ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ ВОЛНЫ СДВИГА В ПОПЕРЕЧНО-НЕОДНОРОДНОМ АНИЗОТРОПНОМ СЛОЕ МЕЖДУ НЕОДНОРОДНЫМИ ПОЛУПРОСТРАНСТВАМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№3 (84) / 2023.

УДК 539.3:534.1

doi:10.24412/0136-4545-2023-3-93-101 EDN:UUHEXN

©2023. А.А. Глухов1, И.А. Моисеенко2, В.И. Сторожев3

ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ ВОЛНЫ СДВИГА В ПОПЕРЕЧНО-НЕОДНОРОДНОМ АНИЗОТРОПНОМ СЛОЕ МЕЖДУ НЕОДНОРОДНЫМИ ПОЛУПРОСТРАНСТВАМИ

Построено и проанализировано решение задачи о распространении симметричных стационарных локализованных сдвиговых горизонтально-поляризованных волн вдоль направления в плоскости трансверсально-изотропного упругого слоя-включения с изменяющимися вдоль координаты по его толщине согласно экспоненциальному закону физико-механическими характеристиками. Слой окружен идеально контактирующими упругими полупространствами из однотипных трансверсально-изотропных материалов с приграничными зонами неоднородности, описываемой двойным экспоненциальными функциями. Для рассматриваемого типа волновых движений получены дисперсионные уравнения, рассчитаны некоторые фрагменты дисперсионных спектров и кинематические характеристики исследуемых локализованных волн.

Ключевые слова: слой-пласт между полупространствами, трансверсально-изотропные функционально-градиентные материалы, экспоненциальные и двойные экспоненциальные законы неоднородности, локализованные сдвиговые волны, дисперсионные характеристики, кинематические свойства.

Введение и постановка задачи. Исследование процессов распространения волн напряжений в составных телах-волноводах, образуемых упругим слоем, контактирующим с деформируемыми полупространствами, в контексте ря-

1 Глухов Антон Александрович - аспирант каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].

Glukhov Anton Alexandrovich - Postgraduate, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

2 Моисеенко Игорь Алексеевич - доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].

Moiseyenko Igor Alekseevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

3 Сторожев Валерий Иванович - доктор техн. наук, проф., зав. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].

Storozhev Valeriy Ivanovich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

да некоторых выполненных исследований по данной проблеме [1—6], продолжает сохранять актуальность с точки зрения дальнейшего учета различных усложненных физико-механических свойств компонентов. К ряду таких усложнений относится сочетание факторов механической анизотропии и непрерывной поперечной неоднородности материалов слоя и полупространств, особо характерной для создаваемых на базе аддитивных технологий функционально-градиентных анизотропных нанокомпозитов, а также для структурированных геомассивов из анизотропных неоднородных геоматериалов в окрестности зон контакта пластов с вмещающими массивами. При этом, в первую очередь представляет интерес исследование случаев формирования локализованных приповерхностных областей выраженной неоднородности в зонах контакта слоя и полупространства, сглаживающейся с выходом на асимптотические характеристики однородных материалов при отдалении от поверхности контакта. Исследования волновых деформационных процессов, базирующиеся на таких вариантах описания законов непрерывной неоднородности, представлены, в частности, в работах [7-10].

Таким образом, целью представляемых в данной работе исследований является разработка численно-аналитической методики описания процессов распространения локализованных сдвиговых горизонтально-поляризованных упругих волн в трансверсально-изотропном экспоненциально неоднородном слое между трансверсально-изотропными функционально-градиентными полупространствами с двойной экспоненциальной неоднородностью, интерпретирующей возмущение свойств материалов полупространства и экспоненциальной неоднородности слоя вблизи контактной плоскости, а также апробация предлагаемой методики для анализа дисперсионных и кинематических характеристик рассматриваемых волн.

1. Описание структуры и свойств волновода. Рассматривается пространственное составное упругое тело, занимающее в декартовой системе координат 0х1х2хз область

^ = V(+) и V(1) и V(2) и V-), (1)

V(+) = {(Х1,Х2) е Я2, хз > Н], V(-) = {(Х1,Х2) е Я2, хз < -Н],

V(1) = {(х1,х2) е Я2, 0 < х3 < Н], V(2) = {(х1,х2) е Я2, 0 > х3 > -Н].

Материал составного трансверсально-изотропного слоя V(1) и V(2) толщиной 2Н обладает симметричной поперечной экспоненциальной неоднородностью физико-механических характеристик относительно срединной плоскости. Представления для модулей упругости с(1) (хз), с(2) (х3) и параметров плотности материалов р(1)(хз), р(2)(хз) в компонентах V(1) и V(2) слоя соответственно имеют вид

с(1 (хз) = с^ exp(^xз), с(2) (хз) = с(2) exp(-^xз), (2)

Р(1) (хз) = Р01) ехр(^хз), р(2) (хз) = р02) ехр(-^хз),

где ц - коэффициент неоднородности. В трансверсально-изотропных полупространствах V(+) и V(-) у границ их контакта со слоем имеются локализованные приповерхностные области выраженной неоднородности физико-механических свойств, описываемой в рассматриваемой модели модели двойными экспоненциальными функциями. Эти характеристики соответственно имеют представления

' (хз) = 4+ • р(+)(А, в, хз), р(+)(хз) = р0+) • Р(+)(А, в, хз), р(+)(А,в,хз) = ехр(А ехр(-вхз));

4_)(хз) = А- • р(-)(А, в, хз), Р(-)(хз) = р0-) • р(-)(А,в,хз), р(-)(А,в,хз) = ехр(А ехр(вхз)),

(3)

(4)

где А и в > 0 - коэффициенты неоднородности материалов полупространств.

2. Представления для волновых упругих перемещений и напряжений. Уравнения стационарного динамического деформирования для компонентов V(1) и V(2) волновода в случае распространяющихся вдоль координатного направления Ох1 сдвиговых горизонтально поляризованных волн с парциальными комплексными функциями напряженности

«2 (жъ хз, = Що (хз) ехр(—г(ш1 — кх\)) (.7 = 1,2), (5)

для рассматриваемого случая трансформируются в уравнения для определения

комплексных амплитудных функций Ч^^з), имеющие вид

д|4о (хз) + (-1)''» дз4о (хз) - сЦк2"^(хз) + рО'^Чо (х) = 0,

дз = д/дхз,

(6)

и записываются в форме

"20 + (-1)''» "2о + '"20 = 0, 5' = (рО'^2 - с^ок2)/' (7)

Соответственно, при условии

4(1) = 4(2) р(1) = р(2) (8) А''0 = А'0, р0 = р0 , (8)

выражения для "^(хз) могут быть представлены в общем виде

"2'0) (хз) = а' ехр(7'')хз) + а' ехр(7'')хз), (9)

где

= ((-1)''+1^ + (-1)?+1 (р2 - 45')1/2)/2. (10)

В свою очередь, на базе представлений (9) могут быть получены выражения для амплитудных функций механических напряжений в компонентах V(1) и V (2) составного слоя

= гкс^ ехр((-1)^+1/хж3)4о)(жз), 4з(^з) = 440 еХр((-1)^+1^з)9з4о)(^з) и = 172).

Уравнения волнового деформирования относительно комплексных функций динамических упругих перемещений

2±)(х1,хз,^ = и± (хз)ехр(—— кх1)), (12)

и2 (х1,хз,ъ) = и для случая сдвиговых волн в полупространствах имеют вид

с4±±093и2(±)(хз) Т с440 Ав ехР(Т^хз)дзи2±±) (хз) (13)

—с6±)к2и2±)(хз) + Р(±)^2и2±)(х) = 0.

Решения F(+)(хз), F(-)(хз) уравнений вида (13) с явными аналитическими представлениями построены в работах [7-10] на основе применения итерационного метода последовательных приближений в форме экспоненциальных рядов, и, с учетом требуемых асимптотических свойств и2±)(хз) ^ 0 при |хз| ^ выражения для этих решений и, соответственно, для амплитудных функций волновых перемещений в полубесконечных областях V(+) и V (-) , имеют вид:

F (±)(хз) = вта(±) Х3 +

те

+ ^(±7)"[П(Т«(±) Т (Р — 1)в)((а(±) + Рв)2 — (а(±))2)-1]е(та(±)*пв)хз

п=1 р=1

(14)

4+) (хз) = Л+F(+) (хз), и2-)(хз) = А-F(-) (хз). (15)

Здесь

7 = вА; а(+) = ((с1+ к2 — р(+)^2)/с4+))1/2, Яеа(+) > 0; а(-) = ((4-0к2 — р(-)^2)/с4-0)1/2, Яеа(-) > 0;

Л+, Л- - произвольные коэффициенты; также F(+)(хз) =F(-)(—хз).

Соответствующие представлениям (14) выражения для динамических напряжений на площадках с нормалью 0хз в областях V(+) и V (-) могут быть записаны в форме

4+0(хз) = л+с4++) ехр(Аехр(—вхз(+)(хз), ^2-0(хз) = Л-с4-) ехр(Аexp(вxз))дзF(-)(хз),

где

те п

дзF(±)(хз) = Т«(±)ета(±)хз + ^](±7)п(Та(±) Т «в)[П(Та(±) Т (Р — 1)в) х

п=1 р=1 (17)

х((а(± + рв)2 — (а(±) )2)-1]е(^(±) ^пв)хз.

При этом имеют место свойства

дзF (+)(хз) = —дзF(-) (—хз), 4+0 (хз) = — 4-0 (—хз). (18)

Таким образом, для случая исследуемых симметричных волн

Л+ = Л- = Л,. (19)

3. Получение дисперсионного соотношения для симметричных локализованных волн. Дальнейший анализ рассматриваемой модели реализуется для оговоренного выше случая

Л(1) = Л (2) Р(1) = Р(2) Л(+) = Л(-) р(+) = р(-) 0 = 0, р0 = р0 , л^0 = л^0 , р0 = р0 .

Граничные условия идеального механического контакта компонентов составного волновода в краевой задаче о распространении волн исследуемого типа сводятся к соотношениям для амплитудных функций в представлениях комплексных функций динамических перемещений (5), (12) и имеют вид

4+) (Н) = 40 (Н), 4+0 (Н) = 4з|,(Н); (20)

и20)(0) = и20)(0), ^ (0) = 42» (0); (21)

и220) (—Н) = и2-)(—Н), ^210 (—Н) = 4-0 (—Н). (22)

Согласно представлениям (10) имеют место свойства

42) = 722) = —7(1), (23)

с учетом которых можно записать

и2о (хз) = л(11) ехр(7(1)хз) + л21) ехр(7(1)хз), и$(хз) = Л12) ехр(—7(1)хз) + Л22) ехр(—721)хз).

(24)

Таким образом, для анализируемых симметричных волн из условий

и20)(хз) = и20)(—xз), 4з0(хз) = —v22зo(—xз), (25)

и с учетом представлений (24) следует, что

Л(11) = Л12), Л21) = Л22). (26)

При этом, из граничного условия (21) для напряжений в плоскости хз = 0, при учете выражений (25)-(27) и свойства Л^ = Л(20, в качестве следствия может быть записано соотношение

(1)

А1^-^. (27)

72

Вводя переобозначение А= Ас и принимая во внимание (28), можно получить представление

(1)

45 = Асехр(751)жз) - ехр(751)жз). (28)

72

С учетом свойств (15), (20), (26), можно заключить, что пары краевых условий (21) и (23) являются эквивалентными, и достаточно в дальнейшем процессе получения дисперсионных соотношений для анализируемых симметричных сдвиговых локализованных волн рассматривать только краевые условия (21), которые после соответствующих подстановок принимают вид

(1)

Аар(+ХЬ) - Ас(ехр(41)/г) + \ ехр= 0,

72

Авс<+ ехр(Аехр(-^^))9з^(+)(К))- (29)

(1)

-сУехр(^)(41)Асехр(41)/г)-7(1)Ас^-ехр(7(1)/г)) =0.

2

Искомое дисперсионное соотношение является равенством нулю определителя системы линейных алгебраических уравнений (30) и записывается в форме соотношения

(1)

ехр(^)(41) ехр^Ь) - 7^ехр(7^)) + ехр^^Н

Ъ (30)

+^ттехр(41)/г)44) ехр(Лexp(/5/z,))9F(-+-) (h) = 0. 72 )

4. Результаты вычислительных экспериментов. Реализация представленной расчетной методики проведена для следующего варианта задания физико-механических и геометрических параметров модели:

С660 = С440 = 38 МПа, c660 = С44С) = c660 = С44С) = 14 МПа,

р0±) = 1800 кг/м3, р01) = р02) = 1650 кг/м3, H = 20 м.

Диапазоны варьирования параметров циклической частоты и волнового числа соответственно составляли ш G [0, 40] рад/с, k G [0, 40] рад/м; для параметров неоднородности выбирались значения ц = —1, Л = 0.1, в = 0.1.

На рисунке 1 представлены результаты расчетов в указанном диапазоне трех низших действительных ветвей анализируемого дисперсионного спектра. При этом можно отметить, что низшая мода характеризуется малой степенью дисперсии, но имеет ненулевую частоту запирания.

Далее, на рисунках 2-4 соответственно приведены результаты расчетов в точках по толщине слоя и вне слоя в полупространствах на удалении до двух

оН-.-1-.-1-.-1-.-г

I) 10 10 30 40

рад

м

Рис. 1. Фрагмент диаграммы дисперсионных кривых

Рис. 2. Распределение амплитуд нормированных смещений |и20(ж3)/и20(Ь)\ по толщине

волновода для волны первой моды

Рис. 3. Распределение амплитуд нормированных смещений |и20(ж3)/и20(Ь)\ по толщине

волновода для волны второй моды

Рис. 4. Распределение амплитуд нормированных смещений \и20(х3)/и20(Ь)\ по толщине

волновода для волны третьей моды

полутолщин слоя относительных амплитудных характеристик волновых перемещений для волн, имеющих частоту ш = 30 рад/с и принадлежащих трем различным рассчитанным модам спектра. Представляемые кинематические характеристики соответственно определяются выражениями \и2о(%з)/и2о(h)\.

Заключение. В результате проведенных исследований осуществлена разработка численно-аналитической методики описания процессов распространения локализованных сдвиговых горизонтально-поляризованных упругих волн в трансверсально-изотропном экспоненциально неоднородном слое между транс-версально-изотропными функционально-градиентными полупространствами с двойной экспоненциальной неоднородностью, интерпретирующей возмущение свойств материалов полупространства и экспоненциальной неоднородности слоя вблизи контактной плоскости. В аналитической форме получено дисперсионное соотношение для исследуемых локализованных волн. Проведена численная апробация предлагаемой методики для анализа дисперсионных и кинематических характеристик рассматриваемых волн.

Исследования проводились в ФГБОУ ВО «ДонГУ» в рамках государственного задания (№ госрегистрации 1023030100040-4- 1.1.2;2.3.1).

1. Rossikhin Y.A. Slightly inhomogeneous surface wave in an isotropic half-space in the presence of weak anisotropy by its surface / Y.A. Rossikhin //J. Acoust. Soc. Am. - 1992. - Volume 92, Issue 5. - P. 2741-2746. https://doi.org/10.112l/l.404391

2. Kumar S. Propagation of SH-type waves in inhomogeneous anisotropic layer overlying an anisotropic viscoelastic half-space / S. Kumar, P.C. Pal, S. Bose // International Journal of Engineering, Science and Technology. - 2014. - Vol. 6, No. 4. - P. 24-30.

3. Gupta S. Torsional surface waves in an inhomogeneous layer over a gravitating anisotropic porous half-space / S. Gupta, A. Pramanik // J. Phys.: Conf. Ser. - 2015. - Vol. 662. 012008 doi: 10.1088/1742-6596/662/1/012008

4. Kakar R. Dispersion of Love wave in an isotropic layer sandwiched between orthotropic and

prestressed inhomogeneous half-spaces / R. Kakar // Latin American Journal of Solids and Structures. - 2015. - 12 (10). https://doi.org/10.1590/1679-78251918

5. Zorammuana C. SH-Wave at a Plane Interface between Homogeneous and Inhomogeneous Fibre-Reinforced Elastic Half-Spaces / C. Zorammuana, S.S. Singh. // Indian Journal of Materials Science. - Vol. 2015. - Article ID 532939, 8 pages. http://dx.doi.org/10.1155/2015/532939

6. Vaishnava P.K. Propagation of Torsional Surface Wave in Anisotropic Layer Between Two Half-Spaces / P.K. Vaishnava, S. Kundua // Procedia Engineering. - 2016. - Vol. 144. - P. 1270-1277. - doi: 10.1016/j.proeng.2016.05.115

7. Болнокин В.Е. Анализ модели распространения сдвиговых упругих волн в полубесконечном трансверсально-изотропном функционально-градиентном геомассиве / В.Е. Болнокин, А.А. Глухов, В.И. Сторожев // Журнал теоретической и прикладной механики. -2022 - №3 (80). - С. 14-19. - doi: 10.24412/0136-4545-2022-3-14-19. - EDN: BOBAVC.

8. Глухов А.А. Интегрирование системы уравнений распространения произвольно ориентированных трехпарциальных поверхностных волн в функционально-градиентном орто-тропном полупространстве / А.А. Глухов, В.И. Сторожев, В.А. Шалдырван // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022 - №4 (81). - С. 15-22. - doi: 10.24412/01364545-2022-4-15-22. - EDN: JBHEKR.

9. Глухов А.А. Волны Лява в структуре «однородный изотропный слой на трансверсально-изотропном полупространстве с двойной экспоненциальной неоднородностью» / А.А. Глухов, В.И. Сторожев, В.А. Шалдырван // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2023. - №1 (82). - С. 32-39. - doi: 10.24412/0136-4545-2023-1-32-39. - EDN: ENGOVX.

10. Глухов А.А. Анализ модели распространения поверхностных релеевских волн в функционально-градиентном ортотропном полупространстве с приграничной локализованной зоной неоднородности / А.А. Глухов, В.И. Сторожев // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2023. - №2 (83). - С. 26-38. - doi: 10.24412/0136-4545-2023-2-26-38. - EDN: ETYFCH.

A.A. Glukhov, I.A. Moiseyenko, V.I. Storozhev

Localized shear waves in a transversely inhomogeneous anisotropic layer between inhomogeneous half-spaces.

A solution to the problem of propagation of symmetrical stationary localized shear horizontally polarized waves along the direction in the plane of a transversely isotropic elastic layer-inclusion with physical and mechanical characteristics varying along the coordinate along its thickness according to an exponential law has been constructed and analyzed. The layer is surrounded by ideally contacting elastic half-spaces of the same type of transversally isotropic materials with border zones of heterogeneity described by double exponential functions. For the type of wave motions under consideration, dispersion equations is obtained, some fragments of dispersion spectra and kinematic characteristics of the localized waves under study is calculated.

Keywords: layer between half-spaces, transversely isotropic functional-gradient materials, exponential and double exponential laws of heterogeneity, localized shear waves, dispersion characteristics, kinematic properties.

Получено 11.10.2023