а2-))С2-,

в3-- = (£-1 (а2-)G—2(a2-) - С-2(а2-)G—l(a2-))C2-,

(3) — — — —

В1-- = (П2(£22 (а3-)£зз(аз-) - £23 (а3-)£з2(а3-)) +

+П1(£-з(аз-)£-2 (аз-) - £-2(а3-)£-з (а3-)))С3- , 13)

= (п2(£-1 (аз-)£-з(аз-) - (аз-)£-з(аз-)) + +41^-^3-)£-з(аз-) - G—1(aз-)£-з(аз-)))Сз-,

13)

В33)

= (п2(£'-1 (а3-)£-2(а3-) - (а3-)G—2(а3-)) +

+П1(£-1(аз-)£-2(аз-) - £-1(аз-2(аз-)))Сз-, и на этой основе записываются выражения вида

Ц-)(Ж1,Ж2,Ж3,£) =

з

= Сд-Щд- ехр(ад-х3) ■ ехр(-г(ш1 - к{п\х\ + п2ж2))) (:) = 1,3), 9=1

(18)

для компонентов вектора волновых перемещений в полупространстве V(-). При этом также полагается, что величины аз- принадлежат ветви корней характеристического полинома системы волновых уравнений для материала полупространства V(-), описывающей в предельных случаях щ = 0 и П2 = 0 нормальные волны SH-типа вдоль соответствующего координатного направления Ох^ в V 3-).

Контактные краевые условия в рассматриваемой граничной задаче формулируются на всех поверхностях сопряжения в рассматриваемой структуре

и[~\х 1,ж2, -1г 1,1) = и[1\х1,х2, , и = 1,3),

{Х1,х2,-}г1,1) = <т1/{х1,х2,-]11,1) 0' = 1,3); и^-р (х\, Х2, о, ¿) = (х\, Х2, о, ¿) (У = 1,3),

<4? Ы>х2,0, ¿) = 4? Ы,х2, о, ¿) и = 173); (Х1,Х2,Н2,Ъ) = и{3+)(Х1,Х2,1г2^) и = 173), (жъ Х2, 1г2, ¿) = (жъ Х2, , ¿) О' = 173).

(19)

(20)

С учетом представлений для входящих в контактные условия механических напряжений

(Х1,Х2,Хз=

з

= Е^^Чв^ + С2Рз)п2в2р)+) + лд^^) «и^Н

д=1

+cq_)(гk(c(lpз)пфЦ- + с2Рз)п2в2р)-) - л2-сзз)<-) 8т(л(!_)Хз)]Е(ш, к, щ,п2),

з2

3

(Х1,Х2,Хз=

= ЕС? ^ (п2в2?+ - лй <+) «1п(л(1+Хз)+

4=1

+С(- (гкс4Р4) (п2взр- + л?-^-) со8(л)Р+хз)]£(^ к, щ, п2),

(Х1,Х2,Хз,£) =

з

= ЕС? ^5?(п^ - Л^РН)<+) 81п(А$хз)+ =1

+С2р} (гкс55 (п^- + Л^-вр-) со8(л2+х)]е(^, к, щ, п2), з

^з+) (Х1,Х2,Хз= Е Сд+(гк(с{+]пЩ1д+ + с2+)п2П2д+ )- (22)

4=1

-ад+с\+Пзд+) • ехр(-ад+хз)Е(ш,к,п ,п),

з

^з+)(Х1,Х2,Хз,^) = Е Сд+(гкс4++) (п2Пзд+ - ад+ П2д+))

д=1

• ехр(-ад+хз)Е(ш, к, щ,п2),

з

^з+)(Х1,Х2,Хз,^) = Е Сд+(гкс5++) (пщзд+ - ад+ П1д+))

д=1

• ехр(-ад+хз)Е(ш, к, щ,п2),

з

¿) = Е Сд-(гк(с1-) п1П1д- + с2з)п2П2д-) +

д=1

+ад-сз-)Пзд-) ехр(ад-Хз)Е(ш, к, щ,п2),

з

стз-)(Х1,Х2,Хз,^) = Е Сд-(гкс4-) (п2Пзд- + ад-П2д-))

д=1

• ехр(ад-хз)Е(ш, к, п1,п2),

з

СТз-)(Х1, Х2, Хз, ¿) = Е Сд-(гкс5-) (п1^зд- + ад-Щд-))•

д=1

• ехр(ад-хз)Е(ш, к, п1,п2),

из совокупности условий сопряжения (19) - (21) следует система соотношений, образующих однородную систему линейных алгебраических уравнений восемнадцатого порядка относительно неопределенных постоянных коэффициентов в представлениях полей волновых движений в компонентах рассматриваемой составной волноводной структуры

зз

У] Сд-^1,д + Е Сд+Лг,д+з + Е С<4- Дг,д+б = 0,

д=1 д=1 д=1

з

Е Сд+)д1+б,д+з + Е Сд-'Д1+б,д+б+ д=1 д=1

(23)

зз

+ Е Сд+)д1+б,д+9 + Е ^ Д1+6,д+12 = 0, д=1 д=1

з з з

ЕСд+)Д1+12>д+9 + Е Сд-'Д1+12,д+12 + Е Сд+Дг+12,д+15 = О =1 =1 =1

(1=Ш

Из представленных соотношений в качестве конечного результата следует дисперсионное уравнение для рассматриваемых локализованных волн, записываемое в форме равенства нулю определителя матрицы системы алгебраических уравнений

Р(ш, к) = ёе! \\AqmW (д, т = ТД8) (24)

с отличными от нуля элементами, задаваемыми выражениями: = ~'Ъд- ехР(-ад-Ь) и = ТТЗ; д = М), = С08(-Л^>1) и = 1Д д = М), Аз,д+з = 4?+8т(-Л^>1) (<? = М), Л^+б = 8т(-А^/г!) {] = ТД д = М), (25)

Аз,,+е = со8(-Л^/г!) (д = М),

А,+б,д+з = /^ 0' = М;9 = М), Л^+е =(<? = М),

з

А,+б,,+9 = и = М; <? = М),

А9,д+12 = -^}_ (<? = М), А^+12,,+9 = С08(А32>2) и = ТД <7 = М),

А15,д+9 = 8т(Л^Л2) (<? = ТТЗ),

А^+12,,+ 12 = 81п(Л^Л.2) = 1Д (? = М),

А15,д+12 = /4,- С08(Л^/г2) (<? = м), А^+12,д+15 = ехр(-ад+/г2) 0' = М; д = ТТЗ), Д4д = -('¡.кс^ (пгщу- + ехр(—Од-Ла) (9 = ТТЗ),

Д5д = -('¡.кс^(п2г]зя- + ад-Щд-) ехр(—Од-Ла) (9 = ТТЗ), Дбд = -(¿Й(с(1-) П1П1д- + ¿2з П2П2д- ) + +ад_4з),??зд-) ехр(-ад_/г!) (9 = ТТЗ), А1б,д+15 = -('¿/г45)(п1г?зд+ + ехр(-ад+/г2) (9 = ТТЗ),

А17,д+15 = -(гкс^(п2г]зд+ + ад+г]2д+) ехр(-ад+1г2) (9 = ТТЗ), Д 18,д+15 = -(гк(с(1+) П1П1д+ + с2+) П2П2д+) + +«д+4з)г?3д+) ехр(-ад+/г2) (9 = М), Д4,д+3 = (гкс{£ (пфЩ - Х^МЦ) 81п(-Л^>1) (д=Ш Д5,,+з = (гкс^ (п213Ц]+ - 81п(-Л^>1) (<? = М),

Дб,д+з = (¿к(с11з)П1^3д)+ + с£ ^) + /*£+) сов(-^Л1) (? = М), Д4,д+6 = (гкс^Ы/З^ +Л^^)_)со8(-Л^/г1) (9 = М), Д^+е = (¿Лс^^з?- +Л^^)_)со8(-Л^/г1) (9 = М), Дб,д+б = (¿к(с11з)П1^3д)- + 43 П2^3д)- )-

-А£-4з 4?-) (9 = М),

Ai2,,+3 = mc^n^ll + cgna/^V) + AiY4M;V) (9 = 1.3),

Дю.,+6 = (¿fccgini^L + A^MJ-) (<? = M),

An,9+6 = (¿fccgina^L + (<? = M),

Al2,g+9 = -(¿fcicgni^l, + 4з}«2^) + A^cg/^) (<? = M),

Ai0,,+12 = -{ik(§{n^_ + (<? = 173),

Aii,g+i2 = ^tegWg- + A^/fg}_) (<? = 173), AiM+э = -iik(§{n^+ - Asin(A<2>2) (<? = 173), A17,g+9 = - sin(A^/i2) (q = 173),

A1S,q+9 = -(^(4з + ^зП^+Н

+aS4?0 С08(Л^>2) (<? = M),

A1M+12 = (ikc^imp^l + A^L)cos(A<2>2) (<? = 173),

Ai7,g+12 = (n2f3^_ + ) cos( A ™h2) (q = M),

A1S,q+12 = (ik(c123 + 4з п2в22)-) —

-А^42з}^-)^(А^/г2) (9 = M).

3. Особенности топологических свойств траекторий действительных ветвей дисперсионных спектров. Особую роль в процессе анализа вопроса о существовании и топологических свойствах мод локализованных бегущих волн исследуемого типа при различных сочетаниях физико-механических и геометрических свойств слоев и окружающих полупространств играет исследование параметрических зависимостей в распределениях корней характеристических полиномиальных уравнений для систем дифференциальных уравнений стационарного динамического деформирования каждого из четырех компонентов волновода.

В области существования локализованных бегущих волн исследуемого типа на множестве {ш £ [0, те), k £ [0, те)} значения корней aq характеристического полинома для волновых уравнений в материале полупространства должны быть действительными. Соответственно множества изменений (ш,к) для каждого компонента волновода, характеризующегося своей совокупностью физико-механических постоянных, в общем случае могут быть подразделены на четы-

ре секторных подобласти, в которых значения Хд,ад сохраняют определенный постоянный тип. Границами этих подобластей, индексируемых в порядке появления против часовой стрелки при варьировании параметра 0 < ф < п/2 для материала каждого компонента волновода, являются оси Ок, ОО и лежащие между ними прямые

П = §^т,п2)к и = 173), (26)

где $]{п\,п2) (;) = 1,3) - упорядоченные по возрастанию положительно определенные действительные корни бикубического уравнения, множество которых имеет вид

$1,2(ГС1,ГС2) = (1/2)(сцп1 + с22п\ + сее) ± ((1/4)(сИП^ + с22«| + сее)2-

-сцсаап! - с22сееЩ - (с^ + 2с12сее - сис22)п1п2)1/2,

^з(П1,П2) = (с55п1 + с44Щ;)1/2, О = (рШ2Я*2/с*)1/2,

где Я*, с* - соответственно нормирующие параметры для величин с линейными размерностями расстояний и размерностями механических напряжений. Областью существования исследуемых локализованных волн является пересечение указанных секторных подобластей для материалов всех четырех компонентов рассматриваемого волновода, в котором корни всех характеристических уравнений являются действительнозначными. Соответственно данная область также имеет секторную форму и в ее пределах размещаются все моды бегущих локализованных волн для исследуемого волновода.

Для анализа реализующихся возможных механизмов высокочастотной коротковолновой локализации исследуемых волн вдоль характеризуемых углом 0 < ф < п/2 направлений в координатной плоскости ОХ1Х2 строятся двенадцать зависимостей от угловой координаты ф для скоростей трехпарциальных объемных волн г>т\ф) , Ут\ф) ,г>т (ф) , 1'т (ф) (т = 1, 3) в материалах всех четырех компонентов волновода; зависимостей от угловой координаты ф для скоростей обобщенных волн Стоунли (ф) вдоль всех трех имеющихся контактных плоскостей раздела компонентов волновода, а также значений характеристик ^3+) (ф) , V3-) (ф) , '^(ф) ^3^)(ф) с размерностями фазовой скорости, при которых характеристические полиномы уравнений волновой динамики для материалов соответствующих компонентов волновода имеют кратные корни. Роль значений характеристик '^(ф) в описании закономерностей высокочастотной коротковолновой локализации нормальных волн для анизотропных волноводов исследована в работах [31-32]. Далее, для каждого из значений угловой переменной ф определяется минимальное значение из элементов множества (ф) , 'т+)(ф) , 'т(ф), 4т) , '3+)(ф) , '{п)(ф) , (ф) }, и найденное таким образом значение отвечает реализующемуся варианту предельной асимптотической локализации исследуемых волн для данного направления распространения в высокочастотном коротковолновом диапазоне.

4. Выводы. Таким образом, в данной работе описана методика анализа процессов распространения локализованных упругих волн в двухслойном ортотроп-ном пакете, окруженном ортотропными полупространствами; в форме равенства нулю функционального определителя восемнадцатого порядка получено основное дисперсионное соотношение и приведены аналитические соотношения для расчета элементов дисперсионного определителя; охарактеризована роль анализа топологии областей постоянства типа корней характеристических полиномов систем уравнений движения для компонентов волновода при определении закономерностей в распределениях действительных ветвей анализируемых спектров и описана принципиальная схема анализа эффектов высокочастотной локализации волн деформаций вдоль произвольно ориентированных направлений в плоскости двухслойного ортотропного пакета, окруженного разнотипными орто-тропными полупространствами. Полученные результаты являются обобщением представленных ранее в работе [17].применительно к однородному плоскопараллельному ортотропному слою, заключенному между однотипными по свойствам ортотропными полупространствами.

1. Бабешко В.А. Динамика неоднородных линейно упругих сред / В.А. Бабешко, Е.В. Глуш-ков, Ж.Ф. Зинченко. - М.: Наука, 1989. - 344 с.

2. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах / Л.М. Бреховских. - М.: Наука, 1973. - 342 с.

3. Бреховских Л.М. Акустика слоистых сред / Л.М. Бреховских, О.А. Годин. - М.: Наука, 1989. - 416 с.

4. Гетман И.П. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов / И.П. Гетман, Ю.А. Устинов. - Ростов н/Д: Изд-во Рост. ун-та, 1993. - 144 с.

5. Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны / А.Л. Левшин. - М.: Наука, 1973. - 176 с.

6. Yilmaz Oz Engineering seismology with applications to geotechnical engineering (Investigations in geophysics series No. 17) / Oz Yilmaz. - CityplaceTulsa, StateOklahoma, country-region U.S.A.: Society of Exploration Geophysicists, 2015. - 964 p.

7. Космодамианский А. С. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред / А.С. Космодамианский, В.И Сторожев. - К.: Наук. думка, 1985.- 176 с.

8. Заславский Ю.М. Поперечные волны, возбуждаемые переменным силовым источником в слое и окружающем полупространстве. / Ю.М. Заславский, В.Ю. Заславский. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2009. - № 5. - С. 70-80.

9. Кайбичев И.А. Поперечные волны в неоднородном слое между двумя средами. / И.А. Кай-бичев, В.Г. Шавров. // Акустический журнал. - 1999. - Т. 45, № 1. - С. 81-85.

10. Ahmed S.M. Propagation of Love waves in an orthotropic granular layer under initial stress overlying a semi-infinite granular medium / S.M. Ahmed, S.M. Abd-Dahab // Journal of vibration and control - 2010. - V. 16(12). - P. 1845-1858.

11. Bhattacharya J. The possibility of the propagation of Love waves in an intermediate heterogeneous layer lying between two semi-infinite isotropic homogeneous elastic layers / J. Bhattacharya // Pure and applied geophysics. - 1969. - V. 72(1). - P. 61-71.

12. Kakar R. Love waves in an intermediate heterogeneous layer lying in between homogeneous and inhomogeneous isotropic elastic half-spaces / R. Kakar, M. Gupta // EJGE 19. - 2014. -Bund X. - P. 7165-7185.

13. Kakar R. Dispersion of Love wave in an isotropic layer sandwiched between orthotropic and prestressed inhomogeneous half-spaces / R. Kakar // Lat. Am. J. Solids Struct. - 2015. -Vol.12, No.10. - P. 1934-1949.

14. Kakar R. Love-type surface wave in an isotropic layer bounded between orthotropic and

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25

26

27

28

29

30

heterogeneous half-spaces under initial stresses / R. Kakar, S. Kakar // International journal of geomechanics. - 2017. - Vol. 17, Iss. 3. - P. 417-431.

Kumar S. Propagation of SH-wave in a corrugated viscous sandy layer sandwiched between two elastic half-spaces / S. Kumar // Journal Waves in Random and Complex Media - 2017.

- Vol. 27, Iss. 2 - P. 213-240.

Григорян В.Г. Локализованные акустичежие волны в слоистых структурах. / В.Г. Григорян, Л. Вендлер // Физика твердого тела. - 1991. - Т. 33, № 7. - С. 2120-2128. Wendler L. Acoustic interface waves in sandwich structures / L. Wendler, V.G. Grigoryan // Surface science. - 1988. - Vol. 206. - P. 203-224.

Ковтун А.А. Дисперсионные уравнения для пористого слоя био между упругими полупространствами / А.А. Ковтун // Вопросы геофизики. Ученые записки СПбГУ. - 2012 -№ 445 - C. 17-34

Глухов И. А. Симметричные упругие волны в трансверсально-изотропном слое между однотипными трансверсально-изотропными полупространствами / И.А. Глухов, В.И. Сто-рожев // Теоретическая и прикладная механика. - 2014. - № 8(54). - С. 114-122. Глухов И.А. Локализованные волны в анизотропном упругом слое между разнотипными анизотропными полупространствами / И.А. Глухов, В.И. Сторожев // Труды XVII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 14-17 октября 2014 г.). - Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2014. - С. 132-137.

Глухов И.А. Анализ дисперсии локализованных волн деформаций в поперечно-анизотропном слое между поперечно-анизотропными полупространствами / И.А. Глухов, В.И. Сто-рожев // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов IX Всероссийской школы-семинара (пос. Дивноморское, 26-30 мая 2014 г.).

- Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2014. - С. 43. Глухов И.А. Локализованные волны в анизотропном упругом слое между разнотипными анизотропными полупространствами / И.А. Глухов, В.И. Сторожев // Современные проблемы механики сплошной среды: Тезисы докладов XVII Международной конференции (Ростов-на-Дону, 14-17 октября 2014 г.). - Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2014. - С. 36.

Сторожев В.И. Локализованные P-SV волны в транстропном слое между транстропными

полупространствами при условиях скользящего контакта / В.И. Сторожев, И.А. Глухов

// Теоретическая и прикладная механика. - 2014. - № 9(55). - С. 71-81

Сторожев В.И. Локализованные антисимметричные волны в структуре «трансверсально-

изотропный слой между трансверсально-изотропными полупространствами» / В.И. Сто-

рожев, И.А. Глухов // Механика твердого тела. - 2014. - Вып. 44. С. 122-131.

Datta S.K. On ultrasonic guided waves in a thin anisotropic layer lying between two isotropic

layers / S.K. Datta // J. Acoust Soc. Am. - 2000. - V. 108. - P. 2005-2011.

Бужан В.В. Наспространение упругих волн в окрестности тонкого анизотропного слоя /

B.В. Бужан, А.С. Саморукова // Вестник ИМСИТ. - 2012. - № 3-4. - С. 47-53. Глухов И.А Симметричные трехпарциальные локализованные волны в ортотропном слое между ортотропными полупространствами / И.А. Глухов // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов Х Всероссийской школы-семинара (пос. Дивноморское, 25-30 мая 2015 г.). - Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета. - 2015. - С. 112.

Глухов И.А. Дисперсионные свойства локализованных упругих волн во вмещенном между ортотропными полупространствами ортотропном слое / И.А. Глухов, В.И. Сторожев // Труды Института прикладной математики и механики. - 2015. - Т. 29. - С. 41-50. Молотков Л.А. Исследование нормальных волн в пористом слое, окруженном упругой средой / Л.А. Молотков, А.А. Мухин // Зап. научн. сем. ПОМИ. - 2009. - Т. 369. -

C. 127-142.

Ting T.C.T. Steady waves in an anisotropic elastic layer attached to a half-space or between two half-spaces. A generalization of Love waves and Stoneley waves / T.C.T. Ting // Mathematics

and mechanics of solids. - 2009. - Vol. 14, No. 1-2. - P. 52-71.

31. Космодамианский А.С. Спектр симметричных нормальных волн в ортотропном слое / А.С. Космодамианский, В.И. Сторожев, В.А. Шпак // Теорет. и прикл. механика. - 1988. - Вып. 19. - С. 116-121.

32. Абрамова О.П. Дисперсия нормальных волн в ортотропном слое с закрепленными границами / Абрамова О.П., Сторожев В.И., Шпак В.А. // Акустический журнал. - 1996. -Т. 42, № 1. - С. 5-9.

V.E. Bolnokin, I.A. Glukhov, V.I. Storozhev

Methodology of analysis of processes of localized elastic waves propagation in a two-layer anisotropic structure between anisotropic half-spaces.

The construction of a numerical-analytic solution of the spatial problem of the propagation of three-partial localized elastic waves along an arbitrarily oriented direction in the plane of a packet of two orthotropic deformable layers of arbitrary thickness differing in physicomechanical properties, located between orthotropic half-spaces is considered . The case of an ideal mechanical contact between the plane faces of all four components of a waveguide under the conditions of collinearity of their elastically equivalent directions is investigated. The main dispersion relation is obtained, some features of the topological properties of the trajectories of the real branches of the dispersion spectra are analyzed for varying the properties of the waveguide components, and the potentially possible mechanisms of the velocity distribution of the investigated waves in the high-frequency short-wave range are described.

Keywords: two-layer orthotropic structure, surrounding orthotropic half-spaces, ideal mechanical contact,transcendental dispersion equation, three-partial localized waves, topological features of the spectrum, asymptotic analysis scheme.

ФГУП "Научно-исследовательский и экспериментальный ин- Получено 26.10.17

ститут автомобильной электроники и электрооборудования",

Москва

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк [email protected]