НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПОЛЫХ ЦИЛИНДРАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545

^Курнал теоретической и прикладной механики.

№1(58) / 2017.

УДК 539.3:534.1

©2017. И.А. Моисеенко, С.А. Прийменко, В.А. Шалдырван

НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПОЛЫХ ЦИЛИНДРАХ

Волновое движение описывается на основе полной системы уравнений линейной динамической теории упругости. Модули упругости и плотность материала цилиндра задаются экспоненциально-степенной функцией от радиальной координаты. Общее решение системы дифференциальных уравнений модели построено для произвольного окружного волнового числа в матричной форме в виде разложений радиальных составляющих решения в равномерно и по норме сходящиеся ряды по обобщенной кольцевой координате. Получены также дисперсионные соотношения, описывающие спектры гармоник неосесимметричных нормальных волн для случаев свободного или жестко закрепленного цилиндра. Изучены эффекты влияния параметров радиальной неоднородности материала волновода на топологию дисперсионных спектров, распределение фазовых и групповых скоростей распространяющихся нормальных волн.

Ключевые слова: функционально-градиентные материалы; полый цилиндр; распространение волн; цилиндрически-ортотропный; дисперсионные кривые, фазовые скорости, групповые скорости.

1. Введение. При решении задачи о распространении нормальных упругих волн в цилиндрически-ортотропном сплошном или полом цилиндре вопрос сводится к построению общего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В классическом случае однородного изотропного или трансверсально-изотропного материала эти уравнения разрешимы через цилиндрические функции, что становится невозможным при понижении степени анизотропии упругих свойств материала либо переходе к рассмотрению нового поколения функционально-градиентных материалов. Для цилиндрически ортотропного однородного цилиндра плодотворным оказался подход, основанный на привлечении в случае сплошного цилиндра аппарата обобщенных рядов [1], а в случае полого цилиндра - рядов по обобщенной радиальной координате [2, 3]. Указанные подходы получили обобщение на случай неоднородных цилиндров, обеспечив возможность построения общих аналитических решений указанной системы дифференциальных уравнений при задании специального вида функционального закона радиального изменения физико-механических характеристик материала волновода. Таким способом построены в аналитическом виде общие решения модели и исследования эффектов влияния фактора радиальной неоднородности материала на топологию дисперсионных спектров, фазовых и групповых скоростей распространяющихся нормальных волн в полых трансверсально-изотропных цилиндрах [4-7] и сплошных цилиндрически ортотропных цилиндрах [8]. В данной работе методика построения общих решений модели, описывающей распространение нормальных упругих волн вдоль протяженных цилиндров кольцевого сечения, изготовленных из радиально

неоднородных трансверсально изотропных материалов, распространена на случай цилиндрически ортотропного материала волновода.

2. Постановка задачи. Рассматривается волновод в форме протяженного цилиндра концентрического кольцевого сечения с внутренним радиусом R\ и внешним радиусом R2. Область волновода занимает в отнесенных к нормирующему параметру R* (Ri < R* < R2) безразмерных цилиндрических координатах OrOz область

V = {r е [Ri/R*, R2/R*]; 0 е [0,2п]; z е (-то, то)}.

Вводится безразмерный параметр h = max{1 — R1/R*,R2/R* — 1} (0 < h < 1) такой, что

V С {r е [1 — h, 1 + h]; 0 е [0,2n]; z е (—то, то)} .

Ось симметрии цилиндрически-ортотропного материала волновода совпадает с осью цилиндра.

Задача анализа спектров и свойств нормальных упругих волн вдоль рассматриваемого волновода формулируется в системе нормированных безразмерных цилиндрических координат с использованием соотношений пространственной линейной математической модели динамического напряженно-деформированного состояния упругих тел с усложненными физико-механическими свойствами, которые включают систему дифференциальных уравнений движения

drо„ + r-1deare + dzarz + r-1 (a„ — aee) — (pR%/c*) d^u = 0,

drare + r-1deaee + dzaez + 2r-1are — (pR2*/c*) dfue = 0, (1)

drarz + r-1deaez + dzazz + r-1arz — (pR*2/c*) dfuz = 0;

определяющие соотношения обобщенного линейного закона Гука для случая цилин-дрически-ортотропного материала

arr = c11 £rr + c12£ee + clз£zz,

aee = c12^rr + c22£ee + c23£zz, , s

(2)

azz — c13£rr + c23£ee + c33£zz-, aez = c44 £ez, arz = c55 £rz, are = c66 £re;

уравнения связи между отнесенными к нормирующему параметру R* проекциями на оси цилиндрической системы координат безразмерного вектора динамических упругих волновых перемещений (ur,ue,uz) и компонентами тензора малых деформаций (£rr, £ee, £zz,£ez, £rz, £re)

£rr = dr ur, £ee = r-1ur + r-1de щ, £zz = dz uz,

£ez = dz ue + r-1de uz, £rz = dz ur + dr uz, (3)

£re = r-1deur + (dr — r-1) ue.

Представленная модель включает граничные условия на внутренней Г1 и внешней Г2 поверхностях волновода, которые в случае жестко закрепленного или свободного цилиндра соответственно имеют вид

иг\{г,е,г)ег,- = ие\(г,е^)еГз = = 0 0 = 1>2) ! (4)

агг\{г,е,г)еГэ = агв\(г,в,г)ег^ = ап\(г,е^)еГз = 0 0 = 1>2) • (5)

Во введенных представлениях (аГг,&вв,&гг,&вг,&гх,&гв) - отнесенные к нормирующему параметру с* безразмерные характеристики напряженно-деформированного состояния на основных площадках цилиндрической координатной системы; сц, С12, С13, с22, с23, С33, с44, С55, Сбб - отнесенные к нормирующему параметру с* модули упругости цилиндрически-ортотропного материала волновода; р - плотность материала волновода; Ь - время; д^ = д/д] (] = г, в, г, Ь);

Г, = {г = Щ/В.*, 9 е [0, 2тг] ; г € (-оо, оо)} (;) = "Щ .

Полагается, что материал цилиндра является функционально-неоднородным в радиальных направлениях по всем своим физико-механическим свойствам, а его плотность и нормированные модули упругости соответственно описываются представлениями

р = р ехр(/Л , д (г)), Ъ = С3 ехр(/Л , д (г)) (] е {11,12,13, 22, 23, 33, 44, 55, 66}), (6)

/лдд (г) = Л ((г - 1)/Л )д.

Параметры Л (Л е М) и д (д е {0} и М) характеризуют соответственно относительный максимальный уровень и форму локализации в теле волновода функциональной неоднородности материала.

3. Интегрирование уравнений волнового деформирования. В исследуемых нормальных волнах с круговой частотой ш, окружным волновым числом п и нормированным параметром К* продольным волновым числом к, следуя методу разделения переменных, вводятся комплексные представления

иг (г, в, г, Ь) = (г) ехр (-/л,д (г)/2) ехр (гпв) ехр ^—гшЬ + гкг^ , щ (г, в, г, Ь) = гйд^ (г) ехр (—/Л, д (г)/2) ехр (гпв) ехр ^—гшЬ + гкг^ , (7)

пх (г, в, г, Ь) = т^ (г) ехр (—/Л, д (г)/2) ехр (гпв) ехр ^—гшЬ + гкг^ .

Последовательная подстановка представлений (6), (7) в соотношения модели (3), (2), (1) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами относительно амплитудных составляющих компонент безраз-

И.А. Моисеенко, С.А. Прийменко, В.А. Шалдырван мерного вектора динамических упругих волновых перемещений (ur , ue , uz )

(с 11 (r2d'2 + rdr) — C22 — U2C66 + (Q2 — k2C55^J r2 + +Xqh-qr(r — 1)q-2 ((1 — qr — Xqh-qr(r — 1)q/2) с 11/2 + (r — 1) с 12)) urn) — —n ((с 12 + C66) rdr + Xqh-qr(r — 1)q-1 (C12 — C66)/2 — (C22 + C66^ u^ — —kr ((с 13 + C55) rdr + Xqh-qr(r — 1)q-1 (C13 — C55)/2 + с 13 — C23) uzn) = 0,

n ((с 12 + с66) rdr — Xqh-qr(r — 1)q-1 (¿12 — с66)/2 + ¿22 + с6^ urn) +

+ (Й66 (r2d2 + rdr — 1) — n2G22 + (Ъ2 — ^44) r2 +

+Aqh-qr(r — 1)q-2(3 — (q + 2) r — \qh-qr(r — 1)q/2) Й66/^ 4n) —

—kn (Й23 + 644) ruzn) = 0,

kr ((с 13 + Й55) rdr + 623 + 655 — Xqh-qr(r — 1)q-1 (613 — 655)/^ u^—

— kn (Й23 + 644) ruen) + (655 (r2d2 + rdr) — n2G44 + (Ъ2 — ^33) r2 +

+Aqh-qr(r — 1)q-2 (1 — qr — Xqh-qr(r — 1)q/2) с55/2) uzn) = 0.

Здесь Q2 = pR^w2/c*, dr = d/dr. Базисные решения уравнений (8) после введения замены переменных

r = hx + 1, x е [жо,ж1],

xo = —(1 — R1/R*)/h > —1, X1 = (R2/R* — 1)/h < 1

строится в виде рядов по обобщенной кольцевой координате [2, 6]. С учетом свойств физической составляющей модели рассматриваемой задачи для искомых решений вводятся представления

, S (X , S X

un (x) = Е am xm+s, u{n (x) = £ bm xm+s,

m=0 m=0 (10)

uzn) (x) = £ dm xm+ (|ao| + I bo I + Idol = 0)

m=0

в которых на значения параметра 5 накладываются ограничения: 5 е {0,1} либо Re (5) > 1. После подстановки разложений (10) в уравнения (8) получается система рекуррентных уравнений относительно коэффициентов разложений (10). Для каждого окружного волнового числа n указанная система рекуррентных уравнений имеет шесть различных решений, порождающих соответственно шесть независимых базисных решений уравнений (8), допускающих в свою очередь объединение в два независимые матричные базисные решения следующего вида:

(

U(M) (ж) = ^ xm+s (6 = ОД) , (11)

m=0

где

X,

(п,0)

X,

(п,1)

Е, X

(п,0)

О,

X

(п,1)

н / - /2

_пН(сх2+Сбб)/2ё66

— ЙН(С13+С55)/2сББ

гН(сх2 +Сбб)/с &Н(С13+СББ) / 2~

н

_ / 2 0

Xm

И / _ / 2

-(п,6)

Д Л(п,6) . x(n,6) + V Л(п,6) • X(n,") + 7=1 j=0

+ ЕАЙГХЙ?_] (ш = 2,3,...), (5 = ОД). 7=0

(12)

Здесь использованы обозначения для квадратных матричных объектов размерно-

сти 3: Е - единичная матрица; О - нулевая матрица; X

(п,6)

О (6 = 0,1; з

— тах(2, 2д), —1); А^'^ (5 = 0,1; т = 2, оо; у = 1,11) — матрицы, ненулевые элементы которых имеют следующий вид:

л

(п,6) т,1

1,1

л

(п,6) т,1

2,2

л

(п,6) т,1

3,3

= _Н (2т + 25 _ 3)/(т + 5),

л

(п,6) т,1

л

(п,6)

т,1

1,2

2,1

л

(п,6) т,1

1,3

л

(п,6) т,1

3,1

= пН (с 12 + саб)/((т + 5) с 11), = _пН (с 12 + саб)/((т + 5) саб), = кН (с1з + С55)/((т + 5) сп), = _кН (с 13 + С55)/((т + 5) Й55),

л

(п,6) т,2

1,1

= _Н2 ^(т + 5 _ 2)2с 11 + О2 _ с22 _ к2с55 _ п2саб]/ /((т + 5) (т + 5 _ 1) с 11),

л

(п,6) т,2

2,2

= _Н2 ((т + 5 _ 3) (т + 5 _ 1) сбб + О2 _ к2с44 _ п2с22) /

л

(п,6) т,2

л

(п,6) т,2

3,3

1,2

л

(п,6) т,2

2,1

/((т + 5) (т + 5 _ 1) сбб), = _Н2 ((т + 5 _ 2)2с55 + О2 _ к2сзз _ п2^) /

/((т + 5) (т + 5 _ 1) 655), = пН2 ((т + 5 _ 2) с 12 + (т + 5 _ 3) сбб _ 622)/

/((т + 5) (т + 5 _ 1) с и), = _пН2 ((т + 5 _ 2) с 12 + (т + 5 _ 1) сбб + 622)/

1

0

1

И.А. Моисеенко, С.А. Прийменко, В.А. Шалдырван /((m + ó) (m + ó - 1) Сбб),

л

(n,S) m,2

1,3

л

(n,S) m,2

л л

3,1

(n,S) m,2

(n,S) m,2

= kh2 ((2m + 2ó - З) C13 + 2 (m + ó - 2) C55 - C23)/

/((m + ó) (m + ó - 1) cii), = -kh2 (2 (m + ó - 2) C13 + (2m + 2ó - З) 655 + 623)/ /((m + ó) (m + ó - 1) C55), = knh2 (c23 + 044)/((m + ó)(m + ó - 1) Сбб),

2,3

3,2

= knh2 (c23 + €44)/((m + ó)(m + ó - 1) 655),

(n,S) m,3

(n,S) m,3

(n,S) m,3

(n,S) m,3

i,i

2,2

3,3

= -2h3 (Q2 - k2k55

= -2h3 ( Q2 - k2G44

= -2h3 Q2 - k2è33

m + ó)(m + ó - 1) cii), m + ó)(m + ó - 1) Сбб), m + ó)(m + ó - 1) C55),

1,3

л

(n,S) m,3

3,1

= kh3 ((m + ó - 2) ci3 + (m + ó - З) C55 - C23)/

/((m + ó) (m + ó - 1) cii), = -kh3 ((m + ó - З) Ci3 + (m + ó - 2) C55 + C23)/ /((m + ó) (m + ó - 1) C55),

л

л

(n,S) m,3

(n,S) m,3

2,3

3,2

= knh3 (С2з + C44)/((m + ó)(m + ó - 1) Сбб), = knh3 (С2з + C44)/((m + ó)(m + ó - 1) C55),

(n,S) m,4

(n,S) m,4

(n,S) m,4

= -h4 Q2 - k2C55

i,i

2,2

= -h4 (Q2 - k2C44

= -h4 Q2 - k2C33

3,3

+ ó) (m + ó - 1) C11), + ó) (m + ó - 1) Сбб), + ó) (m + ó - 1) C55),

л

(n,S) m,5

л

i,i

(n,S) mfi

л

(n,S) m,5

2,2

л

(n,S) m,5

3,3

= -Лq (q - 1)/(2 (m + ó)(m + ó - 1)),

i,i

л

= Лqh ((2q - 1) Cn - 2Ci2)/(2 (m + ó)(m + ó - 1) Cn),

(n,S) mfi

2,2

= >^qh (2q + 1)/(2 (m + ó)(m + ó - 1)),

А

(п,6)

т,б

3,3

= ХдК (2д - 1)/(2 (т + 6)(т + 6 - 1)),

А

(п,6)

т,б

(п,6) т,б

(п,6) т,б

(п,6) т,б

(п,6) ~ т,7

А

А

А

А

1,2

= ХдкК (с 12 - Сбб)/(2 (т + 6)(т + 6 - 1) с и),

2,1

= ХдкК (с 12 - Сбб)/(2 (т + 6)(т + 6 - 1) сбб),

= ХдкЬ (с 13 - Сбб)/(2 (т + 6)(т + 6 - 1) с и),

А

1,3

^ ^ = ХдкН (с 13 - сбб)/(2 (т + 6)(т + 6 - 1) 655), = ХдК2 (дс 11 - 2с 12)/(2 (т + 6)(т + 6 - 1) сп), т,7 ^ ^ = ХдК2 (д + 2)/(2 (т + 6)(т + 6 - 1)),

1,1

(п,6)

А

2,2

(п,6) т,7

3,3

= Хд К /(2 (т + 6)(т + 6 - 1)),

А

А

(п,6) т,7

(п,6) т,7

1,2

2,1

= ХдпК2 (с 12 - сбб)/(2 (т + 6)(т + 6 - 1) с 11), = ХдпК2 (с 12 - сбб)/(2 (т + 6)(т + 6 - 1) сбб),

А

А

(п,6) т,7

(п,6) т,7

1,3

3,1

= ХдкК2 (с 13 - с55)/((т + 6)(т + 6 - 1) с и),

= ХдкК2 (с 13 - с55)/((т + 6)(т + 6 - 1) 655),

А

А

(п,6) т,8

(п,6) т,8

1,3

= ХдкК3 (с 13 - С55)/(2 (т + 6)(т + 6 - 1) с и),

3,1

= ХдкК3 (с 13 - С55)/(2 (т + 6)(т + 6 - 1) 655),

А

(п,6) т,9

А

(п,6) т, 10

1,1

1,1

А

(п,6) т,9

А

(п,6) т,10

2,2

2,2

А

(п,6) т,9

= Х2д2/(4 (т + 6) (т + 6 - 1)),

3,3

А

(п,6) т,10

3,3

= Х д К/(2 (т + 6)(т + 6 - 1)),

А

(п,6) т, 11

1,1

А

(п,6) т,11

2,2

А

(п,6) т, 11

3,3

= Х д К /(4 (т + 6)(т + 6 - 1)).

Тогда общее решение уравнений (8) с использованием двух базисных решений (11) записывается в виде

и(п) (х), 4п) (х), и(п) (х) Т = и(п,0) (х) ■ Р1 + и(п,1) (х) ■ Р2,

Т

где Р1 = р2,Рз] , Р2 = [р<1,Р5,Рб] , Р] (з = 1, б) произвольные постоянные.

(13)

По аналогии с (7) вводятся представления

О3 (г, О, х, Ь) = ст^ (г) ехр (Д^ (г)/2) ехр (гнО) ехр ^-гшЬ + гкх

(] = гг, 00, хх, Ох),

О3 (г, 0, х, Ь) = гст^ (г) ехр (Д,д (г)/2) ехр (гнО) ехр ^-гшЬ + гкх

(^ = гх, гО)

(14)

и на основании (2), (3), (7), (11), (13) с учетом замены переменных (9) определяются два базисных матричных решения

Б^) (х) = £ хт+ (х) • х(П'г) (5 = 0,1)

(15)

ш=0

для представления амплитудных составляющих компонент безразмерного тензора напряжений

СТгг) (х) , ст^ (х), ст^ (х), а^ (х), ст^ (х), ст^ (х) = = 8(га'0) (х) • Р1 + (х) • Р2.

в (15) от,5) (х) - матричные функции размерности 6 х 3, элементы которых имеют вид

(х)! = ((ш + 5)/х - \дхд-1/2) сц/Н + Си/Цгх + 1),

1,1

ОШП'5) (х)\12 = -нс 12/(Нх + 1),

Я&,6) (х) 13 = -кс1з,

ОШ^ (х) = ((ш + 5)/х - \дх1-1/2) С12/Н + С22/(Нх + 1),

2,1

ОШ^ (х)]22 = -НС22/(Нх + 1),

ршг (х)

2,3

= -кС23,

ОШ^ (х)! = ((ш + 5)/х - \дх1-1/2) С13/Н + С2з/(Нх + 1),

3,1

О™^ (х)]32 = -НС23/(Нх + 1),

Я&,6) (х) = -кс33,

3,3

Ошг (х)

4,1

0,

ОШГ (х) = -кС44, 4,2

Я,т6) (х) 4 3 = -Пс44/(Кх + 1),

Я(т6) (х)

5,1

= кв55,

я(т,6) (х)

5,2

®т,,6) (х) = ((т + 6)/х - Хдх*-1/2) 055/К,

5,3

0тП,6) (х) = пСбб/(Кх + 1), б,1

д™6) (х^2 = ((т + 6)/х - Хдхд-1/2) сбб/К - вбб/(Кх + 1),

д(П,6) (х)

0.

б,3

Специальный вид представлений для функций нормированных упругих перемещений в форме (7) обуславливает при т ^ ж справедливость асимптотических оценок для матричных коэффициентов рекуррентных уравнений (11)

+2КЕ

< к1/т,

А(т2+к2е

< к2/т,

А

(п,6) т, 3

< к3/т,

А

(п,6) ~т,]

<Кз/гп2 (у = 4, 11)

непосредственным следствием которых является асимптотическое представление для рекуррентных соотношений (12) в виде

Х(п,6) = _2КХ(п,6) _ К2Х(п,6) хт = 2Кхт-1 К хт-2.

(16)

Характеристическое уравнение для (16) £2 + 2К( + К2 =0 имеет кратный корень £ = -К, определяющий для разложений (11), (15) радиус сходимости К-1 > 1, следовательно, указанные разложения на отрезке х € [-1,1] сходятся равномерно и по норме [9].

4. Дисперсионные соотношения. С целью построения дисперсионных соотношений для амплитудных составляющих компонент безразмерного тензора напряжений на площадках цилиндрических граничных поверхностей волновода вводится представление

(х), (х) , с™ (х)

(п)

(п)

ТХ

Т

Э^.п (х) ■ Р1 + (х) ■ Р2,

\су\) (х) ' Р 1 + Б(су1) (х) ' Р 2, (17)

где Э(п^6)) (х) - квадратные матричные функции размерности 3, составленные из соответствующих строк базисных матричных решений Б(п,6) (х). Подстановка представлений (7), (11), (13) или (14), (15), (17) в граничные условия соответственно (4) или (5) приводит к однородной системе линейных алгебраических уравнений шестого порядка относительно произвольных постоянных р^ = 1, б), порождающей искомые дисперсионные уравнения, соответственно для жестко закрепленного

и(п,0) (хо) и(п,1) (хо)"

и(п,0) (х1) и(п,1) (х1)

или свободного

(хо)

Б

(п,0) (су1)

(хо)

(х1) Э^1) (х1)

/

цилиндра.

5. Анализ результатов численного эксперимента. В качестве объекта для численного исследования факторов влияния параметров радиальной неоднородности (Л, д) и значений окружного волнового числа н на топологическую картину спектра бегущих нормальных волн был выбран полый свободный цилиндр, толщина стенок которого составляет треть его внутреннего радиуса, изготовленный из ра-диально неоднородного цилиндрически-ортотропного материала, базовые нормированные модули упругости {с 11,с12,к 13,с22, к23, к33,к44,к55,к66} в представлениях (6) для которого соответствуют однородному цилиндрически-ортотропному материалу с нормированными характеристиками [10] Е1 = 43/24, Е2 = 179/24, Е3 = 131/24, С23 = 28/24, С 13 = 1, С 12 = 1, ^23 = 0.15, ^2 = 0.08, ^3 = 0.102.

Расчет фрагментов спектров бегущих нормальных волн в полом свободном цилиндре проводился для окружного волнового числа н = 1 в диапазонах изменения нормализованной частоты ша/сг € [0; 30] и нормализованного продольного волнового числа к а € [0; 40] (а = К2) для случаев однородного (Л, д) = (0, 0) и неоднородного (Л, д) € {(- 1п (2), 6), (1п (3/2) , 6)} материала цилиндра со свободными граничными поверхностями. Нормирующий параметр с размерностью скорости для всех рисунков представленного исследования имеет фиксированное значение, определяемое из условия равенства единице низшей ненулевой нормализованной критической частоты (мода с порядковым номером в спектре 2) в случае однородного материала вол-(2)

новода (ПО 0 (0) ~ 1.2385 при К* = К2). Для исследования влияния на спектральную картину характера локализации в теле цилиндра неоднородности материала численный эксперимент проводился для случаев: К* = К1 (г € [1, 4/3] , Н = 1/3, х € [0,1]), характеризующегося зоной локализации неоднородности у внешней поверхности цилиндра; К* = К2 (г € [3/4,1] , Н = 1/4, х € [-1, 0]), характеризующегося зоной локализации неоднородности у внутренней поверхности цилиндра. При этом для Л = - 1п (2) в зоне локализации имело место уменьшение на 50% физико-механических характеристик материала, а для Л = 1п (3/2 ) - на те же 50% увеличение.

Ниже представлены спектры распространяющихся нормальных волн для неоднородных волноводов с параметрами неоднородности (Л,д) = (- 1п(2), 6) и (Л,д) = (1п (3/2 ), 6) в случаях локализации неоднородности у внешней (соответственно рис. 1 и рис. 2) и внутренней (соответственно рис. 3 и рис. 4) поверхностей цилиндра.

Сравнительный анализ представленных спектров показывает относительную стабильность общей качественной топологической картины мод распространяющихся волн, при этом отмечается локальное количественное влияние на характер поведения отдельных мод, в большей мере зависящее от относительного максимального уровня локализации (рис. 1 - рис. 2 и рис. 3 - рис. 4), чем от зоны локализации (рис. 1

3 п о

к

О 5 10 15 20 25 30 35 40 Нормализованное волновое число к а

3 п о К

0 5 10 15 20 25 30 35 40 Нормализованное волновое число к а

Рис. 1.

Рис. 2.

3 п о К

0 5 10 15 20 25 30 35 40 Нормализованное волновое число к а

3 п о К

0 5 10 15 20 25 30 35 40 Нормализованное волновое число к а

Рис. 3.

Рис. 4.

- рис. 3 и рис. 2 - рис. 4). Для анализа указанных количественных различий полученных спектров используется функция сравнения парных по номеру в соответствующих спектрах мод АО (к) = (ш\,д (к) - ш0,0 (к)) а/с'4. Результаты для участвующих в сравнении пар волноводов "однородный - неоднородный цилиндр"представлены для пяти низших мод, порядковый номер сопоставляемых мод визуализировался уникальным в рамках рисунка типом линии. Ниже приведены результаты сравнений для пар волноводов, когда неоднородный материал цилиндра в соответствующей паре задавался параметрами (Х,д) = (- 1п(2), 6) и (Х,д) = (1п(3/2), 6) в случаях локализации неоднородности у внешней (соответственно рис. 5 и рис. 6) и внутренней (соответственно рис. 7 и рис. 8) поверхностей цилиндра. Представлены также графики нормализованных фазовых (рис. 9 и рис. 10) и групповых (рис. 11 и рис. 12) скоростей бегущих нормальных волн в неоднородных цилиндрах с параметрами неоднородности соответственно (Х,д) = (- 1п(2), 6) и (Х,д) = (1п(3/2) , 6) для случая локализации неоднородности у внутренней поверхности волновода.

0.8

а 0.6

3

0.4 0.2 0.0

V г\ —._, N

■ч Л''. \,т X У- \ :

V \ г-1 ч . Т »

! \ / J . 1

0 5 10 15 20 25 30 Норм, волновое число к а

0.1 о

° -0.1 3°

I -0.2

(О * *

3 -0.4

-0.5

—* \ / • /»'

/ 1 ь.

1 ^ I-

* Г-. 1 \ ч_ __ / ■•

9

0 5 10 15 20 25 30 Норм, волновое число к а

■ 1 ■

2--3---4--5

2--3---4-

Рис. 5.

Рис. 6.

0.8

а 0.6

о

3° 0.4

1

2 0.2 $ 0.0

-0.2

1\/ ---

\ ч ч! / Г V \ •• -л--

1 \ 1 ч

/ : \

0 5 10 15 20 25 30 Норм, волновое число к а

о

0.1 0 -0.1

. э

3

I -0.2

со

1П|сЧ_0.3

^ЁГ' 3 -0.4

-0.5

V \ / 1 • /

V 1 1 О

1 1 У х—■ 1\

/ / ч / \ 1 ■ 1 '•

/

2--3---4-

"5

0 5 10 15 20 25 30 Норм, волновое число к а

!.....2--3---4--51

Рис. 7.

Рис. 8.

В качестве основных результатов отмечается, что изменение, как относительного максимального уровня локализации (Л = 0, Л = - 1п(2), Л = 1п(3/2)), так и зоны локализации (К* = К1, К* = К2) практически не сказались на поведении трех низших мод в длинноволновом диапазоне ка € [0;5], при этом диапазон изменения нормализованного волнового числа, в котором различий в поведении двух низших мод практически не наблюдалось, оказался зависимым от указанных факторов: ка € [0; 10] для Л = - 1п(2), К* = К1 и Л = 1п(3/2), К* = К2; ка € [0;8] для Л = 1п(3/2), К* = К1; к а € [0; 12] для Л = - 1п(2), К* = К2. На старшие моды влияние указанных факторов существенным образом сказались на всем исследованном диапазоне изменения нормализованного волнового числа, и проявилось это в первую очередь в системном смещении указанных мод в область меньших

¡3

и о а

о

«

и

я о

м св

-е

я

а о Я

е

и о а

о

«

и

я о

м св

-е

я

а о Я

Нормализованная частота

С1

Нормализованная частота

С1

Рис. 9.

Рис. 10.

2

Й и О

а о а

и £

&

а о Я

1.5

0.5

0

. 1 ч \

:: 1 : : 1 ; ■■1 \ 1 1

: -1 И? .л. • /-- ---

г. г','' Г*

: 1 ; 1 : 1 Л'

0 5

Норм, частота

2

10 15 20 25 30 о) а

Й и О

а о а

и £

& &

о Я

1.5

0.5

\

:: 1 1 1 1

ч ч •(Г- -- — —

1'/ .-г у '

: 1 ; 1 : 1 / V /

5 10 15 20 25 30

тт аа

Норм, частота -

■ 1

2--3---4

2--3---4

Рис. 11.

Рис. 12.

частот при локальном увеличении физико-механических характеристик материала (Л = 1п (3/2 )) и соответственно в область больших частот при локальном уменьшении физико-механических характеристик материала (Л = — 1п(2)). Наибольшее влияние параметров радиальной неоднородности на картину распределения нормализованных фазовых и групповых скоростей выявлено для мод начиная с третьей в средне частотном диапазоне изменения нормализованной частоты ша/сг € [10; 25].

Выводы. В форме равномерно и по норме сходящихся степенных рядов с определяемыми из явных рекуррентных соотношений матричными коэффициентами построено общее решение системы дифференциальных уравнений модели, описываю-

щей неосесимметричные нормальные волны в протяженных полых цилиндрах концентрического кольцевого сечения с экспоненциально-степенной радиальной неоднородностью физико-механических параметров цилиндрически-ортотропного материала, получены дисперсионные соотношения, определяющие спектры указанных волн для случаев свободного и жестко закрепленного цилиндра. Изучены эффекты влияния характера размещения зоны локализации неоднородности и относительного максимального уровня неоднородности материала волновода на топологию дисперсионных спектров, распределение фазовых и групповых скоростей распространяющихся нормальных волн. Областями использования результатов представленного исследования являются прочностные расчеты деталей машин, технологии ультраакустической диагностики, акустоэлектроника.

1. Новицкий Д.Л. Распространение продольных волн в стержне, обладающем цилиндрической ортотропией / Д.Л. Новицкий // Конструирование и технологии машиностроения. - 1967. -№ 3. - С. 33-38.

2. Шульга Н.А. Распространение осесимметричных упругих волн в ортотропном полом цилиндре / Н.А. Шульга. // Прикладная механика. - 1974. - Т. 10, № 9. - С. 14-18.

3. Рамская Е.И. Распространение неосесимметричных упругих волн в ортотропном полом цилиндре / Е.И. Рамская, Н.А. Шульга. // Прикладная механика. - 1983. - Т. 19, № 9. - С. 9-13.

4. Моисеенко И.А. Волны кручения вдоль полого экспоненциально-неоднородного трансверсально-изотропного цилиндра с закрепленными границами / И.А. Моисеенко. // Механика твердого тела. - 2014. - Вып. 44. - С. 132-139.

5. Моисеенко И.А. Спектры продольных волн в функционально-градиентных трансверсально изотропных цилиндрах с жидкостным заполнением / И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко. // Вестник Донецкого национального университета. Сер. А: Естественные науки. - 2016. - № 2.

- С. 17-28.

6. Моисеенко И.А. Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в функционально-градиентных трансверсально изотропных полых цилиндрах / И.А. Моисеенко. // Механика твердого тела. - 2016. - Вып. 46. - С. 106-118.

7. Моисеенко И.А. Распространение нормальных волн в трансверсально изотропном радиально-неоднородном полом цилиндре с секторным вырезом / И.А. Моисеенко, Вит.В. Волчков // Вестник Донецкого национального университета. Сер. А: Естественные науки. - 2016. - № 4.

- С. 31-45.

8. Моисеенко И.А. Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью / И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев. // Механика твердого тела. - 2015. - Вып. 45. - С. 112-124.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1966. - 576 с.

10. Шульга Н.А. Распространение неосесимметричных упругих волн в анизотропном полом цилиндре. / Н.А. Шульга, А.Я. Григоренко, Т.Л. Ефимова. // Прикладная механика. - 1986. -Т. 22. - № 8. - С. 118-121.

I.A. Moiseyenko, S.A. Priymenko, V.A. Shaldyrvan

Non-axisymmetric normal elastic waves in functionally graded orthotropic hollow cylinders.

The wave motion is described on the basis of a complete system of linear dynamical equations of elasticity theory. The elastic modules and density of the cylinder material are taken as a exponentially-power function of the radial coordinate. The general solution of a system of differential equations of the model is constructed for an arbitrary wavenumber circular in the matrix forms as a expansions of radial

components of the solution in matrix series, that converges a uniformly and at the norm. Dispersion relations describing the harmonic spectra of non-axisymmetric normal waves for cases of free or rigidly fixed cylinder are obtained. The effect of radial non-homogeneity ratios on the topology of the dispersion spectrums, distribution of the phase and group velocities of normal propagating waves studied.

Keywords: FGMs; cylindrically orthotropic; hollow cylinder; wave propagation; dispersion curves; phase velocities; group velocities.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 19.09.16

[email protected]