ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГИХ ВОЛН КРУТИЛЬНОГО ТИПА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТРЕХФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫХ СПЛОШНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№2 (79) / 2022.

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.3:534.1

doi:10.24412/0136-4545-2022-2-5-15 EDN:ATARHS

©2022. И.А. Моисеенко, Н.Ю. Мельничук

ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГИХ ВОЛН КРУТИЛЬНОГО ТИПА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТРЕХФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫХ СПЛОШНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ

Определена трехфакторная модель радиальной функциональной неоднородности физико-механических параметров трансверсально изотропного материала сплошного цилиндрического волновода для случая распространяющихся осесимметричных нормальных упругих волн крутильного типа. Общие решения системы дифференциальных уравнений классической математической модели для указанного волнового процесса построены в виде равномерно сходящихся степенных рядов с определяемыми из явных рекуррентных соотношений коэффициентами. Представлен сопоставительный анализ результатов численного эксперимента, поставленного для случаев однородного и функционально неоднородного трансверсально изотропных свободных волноводов. Изучены эффекты влияния функциональной радиальной неоднородности материала волновода на топологию дисперсионных спектров, распределение фазовых и групповых скоростей бегущих крутильных волн, кинематические характеристики волнового процесса. Приведены количественные и качественные оценки полученных численных результатов.

Ключевые слова: функционально-градиентные материалы, трансверсально изотропный, цилиндрический волновод, крутильные волны, базисные решения, дисперсионные соотношения.

Введение. При решении задач о распространении нормальных упругих волн в изотропных, трансверсально-изотропных и цилиндрически ортотропных функционально радиально-неоднородных протяженных цилиндрах кругового поперечного сечения для получения общих аналитических решений системы дифференциальных уравнений классической трехмерной математической модели волнового деформирования апробирован подход, связанный с наложением определенных ограничений на вид функциональных законов радиальной неоднородности физико-механических характеристик материала волновода. В этом направлении оказался плодотворным подход, основанный на задании с точностью до константного сомножителя единого для всех физико-механических характеристик экспоненциально-степенного закона радиальной неоднородности. Таким

способом построены в аналитическом виде общие решения математической модели и исследованы эффекты влияния фактора радиальной неоднородности материала на топологию дисперсионных спектров, распределение фазовых и групповых скоростей, кинематические характеристики распространяющихся осесим-метричных и неосесимметричных нормальных упругих волн в изотропных [1], трансверсально-изотропных [2, 3] и цилиндрически ортотропных [4] протяженных цилиндрах кругового поперечного сечения.

В данном исследовании представлена трехфакторная модель радиальной неоднородности трансверсально-изотропного материала сплошного цилиндрического волновода для случая распространяющихся волн крутильного типа, свободная от наложения каких бы то ни было ограничений на регулярные в области волновода функциональные законы радиальной неоднородности задействованных в математической модели указанного волнового процесса физико-механических характеристик материала цилиндра, на основе которой построены общие аналитические решения системы дифференциальных уравнений целевой математической модели и исследованы свойства бегущих крутильных волн.

1. Постановка задачи. Рассматривается имеющий в поперечном сечении форму круга радиуса R* протяженный цилиндрический волновод, занимающий в нормированной параметром R* безразмерной цилиндрической системе координат Ordz область V (рис. 1)

V = {r е [0,1], в е [-п; п], z е (-Ю-, ж)} .

Полагается, что радиально-неоднородный материал волновода является трансверсально-изотропным

р = р*P(r), cmn = С* Стп (r)

(mn = 11,12,13, 33, 44; r е [0,1]). (1)

Здесь С = p(r) > 0 и Стп = Стп(r) > 0 (r е [0,1]) - соответственно нормированные параметрами р* = const и С* = const произвольные, в пределах допустимости варьирования значений физико-механических характеристик, функциональные законы изменения вдоль радиальной координаты плотности и модулей упругости неоднородного материала.

В задаче исследования нормальных упругих осесимметричных крутильных волн, распространяющихся вдоль оси 0z с круговой частотой ш и нормированным параметром R* продольным волновым числом k (k е C), компоненты вектора перемещений получают вид

Щ = Щ (r)exp(-iwt + ikz), ur = uz = 0. (2)

Рис. 1.

Соответственно, уравнения пространственной линейной математической модели динамического напряженно-деформированного состояния упругих тел в системе координат ОтОх с учетом соотношений (2) записываются в терминах тождественно не равных нулю вещественных амплитудных составляющих безразмерных компонент вектора перемещений й$ = й$ (т), тензоров деформаций ё$г =

£0z(r), ere = £re(r), err = eee = ezz = erz = О,

eez (r,z,t) = ieez (r)exp(—iwt + ikz), ere(r,z,t) = ere(r)exp(—iwt + ikz), (3) и напряжений gqz = (Tez{r), áre = are(r), arr = gqq = azz = arz = 0,

aez(r,z,t) = iTez (r)exp(—iwt + ikz), are(r,z,t) = Tre(r)exp(-iwt + ikz), (4) в таком виде:

eez = kuQ, ere = (dr - r-l)ue, (5)

с ez = T44 eez, Tre = h^re,, (6)

(dr + 2r-1) Tre — k Tez + pü2üe = 0. (7)

Здесь сое = cee(r) = (сn(r) — сn(r))/2, d r — d/dr. В обыкновенном дифференциальном уравнении (7) используется безразмерная приведенная частота Q2 = p*Rlu2/C*.

Представленная математическая модель (1)—(7) включает также однородные краевые условия свободной

Tre(1) = 0, (8)

либо жестко закрепленной

ue (1) = 0 (9)

граничной поверхности.

2. Базисные решения и дисперсионные соотношения. С целью построения базисных решений уравнений модели (5) - (7) уравнение (7) с учетом представлений (5), (6) переписывается в виде

r2u'e + r(1 + rTee/сее)й'е — (1 + re'ee/eee — Ü2r2p/eee + k2r2C44/cee )üe = 0. (10)

Вводятся представления

<p = p(r)=ln(cee), = ^i(r) = C44/сее, Ф2 = fa(r) = p/сее, (11)

в соответствии с которыми, с учетом представлений (5), соотношения (6) и уравнение (10) получают соответственно вид

aez = k^iexp(ip)üe, a re = exp(p)(üg — r-1üe); (12)

r2ue + r(1 + rp')ü'e — (1 + r^ — Q2r2^2 + k2r2^i)üe = 0. (13)

Таким образом, для волнового процесса рассматриваемого типа представления (11) определяют следующую трехпараметрическую модель радиальной неоднородности трансверсально изотропного материала

С66 = ехр(р), С44 = ф1ехр(^), р = ф2ехр(^), (14)

где ^>(г), ф1(г) > 0, ф2(г) > 0 -произвольные, в пределах допустимости варьирования значений физико-механических характеристик Сбб(г), С44 (г) и р(г), функции.

Далее полагается, что функции ^>(г), ф1(г) и ф2(г) удовлетворяют достаточному условию их разложимости в ряд Маклорена на интервале г € (—С, С) (*> 1)

те те те

р(г) = ^ апгп, фх(г) = ^ Ьпгп, ф2(г) = ^ спгп (15)

п=0 п=0 п=0

С учетом представлений (15) искомое, регулярное в окрестности точки г = 0, частное решение уравнения (13) строится в виде

те

4Ч)(г) = Х(г) = Е (тгт+ ( = 1,п > 0), (16)

т=0

с подлежащими определению параметром п и коэффициентами (т (т > 1). В результате подстановки представлений (15), (16) в уравнение (13), с учетом формально дополняющих разложения (15), (16) определений

а3 = Ь3 = = 4 = 0 (в < 0), (17)

получается однородное функциональное уравнение

те р—1

+ п)2 — 1( + ^ ((р — т)(т + п — 1)аР-т+

р=0 т=0

+ 02Ср_т-2 — к\-т-2)йт]гР = 0 (г > 0). (18)

Из уравнения (18) в результате приравнивания нулю коэффициентов при различных степенях р независимой переменной г в случае степени р = 0 с учетом (10 = 1 однозначно определяется значение параметра п = 1 , а для степеней р > 1 получаются рекуррентные соотношения

1

йр =———^{т{т-р)ар-т + кЧр-т-2-^2Ср-т-2)йт (р = 1,2,...). (19)

т=0

Окончательно общее решение уравнений (5), (12), (13) записывается через определяемое соотношениями (16), (17), (19) базисное частное решение уравнения (13) % = х(г) в виде

йг = е*х, = с*кх, £тв = двг = е*кф1 ехр(^)х, сгтв = е*ехр(р)д, (20)

где с* - произвольная константа;

те

# = #(т) = X - т-1Х = ^ т(1ттт■ (21)

т=1

Следует отметить, что рекуррентные соотношения (19) обеспечивают равномерную сходимость разложений (16), (21) при любых т > 0 . В случае однородного материала волновода

<Р = ао, Ф1 = Ьо, Ф2 = со, (22)

частное решение уравнения (13) в области т > 0 имеет классический вид

й(;\т)= ч-1Ъ(чт). (23)

Здесь

72 = со^2 - Ьок2; (24)

Зп(£) - функция Бесселя. Сомножитель в представлении (23) введен с целью исключения избыточно привнесенной функцией ,11(^т) в спектр жестко защемленного волновода бездисперсной моды 7 = 0. При этом бездисперсная мода 7 = 0 остается в спектре свободного однородного волновода. Очевидно, что представление (16), с учетом соотношений (17), (19) в случае однородного материала волновода (22), идентично представлению (23) с учетом соотношения (24).

Граничные условия (8) и (9) определяют дисперсионные уравнения относительно безразмерного продольного волнового числа к и приведенной частоты О, которые для свободной граничной поверхности волновода принимают вид

Ф(я)(к, О) = $(1) = 0, (25)

а для жестко закрепленной — вид

Ф(и)(к, П)= х(1)=0■ (26)

В случае однородного материала (22) с учетом соотношений (23), (24) указанные дисперсионные уравнения соответственно для свободной граничной поверхности волновода могут быть записаны также в виде

Ф(^(7) = Зо(7) - 27-1М7) = 0, (27)

а для жестко закрепленной — в виде

фи )(1)= 31 (^) = 0■ (28)

Следует отметить, что в рассматриваемой трехфакторной модели неоднородности (14), уравнения (25) и (26), в случае неоднородного материала волновода,

определяют в области изменения параметров k и Q соответствующие многозначные неявно заданные функции. Каждая однозначная ветвь такой многозначной функции -— суть отдельная мода соответствующего дисперсионного спектра волнового процесса. В то время, как для однородного материала волновода (22), уравнения (27) и (28) определяют соответствующие дискретные множества значений параметра y > 0

Y G (YnC=i, (29)

задающие с учетом представления (24) соответствующие множества явно определенных однозначных, принимающих вещественные или мнимые значения функций

{knmZi = {V(c0n2-rt)/bo}™=i (fi>0). (30)

Окончательно, дисперсионный спектр волнового процесса в этом случае формируется как совокупность мод, определяемая множеством функций (30) для соответствующего набора значений параметров Yn (29). Здесь необходимо отметить, что в случае одинакового, с точностью до сомножителя, функционального закона радиальной неоднородности упруго-механических характеристик С44 и р (Ф1/Ф2 = const), дисперсионный спектр формируется так же, как и для однородного материала волновода.

3. Численный эксперимент. Анализ дисперсионных спектров и кинематических характеристик волнового процесса рассматриваемого типа проводился для свободного однородного волновода из цинка (Zn)

с 1i ) = 16, 35C*; с I12 ) =2, 64C*; с 1з ) =5,17C,; с З33 ^ = 5, 31C,; (31)

c44n) = 3, 78C*; p(Zn) = 7.134р,, C\ = 1010Я/м2, р, = 103кг/м3,

а также для свободного неоднородного волновода, функциональные законы неоднородности для используемых в уравнениях математической модели (5)—(7) упруго-механических характеристик материала которого, были заданы так:

с (Zn)_ c(Zn)

Сбб(г) = 11 2 12 (1-0.15Г), С44(г) = 644 (1 + О.Зг3), р = р^п\ (32)

На рисунке 2 визуализированы представленные выше функциональные законы неоднородности. Пунктирными линиями представлены соответствующие характеристики в случае однородного материала волновода.

Представления для функциональных составляющих (15) используемой трех-факторной модели неоднородности для заданных функциональных законов (32) были получены методом наименьших квадратов из соотношений (11) в виде полиномов пятого порядка (точность представленных здесь коэффициентов ниже использованной при вычислительном эксперименте)

у ~ 1.9249783-0.1500001г-0.0112488г2-0.0011299г3-0.0001175г4-0.0000226г5, ф1 ~ 0.5514219+0.0827462г+0.0120307г2 +0.1688472г3+0.0222266г4+0.0060786г5, Ф1 ~ 1.0407002+0.1561057г+0.0234079г2 +0.0035451г3+0.0004667г4+0.0001276г5.

7.5

2.5

----

0 0. »5 0. 30 0. 75 Г

Рис. 2.

Данные соотношения обеспечили максимальную абсолютную погрешность в представлениях (14), не превышающую 10_6.

В области изменения параметров к £ [0, 75] и О £ [0, 55] были построены спектры бегущих крутильных нормальных волн. Фрагменты спектров для однородного и неоднородного волноводов представлены соответственно на рисунке 3 и рисунке 4. Как уже отмечалось выше, спектр однородного волновода (рис. 3)

Рис. 3. Рис. 4.

содержит в качестве первой бездисперсную моду. Сопоставление представленных фрагментов спектра позволяют отметить только качественное различие топологической картины в высокочастотной коротковолновой части сопоставляемых спектров.

Для анализа количественных различий полученных спектров использовалась функция сравнения парных по номеру мод в соответствующих спектрах ДО(к) = (О(неодн)(к) - О(одн) (к)). На рисунке 5 представлены результаты сравнения первых восьми мод сопоставляемых спектров. Номера сравниваемых мод указаны в нижней части рисунков. В качестве выводов можно отметить смещение в область больших частот первой моды спектра неоднородного волновода по сравнению с бездисперсной первой модой спектра однородного волновода, а также ее фактическую трансформацию в бездисперсную при к > 20. Старшие моды спектра неоднородного волновода имеют тенденцию смещения в область

больших частот по сравнению с соответствующими модами спектра однородного волновода начиная только с некоторого значения нормированного продольного волнового числа к: вторая мода при к > 7.5; третья мода при к > 12 и т.д.

I— 1..... а — з — 4 — з' |— в..... 7 — Ц

Рис. 5.

Представленные ниже графики приведенных фазовых скоростей мод спектров соответственно однородного (рис. 6) и неоднородного (рис. 7) волноводов значимых визуальных различий не имеют.

О 10 20 30 40 а о 10 20 30 40 а

Рис. 6. Рис. 7.

Графики приведенных групповых скоростей мод спектров однородного и неоднородного волноводов представлены соответственно на рисунке 8 и рисунке 9. Можно отметить ожидаемое различие графиков приведенных групповых скоростей первой моды спектра неоднородного волновода (рис. 9) от соответствующего графика для бездисперсной моды спектра однородного волновода (рис. 8). Отмечается также более активное сближение значений групповых скоростей мод спектра неоднородного волновода в высокочастотной области по сравнению с однородным волноводом.

Был проведен анализ полученных кинематических характеристик исследуемого волнового процесса в однородном и неоднородном волноводах. На рисунках 10-17 представлены графики для нормированных амплитудных составляющих отличных от нуля компонент вектора перемещений и тензора напряжений для однородного и неоднородного волноводов при к = 7.5 и к = 20 в

Рис. 8.

0.50

0.25

/ .

1 1 1 1 ' / /// / .

1 1 1 1 ■ 1 1 1 ' | 1 1 I

10

20

30

40

Рис. 9.

о.

2__ 4--5 — -6

Рис. 10. Однородный волновод, вторая мода при к = 7.5

Рис. 11. Неоднородный волновод, вторая мода при к = 7.5

Рис. 12. Однородный волновод, пятая мода при к = 7.5

точках вторых и пятых мод соответствующих спектров (всего четыре точки). Такой выбор был обусловлен тем, что при к = 7.5 вторые моды сопоставляемых спектров имеют приблизительно одинаковое значение приведенной частоты О, а при к = 20 приблизительно одинаковое значение приведенной частоты О имеют пятые моды сопоставляемых спектров (рис. 5).

Рис. 13. Неоднородный волновод, пятая мода при к = 7.5

Рис. 14. Однородный волновод, вторая мода при к = 20

Рис. 15. Неоднородный волновод, вторая мода при к = 20

Рис. 16. Однородный волновод, пятая мода при к = 20

Рис. 17. Неоднородный волновод, пятая мода при к = 20

Анализ представленных результатов показал, что значимые различия в поведении кинематических характеристик волнового процесса в однородном и неоднородном волноводах качественно и количественно проявились только для более коротких волн при k = 20. Указанные эффекты носили более выраженных характер для точки на второй моде по сравнению с точкой на пятой моде.

Выводы. Полученные результаты перспективны для использования в прикладных исследованиях, связанных с расчетами характеристик волноводных компонентов акустоэлектронных устройств, анализа моделей ультраакустической диагностики.

1. Моисеенко И.А. Нормальные волны в функционально-градиентных сплошных цилиндрах / И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко // Журнал теоретической и прикладной механики. -2018. - № 1-2 (62-63). - С. 16-34.

2. Моисеенко И.А. Спектры нормальных упругих волн кручения в экспоненциально-неоднородных трансверсально-изотропных цилиндрах / И.А. Моисеенко // Теоретическая и прикладная механика. - 2014. - Вып. 9 (55). - С. 139-145.

3. Моисеенко И.А. Распространение нормальных волн вдоль трансверсально-изотропных функционально- градиентных цилиндров / И.А. Моисеенко //Вестник ДонНУ. Сер. А: Естественные науки. - 2018. - № 1. - С. 37-54.

4. Моисеенко И.А Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью / И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев // Механика твердого тела. - 2015. - Вып. 45. - С. 112-124.

I.A. Moiseyenko, N.I. Melnichuk

Investigation of torsional elastic waves using a three-factor model of functional inhomo-geneity of transversely isotropic solid cylindrical waveguides.

A three-factor model of the radial functional inhomogeneity of the physical and mechanical parameters of a transversally isotropic material of a solid cylindrical waveguide is determined for the case of propagating axisymmetric normal elastic waves of the torsional type. The general solutions of the system of differential equations of the classical mathematical model for the specified wave process are constructed in the form of uniformly convergent power series with coefficients determined from explicit recurrent relations. A comparative analysis of the results of a numerical experiment is presented for the cases of homogeneous and functionally inhomogeneous transversally isotropic free waveguides. The effects of the functional radial inhomogeneity of the waveguide material on the topology of dispersion spectra, the distribution of phase and group velocities of traveling torsional waves, and the kinematic characteristics of the wave process are studied. Quantitative and qualitative estimates of the obtained numerical results are given.

Keywords: FGMs, transversally isotropic, cylindrical waveguide, torsional waves, basic solutions, dispersion relations.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 28.01.2022

Donetsk National University, Donetsk

[email protected]