CC BY
2ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.
№1 (82) / 2023.
УДК 539.3:534.1
doi:10.24412/0136-4545-2023-1-32-39 EDN:ENGOVX
©2023. А.А. Глухов1, В.И. Сторожев2, В.А. Шалдырван3
ВОЛНЫ ЛЯВА В СТРУКТУРЕ «ОДНОРОДНЫЙ ИЗОТРОПНЫЙ СЛОЙ
НА ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С ДВОЙНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ»
Получено решение задачи о распространении обобщенных локализованных сдвиговых волн Лява в волноводной структуре из однородного изотропного слоя и идеально контактирующего с ним поперечно-неоднородного функционально-градиентного трансверсально-изотропного полупространства, изменение физико-механических характеристик которого по глубине задается двойной экспоненциальной функцией. Применяемый способ описания непрерывной неоднородности характеризует локализацию области интенсивных изменений физико-механических параметров материала полупространства в приграничной области и асимптотическое сглаживание закона изменения свойств в глубине массива. Сформулировано основное дисперсионное соотношение и проведены численные исследования некоторых эффектов влияния показателей неоднородности материала полупространства на характеристики рассматриваемых локализованных волн, в частности на фазовые скорости волн из низшей моды.
Ключевые слова: локализованные волны Лява, слой на неоднородном полупространстве, двойной экспоненциальный закон неоднородности, основное дисперсионное уравнение, влияние параметров неоднородности, скорости волн низшей моды.
Введение и цели исследования. Обобщенные локализованные сдвиго-
1 Глухов Антон Александрович - аспирант каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонНУ, Донецк, e-mail: [email protected].
Glukhov Anton Alexandrovich - Postgraduate, Donetsk National University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
2 Сторожев Валерий Иванович - доктор техн. наук, проф., зав. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонНУ, Донецк, e-mail: [email protected].
Storozhev Valeriy Ivanovich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department, Donetsk National University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
3Шалдырван Валерий Анатольевич - доктор физ.-мат. наук, гл. науч. сотр. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонНУ, Донецк, e-mail: [email protected].
Shaldyrvan Valery Anatolievich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Chief Researcher, Donetsk National University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
вые волны Лява в различных модификациях волноводных структур «упругий слой на упругом полупространстве», несмотря на достаточно длительный период весьма разностороннего анализа в работах отечественных и зарубежных авторов [1, 2], по многим аспектам остаются предметом дальнейших актуальных с теоретической и прикладной точек зрения исследований. В частности, это связано с разносторонними применениями волновых движений данного типа в датчиках, измерительных приборах и акустоэлектронных устройствах [3-5], в сейсмологических и геоакустических исследованиях [6, 7], и в некоторых других научно-технических отраслях [8-10]. Для указанных приложений в самой существенной мере представляют интерес неклассические варианты постановки задач о спектре и свойствах обобщенных локализованных волн Лява, связанные с вариациями свойств материалов волноводной структуры, типами граничных условий на внешней поверхности и в плоскости контакта слоя с полупространством [11-13].
В данном контексте целью настоящей работы является получение и анализ аналитической формы дисперсионного соотношения, описывающего закономерности распространения обобщенных локализованных волн Лява в ранее не рассматривавшейся волноводной структуре, образуемой идеально контактирующими компонентами в виде однородного изотропного слоя и функционально-градиентного трансверсально-изотропного полупространства с неоднородностью по глубине, описываемой двойной экспоненциальной функцией. Выбор такого закона непрерывного изменения физико-механических свойств полупространства отвечает свойству локализации области интенсивных изменений физико-механических параметров материала в его приграничной зоне и асимптотическому сглаживанию закона изменения свойств в глубине массива.
1. Формулировка соотношений математической модели и получение основного дисперсионного уравнения. Рассматривается задача о распространении локализованных БН-волн в отнесенной к нормированным пространственным прямоугольным координатам волноводной структуре в виде однородного изотропного упругого слоя толщиной Н, лежащего на неоднородном по глубине функционально-градиентном трансверсально-изотропном полупространстве (рис. 1). Величина Н служит в последующих соотношениях рассматриваемой модели нормирующим параметром для всех характеристик с линейной размерностью расстояния. Ось изотропии и направление непрерывной неоднородности полупространства ортогональны граничной плоскости. В качестве направления распространения рассматриваемых волн без ограничения общности выбирается координатное направление Ох\.
При описании соотношений исследуемой математической модели колебательного волнового деформирования с циклической частотой ш комплексные функции волновых перемещений
и] (xl,xз,í) = из о(хз) ехр(—г(ш1 — кх1)) (1)
и напряжений
Ъз (хьхз,^ = а^ о(хз)ехр(—г(шí — кх1)),
а также физико-механические параметры материалов и амплитудные характеристики из0(х3), а^з0(х3) для соответствующих полей в слое и полупространстве, соответственно отмечаются далее верхними индексами (с) и (п).
Рис. 1. Структура сечения рассматриваемого волновода
Уравнения волнового деформирования и определяющие соотношения для компонентов волновода в рассматриваемой модели имеют вид
д1а'1 + д3а23 — р(с)4с) = 0, а'! = лд1и'С, а'3 = ¡д3и
(с). 2 .
(3)
д1а(П) + д2а'п3) — Р(п)(х3)4п) =0,
(4)
= Сбвп(х3)д1и2п), = С44п (х3)д3 и'п);
где
С66П(х3) = с^ • <р(\,в,х3), С44п(х3) = С^ • <р(\,в,х3),
(5)
Р(п)(х3) = р0П) • р(\,в,х3), (р(\,в,х3)=ехр(Лехр(—вх3)), дз = д/дхз,
(с) тт (п) (п) (п)
Л, р(с) - параметр Ламе и плотность материала слоя; с66 , с44 , Р0 - параметры функционально-градиентного материала полупространства; Л, в - охарактеризованные в работе [14] действительнозначные параметры неоднородности. Краевые условия на граничных поверхностях волновода имеют вид
а'30 (Н) = 0, и'С? (0) = и'п0) (0), а230 (0) = а'п0 (0) • (6)
При подстановке представлений (1), (2), (5) в (3), (4) и краевые условия (6) система соотношений рассматриваемой задачи трансформируется в однородную краевую задачу для нормированных амплитудных составляющих и20)(х3),
Волны Лява в структуре с двойной экспоненциальной неоднородностью ^20 (хз), включающую уравнения
¿20 (хз) + СПО (хз) = 0, (7)
(хз) - а24П(хз) = ^е-вхзп^(хз), (8)
где
С2 = (р^2 - М2)/^, а2 = (с6п6)к2 — рО"^2)/^, 7 = Ав, (9)
а также следствия из условий (6)
(Н) = 0, п2Со)(0) = п2п0)(0), цп20 (0) = С4п)(0)п2п) (0). (10)
Интегрирование и выбор формы решения уравнения (7) представлены в исследованиях по проблеме распространения волн Лява в классической постановке [1, 2], согласно которым
п2с0)(хз) = Л1 сов(к^хз) + Л2 вт(к0хз),
ст2зо = —Л1 цкА в1п(к0хз) + Л2^к§ сов(к^хз), = (сь/с)2 — 1,
(11)
22
2з0
Л1, Л2 — произвольные постоянные; к, сь — соответственно искомые параметры волнового числа и фазовой скорости обобщенных локализованных волн Лява; с — параметр фазовой скорости объемных волн сдвига в изотропном материале слоя.
Согласно описанной в работе [14] процедуре интегрирования уравнения вида (8), его решение, представляющее волновое поле в функционально-градиентном полупространстве при двойном экспоненциальном законе поперечной неоднородности, может быть записано в аналитической форме
п2п0)(хз ) = Лз/- (хз), (12)
4п0(хз) = Лзс4П ехр(Аехр(—вхз))/-(хз), (13)
где
те п
/-(хз) = е-ахз + 7п[П(—а — (р — 1)в)((—а — Рв)2 + а2)-1]е(-а-пв)хз,
п=1 р=1
п
(14)
/- (хз) = —ае-ахз + —а!п Д(—а — рв)((—а — рв)2 + а2)-1 ]е(-а-пв)хз.
п=1 р=1
Подстановка выражений (11)—(13) в краевые условия (10) приводит к однородной системе линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов Л1, Л2, Лз
—Л^Ы в'т(к^Н) + Л2сС М сов(к^Н) = 0,
Л1 — Лз/-(0)=0, (15)
Л2с(С4)к^ — Лзс(п4)ел /- (0) = 0.
Равенство нулю определителя системы (15) и является формулируемым в аналитической форме дисперсионным уравнением для исследуемых обобщенных локализованных волн Лява
^(к, ш) =
—с^кА Бт(кАИ) с£}кА еов(кАИ) 0
1 0 —/_(0)
0 ¿¿>М с4п)ехг_ (0)
(16)
= — с^)2 $т(квИ)/_ (0) — СщС^екв еои(крИ)ех/_(0) = 0.
После определения корней к (ш) уравнения (16) формы соответствующих волновых движений в компонентах волновода с точностью до нормирующего масштабного множителя А рассчитываются по формулам
4о(жз) = А(еов(Ыхз) + (¿¿кА вт^АИ)^ кА еов(кАИ )вт(кАхз)),
( \ (17) 4^(хз ) = А(1//_ (0))/_ (хз).
Распределения амплитуд напряжений в обобщенных волнах Лява по толщине компонентов волновода в свою очередь описывается соотношениями
о 2 до = —А(цкА в'т(кАхз) + (с^кА 8т(кАИ)/с42 кА еов(кАИ)цкА еов(кАхз)),
(п) 2п) (18)
о2з0(хз) = Азс44 ехр(Лехр(—вхз))/_(хз),
2. Результаты вычислительных экспериментов. Численная реализация представленной методики поиска корней дисперсионного уравнения (16) с варьированием параметров циклической частоты ш и неоднородности Л, в дана
2 ) 2п) 2п) 2п)
применительно к случаю выбора параметров И, ц, р(С), с66 = с44 , Р0 , представленного в работе [7]:
И =20 м, ц = 14 МПа, р(с) = 1650 кг/мз, (19)
с6П) = с4П) = 38 МПа, р0п) = 1800 кг/мз,
и, соответственно, при с = 146.18 м/с.
На рисунке 2 в качестве примера приведены результаты расчетов действительных и мнимых ветвей диаграммы дисперсионного спектра волн Лява для волновода рассматриваемого типа с характеристиками (19) и параметрами неоднородности Л = 0.1, в = 0.1, ав таблице 1 даны результаты расчетов фазовых скоростей сь, м/с бегущих локализованных волн из низшей моды спектра при варьировании обоих параметров неоднородности.
Анализируя представленные в таблице результаты расчетов можно сделать вывод, что для более высоких частот влияние параметров неоднородности на скорость волн Лява из низшей моды спектра становится все менее выраженным. Относительно существенные изменения скорости волн низшей моды для рассматриваемого волновода можно наблюдать для диапазона частот от 15 до
401 301 201 101 0 10 20 30 40
Рис. 2. Фрагмент диаграммы дисперсионного спектра исследуемых локализованных волн в волноводе с параметрами (19) и коэффициентами неоднородности Л = 0.1, в = 0.1
Таблица 1.
Значения скоростей волн Лява из низшей моды дисперсионного спектра, м/с
Л /3 со, рад/с
15 16.5 18 19.5 21 22.5 24 25.5 27 28.5
0 0 349.3 191.6 154.8 137.4 127.0 120.2 115.4 111.8 109.1 106.9
0.1 0.5 337.27 189.9 154.0 137.4 127.0 120.2 115.4 111.8 109.1 106.9
1.0 337.28 189.9 154.0 137.4 127.0 120.2 115.4 111.8 109.1 106.9
1.5 337.28 189.9 154.0 137.4 127.0 120.2 115.4 111.8 109.1 106.9
2.0 337.29 189.9 154.0 137.4 127.0 120.2 115.4 111.8 109.1 106.9
1.0 0.5 279.86 179.4 148.8 137.3 127.0 120.2 115.4 111.8 109.1 106.9
1.0 278.59 179.0 148.3 137.1 127.0 120.2 115.4 111.8 109.1 106.9
1.5 276.99 178.5 148.1 136.6 126.9 120.2 115.4 111.8 109.1 106.9
2.0 275.28 178.0 143.6 136.0 126.8 120.1 115.4 111.8 109.1 106.9
2.0 0.5 256.32 189.8 144.9 137.2 127.0 120.2 115.4 111.8 109.1 106.9
1.0 252.32 171.9 143.8 136.5 126.9 120.2 115.4 111.8 109.1 106.9
1.5 247.50 169.9 142.5 135.4 126.6 120.1 115.3 111.7 109.0 106.8
2.0 242.54 168.0 141.1 134.2 126.2 119.9 115.2 111.7 109.0 106.8
3.0 0.5 245.63 170.2 144.5 136.9 127.0 120.2 115.4 111.8 109.1 106.9
1.0 238.15 166.6 142.8 135.7 126.6 120.1 115.3 111.8 109.1 106.9
1.5 229.46 162.1 140.8 134.1 126.1 119.8 115.2 111.7 109.0 106.8
2.0 220.81 157.5 138.9 132.4 125.3 119.5 115.0 111.6 108.9 106.8
20 Гц. Влияние неоднородности на скорости волн более высоких мод является еще менее значительным, что дает повод говорить и об отсутствии в этом случае достаточно явных изменений в топологической структуре ветвей дисперсионного спектра.
Заключение. Численный анализ полученного дисперсионного соотношения для волн Лява в волноводе рассматриваемого типа, обнаруживает ряд эффектов в параметрических зависимостях фазовых скоростей изучаемых волн от характеристик локализованной неоднородности, перспективных для учета в прикладных исследованиях в области сейсмоаккустики.
1. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах / И.А. Викторов. - М.: Наука, 1981. - 142 с.
2. Royer D. Elastic Waves in Solids I. / D. Royer, E. Dieulesaint. - Berlin: Springer, 2000. - 306 P.
3. Zhang S. Frequency dispersion of Love waves in a piezoelectric nanofilm bonded on a semiinfinite elastic substrate / Sijia Zhang, Bin Gu, Hongbin Zhang, Rongying Pan, Alamusi, Xiqiao Feng // Chinese Journal of Mechanical Engineering. - 2015. - V. 28, No. 6. - P. 1157-1162. D0I:10.3901/CJME.2015.0709.090
4. Ezzin H. Love waves propagation in a transversely isotropic piezoelectric layer on a piezomagnetic half-space / Hamdi Ezzin, Ben Amor Morched, Mohamed Hedi Ben Ghozlen // Ultrasonics. -2016. - V. 69. - P. 83-89.
5. Singhal A. Surface wave propagation in functionally graded piezoelectric material: An analytical solution / Abhinav Singhal, S. A. Sahu, Soniya Chaudhary // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. - 2017. - 29(3):1045389X1770804 D0I:10.1177/1045389X17708047
6. Назаров Ю.П. Расчетные модели сейсмических воздействий / Ю.П. Назаров. - М.: Наука,
2012. - 414 с.
7. Позняк Е.В. Моделирование пространственно-временного поля волн Лява по акселерограмме /. Е.В. Позняк // Строительство и реконструкция. - 2017. - №6 (74). - С. 32-42.
8. Jakoby B. Properties of Loves waves: application in sensors / B. Jakoby, M.J. Vellekoop // Smart Mater. Struct. - 1997. - V. 6. - P. 668-679.
9. Mchale G. Resonant conditions for Love wave guiding layer thickness / G. Mchale, M.I. Newton, F. Martin, E. Gizeli, K.A. Melzak // Appl. Phys. Lett. - 2001. - V. 79. - P. 3542-3543.
10. Kalantar-Zadeh K. Novel Love mode surface acoustic wave based immunosensors. / K. Kalantar-Zadeh, W. Wlodarski, Y.Y. Chen, B.N. Fry, K. Galastis // Sensors and Actuators. B. - 2003. - V. 91. - P. 143-147.
11. Бирюков С.В. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах / С.В. Бирюков, Ю.В. Гуляев, В.В. Крылов, В.П. Плесский. - М.: Наука, 1991. - 414 с.
12. Кузнецов С.В. Волны Лява в стратифицированной моноклинной среде / С.В. Кузнецов, В.Л. Мондрус // Прикладная математика и механика. - 2012. - Т. 85, № 3. - С. 347-367.
13. Kong Y.-P. Propagation of love waves in the orthotropic layer/functionally graded piezoelectric half-space / Y.-P. Kong, C.-H. Chen, J.-X. Liu // Journal of Shanghai Jiaotong University. -
2013. - V. 47, No. 2. - P. 210-215.
14. Болнокин В.Е. Анализ модели распространения сдвиговых упругих волн в полубесконечном трансверсально-изотропном функционально-градиентном геомассиве / В.Е. Болно-кин, А.А. Глухов, В.И. Сторожев. // Журн. теорет. и прикладной механики. - 2022. -№ 3(80). - С. 14-19.- doi:10.24412/0136-4545-2022-3-14-19. - EDN:BOBAVC.
A.A. Glukhov, V.I. Storozhev, V.A. Shaldyrvan
Love waves in the structure "homogeneous isotropic layer on a transversal-isotropic half-space with double exponential inhomogeneity".
A solution to the problem of the propagation of generalized localized shear Love waves in a waveguide structure from a homogeneous isotropic layer and a transversely inhomogeneous functionally gradient transversely isotropic half-space ideally contacting with it, the change in the physical and mechanical
characteristics of which with depth is given by a double exponential function, is obtained. The method for describing continuous inhomogeneity characterizes the localization of the region of intense changes in the physical and mechanical parameters of the material of the half-space in the near-boundary region and the asymptotic smoothing of the law of change in properties in the depth of the array is applied. The main dispersion relation is formulated and numerical studies are carried out of some effects of the influence of the inhomogeneity indices of the half-space material on the characteristics of the considered localized waves, in particular, on the phase velocities of waves from the lowest mode.
Keywords: localized Love waves, layer on an inhomogeneous half-space, double exponential inhomogeneity law, main dispersion equation, influence of inhomogeneity parameters, wave velocities of first mode.
n0A.y%eH0 23.01.2023
