CC BY
40
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3
УДК 539.3 DOI 10.23683/0321-3005-2018-3-10-17
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ДИСПЕРСИОННЫХ СВОЙСТВ ТОПОГРАФИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ
© 2018 г. А.О. Ватульян1, Л.И. Паринова1
1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
ON THE INVESTIGATION OF DISPERSION PROPERTIES OF TOPOGRAPHIC WAVEGUIDES
A.O. Vatulyan1, L.I. Parinova1
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
Ватульян Александр Ованесович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: vatulyan@math.sfedu.ru
Паринова Любовь Ивановна - аспирант, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воро-вича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: parinovali@mail.ru
Alexander O. Vatulyan - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of the Theory of Elasticity Department, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: vatul-yan@math. sfedu.ru
Lyubov I. Parinova - Postgraduate, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: parinovali@mail.ru
Изучены волновые процессы в закрепленных на части границы упругих ортотропных топографических волноводах с треугольным, прямоугольным и трапециевидным поперечным сечением. Для исследования вопроса о нахождении скорости распространения волны использован вариационный принцип Гамильтона - Остроградского, сформирован соответствующий функционал. Произведено его упрощение в рамках моделей, близких к теориям анизотропных пластин переменной толщины, получен приближенный вид функционала, зависящего от одной функции. Его стационарное значение находится с помощью метода Ритца и приводит к исследованию однородной алгебраической системы, матрица которой зависит от двух спектральных параметров. Равенство нулю определителя системы дает дисперсионное уравнение, которое исследовано численно. Проведено изучение скорости сходимости процесса Ритца при отыскании точек дисперсионного множества в зависимости от числа координатных функций. Для ряда ортотропных материалов представлены графики дисперсионных кривых для исследуемых форм поперечного сечения, найдены частоты запирания для волноводов различного поперечного сечения, выявлены диапазоны отсутствия распространяющихся волн.
Ключевые слова: топографический волновод, упругая волна, пластина переменной жесткости, дисперсионное соотношение.
The wave processes in elastic orthotropic topographic waveguides with triangular, rectangular and trapezoidal cross-sections fixed on the part of boundary are studied. To investigate the problem offinding the velocity of wave propagation, the Hamilton-Ostrogradsky variational principle is used. The corresponding functional is formed. It is simplified in the framework of models close to the theory of anisotropic plates with variable thickness. An approximate form of the functional depending on a single function is obtained. Using the Ritz method the stationary value of the functional is found. The stationary value of the functional reduces to the study of a homogeneous algebraic system. The matrix of this system depends on two spectral parameters. Equality to zero of the system determinant leads to the dispersion equation, numerically investigated. A study of the Ritz process convergence rate is performed in the dependence on the number of coordinate functions. The plots of dispersion relationships for the cross-section shapes are present for a number of orthotropic materials. The locking frequencies are found. The ranges of the absence ofpropagating waves are revealed.
Keywords: topographic waveguide, elastic wave, variable hardness plate, dispersion relation.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
Введение
Исследования упругих волн с различной локализацией актуальны для приборостроения, сейсмологии, космической промышленности, акустоэлек-троники и дефектоскопии. В первую очередь интерес вызывают волны, которые не обладают дисперсией. Среди таковых отметим поверхностные волны релеевского типа и клиновые волны, которые стали предметом исследований относительно недавно. Под клиновыми понимаются волны, которые локализованы в окрестности ребра бесконечного пространственного клина. Отметим, что метод неразрушающего контроля использует клиновые волны для контроля за состоянием режущего оборудования, определения области и степени затупления; при помощи клиновых волн осуществляется контроль соответствия нормам кромок турбин и лопастей. В акустоэлектронике ребра клиновых волноводов используются как частотно-независимые отражатели поверхностных волн, преобразователи поверхностных и объемных волн. Также клинья подавляют ложные сигналы в фильтрах и линиях задержки. Достоинством клиновых волноводов являются низкая скорость распространения и отсутствие дисперсии. Отметим, что практический интерес вызывают и вопросы распространения волн в топографических волноводах, поперечное сечение которых представляет собой треугольник, трапецию, прямоугольник.
Первые исследования волновых процессов в топографических волноводах были проведены в 70-е гг. ХХ в. Бесконечный упругий изотропный клин рассматривался в качестве волновода впервые в 1969 г. в работе [1]. В [2-4] изучались особенности формирования волновых полей для бесконечного клина и клина конечной высоты, расположенного на упругом полупространстве. Для нахождения скорости волны использовался метод конечных элементов. Расчетные результаты сравнивались с формулами, полученными в рамках акусто-геометри-ческой теории. В работах [5, 6] описано исследование волновых полей с использованием метода ортогональных функций. В [7] найдены аналитические решения для представленного в виде пластины переменной толщины клина с малым углом рас-крыва, а также для другого частного случая - усеченного клина. В [8] рассмотрены волновые процессы, возникающие в упругом прямоугольном изотропном клине. Изучена зависимость между фазовой скоростью упругой волны, распространяющейся вдоль клина и локализованной вблизи его ребра, и коэффициентом Пуассона. В [9] изучаются упругие волны, которые возбуждаются на гранях клина внешними силами, а также клиновые волны,
NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3
рассеивающиеся на дефекте ребра. В работах [10, 11] осуществлено исследование волновых процессов в бесконечном клинообразном волноводе с учетом анизотропии материала при помощи геометро-акустического подхода. В [12, 13] с использованием вариационного принципа Гамильтона - Остроградского исследованы волновые процессы в орто-тропных бесконечных и ограниченных по высоте топографических клинообразных волноводах. В частном случае изотропного материала проведено сравнение результатов, полученных при помощи вариационного подхода, с аналогичными результатами в рамках геометро-акустической теории.
Таким образом, на данный момент волны, распространяющиеся вдоль ребра клина с малым углом раствора, исследованы при помощи следующих основных подходов: численно на основе метода конечных элементов, с использованием геометро-акустической теории, метода ортогональных функций и вариационного подхода.
Актуальным и по сей день остается вопрос о достаточных условиях существования волн в клинообразных волноводах, распространяющихся вдоль ребра клина. Впервые в 1974 г. с использованием обобщенного вариационного принципа было показано существование симметричных и антисимметричных мод клиновых волн и найдены условия их существования [14]. В работах [15, 16] было доказано существование клиновых волн, причем условия их существования формируются в зависимости от угла раствора клина. В [17] в изотропном случае представлены теоремы, в которых обсуждены вопросы существования волн, распространяющихся вдоль ребра бесконечного клина. В работе [18] доказано существование волн в топографических волноводах - остроугольных призмах, приклеенных к подложкам в виде полупространства; сделан обобщающий вывод о наличии локализованных волн в клинообразных волноводах с криволинейными границами.
Цель настоящей работы состоит в построении приближенной модели исследования волновых процессов и дисперсионных соотношений для ор-тотропных топографических волноводов на основе анализа задачи для ортотропной упругой пластины переменной жесткости, установлении зависимости скорости распространения упругой волны от геометрии поперечного сечения.
Постановка задачи
Топографический волновод представляет собой цилиндрическую поверхность с различным поперечным сечением. Наиболее часто изучаются такие структуры, когда сечение представляет собой клин
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 3
(бесконечный или конечный) либо конечный клин, расположенный на поверхности полупространства. При этом отыскиваются волны, распространяющиеся вдоль ребра. Топографические волноводы характеризуются сильной локализацией энергии волнового поля, слабыми дисперсией и затуханием.
В последние годы возрос интерес к исследованию волн в волноводах, поперечное сечение которых представляет собой усеченный конечный клин или прямоугольник.
Рассмотрим с единых позиций распространение поверхностной акустической волны вдоль упругого ортотропного топографического волновода с поперечным сечением £. Для простоты дальнейшего изложения будем считать, что £ представляет собой равнобочную трапецию. Свяжем с волноводом декартову систему координат, считая, что ось Х3 направлена перпендикулярно плоскости расположения трапеции £ и проходит через центр ее меньшего основания (рис. 1).
х,
h
п\ —-"""i у
1 --------- У
S
s
/
У
s
s --
/
/
У
S
У
п1
баний; Um(xj,x2) - амплитуды распространяющихся волн, i = V-Г.
Введем безразмерные параметры: уi, i = 1, 8; ß, ц.
Yl =
C
11
C
, Y 2 =
C
13
55
C
C33
у 3 = , у 4 =
55
C
55
C44
C55
Y 5 =
_ C12
C
у 6 =
55
66 55
У 7 =
У 8 =■
C
13
2,2
РЮ h 2u2 —-= ß,У h =ц.
С55 С55
Здесь Су - модули упругости ортотропной среды; р - плотность. В работах [12, 13] показано, что
исследование волновых процессов в волноводе может быть сведено к нахождению стационарного значения некоторого квадратичного функционала М
М [и, ] = 1М 0 а£, (1)
£
М0= (уАд +у5^2,2 + ¿У Ч$из)и1д + (У5П1Л +
+ У2U2,2 + iY У7U3)U2,2 + (У8U1,1 +У7U2,2 +
+ iy у3U3)iU3 + у6(UU + U2,1)(U1,2 + U2,1) +
+ (/'у U1 + U3,1)(/y U1 + U3,1) +
+ (/у U2 + U3,2)(/У U2 + U3,2)--ß (U2 + U 22 + U32),
где u3 = ui, j =
ЙХ;
Рис. 1. Поперечное сечение волновода / Fig. 1. The waveguide cross section
Будем считать, что граница Х1 = h защемлена, все остальные грани волновода свободны от нагрузок. Обозначим через 21 длину меньшего основания; -j — а - угол при основании трапеции. Будем
считать, что ¡¡к << 1.
Следует отметить, что случаи прямоугольного (а = 0) и треугольного (l = 0 ) поперечных сечений являются частными вариантами трапециевидного поперечного сечения.
В рамках концепции, представленной в статьях [12, 13], будем искать решение задачи для топографического волновода в виде
um (x1, x2, x3, t) = Um (x1, x2 ) e'(yx3 —rat), где
m = 1, 2, 3; у - волновое число; ю - частота коле-
Из условия стационарности функционала следует 8М[и ] = 0 . Требуется найти значение безразмерного волнового числа ц в зависимости от частотного параметра р, при котором вариационное уравнение имеет нетривиальное решение.
Модель пластины переменной жесткости
Колебания симметричной области £ можно разделить на две задачи (симметричные и антисимметричные колебания). В симметричном случае обычно отсутствуют изучаемые типы движений, поэтому далее будем рассматривать антисимметричный случай, считая, что компоненты амплитуд смещений и, (х1, х2) удовлетворяют соотношениям четности (нечетности) по координате Х2 : и1(Х1,-Х2) = "и1(Хьх2) , и2(х1,"х2) = и2(хЪх2) , и3(х1,-х2) = —и3(х1'х2) .
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 3
Примем далее следующие обобщенные гипотезы теории анизотропных пластин переменной жесткости:
и =-х2Г '(х ),
и2 = ж(х), (2)
и3 = -7 х2^(х\) •
Производя в (1) интегрирование по Х2, осуществляя замену переменной х^ = гН и учитывая гипотезы (2), получаем упрощенное значение функционала (1). Таким образом, задача исследования локализованных волн для рассматриваемого класса волноводов сводится к задаче отыскания стационарного значения функционала М:
M[W] = JM*dz .
* 2 / ч^
M 0 =-(zt + s)3
(3)
3
(у w2
yW2,zz - 2y8W,zzW + у3W2ц2 + 4 Wz
-ß(w
-ß(W,z2 - W v)
1
M (ci, C2-.Cn ) = J Midz, 0
(4)
где
где ку = ку (Р,ц), i,у = 1,2 . Например:
кп = Л$ + А,
- 56)/3 + (24ц - 336) г 2 5 + ((84ц- 840)52 - 84) г + + (168ц-1120У - 504 5
A =
1260
A =
1260
) t3 +
s +
+2W 2р(гг+5),
где обозначено г = tgа . Для нахождения стационарного значения функционала М[Ж] будем использовать один из приближенных методов - метод Ритца [19]. В соответствии с требованиями к координатным функциям решение ^(г) будем искать в классе функций, ограниченных при г = 0 и удовлетворяющих граничным условиям жесткого защемления при г = 1.
Представим решение в виде
2 М ( \
W = (г -1) 2 сиФи (г), причем в качестве функций
п=1
выберем систему фп (г) = гп-1, п = 1,2,... Тогда
функционал (3) примет вид квадратичной функции N переменных
М = М^,C2-.Cn) •
Например, при N = 2 , интегрируя (4) по г , получаем представление в виде квадратичной формы двух переменных
2 2 М(СЬ С2) = кцС1 + к12С1С2 + к22С2 ,
(3у 3Ц 2 +(224 - 56У8 )ц + 840yi) + (24у3ц 2 +(1344 - 336у 8 )ц + 3360у1) t2 + (84у 3ц 2 + (3360 - 840у8 )ц - 5040у1) ts 2 + (168у 3ц 2 +ц(4480 -1120у 8) + 3360у1) s
Условие стационарности функционала М дает линейную однородную систему относительно коэффициентов Ск , к = 1,2,...,N . Приравнивая определитель этой системы к нулю, получаем приближенное дисперсионное алгебраическое уравнение, связывающее р и ц.
Вычислительные эксперименты
Изучена сходимость метода Ритца при нахождении дисперсионных соотношений в зависимости от числа координатных функций. Расчеты проводились для материала с параметрами 71 = 3,15,
78 = 0,96, 73 = 3,72 (барит [19]), а в серии дальнейших вычислительных экспериментов принято
5 = 0,01 .
В табл. 1 представлены значения ц (р) при различном числе координатных функций. Результаты расчетов свидетельствуют о монотонном росте этих значений, что характерно для реализации метода Ритца [20]. Отметим, что при N = 8 достигнута стабилизация значений при расчете параметра ц для первых трех распространяющихся мод. При этом относительная разница значений ц, соответствующих N = 7 и N = 8, не превосходит 1 %.
Графики зависимости ц от параметра р для разных углов раскрыва приведены на рис. 2. Метками 1, 2, 3 обозначены первая, вторая и третья моды.
В табл. 2 представлена зависимость ц(а). С увеличением угла а значение ц уменьшается, сокращается количество распространяющихся мод, соответствующих одному и тому же Р .
1
+
3
0
х
+
х
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 3
Рис. 2. Графики зависимости ц от параметра р для материала барит (а = 3 , а = 60 ) / Fig. 2. The plots of the dependence ц on the parameter р for the barite (а = 30 , а = 60 )
Таблица 1
Значения ц (барит) для угла раствора усеченного клина а = 3 при s = 0,01 и N = 8 / Values ц (barite) for the angle of the truncated wedge solution а = 30 and s = 0.01 with N = 8
№ моды ß ц при числе координатных функций
N=3 N=4 N=5 N=6 N=7 N=8
1 1 37,762 37,763 37,806 37,818 37,818 37,819
2 60,827 60,902 60,965 61,006 61,007 61,010
3 79,341 79,657 79,712 79,783 79,788 79,791
4 95,294 95,973 96,008 96,107 96,119 96,121
5 109,527 110,652 110,669 110,789 110,810 110,812
6 122,498 124,127 124,131 124,268 124,299 124,300
2 1 - 0,418 0,846 0,885 0,885 0,886
2 16,539 16,655 17,147 17,242 17,245 17,247
3 27,417 27,417 27,984 28,148 28,158 28,159
4 36,132 36,177 36,791 37,036 37,058 37,059
5 43,667 43,846 44,480 44,815 44,856 44,857
6 50,432 50,813 51,444 51,877 51,943 51,944
3 6 - 0,637 5,5708 8,000 8,199 8,202
Анализ значений, приведенных в табл. 2, позволяет сделать вывод о наличии монотонной зависимости ц(Р) для всех ветвей дисперсионного множества.
На основе построенного алгоритма произведено сравнение дисперсионных множеств для волноводов с различными поперечными сечениями (трапециевидное, треугольное и прямоугольное), имеющих равные основания.
Проведено сравнение дисперсионных зависимостей (барит) N = 2 и N = 8 по методу Ритца. Рассматривались волноводы с трапециевидным, треугольным и прямоугольным поперечным сечением. Высота у всех трех сечений одинакова. У трапециевидного и треугольного поперечных
сечений а = 30 . Результаты сравнения представлены на рис. 3. Сплошной линией изображены дисперсионные ветви, полученные с помощью приближения по Ритцу при N = 2, точками -N = 8 .
В вариантах а и с (рис. 3) использование двух координатных функций дает достаточно точные результаты при описании двух первых дисперсионных ветвей в низкочастотной области. В случае Ь -двух координатных функций для нахождения дисперсионных зависимостей явно недостаточно. Для прямоугольного топографического волновода значения ц, найденные при N = 2 и N = 8, практически совпадают.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3
Таблица 2
Значения ц (барит) для усеченного клина при s = 0,02 , N = 8 и различных углах а / Values ц (barite) for a truncated wedge at s = 0.02 and N = 8 with different angles а )
№ моды ß | при а°
0,0 0,5 1 1,5 2,0 2,5
1 1 43,133 38,556 34,898 31,700 28,808 26,153
2 61,774 55,764 51,132 47,122 43,503 40,175
3 76,023 68,977 63,666 59,086 54,953 51,145
4 88,005 80,126 74,280 69,250 64,710 60,522
5 98,539 89,956 83,662 78,255 73,373 68,866
6 108,047 98,847 92,166 86,431 81,252 76,467
2 1 24,981 16,946 10,877 5,831 1,320 -
2 43,950 33,177 25,438 19,388 14,367 10,006
3 58,413 45,400 36,225 29,202 23,507 18,695
4 70,548 55,599 45,171 37,275 30,944 25,662
5 81,201 64,525 52,978 44,294 37,375 31,643
6 90,805 72,555 59,995 50,592 43,128 36,970
3 2 7,374 - - - - -
3 22,276 7,359 - - - -
4 34,738 18,288 6,071 - - -
5 45,660 27,724 14,695 4,280 - -
6 55,491 36,145 22,282 11,412 2,281 -
a be
Рис. 3. Дисперсионные зависимости для топографического волновода с трапециевидным (а), треугольным (b) и прямоугольным (с) поперечными сечениями ( N = 2 и N = 8 ) / Fig. 3. The dispersion relations for the topographic waveguide with the trapezoidal (a), triangular (b), and rectangular (c) cross sections ( N = 2 and N = 8 )
Отметим также, что дисперсионные кривые на представленных рисунках не выходят из начала координат. Для анализа резонансных ситуаций были найдены значения р при ц = 0, характеризующие нераспространяющиеся моды. В табл. 3 приведены
первые 4 значения для разных поперечных сечений. Наименьшие из этих значений характеризуют частоты запирания для таких волноводов, т. е. такие значения частотного параметра, когда появляются распространяющиеся моды в волноводе.
Таблица 3
Значения параметра р для трапециевидного, треугольного и прямоугольного поперечных сечений / The parameter values р for the trapezoidal, triangular and rectangular cross sections
Сечение ß
Трапециевидное 0,079 0,963 5,008 16,523
Треугольное 0,081 0,665 2,582 7,059
Прямоугольное 0,001 0,399 0,509 1,535
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 3
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 3
Заключение
На основе вариационного подхода и модели ортотропных пластин переменной жесткости сформирован способ изучения дисперсионных зависимостей для топографических волноводов с трапециевидным, треугольным и прямоугольным поперечными сечениями, изучены особенности применения метода Ритца при их анализе; выявлены некоторые закономерности строения дисперсионных кривых.
Литература
1. Ash E.A., De La Rue R.M., Humphryes R.F. Microsound Surface Waveguides // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1969. Vol. 17, No. 11. P. 882-892.
2. Lagasse P.E. Analysis of a dispersionfree guide for elastic waves // Electron. Lett. 1972. Vol. 8, No. 15. P. 372-373.
3. Lagasse P.E. Higher-order finite-element analysis of topographic guides supporting elastic surface waves // J. Acoust. Soc. Am. 1973. Vol. 53, No. 4. P. 11161122.
4. Lagasse P.E., Mason I.M., Ash E.A. Acoustic surface waveguides - analysis and assessment // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1973. Vol. MTT-21. P. 225-226.
5. Maradudin AA., WallisR.F., Mills D.L., BallardR.L. Vibration edge modes in finite crystals // Phys. Rev. B. 1972. Vol. 6. P. 1106-1111.
6. Moss S.L., Maradudin A.A., Cunningham S.L. Vibration edge modes for wedges with arbitrary interior angles // Phys. Rev. B. 1973. Vol. 8. P. 2999-3008.
7. McKenna J., Boyd G.D. Thurston R.N. Plate theory solution for guided flexural acoustic waves along the tip of wedge // IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1974. Vol. SU-21. P. 178-186.
8. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Свойства гармонических волн, распространяющихся вдоль ребра прямоугольного клина // Акуст. журн. 1981. Т. 27, вып. 2. С. 206-212.
9. Шанин А.В. Возбуждение и рассеяние клиновой волны в упругом клине с углом раскрыва, близким к 180° // Акуст. журн. 1997. Т. 43, № 3. С. 402408.
10. Крылов В.В., Шанин А.В. Влияние упругой анизотропии на скорости клиновых акустических волн // Акуст. журн. 1991. Т. 37, вып. 1. С. 130-133.
11. Shuvalov A.L., Krylov V.V. Localized vibration modes in free anisotropic wedges // J. Acoust. Soc. Am. 2000. Vol. 107, No. 1. P. 657-660.
12. Ватульян А.О., Паринова Л.И. Исследование клиновых волн в ортотропной среде // Вестн. ДГТУ. 2005. Т. 5, № 4 (26). С. 491-499.
13. Vatulyan A.O., Parinova L.I. On the elastic waves propagating along the edge of the wedge with small opening angle // Advanced Materials - Techniques, Physics, Mechanics and Applications. Springer Proceeding in Physics, Mechanics and Applications, Springer Proceeding in Physics / I.A. Parinov, Shun-Hsyung Chang. 2017. P. 309-319.
14. Tiersten H.F., Rubin D. On the fundamental antisymmetric mode of the wedge guide // Proc. IEEE Ultrasonic Symposium. 1974. P. 117-120.
15. Заворохин Г.Л. Назаров А.И. Об упругих волнах в клине // Записки научных семинаров ЛОМИ. 2010. Т. 380. С. 45-52.
16. Камоцкий И.В. О поверхностной волне, бегущей вдоль ребра упругого клина // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, № 1. С. 86-92.
17. Бирюков С.В., Гуляев Ю.В., Крылов В.В., Плес-ский В.П. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах. М.: Наука, 1991. 414 с.
18. Бабич В.М. Об одном классе топографических волноводов // Алгебра и анализ. 2010. Т. 22, № 1. С. 98-107.
19. Блистанов АА., Бондаренко В.С., Перемолова Н.В., Шаскольская М.П. Акустические кристаллы : справочник / под ред. М.П. Шаскольской. М.: Наука, 1982. 632 с.
20. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Гостехиздат, 1957. 476 с.
References
1. Ash E.A., De La Rue R.M., Humphryes R.F. Microsound Surface Waveguides. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1969, vol. 17, No. 11, pp. 882-892.
2. Lagasse P.E. Analysis of a dispersionfree guide for elastic waves. Electron. Lett. 1972. vol. 8, No. 15, pp. 372-373.
3. Lagasse P.E. Higher-order finite-element analysis of topographic guides supporting elastic surface waves. J. Acoust. Soc. Am. 1973, vol. 53, No. 4, pp. 1116-1122.
4. Lagasse P.E., Mason I.M., Ash E.A. Acoustic surface waveguides - analysis and assessment. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1973, vol. MTT-21, pp. 225-226.
5. Maradudin A.A., Wallis R.F., Mills D.L., Ballard R.L. Vibration edge modes in finite crystals. Phys. Rev. B. 1972, vol. 6, pp. 1106-1111.
6. Moss S.L., Maradudin A.A., Cunningham S.L. Vibration edge modes for wedges with arbitrary interior angles. Phys. Rev. B. 1973, vol. 8, pp. 2999-3008.
7. McKenna J., Boyd G.D. Thurston R.N. Plate theory solution for guided flexural acoustic waves along the tip of wedge. IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1974, vol. SU-21, pp. 178-186.
8. Grinchenko V.T., Meleshko V.V. Svoistva gar-monicheskikh voln, rasprostranyayushchikhsya vdol'
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 3
rebra pryamougol'nogo klina [Properties of harmonic waves propagating along the edge of the rectangular wedge]. Akust. zhurn. 1981, vol. 27, iss. 2, pp. 206-212.
9. Shanin A.V. Vozbuzhdenie i rasseyanie klinovoi volny v uprugom kline s uglom raskryva, blizkim k 180° [The excitation and scattering of the wedge wave in the elastic wedge with the opening angle close to 180°]. Akust. zhurn. 1997, vol. 43, No. 3, pp. 402-408.
10. Krylov V.V., Shanin A.V. Vliyanie uprugoi ani-zotropii na skorosti klinovykh akusticheskikh voln [Influence of elastic anisotropy on the velocities of acoustic wedge modes]. Akust. zhurn. 1991, vol. 37, iss. 1, pp. 130-133.
11. Shuvalov A. L., Krylov V. V. Localized vibration modes in free anisotropic wedges. J. Acoust. Soc. Am. 2000, vol. 107, No. 1, pp. 657-660.
12. Vatul'yan A.O., Parinova L.I. Issledovanie klino-vykh voln v ortotropnoi srede [The investigation of the wedge waves in the orthotopic medium]. Vestn. DGTU. 2005, vol. 5, No. 4 (26), pp. 491-499.
13. Vatulyan A.O., Parinova L.I. On the elastic waves propagating along the edge of the wedge with small opening angle. Advanced Materials - Techniques, Physics, Mechanics and Applications. Springer Proceeding in Physics, Mechanics and Applications, Springer Proceed-
ing in Physics / I.A. Parinov, Shun-Hsyung Chang. 2017, pp. 309-319.
14. Tiersten H. F., Rubin D. On the fundamental ati-symmetric mode of the wedge guide. Proc. IEEE Ultrasonic Symposium. 1974, pp. 117-120.
15. Zavorokhin G.L. Nazarov A.I. Ob uprugikh volnakh v kline [About elastic waves in a wedge]. Zapiski nauchnykh seminarov LOMI. 2010, vol. 380, pp. 45-52.
16. Kamotskii I.V. O poverkhnostnoi volne, begush-chei vdol' rebra uprugogo klina [On the surface wave traveling along the rib of the elastic wedge]. Algebra i analiz. 2008, vol. 20, No. 1, pp. 86-92.
17. Biryukov S.V., Gulyaev Yu.V., Krylov V.V., Plesskii V.P. Poverkhnostnye akusticheskie volny v neod-norodnykh sredakh [The surface acoustic waves in the inhomogeneous media]. Moscow: Nauka, 1991, 414 p.
18. Babich V.M. Ob odnom klasse topograficheskikh volnovodov [On the class of topographic waveguides]. Algebra i analiz. 2010, vol. 22, No. 1, pp. 98-107.
19. Blistanov A.A., Bondarenko V.S., Peremolova N.V., Shaskol'skaya M.P. Akusticheskie kristally [Acoustic crystals]. Handbook. Moscow: Nauka, 1982, 632 p.
20. Mikhlin S.G. Variatsionnye metody v matematich-eskoi fizike [Variational methods in mathematical physics]. Moscow: Gostekhizdat, 1957, 476 p.
Поступила в редакцию /Received
16 июля 2018 г. / July 16, 2018
