АНАЛИЗ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СДВИГОВЫХ УПРУГИХ ВОЛН В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОМ ГЕОМАССИВЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.

№3 (80) / 2022.

УДК 539.3:534.1

doi:10.24412/0136-4545-2022-3-14-19 EDN:BOBAVC

©2022. В.Е. Болнокин, А.А. Глухов, В.И. Сторожев

АНАЛИЗ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СДВИГОВЫХ УПРУГИХ ВОЛН В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОМ ГЕОМАССИВЕ

Представлен новый вариант модели описания физико-механических свойств полубесконечного массива из трансверсально-изотропного функционально-градиентного геоматериала с ортогональными граничной плоскости осью изотропии и направлением непрерывной неоднородности, локализованной в приграничной зоне и асимптотически сглаживающейся в глубине массива. Применительно к предложенной модели решена задача аналитического интегрирования уравнения распространения гармонических упругих волн сдвига вдоль произвольно ориентированного параллельного граничной плоскости направления.

Ключевые слова: полубесконечный упругий массив, неоднородные анизотропные горные материалы, распространение сдвиговых волн, аналитическое интегрирование волнового уравнения.

Введение. При синтезе и исследовании актуальных прикладных моделей распространения сейсмоакустических упругих волн в полубесконечных массивах горных пород, важным элементом достижения адекватности соответствующих моделей реальным свойствам геомассивов является учет непрерывной неоднородности физико-механических свойств слагающих горных пород при отходе от граничной поверхности вглубь полупространства с асимптотическим выходом на стабилизированные постоянные значения в глубине массива в случае неограниченного увеличения расстояния от граничной поверхности [1]. Данное соображение учитывалось в [2] при исследовании вопроса о существовании и свойствах локализованных поверхностных упругих волн в упругом массиве с непрерывным законом неоднородности по всей его толщине, где построено приближенное решение соответствующих волновых уравнений. В работах [3-5] для описания отмеченных свойств использовался прием выделения в массиве сопрягаемых зон в виде приграничного слоя с непрерывной экспоненциальной тол-щинной неоднородностью физико-механических параметров и находящейся под ним полубесконечной области с постоянными характеристиками плотности и модулей упругости.

В контексте представленных соображений, целью настоящей работы является описание нового варианта модели учета непрерывной неоднородности физико-механических свойств полубесконечного поперечно-анизотропного геомассива, локализованной у его поверхности, а также разработка методики интегриро-

вания формулируемого в рамках данной модели уравнения распространения горизонтально-поляризованных упругих волн сдвигового типа.

1. Общая характеристика и основные соотношения модели. Рассматривается упругий трансверсально-изотропный функционально-градиентный полубесконечный геомассив, занимающий в координатном пространстве Ox 1X2X3 область

V ={(X1,X2) е R2,X3 > 0} , (1)

с ориентированными вдоль Ox-3 осью изотропии и направлением неоднородности. Для описания локализованной у его граничной поверхности X3 = 0 непрерывной неоднородности физико-механических свойств со снижающейся при отходе от границы вглубь полупространства количественной мерой и с асимптотическим выходом на стабилизированные постоянные значения в глубине массива при неограниченном увеличении | X31, предлагается использование в качестве функционального закона изменения плотности и упругих постоянных массива представлений вида

cij = j • V (А, в, X3), р = Ро • V (А, в, X3) (2)

(ij = 11,12,13,33,44) , v (А, в, X3) = exp (AeXp (-eX3)),

где А, в - действительнозначные параметры неоднородности; в > 0 при x3 ^ 0 .

При данном варианте описания закона неоднородности для полупространства, в его глубине

Cij ^ Cijo, р ^ ро,

а при малых значениях толщинной координаты X3 проявляется вид неоднородности в приграничной зоне массива. Параметр А описывает максимальный порядок возмущения (отклонения) соответствующей характеристики у граничной поверхности X3 = 0 от значения, асимптотически достигаемого в глубине полупространства при x3 ^ ж, а параметр в описывает форму закона изменения этой характеристики от приграничной зоны вглубь полупространства. Характер изменения зависимостей вида v (А, в, x3) = exp (Aexp (—вx3)) для ряда значений параметров А, в изображен на рисунке 1 (линия 1 отвечает значениям А = 0.1, в = 1-5; линия 2 - А = 0.1,в = 1-0; линия 3 - А = 0.1,в = 0.5; линия 4 -А = 0.1, в = 0.1 ) и дает представление о возможных вариантах описания этим способом свойств локализованной приграничной неоднородности.

Варьирование параметров А, в позволяет в определенной мере описывать экспериментально обнаруживаемые закономерности изменения свойств материала массива при отходе от его границы на основе предлагаемой теоретической модели.

При исследовании задачи о распространении горизонтально поляризованных сдвиговых упругих волн вдоль направления Oxi в плоскости изотропии массива соответствующие представления комплексных функций волновых упругих перемещений щ (X3,t) и напряжений ^12,^23 вводятся в виде

U2 = f (X3) • exp (-i (wt - kxi)), a 12 = cggdi^2,^23 = C44^3^2. (3)

Рис. 1. Профиль функции неоднородности

Подстановка выражений (3) в соответствующее динамическое уравнение для упругой среды

д\& 12 + дэо-23 - ръ,2 = 0, дд = д/дхд, (4)

с учетом соотношения

дз^2з = С440еЛе-вхз е-вХ (—Хв) /' + е44ое^*3 /",

(5)

приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами относительно функции /(хз)

—к2Сббо/ (хз) - С44оХве-вХ3/' + С440/" + Ро^2/ = 0,

которое приводится к унифицированному виду

/" — а2/ = 7е-вХ3 /',

-вхз

(6)

(7)

где

а

= (С660к2 — Ро^2) /С440, 7 = Хв.

(8

2. Методика интегрирования разрешающего уравнения модели. В

качестве аналитического подхода к интегрированию уравнения (7) может быть применен метод последовательных приближений. При этом вводится исходное представление

/ = /о + /1 + /2 + /з + ... + /р + ..., (9)

и задача сводится к построению решении рекуррентной последовательности дифференциальных уравнений

¡0' - а2/о = 0, /1' - а2Н = ^е-вхз/, .., Ц - а2/р = 7е-вхз... (10)

Представление для решения однородного уравнения относительно /о записывается в форме

/о = с+еахз + с- е-ахз (11)

с произвольными коэффициентами с+ ,с-. Соответственно данному представлению выбираются два исходных варианта задания /о = еахз и /о = е-ахз, на основе которых из рекуррентной последовательности (10) соответственно определяются два базисных решения (7).

Для варианта выбора /о = еахз из (10) могут быть поэтапно получены представления

/1 = А1е(а-в)хз, /2 = Л2е(а-2в)хз,..., /р = Аре(а-рв)хз,..

(12)

где

(13)

А\ = (а - в)2 - а2)" = 7^(в)2 - 2ав)~ ,

А2 = Ап (а - в) ((а - 2в)2 - а2) -1 = А17 (а - в) (Ъв)2 - 4ав) -1,...,

Ар = Ар-и (а - (р - 1) в) ((а - рв)2 - а2) 1 =

= Ар-а (а - (р - 1) в) ((рв)2 - 2рав) -1.

В итоге, для первого базисного частного решения (7) записывается явное аналитическое представление

/+ (хз) = еахз + ^ 7*

П=1

п

П(а - (р - 1) в) ((а - рв)2 - а2)

1

р=1

3(а-пв)хз

(14)

Соответственно, второе базисное решение (7) описывается представлением вида (14), в котором параметр а заменяется на -а.

В рассматриваемой области V отвечающее физическим условиям затухания интенсивности волновых движений при хз — ж решение (7) имеет вид

/- (хз)= е-ахз + £ 7п

п=1

п

П (-а - (р - 1) в) ((-а - рв)2 - а2)

р=1

1

е

(-а-пв)хз

(а> 0,в> 0).

(15)

Определяя для ряда в представлении (15) мажорирующий ряд

= £ г

n=1

n=1

n -1

П|(-а - (p - 1) ß)l ((-a - pß)2 - a2)

p=i

в области хз E [0, те] и используя признак Даламбера можно найти

lim (пп+i/Vn) = lim (Iy| (a + nß) / ((a + (n + 1) ß)2 - a2) ) = 0,

n^-ж n^-ж V V / /

что обосновывает равномерную абсолютную сходимость данного ряда.

Верификации полученных представлений (14), (15) для базисных частных решений (7) проведена также на базе применения к этому уравнению процедуры численного интегрирования с использованием встроенной процедуры пакета Maple; реализуемое подобным способом сопоставление показывает высокую точность соответствия получаемых результатов вычислений.

Рассчитанный в качестве примера график зависимости If- (хз)| (хз E [0,10]) при Л = 0.1, ß = 0.1 изображен на рисунке 2.

Рис. 2. Профиль функции \ (жз)|

Заключение. Полученные на основе вышеописанного подхода аналитические представления вида (14), (15) для амплитудных функций волн сдвигового типа могут быть использованы при численно-аналитическом решении задач о распространении волн деформаций в однородных и составных волноводных

структурах, компонентами которых являются полубесконечные трансверсально-изотропные функционально-градиентные упругие тела с локализованной у граничной поверхности непрерывной экспоненциальной толщинной неоднородностью физико-механических параметров [6]. Объектами данного типа являются, в частности, области геомассивов вне пластов полезных ископаемых, исследуемые геоакустическими методами. Так, представленные результаты позволяют усовершенствовать методику анализа закономерностей распространения локализованных сдвиговых упругих волн вдоль слоя-пласта, заключенного между упругими неоднородными полупространствами горных пород.

1. Капитонов А.М. Физические свойства горных пород западной части Сибирской платформы / А.М. Капитонов, В.Г. Васильев. — Красноярск: Сибирский фед. ун-т, 2011. -424 с.

2. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах / И.А. Викторов. — М.: Наука, 1981. — 142 с.

3. Birman V. Modeling and Analysis of Functionally Graded Materials and Structures / V. Birman V., L. W. Byrd // Appl. Mech. Rev. - 2007. - Vol. 60, N 5. - P. 195-216.

4. FGM: Design, processing and applications / Y. Miyamoto, W. A. Kaysser, B. H. Rabin et al. - Dordrecht: Kluwer Academic, 1999. - 434 p.

5. Yang Y.-H. Non-destructive detection of a circular cavity in a finite functionally graded Material layer using anti-plane shear waves / Y.-H. Yang, L.-Z. Wu, X.-Q. Fang //J. Nondestruc-tive Eval. - 2010. - Vol. 29. - P. 233-240.

6. Бирюков С.В.Поверхностные акустические волны в неоднородных средах / С.В. Бирюков, Ю.В. Гуляев, В.В. Крылов, В.П. Плесский. - М.: Наука, 1991. - 414 с.

V.E. Bolnokin, A.A. Glukhov, V.I. Storozhev

Analysis of the model of shear elastic waves propagation in a semi-infinite transversally-isotropic functional-gradient geomassif.

A new version of the model for describing the physical and mechanical properties of a semi-infinite array of a transversely isotropic functionally graded geomaterial with an isotropy axis orthogonal to the boundary plane and a direction of continuous inhomogeneity localized in the boundary zone and asymptotically smoothing in the depths of the array is presented. As applied to the proposed model, the problem of analytical integration of the equation for the propagation of harmonic elastic shear waves along an arbitrarily oriented direction parallel to the boundary plane is solved. Keywords: semi-infinite elastic massif, heterogeneous anisotropic rock materials, shear wave propagation, analytical integration of the wave equation.

ФГБУН "Ин-т машиноведения им. А.А. Благонравова РАН", Получено 01.07.2022

Москва

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк

Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy

of Sciences, Moscow

Donetsk National University, Donetsk

[email protected]