МОДИФИЦИРОВАННАЯ МЕТОДИКА АЛГЕБРАИЗАЦИИ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ В ЗАДАЧЕ О РАСПРОСТРАНЕНИИ УПРУГОЙ ВОЛНЫ СДВИГА ПО ВОЛНОВОДУ ИЗ СОСТЫКОВАННЫХ ПОД УГЛОМ ПОЛУСЛОЕВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545

^Курнал теоретической и прикладной механики. №2(59) / 2017.

УДК УДК 539.3:534.1

©2017. М.Н. Пачева, В.И. Сторожев, А.С. Телевной

МОДИФИЦИРОВАННАЯ МЕТОДИКА АЛГЕБРАИЗАЦИИ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ В ЗАДАЧЕ О РАСПРОСТРАНЕНИИ УПРУГОЙ ВОЛНЫ СДВИГА ПО ВОЛНОВОДУ ИЗ СОСТЫКОВАННЫХ ПОД УГЛОМ ПОЛУСЛОЕВ

Рассматриваются модифицированные процедуры получения систем линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложений волновых полей по базисным системам нормальных волн для задачи о движении сдвиговой гармонической волны по кусочно-однородному волноводу из состыкованных под углом ортотропных полуслоев. Для алгебраизации функциональных граничных условий контакта стыкуемых торцевых поверхностей предложено использовать методику обобщенной граничной ортогонализации систем функций, описывающих множества бегущих и краевых стоячих нормальных волн в компонентах волновода, а также включать в число контактных условий нелинейное соотношение баланса средних за период потоков мощности на поверхности сопряжения компонентов.

Ключевые слова: ортотропный упругий волновод, состыкованные под углом полуслои, нормальные волны сдвига, ряды по базисным волнам, функциональные условия контакта, модифицированные методы алгебраизации.

1. Введение. Одним из подходов к теоретическому численно-аналитическому исследованию задач о распространении нормальных упругих волн сдвига по кусочно-однородным волноводам [1-7], в том числе, волноводам из состыкованных под углом анизотропных полуслоев, является использование представлений волновых полей для компонентов составных волноводов в виде рядов по соответствующим базисным множествам бегущих и краевых стоячих волн с последующим определением коэффициентов этих рядов из алгебраизированных функциональных краевых условий контакта полуслоев. Повышение эффективности данного подхода на стадии численной реализации связано с применением различных альтернативных методик алгебраизации краевых условий в задачах данного типа [8-13], к числу которых относятся метод ортогональных рядов, несколько версий метода наименьших квадратов, метод коллокаций, энергетический метод. Однако опыт использования перечисленных методик алгебраиза-ции свидетельствует о необходимости дальнейших исследований по выработке оптимизированных схем поиска коэффициентов разложений по базисным множествам нормальных волн, обеспечивающих высокую точность удовлетворения краевым условиям в максимально широком частотном диапазоне. В той связи, целям данной работы является синтез новых альтернативных методик алгебра-изации, ориентированных на повышение уровня достоверности численных исследований в задачах волновой механики составных тел с функциональными краевыми условиями контакта компонентов, в частности методики, основывающейся на концепции обобщенной граничной ортогонализации базисных систем

элементарных частных решений волновых уравнений, а также на внесении в число контактных условий нелинейных соотношений баланса энергетических характеристик для полей нормальных волн на границах сопрягаемых составляющих волноводов.

2. Постановка задачи. В рамках синтеза упомянутых модифицированных методик рассматривается составное ортотропное тело из полуслоя Vi толщины 2hi с ортогональным к граням плоским торцом Г1 и полуслоя V2 толщины 2Л-2, h-2 = hi • sin a с плоской торцевой границей Г2, наклоненной на угол a по отношению к его нижней плоской грани. Торцевые поверхности Г1 и Г2 при стыковочном наложении образуют плоскость Г идеального механического контакта полуслоев Vi и V2. В телах Vi и V2 вводятся локальные координатные системы Ох^рх^х[j = 1,2), имеющие общий центр О, расположенный в центре Г. При этом во введенных координатных системах составные части волновода занимают области

cVi = < ж(11) < 0, x31) е [-hi,hi], x21) е (-те, те}}, V2 = {хЗ22/tga < x(2) < те, х32) е [—h2,h2], x^2 е (-те, те}},

-П (1) (2) / •

причем на контактой поверхности Г выполняется условие х3 = хЗ / sin a. Плоские граничные поверхности хЗ() = ±hi, х32) = ±h2 составных частей рассматриваемого волновода считаются свободными от напряжений.

Полагается, что из бесконечно удаленной зоны хЗ() — -те полуслоя Vi вдоль положительного координатного направления Ох(() к поверхности Г движется стационарная нормальная поляризованная вдоль Ox2() сдвиговая волна, принадлежащая некоторой моде дисперсионного спектра нормальных SH волн в слое со свойственными Vi характеристиками. При взаимодействии падающей волны с наклонной контактной поверхностью Г генерируется поле отраженных в Vi и преломленных в V2 SH волн. Определению подлежат комплексные амплитудные функции сдвиговых колебательных перемещений u2¡) (х3, хЗ!), t) в отраженных и преломленных волнах для составных частей волновода Vi , V2, удовлетворяющие уравнениям стационарных сдвиговых упругих колебаний антиплоской деформации для материалов полуслоев Vj с упругими постоянными c44) , Cgg* и плотностями р(3). Эти уравнения в случае отнесения всех переменных с размерностью расстояний к нормирующему параметру h*, а характеристик с размерностью механических напряжений - к нормирующему параметру с*, принимают вид

с(с44)+ С^дЗ - р(!)h2c-1d2)u2!) = 0, (1)

д, = д/дх, (j = 1; 3), dt = д/гЛ.

(j) (j) (j) (j)

После аффинного преобразования координат Ox( X3 в координаты Ох( X3 с использованием соотношений

X(j) = x(j) X(j) = .. х(!) ... = (с(!) /с(!)) 1/2 (о)

х1 = х1 , х3 = .3х3 , .3 = (с44/с66 ) ,

уравнения (1) трансформируются в классические волновые уравнения вида

(9? + д2 - ^е-1^)-^') =0. (3)

Поля колебательных волновых перемещений п2'?') (х?),х%подчинены краевым условиям на контактной поверхности Г

(41) )г = (п22) )г, (^г = (а® )г. (4)

В рамках использующегося для решения подобных задач подхода [8-13], для каждого из выделенных фрагментов У? вводится соответствующее удовлетворяющее уравнению (3) представление функции сдвиговых колебательных перемещений п?\х1) ,х3) , ¿) в виде ряда по базисной системе нормальных волн, включающей составляющие с различным типом симметрии по толщиной координате. В качестве падающей волны рассматривается распространяющаяся в У1 нормальная сдвиговая гармоническая волна круговой частоты ш с комплексной функцией колебательных перемещений пЗ^^х^Хз,^ = (х3) • ехр(—г(ш£ — к^х^) из моды с номером в объединенного спектра симметричных и антисимметричных нормальных волн антиплоской деформации в свободном ортотропном слое. В данном представлении и при записи ряда последующих соотношений рассматриваемой задачи индексация координатных переменных и параметров, связанная с номером ] составляющей У? волновода и переходом к нормированным величинам координат на основе соотношения (2), без ограничения общности опускается.

Поля волновых упругих перемещений, генерируемые в составных элементах У волновода, в рамках рассматриваемой методики представляются редуцированными разложениями по базисным множествам бегущих и стоячих сдвиговых волн с неопределенными постоянными весовыми коэффициентами А\ ), а амплитудные характеристики этих полей в подобластях продольных сечений О? составляющих У соответственно имеют вид:

N1

п?1)(х1,хз) = ^(хз) • ехр(—гй(1)х1)) + V] Ар^р(хз) • ехр^Ар^)),

Р=1 (5)

п22)(х1,хз) = £ АП2)фП2)(хз) • ехр(—гкП2)х1)) (хьхз) е О?, (6

(х1,хз) е О1;

N3

п=1

где

ер^ (хз) = по(ехр(—Л^) • ехр(шьхз) + ехр(шьЛ^) • ехр(—хз)), Рр(хз) = ехр(—ш^) • ехр(^рхз) + ехр^р^) • ехр(—г^хз),

(7)

фПЧхз) = ехр(—Ш2„^2) • ехр(г^2„хз) + ехр(ш2„^2) • ехр(—г^™хз), "1р = (р — 1)п/(2^1), ^2п = (п — 1)п/(2Л_2 ),

ck£) = (Q? + kf = (Q2 + 4,)1/2, Q2 = Pq /(^¿ih

Введенные представления u2^(xi,x3), u22)(x^x3) удовлетворяют уравнениям волнового деформирования для составляющих рассматриваемого тела, а также краевым условиям на свободных полубесконечных боковых поверхностях. Контактные функциональные граничные условия для амплитудных характеристик рассматриваемых полей на поверхности Г имеют вид:

(u« (x« ^ ))г = (u22) (xi2) ,x32)))r, (8)

(¿66 9iu21)(xi,xs))r = (¿66 ölu22)(xi,xs))r, (9)

Г : {x(11) = 0, x31) G [—hi,hi]} = {x^ = x^2)/tga, xf] e [-^2,^2]}.

Данные соотношения образуют систему функциональных уравнений относительно APpi, подлежащую алгебраизации на следующем этапе исследования.

3. Модифицированная методика алгебраизации. Предлагаются два модифицированных варианта алгоритма алгебраизации. Концепция первого из них базируется на использовании алгоритма обобщенной граничной ортогонали-зации множества функций, в ряды по которым разложены компоненты напряженно-деформированного состояния полуслоя V2. Данный алгоритм основывается на процедуре ортогонализации систем функций по Шмидту [14]. При этом учитывается, что, представление

N1

u(i) (x(i) r(i)) = VA(i)F(i)(x(i) r(i)) =

u2,arp (xi ,x3 ) = / y Ap Fp (xi ,x3 ) = p=i

N1

Vp(x3i)) • exp^kj,1)xii)) (xii),x3i)) e Gi

p=i

(10)

в виде разложения по системе функций

^(х^,^)}Р°°=1 = Х4) • ехр^х^))}^ (11)

при введении скалярного произведения

/и _

ъ,= / (^1)(41\41))-^(1)(41))41)))гй41)) (12)

-к!

с учетом

{^(х11),х31))г}«1 = {(Vр(х3!)) • ехр^«х^))^ = {^(х^^, (13)

ввиду свойства Ьг

Чрд = J (ехр(—Ш1рН{) • ехр(г^1рхз1)) + ехр(г^рН{) • ехр(—г^х^1 ))•

-Ьг (14)

•(ехр(ги1рЬ1) • ехр(—г^1рхз1)) + ехр(—г^Л^) • ехр(ш1рхз1)^^з^ =

Г 0, р = д; { = 0, р = д;

является ортогональным разложением на Г. Соответственно, при записи представления волнового поля во второй компоненте волновода У2 предлагается прейти от разложения

N2

п22)(х(12),хз2)) = £ А^Р2) (хз2)) • ехр(—г^хр) =

р=1

N2 (15)

= £ (x(l2),x32)) (х12),хз2)) е О2 р=1

фПЧх з) = ехр(—^2) • ехр(г^2„хз) + ехр(г^2„^2) • ехр(—хз)

(2) (2) (2)

по функциональному базису {^РР (х1 ), хз )) }^=1 к разложению по гранично-

42

N2

ортогонализованному функциональному базису {Ор2^ (х12) ,х!^2) )}2=1

(2)

'(х! ,хз) = Ар^О^ (х12) ,хз2) )(х1 ,хз) е О2 (16)

=1

со скалярным произведением Ьг

еря = \ ((ей)2(дОР2)(х12),хз2))/дх12))г • (дО(2)(х12),хз2))/дх12))г^2), (17)

-Ьг

вводимым с учетом представления

{(^2)(х12),хз2)))г}р°=1 = {(^(х^) • ехр(—гй(2)х12)))г}р°=1 = = {42)(хз2))ехр((—г^(2)/Ьда) • хз2))}р=1.

Применяемый алгоритм граничной ортогонализации описывается соотношениями

012) (х12),хз2) ) = в-11^12)(х12) ,хз2)), (18)

-1

Ор) (х12), хз2)) = (^2) (х12), хз2)) — ^ вркоОр (х12), хз2))) • в-1 (р > 2), (19)

к=1

в которых

р-1

„-1

вР3

к=1

V- = (срк - ^гЬз) • вкк {,< < I'1 (20)

р-1

врр = (ерр \врк\ ) 1 . (21)

рр рр

к=1

После реализации данной процедуры и подстановки получаемых таким образом представлений п21) (х11), х!^1)) и п22) (х12), х!^2)) в граничные условия (8), (9), обе части соотношения (8) поочередно умножаются на функции (^р1^ (х^ ,хз1)))г, обе части соотношения (9) поочередно умножаются на функции (д1Од2^(х12) х2)))г, и полученные соотношения интегрируются по хз1) на интервале хз1) е [—Л.1, Л.1]. В результате применения данного приема алгебраизации функциональные граничные условия (8), (9) сводятся к парной системе линейных алгебраических уравнений порядка N1 + N2 относительно коэффициентов Ар1, Ад2

N2

я=1

N1

42) + Ел£Ч1} = 42) (?=та). р=1

/ /и _

\-Ьг

Ьг ^ -1

где

[ ^(1)Гг(2) г{2))Р{1)(т{1) Г(1)Л с1г[1) J угр (х1 ,хз )Гр (х1 ,хз )у ихз

-Ьг

Ьг

А® = (/ (еб1^а1^1)(х11),хз1))д1О(2)(х11),хз1))] ^ Ьг г

г(2)9С(2)Гг(2) г{2))0{2)(т{2) г(2М с1г[1)

е66 дОя (х1 ,хз )Оя (х1 ,хз ) ) ахз Ьг г

Ьг

х(1) = / ^(1) (х(1) х(1) ^(1) (х(1) х(1) И ях{1)

°р = / 1 Гв (х1 ,хз )гр (х1 ,хз ) I ихз

р

-Ьг

Л1 __^ -1

[ ^(1)Гг(2) г{2))Г{1)(т{1) Г(1)Л с1г{1) / \гр (х1 ,хз )гр (х1 ,хз ) I ихз

-Ьг г

(22)

(23)

¿(2)

„(1) „(1)

х

3

) ) (1х

(1)

1

с(2)ос(2) (х(2) х(2))с(2) (х(2) х(2) п (х(1)

с66 (х1 , х3 )и! (х1 ,х3 ) I 3

рр (х(11) ,х31) )= ф(31)(х{з1) )ехр(-гй(1) х«). Система полученной структуры обладает комплексом преимуществ по показателям точности численного решения и удобству применения методики качественного анализа свойств квазирегулярности.

В качестве еще одного модифицированного приема алгебраизации функциональных граничных условий (8), (9) предлагается итерационный алгоритм, в рамках которого система линейных алгебраических уравнений (22) рассматривается совместно с нелинейным квадратичным по коэффициентам Ар1, А® условием баланса средних за период суммарных потоков мощности для волновых полей в стыкуемых фрагментах на контактной площадке Г

(24)

-к!

На первом шаге алгоритма коэффициент полагается равным нулю, а оставшееся множество коэффициентов определяется из системы линейных уравнений вида (22), имеющей порядок N1 + N2 — 1 и получаемой из (22) отбрасыванием уравнения с номером N1. Далее с учетом полученных значений коэффициентов

^¡Р ('Р = 1)^1 ~ 1)) Ад*' (д = 1,^2) соотношение энергетического баланса (24) трансформируется в нелинейное алгебраическое уравнение относительно величины = Ах + 1А1, имеющее вид

(2)

А$А$ + М (1) А« + М(2) А« = Я

N1

N

(25)

с коэффициентами

М(1) = М™ + ¿м(1) =

к!

-к!

N1-1.

С1)^1)(х(1) х(1)и р(1)(х(1) х(1))+ V А(1)р(1)(т(1) г^М (х

с66 (х1 ,х3 ) I (х1 ,х3 ) + 2-^! АР Гр (х1 ,х3 ) I I

(1)

р=1

М(2) = М® + Ш}2) = (гк{Ц

к!

-к!

_ / ЛГ1-1

(х

р=1

3

г

г

3

г

3

г

■ [ic66 ] 1 •

Равенства реальных и мнимых частей в комплекснозначном соотношении (25) могут быть записаны в виде

A2r + Aj + aR(Mr1 + mR2)) + AT (Mj2) - M{11) ) - Qr = 0, (26) ArM 1 + M(2) ) + A!(Mr - mR2)) - Q i = 0, (27)

откуда используя следствие из (27) в виде

A! = (qI - aR(м( 1} + м(2)))/(mR1) - MR2)) = a - А (28)

можно получить квадратное уравнение относительно Ar

(1 - e2)AR + (mR1} + MR2 - в(м(2) - м( 1 ) - 2ae)Ar+

(29)

+(a(Mj2) - m( 1}) + a2 - Qi) = 0,

и таким образом определить возможные значения А^. Эти значения на следующем шаге циклического алгоритма используются при последующем определении множества коэффициентов из системы линейных уравнений порядка N1 + N2 - 1, за которым вновь следует процедура определения значений А^. Вариант выбора корня квадратного уравнения (29) связан с использованием информации о тенденциях поведения значений в последовательности коэффициентов А^Р (р = 1, N\) и с отслеживанием фактора сходимости итерационного алгоритма.

4. Выводы. В результате проведенных исследований разработаны две модифицированные процедуры алгебраизации функциональных граничных условий контакта стыкуемых торцевых поверхностей в задаче о движении сдвиговой гармонической волны по кусочно-однородному волноводу из состыкованных под углом ортотропных полуслоев. Для получения систем линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложений волновых полей по базисным системам нормальных волн предложено использовать методику обобщенной граничной ортогонализации систем функций, описывающих множества

бегущих и краевых стоячих нормальных волн в компонентах волновода, а также включать в число контактных условий нелинейное соотношение баланса средних за период потоков мощности на поверхности сопряжения компонентов волновода, трансформирующееся в нелинейное алгебраическое уравнение и добавляемое к совокупности линейных алгебраических уравнений системы. Для получения решений систем с данной комбинированной структурой предложен итерационный алгоритм.

1. Миттра Р. Аналитические методы теории волноводов / Р. Миттра, С. Ли. - М.: Мир, 1974. - 327 с.

2. Гринченко В.Т. Отражение волн Лемба от границы раздела в составном волноводе / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая // Прикл. механика. - 1985. - Т. 21. № 5. - С. 121125.

3. Гетман И.П. Отражение и прохождение звуковых волн через границу раздела двух полуполос / И.П. Гетман, О.Н. Лисицкий // Прикл. математика и механика. - 1988. - Т. 52. № 6. - С. 1044-1048.

4. Гетман И.П. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов / И.П. Гетман, Ю.А. Устинов.- Ростов-на-Дону: РГУ, 1999. - 142 с.

5. Гончарова Г.Ю. Распространение звука в волноводе с изломом / Г.Ю. Гончарова, В.Т. Ма-цыпура // Акуст. вкт. - 1998. - Т. 1, № 2.- С. 57-64.

6. Городецкая Н. С. Дифракция волн Рэлея-Лемба на вертикальной границе в составном упругом волноводе / Н.С. Городецкая // Акуст. вкт.- 2000.- Т. 3, № 1.- С. 23-35.

7. Гринченко В. Т. Метод суперпозицп стосовно граничних задач для неоднор1дних хвиле-вод1в / В.Т. Гринченко, Н.С. Городецкая // Мат.-методи та ф1з.-мех. поля. - 2006. - 49, № 1. - С.20-30.

8. Сторожев В.И. Эффекты отражения и преломления нормальных волн сдвига в анизотропном упругом волноводе из состыкованных под углом полуслоев / В.И. Сторожев, Е.Ю. Павлюшина // Вкник Донецького ушверситету. Сер. А. Природнич1 науки. - 2008, № 2. - С. 69-74.

9. Пачева М.Н. Моделирование волновых процессов в изотропном слое с прямолинейным участком излома / М.Н. Пачева // Сучасш тенденцп розвитку математики та И при-кладш аспекти-2013: матер. II М1жнар. наук.-практ. штернет-конф. (21 травня 2013 р.).

- Донецьк: ДонНУбТ, 2013. - С. 97-99.

10. Пачева М.Н. Сдвиговые волны в анизотропном упругом слое с участком зигзагообразного излома / М.Н. Пачева // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: тр. VII Междунар. науч. конф. (п. Мелекино, 11-14 июня 2013 г.). - Донецк: ДонНУ, 2013.

- Т. 2. - С. 99-103.

11. Пачева М.Н. Прохождение сдвиговой волны по ортотропному волноводу из состыкованных под углом полуслоев / М.Н. Пачева // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов X Всероссийской школы-семинара (пос. Дивноморское, 25-30 мая 2015 г.). - Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2015. - С. 86.

12. Пачева М.Н. Моделирование волновых процессов в изотропном волноводе из состыкованных под углом полуслоев / М.Н. Пачева // Современные тенденции развития математики и ее прикладные аспекты-2015: матер. IV Междунар. научн.-практ. интернет-конф. (25 мая 2015 р.). - Донецк: ДонНУЭТ, 2015. - С. 51-54.

13. Сторожев В.И. Модифицированная схема алгебраизации функциональных граничных условий задачи о поперечных упругих волнах в Г-образном волноводе / В.И. Сторожев, М.Н. Пачева // Современные тенденции развития математики и ее прикладные аспекты-2017: матер. VI Междунар. научн.-практ. интернет-конф. (26 мая 2017 г.). - Донецк: ГО ВПО «ДонНУЭТ», 2017. - С. 45-48.

14. Космодамианский А. С. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред / А.С. Космодамианский, В.И. Сторожев. - К.: Наук. думка, 1985. - 176 с.

M.N. Pacheva, V.I. Storozhev, A.S. Televnoy

Modified methodology of algebraization of boundary conditions in problem of the propagation of shear elastic wave along a waveguide from two half-layer contacted with angle.

Modified procedures for obtaining systems of linear algebraic equations with respect to the coefficients of the expansion of wave fields in basis normal-wave systems for the problem of the motion of a shear harmonic wave along a waveguide from two half-layer contacted with angle are considered. To algebraize the functional boundary conditions of the contact of the end surfaces, it is suggested to use the generalized boundary orthogonalization method for systems of functions describing the sets of running and edge standing normal waves in the components of the waveguide, and also include the nonlinear ratio of the balance of power flows in the its components.

Keywords: orthotropic elastic waveguide, half-layer contacted with angle, normal shear waves, series in basis waves, functional contact conditions, modified methods of algebraization.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 19.09.17

[email protected]