Распределение напряжений в слоистом массиве с вертикальной цилиндрической полостью Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

проектирование и конструирование

строительных систем. проблемы механики

в строительстве

УДК 517 DOI: 10.22227/1997-0935.2017.8.863-868

распределение напряжений в слоистом массиве с вертикальной цилиндрической полостью

Т.Н. Бобылева

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26

АННОТАцИЯ. Горные породы и основания сооружений из них обладают неоднородным составом. Неоднородность горных пород — причина их специфического поведения при деформировании. Уравнения в частных производных, с помощью которых описывается поведение многих таких материалов, содержат быстро меняющиеся коэффициенты, и решение таких уравнений требует немалого времени даже от современных компьютеров. В статье рассматривается слоистый массив, состоящий из попарно чередующихся изотропных упругих слоев. В результате усреднения упругих модулей данный массив с горизонтальным напластованием пород моделируется однородным трансвер-сально-изотропным полупространством с плоскостью изотропии, перпендикулярной к вертикальной оси. Полупространство ослаблено вертикальной цилиндрической полостью кругового поперечного сечения, нетронутый горный массив находится под действием собственного веса. На горизонтальных граничных плоскостях слоев задаются следующие два типа контактных условий: идеальный контакт и проскальзывание без отслоения. Для полученного однородного трансверсально-изотропного полупространства с вертикальной круговой полостью используется аналитическое решение С.Г. Лехницкого. Даны выражения для компонент напряжений и перемещений в массиве для различных краевых условий на поверхности полости.

Задачи такого типа необходимо решать при строительстве и эксплуатации сооружений, при использовании композитных материалов.

КЛЮчЕВЫЕ СЛОВА: строительство на слоистых массивах, горные породы, комбинированная среда, усредненная модель, трансверсально-изотропная среда

ДЛЯ цИТИРОВАНИЯ: Бобылева Т.Н. Распределение напряжений в слоистом массиве с вертикальной цилиндрической полостью // Вестник МГСУ 2017. Т. 12. Вып. 8 (107). С. 863-868. DOI: 10.22227/1997-0935.2017.8.863-868

STRESS DISTRIBUTION IN THE STRATIFIED MASS CONTAINING

VERTICAL ALVEOLE

__(D

T.N. Bobileva T

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), I

26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation K --^

ABSTRACT. Almost all subsurface rocks used as foundations for various types of structures are stratified. Such heterogeneity ^

may cause specific behaviour of the materials under strain. Differential equations describing the behaviour of such materials Q

contain rapidly fluctuating coefficients, in view of this, solution of such equations is more time-consuming when using today's S

computers. The method of asymptotic averaging leads to getting homogeneous medium under study to averaged equations H

with fixed factors. The present article is concerned with stratified soil mass consisting of pair-wise alternative isotropic elastic O

layers. In the results of elastic modules averaging, the present soil mass with horizontal rock stratification is simulated by S homogeneous transversal-isotropic half-space with isotropy plane perpendicular to the standing axis. Half-space is loosened by a vertical alveole of circular cross-section, and virgin ground is under its own weight. For horizontal parting planes of

K)

layers, the following two types of surface conditions are set: ideal contact and backlash without cleavage. For homogeneous 00

transversal-isotropic half-space received with a vertical alveole, the analytical solution of S.G. Lekhnitsky, well known in E

scientific papers, is used. The author gives expressions for stress components and displacements in soil mass for different □

marginal conditions on the alveole surface. Such research problems arise when constructing and maintaining buildings and с

when composite materials are used. ц

KEY WORDS: construction on stratified masses, subsurface rocks, combined environment, averaged model, transversal- ® isotropic environment

О

FOR CITATION: Bobileva T.N. Raspredelenie napryazheniy v sloistom massive s vertikal'noy tsilindricheskoy polost'yu «g

[Stress Distribution in the Stratified Mass Containing Vertical Alveole]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State w University of Civil Engineering]. 2017, vol. 12, issue 8 (107), pp. 863-868. DOI: 10.22227/1997-0935.2017.8.863-868

© Бобылева Т.Н., 2016 863

N О

со

о >

с во

N ^

2 О

н *

О

X 5 I н о ф ю

Строительство сооружений на основаниях, состоящих из горных пород, или внутри горных пород является актуальной проблемой, для решения которой требуется знать свойства горных пород и их реакции на то или иное воздействие. Горные массивы обладают неоднородным составом. Во многих областях механики, физики и техники встречаются подобные задачи для неоднородных материалов, т.е. материалов, содержащих чередующиеся объемы веществ с различными характеристиками. Уравнения в частных производных, с помощью которых описывается поведение многих таких материалов, содержат быстро меняющиеся коэффициенты. Для решения подобных задач можно рассматривать данную среду как макрооднородную, подчиняющуюся осредненным уравнениям с постоянными коэффициентами, которые называют эффективными, а замену исходной неоднородной среды на однородную — гомогенизацией. В общем случае полученная однородная среда является анизотропной.

Указанный метод усреднения развит в работах [1, 2], одним из первых его приложений были задачи теории упругости [3, 4]. Задача усреднения неоднородной упругой среды с использованием теоретических результатов решена в работе [5]. Исследовано напряженное состояние вертикального шахтного ствола в наклонно-слоистом массиве, моделируемом упруго-ползучим анизотропным телом [6], изучено напряженно-деформированное состояние в упругом горизонтальном слоистом массиве, содержащем вертикальную шахту [7].

С помощью метода асимптотического усреднения решаются и динамические задачи. Математическая модель малых перемещений вдоль оси построена для комбинированной среды, состоящей из взаимно чередующихся слоев вязкоупругого материала и вязкой сжимаемой жидкости [8]. Задача о прохождении плоской звуковой волны через композит конечной толщины со слоями упругого и вязкоупругого изотропных материалов решается также с использованием усредненной модели [9].

Статьи [10, 11] иллюстрируют применения метода усреднения в задачах упругопластического изгиба пластин. Для гетерогенных сред, состоящих из упругого и вязкоупругого материалов [12], а также из двух ползучих материалов [13], построена соответствующая усредненная модель, описывающая совместное движение слоев; получены эффективные модули упругости слоистой упруго-ползучей среды [14].

Неоднородные среды также могут иметь непрерывно меняющиеся характеристики. В исследовании [15] даны постановка и решение задач теории упругости, пластичности и ползучести непрерывно неоднородных тел, приведены примеры практических расчетов. Численный метод определения упругой деформации неоднородного цилиндра с учетом зависимости механических свойств матери-

ала от температуры представлен в работе [16]. Дано аналитическое решение одной из задач нелинейной теории упругости с учетом неоднородности, также рассмотрен пример вычисления распределения напряжений в неоднородном грунтовом массиве с цилиндрической полостью [17].

В данной статье используется метод моделирования напряжений слоистых горных пород, основанный на применении теории усреднения к теории упругости, с помощью которого, как было сказано, решаются задачи механики неоднородных сред с периодической структурой.

Горные породы, почти все без исключения, обладают выраженной в той или иной степени анизотропией и слоистостью, следовательно, поле напряжений и перемещений в горном массиве будет отличаться от случая изотропной среды. Неоднородность горных пород — причина их специфического поведения при деформировании.

Рассмотрим слоистый массив, ограниченный горизонтальной плоскостью, состоящий из взаимно чередующихся расположенных параллельно этой плоскости однородных слоев двух упругих изотропных материалов. В данном массиве имеется вертикальная полость, идущая от граничной плоскости, в виде цилиндра кругового поперечного сечения радиуса Яо. Массив и полость предполагаются полубесконечными. Задача состоит в том, чтобы определить напряжения в данном массиве в случае, когда объемная сила — это его вес.

Выберем цилиндрическую систему координат (г, 9, г) с началом в центре верхнего кругового сечения полости и осью г; направленной вертикально вниз. Уравнения равновесия и уравнения состояния для каждого из слоев, составляющих всю среду, имеют вид [18]

дСТг. +1 + | аг-сте _ 0.

дг г дв

дг

дстг,

1 дст„ дст„, 2СТг

_ + —

дв г дв дг г дстг, 1 д^в , дст, Стг

_ 0;

_+—

(1)

+—^+— + у_0; дг г дв дг г

стг _ (Х + 2ц)ег + цев + цег; Ств +(Х + 2ц)ев+це2; ст, _цег +цев+(Х + 2ц)е2; Стгв ег в;

Ств, ев,; стя ег, -

где с,, с9, сг — компоненты напряжений, е,, е9, ег — компоненты деформаций сплошной среды, X, д — постоянные Ламе, у — удельный вес породы. Поверхность полости свободна от нагрузок: с = 0 и с = 0 при г = Я .

г ^ А о

На горизонтальной граничной поверхности г = 0 выполняются условия с = 0 и с = 0

Распределение напряжений в слоистом массиве с вертикальной цилиндрической полостью

С.863-868

На горизонтальных граничных плоскостях слоев задаются следующие контактные условия:

• идеальный контакт: на плоскостях контакта слоев непрерывны три компоненты перемещений и, и , и и нормальная компонента напряжений сг, параллельная оси ог, т.е. [и] = 0, (. = 1,2,3) и [с ] = 0;

• проскальзывание без отслоения: на плоскостях контакта слоев непрерывны компоненты перемещений и и нормальных напряжений с, параллельных оси oz, [и ] = 0, [с ] = 0, а касательные напряжения на этих плоскостях равны нулю: с = 0, с. = 0.

Слоистые материалы являются частным случаем микронеоднородных материалов, для которых система уравнений равновесия элемента сплошной среды имеет быстро меняющиеся периодические модули упругости. Это приводит к задаче определения приближенного решения, которое удовлетворяет уравнениям теории упругости с построенными по первоначальным параметрам среды эффективными (усредненными), являющимися постоянными для всего массива, упругими модулями.

Метод усреднения неоднородной упругой среды базируется на построении асимптотического решения по отношению к периоду составной среды, который в данной задаче принимается равным единице. Дополнительно решаются граничные задачи на ячейке периодичности Y : {0 < г, 9 < да; 0 < г < 1}. Каждая ячейка Y состоит из двух слоев с разными механическими характеристиками. Существование и единственность таких решений были доказаны [1].

В данной задаче все модули упругости и удельный вес являются периодическими функциями ко-2

ординаты \= — (е — период ячейки) и являются в

кусочно-постоянными функциями этой переменной, т.е. модули упругости и удельный вес постоянны для каждого слоя:

К =■

У\ =■

ь =

Ц1, £е[0, И]; Ц2-^[1 — И, 1];

0 < И < 1.

с11 с12 с13 0 0 0 1

с22 с23 0 0 0

с33 0 0 0

с44 0 0

с55 0

V с66)

Здесь

с11 = с22 =(К + 2ц) +

= <к>-

К(К + 2ц)—

К2

(3)

где

С13 =С2з =К(К + 2ц)—^((К + 2ц)—^—1;

с33 =((Х + ; с44 = с55 = ; с66 =(ц).

1

(/) = ^ / С\ — операция усреднения по пе-

\К ^£[0,И]; 1К2, £е[1 — И,1];

е [0, И]; [у2>4 е [1 - И,1];

Симметричная матрица усредненной системы теории упругости имеет вид [2, 3]:

(2)

ременной

Формулы (3) получены для случая идеального контакта между слоями, составляющими горный массив. В случае же неидеального контакта, например выполнения условий проскальзывания без отслоения на граничных плоскостях слоев, формулы (3) сохраняются для всех упругих модулей, кроме двух модулей сдвига с44 = с55 = 0.

После усреднения упругих модулей имеем задачу для трансверсально-изотропной однородной упругой среды с модулями упругости, заданными матрицей (2). Связь напряжений и деформаций для нее имеет вид

сг = С11ег + С12е9 + С13е;

с9 = С12ег + С11с9 + С13^;

с=с13ег+с13с9 + с33^;

сг9 = 2(С11 - С12)ег..

Из этой системы уравнений выразим компоненты деформаций через компоненты напряжений [19]:

ег = «11сг + «12с9 + «13сг; е9 = «12сг + «11с9 + «13сг; ^ = а13сг + «13с9 + а33с ;

е9 = 2(а11 - а12)сг9.

Упругие податливости ар, = 1, 2, 3, 4) выражаются через модули упругости с.р, = 1, 2, 3, 4) в

данной задаче следующим образом:

_ — 2 2 _

„ _ С11 С33 . „ _ °12С33 .

Э11 _ Л ' а12 " Л '

А

С13 (2 _ ) .

А

С11 + С,-

(с11 + С12)С33 2с13

1 . - 1

а44 - а55 - ; —'

(4)

2((С11 - С12) С12) — 2с123]

После подстановки усредненных значений с..

где А = (с11 — с12 )[с33 (с11 + с12) — 2с12з].

+ из (3) в формулы (4) имеем

00

Ф

0 т

1

*

О У

Т

0

1

м

В

г

3

у

о *

8

О

■ч

2

с

12

с9г С44е9г;

с = с,,е ;

гг 44 п'

в9. = а44с9г;

2

2

(к + 2ц)-

к + 2ц

(( + 2ц)-(А.)) + 2ц) + (А.) -2

Я. + 2ц

к + 2ц

(( + 2ц)-(х)) + 2ц) + (А.) -2 к

к + 2ц

к + 2ц

(к + 2ц) + (х)-2

Я, + 2ц

1

Х + 2ц

l + 2ц' + 2ц) + (».)-2(

311 + 312

-yz

N О

со

о >

с

10

<n

2 о

н *

О

*

S I h

О Ф

ta

311 + 312

-yz

f Л

, R

1—^

' г2,

У

/ \ , R

1+R

V У

/ я. ^ (to* 1- V R2 о

\к + 2ц/ г2 У

( > R о

/ Я )(y)z 1 + ч

\Л, + 2ц г2 У

(у)z;

(Х2 + 2ц2)И + Х 2(А,т + 2цт)(1- h) + 2h)(A-2 + 2Ц2)

/ л

V "

V У

(5)

x[yTh + у 2(1- h)]z ^ (Х2 + 2ц2)И + А,2(А,1 + 2^)(1- h)

{ki + 2цп)^2 + 2Ц2) / \

12

+у2(1- h)]z ° =-[у^ +y 20-h)]z;

, R 1+R

V У

(8)

+ 2ц/

а44 = a55 1); a66 =W

В работе [19] при решении задачи о распределении напряжений в тяжелом массиве из транс-версально-изотропного материала с вертикальной цилиндрической полостью, имеющего плоскость изотропии, перпендикулярную оси z, получены следующие выражения для компонент напряжений (при условии, что ue = 0 и, следовательно, тл = 0, Tez = 0):

с = 0.

rz

Перемещения ur и uz будут соответственно равны

u __+^_(1)Л-

г ((А, + 2ц}"1)((( + 2ц)) г ' (Я. + 2ц)'

2 Ь)

(к(к + 2ц)"1)

(к + 2ц)-(А,у

z2 +

(y)Ro2ln г + С.

(9)

Напряжение с0 рядом с поверхностью круговой полости (г = R ) при 0 = const [19, 20]

сг„=- 2

+ 2ц/

Если внутри полости находится жидкость, то она действует на поверхность полости с давлением дг, и напряжения в этом случае составят

Л

(6)

+ 2ц к

Х + 2ц

/

(у); (у)-

1--^

' г2

qR

-z;

/

\ у

qR

Сг = "ТС с = 0.

гг

С коэффициентами, найденными по формулам (5), напряжения (6) представляют собой искомое решение задачи о слоистом массиве:

Если боковая поверхность полости жестко закреплена, например, трубой, то граничные условия на ней и = 0 и с = 0 при г = Я .

г гг 1 о

В этом случае полость не оказывает влияния на напряжения, они будут такими же, как и в массиве без полости. На стенку трубы массив будет оказывать давление

к

г \к + 2ц

М-

(7)

СТ г _-с = 0.

гг

Из формул (7) с учетом значений постоянных ламе и удельного веса для каждого слоя имеем:

С использованием значений постоянных ламе и удельного веса для каждого слоя эта формула будет иметь вид

(к2 + 2ц2)И + А, 2(Л,т + 2цт)(1- И) г + 2цп)^2 + 2ц2)

х[утИ + у 2(1- И)]г.

Таким образом, в результате усреднения упругих модулей слоистый массив с горизонтальным

2

2

2

а.„ =

12

2

313 =

2

2

2

333 =

a

13

а =

г

о =

г

2

г

a

13

a =

г

Распределение напряжений в слоистом массиве

С. 863-868

с вертикальной цилиндрической полостью

напластованием пород моделируется однородным тикальной цилиндрической полостью кругового

трансверсально-изотропным полупространством с поперечного сечения, нетронутый горный массив

плоскостью изотропии, перпендикулярной к вер- находится под действием собственного веса. тикальной оси . Полупространство ослаблено вер-

лИТЕРАТУРА

1. Олейник O.A., Иосифьян r.A., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных сред. М. : Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 199О. 311 с.

2. Бардзокас Д.И., Зобнин AM. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. М. : Едиторал УРСС, 2ОО3. 376 с.

3. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М. : Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 1984. 336 с.

4. Кристенсен Р. Введение в механику композитов : нер. с англ. М. : Мир, 1982. 334 с.

5. Bobyleva T.N. Approximate Method of Calculating Stresses in Layered Array // Procedia Engineering. 2О16. Vol. 153. Pp. 1О3-1О6.

6. Ержанов Ж..C., Aйmалuев Ш.М., Жубаев И.Ж. и др. Аналитические вопросы механики горных нород. Алма-Ата: Наука, 1969. 143 с.

7. Бобылева Т.Н. Напряженно-деформированное состояние слоистого горного массива с вертикальной шахтой // Научное обозрение. 2О16. № 24. С. 18-2О.

8. Шамаев A.C., Шумилова В.В. О спектре одномерных колебаний в периодической комбинированной слоистой среде // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2О11. № 4 (4). С. 1882-1883.

9. Шамаев A.C., Шумилова В.В. Прохождение плоской звуковой волны через слоистый композит с компонентами из упругого и вязкоупругого материалов // Акустический журнал. 2О15. Т. 61. № 1. С. 1О-2О.

10. Cавенкова М.И., Шешенин C.B., Закалюкина И.М. Применение метода осреднения в задаче унругонла-стического изгиба пластины // Вестник МГСУ. 2О12. № 9. С. 156-164.

11. Cавенкова М.И., Шешенин C.B., Закалюкина И.М.Сравнение результатов конечно-элементного анализа с результатами асимптотического метода осреднения в задаче упругопластического изгиба пластины // Вестник МГСУ. 2О13. № 8. С. 42-5О.

Поступила в редакцию в ноябрь 2016 г. Принята в доработанном виде в мае 2017 г. Одобрена для публикации в июле 2017 г.

Об авторе: Бобылева Татьяна Николаевна — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; [email protected]

REFERENcEs

12. Шамаев А.С., Шумилова В.В. Асимптотическое поведение спектра одномерных колебаний в среде из слоев упругого материала и вязкоупругого материала Кельвина—Фойгта // Современные проблемы механики : сб. стат. / под ред. В.В. Козлова, А.Г. Сергеева. М. : МАИК, 2016. С. 218-228. (Труды МИАН. Т. 295.)

13. Шамаев А.С., Шумилова В.В. Усреднение уравнений состояния для гетерогенной среды, состоящей из слоев двух ползучих материалов // Современные проблемы механики : сб. стат / под ред. В.В. Козлов, А.Г. Сергеев. М. : МАИК. 2016. С. 229-240. (Труды МИАН. Т. 295)

14. Bobyleva T.N. Method of Calculation of Stresses in the Layered Elastic-Creeping Arrays // MATEC Web of Conferences. 2016. Vol. 86 : 5th International Scientific Conference "Integration, Partnership and Innovation in Construction Science and Education. Режим доступа: https://www.matec-conferences.org/articles/matecconf/pdf/2016/49/matecconf_ ipicse2016_01024.pdf

15. Андреев В.И. Механика неоднородных тел // М. : Юрайт, 2015. 255 с.

16. Андреев В.И. Axisymmetric Thermo-elastic Deformation of the Cylinder with Two-dimensional Inhomogeneity of Material // Procedia Engineering. 2016. V. 153. Pp. 32-36.

17. Андреев В.И., Полякова Л.С. Аналитическое решение физически нелинейной задачи для неоднородной толстостенной цилиндрической оболочки // Вестник МГСУ. 2015. № 11. С. 38-45.

18. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости / пер. с англ. М.И. Рейтмана под ред. Г.С. Шапиро. М. : Наука, 1975. 575 с.

19. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.-Л.: Гос. изд-во технико-теорет. лит-ры, 1950. 299 с.

20. Лехницкий С.Г. Симметричная деформация и кручение тела вращения с анизотропией частного вида // Прикладная математика и механика. 1940. Т. IV. Вып. 3. С. 55-56.

Л

Ф

0 H

1

s

*

о У

Т

0 s

1

К) n

г

1. Oleynik O.A., Iosifyan G.A., Shamaev A.S. Matematicheskie zadachi teorii sil'no neodnorodnykh sred [Mathematical Problems in the Theory of Strongly Non-Homogeneous Media]. Moscow, Lomonosov Moscow State University Publ., 1990. 311 p. (In Russian)

2. Bardzokas D.I., Zobnin A.I. Matematicheskoe mod-elirovanie fizicheskikh protscessov v kompozitsionnykh ma-

terialakh periodicheskoy struktury [Mathematical Modeling of Physical Processes in the Periodic Structure Composite Materials]. Moscow, Editoral URSS Publ., 2003, 376 p. (In Russian)

3. Pobedrya B.E. Mekhanika kompozitsionnykh materi-alov [Mechanics of Composite Materials]. Moscow, Lomonosov Moscow State University Publ., 1984. 336 p. (In Russian)

<

О *

8

О >1

N О

со

о >

4. Christensen R.M. Mechanics of Composite Materials. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1979.

5. Bobyleva T.N. Approximate Method of Calculating Stresses in Layered Array. Procedia Engineering. 2016, vol. 153, pp. 103-106.

6. Erzhanov Zh.C., Aytaliev Ch. M., Zhubaev I.Zh., et al. Analiticheskie voprosy mekhaniki gornykh porod [Analytical Issues in Rock Mechanics]. Alma-Ata, Nauka Publ., 1969. 143 p. (In Russian)

7. Bobyleva T.N. Napryazhenno-deformirovannoye sostoyaniye sloistogo gornogo massiva s vertikal'noy shakh-toy [Stress-Strain State of Layered Massif with a Vertical Shaft]. Nauchnoye obozreniye [Scientific Review]. 2016, no. 24, pp. 18-20.

8. Shamaev A.S., Shumilova V.V. O spektre odno-mernykh kolebaniyi v periodicheskoy kombinirovannoy sloistoy srede [On the Spectrum of Oscillations in One-Dimensional Combined Periodic Layered Medium] Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo [Vestnik of Lobachevsky University of Nizhni Novgorod ]. 2011, no. 4 (4), pp. 1882-1883. (In Russian)

9. Shamaev A.S., Shumilova V.V. Prohozhdeniye plos-koy zvukovoy volny cherez sloistyy kompozit s komponentami iz uprugogo i vyazkouprugogo materialov [Flat Passage of Sound Waves through Laminated Composite with Components of Elastic and Viscoelastic Materials]. Akusticheskii zhurnal [Acoustic Magazine]. 2015, vol. 61, pp. 10-20. (In Russian)

10. Savenkova M.I., Sheshenim S.V., Zakalyukina I.M. Primeneniye metoda osredneniya v zadache uprugoplas-ticheskogo izgiba plastiny [Application of the Homogeniza-tion Method for the Elastoplastic Bending of a Plate]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 156-164. (In Russian)

11. Savenkova M.I., Sheshenim S.V., Zakalyukina I.M. Sravneniye rezul'tatov konechno-elementnogo analiza s rezul'tatami asimptoticheskogo metoda osredneniya v za-dache uprugoplasticheskogo izgiba plastiny [Comparing the Results of Finite Element Analysis with the Asymptotic Results of the Homogenization Method to the Elastoplastic Bending of A Plate] Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 8, pp. 42-50. (In Russian)

12. A.S. Shamaev, V.V. Shumilova. Asimptoticheskoe povedenie spektra odnomernyh kolebaniy v srede iz sloyev uprugogo materiala i vyazkouprugogo materiala Kel'vina— Foyhta [Asymptotic Behavior of Spectrum of One-Dimensional Fluctuations in the Environment of the Layers of Elas-

tic Material and a Viscoelastic Material of Kelvin—Voigt]. Sovremennye problemy mekhaniki : sb. stat. [Modern Problems of Mechanics : Collected Articles]. Moscow : MAIK Publ., 2016. Pp. 218-228. (Trudy MIAN. T. 295 [Proceedings of Steklov Mathematical Institute. Vol. 295.]) (In Russian)

13. A.S. Shamaev, V.V. Shumilova. Usrednenie uravne-nii sostoyaniya dlya geterogennoi sredu, sostoyaschei iz sloyev dvuh polzuchih materialov [Averaging of the State Equations for a Heterogeneous Medium Consisting of Two Layers of Creeping Materials]. Sovremennye problemy me-hanik : sb. stat. [Modern Problems of Mechanics : Collected Articles] Vol. 295. Moscow : MAIK Publ., 2016. Pp. 229240. (Trudy MIAN. T. 295 [Proceedings of Steklov Mathematical Institute. Vol. 295.]) (In Russian)

14. Bobyleva T.N. Method of Calculation of Stresses in the Layered Elastic-Creeping Arrays. MATEC Web of Conferences. 2016, Vol. 86 : 5th International Scientific Conference «Integration, Partnership and Innovation in Construction Science and Education». Available at : https://www.matec-conferences.org/articles/matecconf/pdf/2016/49/matecconf_ ipicse2016_01024.pdf.

15. Andreev V.I. Menhanika neodnorodnynh tel [Mechanics of Non-Homogeneous Bodies]. Moscow, Uyrait Publ., 2015, 255 p. (In Russian)

16. Andreev V.I. Axisymmetric Thermo-elastic Deformation of the Cylinder with Two-dimensional Inhomo-geneity of Material. Procedia Engineering. 2016, vol. 153, pp. 32-36.

17. Andreev V.I., Polyakova L.S. Analitichskoye resh-eniye fizicheski nelineinoH zadachi dlya neodnorodnoy tols-tostennoy tsilindricheskoy obolochki [Analytical Solution of Physically Nonlinear Problems for Inhomogeneous Thick-Walled Cylindrical Shell] Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 11, pp. 38-45. (In Russian)

18. Timoshenko S.P., Goodier J.N. Theory of elasticity. NcGraw Hill Book Company, 1951.

19. Lekhnitskii S.G. Teoriya uprugosti anizotropnogo tela [Theory of Elasticity of an Anisotropic Body]. Moscow, Leningrad, Gosudarstvennoe izdatelstvo tekhniko-teo-reticheskoy literatury Publ., 1950, 299 p. (In Russian)

20. Lekhnitskii S.G. Simmetrichnaya deformatsiya i kruchenie tela vrascheniya s anizotropiey chastnogo vida [Symmetric Deformation and Torsion of Bodies of Revolution With Anisotropy of the Private View]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 1940, vol. IV, issue 3, pp. 55-56. (In Russian)

Л

ta

<N

s о

H >

о

Received in November 2016. Adopted in revised form in May 2017. Approved for publication in July 2017.

About the author: Bobyleva Tatiana Nikolaevna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Applied Mathematics, Moscow state University of civil Engineering (National Research University) (MGsU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; tatyana2211@ outlook.com

S I h

О Ф

to