CC BY
3ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№3 (80) / 2022.
УДК 539.3:534.1
doi:10.24412/0136-4545-2022-3-33-59 EDN:NPEDMW
©2022. И.А. Моисеенко, Н.Ю. Мельничук
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПРОДОЛЬНО-СДВИГОВЫЕ УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ПРОТЯЖЕННЫХ СПЛОШНЫХ ЦИЛИНДРАХ ИЗ ШЕСТИФАКТОРНО ФУНКЦИОНАЛЬНО НЕОДНОРОДНОГО ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
Определены два альтернативных варианта шестифакторной модели радиальной функциональной неоднородности физико-механических характеристик трансверсально-изотропного материала сплошного цилиндрического волновода для случая распространяющихся осесиммет-ричных нормальных продольно-сдвиговых упругих волн. Представлены два подхода к определению функциональных составляющих указанных моделей. Для каждого из указанных подходов определено достаточное условие несильной радиальной неоднородности, обеспечивающее построение базисного матричного решения уравнений классической математической модели волнового деформирования для рассматриваемого типа волнового процесса. Элементы базисного решения выражены через аналитические функции, представленные своими разложениями с определяемыми из явных рекуррентных соотношений коэффициентами. Дан сопоставительный анализ результатов численного эксперимента, поставленного для случаев однородных и функционально неоднородных трансверсально-изотропных свободных волноводов. Изучены эффекты влияния функциональной радиальной неоднородности материала волновода на топологию дисперсионных спектров, распределение фазовых и групповых скоростей бегущих волн продольно-сдвигового типа, кинематические и силовые характеристики волнового процесса. Приведены количественные и качественные оценки полученных численных результатов.
Ключевые слова: функционально-градиентные материалы, трансверсально-изотропный, цилиндрический волновод, осесимметричные продольно-сдвиговые волны, многофакторная модель радиальной неоднородности, базисное решение, дисперсионные соотношения.
Введение. При решении задач о распространении нормальных упругих волн в изотропных, трансверсально-изотропных и цилиндрически ортотропных функционально радиально неоднородных протяженных цилиндрах кругового поперечного сечения для получения базисных аналитических решений системы дифференциальных уравнений классической трехмерной математической модели волнового деформирования оказался плодотворным подход, связанный с наложением ограничений системного характера на вид функциональных законов радиальной неоднородности физико-механических характеристик материала волновода. Подход основан на задании с точностью до константного сомножителя единого для всех физико-механических характеристик материала волновода экспоненциально-степенного закона радиальной неоднородности. Таким способом построены в аналитическом виде базисные решения математических моделей и исследованы эффекты влияния фактора радиальной неоднородности материала на топологию дисперсионных спектров, распределение фазовых и групповых скоростей, кинематические характеристики бегущих осе-
симметричных и неосесимметричных нормальных упругих волн в изотропных [1], трансверсально-изотропных [2, 3] и цилиндрически ортотропных [4] протяженных цилиндрах кругового поперечного сечения.
Уход от единообразного для физико-механических характеристик материала волновода функционального закона радиальной неоднородности связан с привлечением новых моделей, с одной стороны, в достаточной мере свободных от наложения принципиально сужающих область их применения ограничений, а с другой - обеспечивающих построение в аналитическом виде базисного решения математической модели исследуемого волнового процесса. Так в [5] для исследования волн крутильного типа в трансверсально-изотропном протяженном цилиндре предложена трехфакторная модель радиальной неоднородности, на основе которой построено базисное аналитическое решение соответствующих уравнений математической модели и исследованы свойства бегущих упругих крутильных волн.
В данном исследовании для случая распространяющихся волн продольно-сдвигового типа представлены альтернативные варианты шестифакторной модели радиальной неоднородности трансверсально-изотропного материала сплошного цилиндрического волновода, с учетом предложенных двух подходов их реализации в достаточной степени свободные от наложения системных ограничений на функциональные законы несильной радиальной неоднородности физико-механических характеристик материала цилиндра. Для предложенных вариантов модели неоднородности в матричной форме построены базисные аналитические решения уравнений математической модели рассматриваемого волнового процесса и исследованы свойства бегущих продольно-сдвиговых волн.
1. Постановка задачи.
Рассматривается протяженный цилиндрический волновод, имеющий в поперечном сечении форму круга радиуса Я* и занимающий в нормированной параметром Я* безразмерной цилиндрической системе координат Огвг область V (рис. 1)
V = {г е [0,1], в е [-п; п], г е (-то; то)} .
Полагается, что трансверсально-изотропный материал волновода является в радиальных направлениях функционально неоднородным рис ^
cs(r) = C*cs(r) (s = 11,12,13, 33, 44), p(r) = p*p(r) (r e [0,5)).
(1)
Здесь cs = cs(r) > 0 и p = p(r) > 0 - нормированные параметрами соответственно C* = const и p* = const, относящиеся к классу C*[0,5) произвольные, в пределах допустимости варьирования значений физико-механических характеристик, функциональные законы изменения вдоль радиальной координаты
модулей упругости и плотности неоднородного трансверсально-изотропного материала; ö (ö > 1) - параметр, границы допустимых значений которого будут определены ниже.
При рассмотрении распространяющихся вдоль оси Oz с круговой частотой ш и нормированным параметром R* продольным волновым числом k (k G C) нормальных упругих осесимметричных продольно-сдвиговых волн, пронормированные соответственно величинами R* и C* компоненты вектора перемещений и тензора напряжений в рамках пространственной линейной математической модели динамического напряженно-деформированного состояния упругих трансверсально-изотропных тел могут быть представлены так:
U(LSW) (r,z,t) =
V(LSW) (r,z,t) =
■ (LSW ) Ur
u(LSW ) uz
(r,z,t) (r,z,t)
= exp (—iwt + ikz) P
(LSW )—(LSW )
U
(r)
u,
(LSW)
e
= 0
alLSW) (r, z, t)
¿¿T) (r z, t)
(LSW) OZz
(LSW) ßrz
(y,
(r, z, t) (r, z, t) (LSW)
= exp (—iut + ikz) pLW)^(LSW) (r)
(2)
ez
aiLSW) - 0
Здесь Р^ и Р^, - квадратные диагональные матрицы размерности соответственно 2 х 2 и 4 х 4 комплексной нормировки векторов соответственно и^вш) (г, 2, и ) (г, г, ¿) с безразмерными отличными от тождественно-
го нуля компонентами соответственно вектора упругих перемещений и тензора напряжений
P
(LSW)
U
1,1
= 1,
P
(LSW)
U
2,2
= i;
(3)
P
(LSW)
s
3,3
= 1 (j = 1,3),
P
(LSW)
s
4,4
= i;
(4)
и^зш) = (г) и ^{ЬЗШ) = (г) - векторные радиальные ампли-
тудные составляющие, записываемые с учетом представлений (2) в таком виде
£(LSW ) =
-
(LSW)■ (LSW)
Uee
(LSW) Uzz
~ (LSW) <7 rz
(LSW)
Ur(LSW У
и(LSW )
M(LSW )-(LSW )
(5)
(r g [0,ö))
где ) = ) (г) (в = г, г), д^^) = ) (г) (в = гг,вв, гг,гг) -
вещественные радиальные амплитудные составляющие отличных от тождественного нуля компонент соответственно вектора перемещений и тензора напряже-- (ьяш) ~ (ьяш) , , . .
= М (г) - матричный дифференциальный оператор следую-
ний; М щего вида
М
(ЬЯШ)
Сцйг + С12 Г"1 -ЙС13
С12(1г + Сц Г"1 -ЙС13
С13 (йг + г-1) —ксзз
кс44 с44йг
(6)
Уравнения движения для рассматриваемого типа волнового процесса с учетом соотношений (1) - (6) в матричном виде могут быть записаны так:
= О (г е [0,5)).
(7)
(LSW)
(LSW)
Здесь ' = ' (г) - матричный дифференциальный оператор размер-
ности 2 х 2 с элементами
Б
^яш )
= г42г+г(1 + г^)(1г + Г^ -1 + Г2
1,1 V С11 С11 V С11 С11
Б
(LSW)
(LSW)
1,2
= _Лг2 ( £13 +
£44 Сц Си
Е!
Сц
Б
Б
^ЯШ)
= кг2 1 + £нЬг + А;г 1 + £Н + г£м
2,1 V С44/ V С44 С44
= гЧ2г+г 1 + Г^ )(1г + г2 П2-^-к2^
2,2 \ С44) \ С44 С44
О - нулевой вектор-столбец размерности 2; О2 = р*Я2^ш2/С* - безразмерная приведенная частота; йг = й/йг.
Представленная математическая модель (1) - (8) включает также классические однородные граничные условия свободной
^ЯШ) (1)
О,
1,4
(9)
либо жестко закрепленной
) (1) = О
(10)
граничной поверхности волновода.
2. Ш^естифакторная модель радиальной неоднородности. Вводятся в рассмотрение декартовая система координат ОХ1Х2 и комплексная переменная £ = Х1 + 1x2. Формально полагается, что неотрицательная часть вещественной полуоси системы координат ОХ1 Х2 совпадает с осью Ог
ОХ1 = Ог (Х1 > 0).
На плоскости комплексной переменной £ вводятся шесть произвольных аналитических в области |£| < 5 функций <р (£) и (£) = 1, 5). Описанный соотношениями (1) закон радиальной неоднородности с учетом вида представлений (8) далее определяется через введенные функции двумя способами:
С 11 (г) = еУ(г), с 12 (г) = фх (г) еУ(г), С13 (г) = ф2 (г) еУ(г),
Сзз (г) = ф3 (г) Ф4 (г) в^(г), С44 (г) = ф3 (г) в<*(г), (11-А)
р (г)= ф5 (г) е^(г) (г е [0,5));
С 11 (г) = ф3 (г) еУ(г), с 12 (г) = ф1 (г) ф3 (г) еУ(г), с 13 (г) = Ф2 (г) еУ(г),
С33 (г) = ф4 (г) е^(г), С44 (г) = е^(г), (11-Б)
Р (г) = ф5 (г) е^(г) (г е [0,5)) .
Соотношения (11-А) и (11-Б) задают альтернативные варианты шестифактор-ной модели радиальной неоднородности, далее использующейся при построении целевого решения уравнения (7).
Для проведения численных экспериментов с заданными конкретными функциональными законами
с* (г) > 0 (в = 11,12,13, 33, 44) , С(*) (г) > 0 г е [0,5) (12)
определение задействованных в представлениях (11-А) и (11-Б) аналитических в области |£| < 5 функций Lp (£) и фj (£) (j = 1, 5) может быть реализовано двумя способами.
Первым представлен подход аналитического определения указанных функций, применимый в случаях, когда функции ci*^ (r) (s = 11,12,13, 33, 44) и р(*) (r) допускают аналитическое продолжение на комплексную плоскость переменной t и при этом ci*} (t) (s = 11,12,13, 33, 44) и р(*) (t) в области |t| < 5 являются аналитическими. Этот случай является наиболее распространенным, поскольку физико-механические характеристики реальных функционально-градиентных материалов чаще всего определяются экспериментально в виде табличных значений, на основе которых уже задаются интерполяционные полиномы. Полагая, что cs (t) = (t) (s = 11,12,13, 33, 44) и р (t) = р(*) (£), получаются соответствующие представлениям (11-А) и (11-Б) определяющие соотношения
v (t) = ь ( С? (£)
Фз (t) =
С44
Р(*) -и
(t)'
Ф1 (t) =
Р(*) р12
(t )
Р(*) Р11
(t)
Ф2 (t) =
Ф4 (t) =
С33
(t)
р*) С44
(t)
Ф5 (t) =
С
(t)
С
р(*} (О
-(*) С 11
(t)
ii (t )' (ltI <5)
(13-А)
V (е) = 1п (4? (е)
Ф1 (е) =
"12
(е)
с*) 11
(е)
Ф2 (е) =
с*)
" 13
(е)
с44
(е)
Ф3 (е ) =
с
(*)
11
44
(е)
^4 (е ) =
с*)
"33
(е)
"44
(е)
Фъ (е ) =
р{*] ш
4? (6
(13-Б)
(1е I <8).
Очевидно, что представления (13-А) и (13-Б) с учетом ранее введенного условия 5 > 1 задают для обоих вариантов модели (11-А) и (11-Б) единое ограничение вида
1 < 5 < шт
"(И)
"(44)
(14)
где с *п) и с *44) - наименьшие по модулю нули функций соответственно с Ц (е) и 44 (е). Следует отметить, что в реализуемом соотношениями (11-А), (13-А) либо (11-Б), (13-Б) аналитическом подходе к определению искомых функций У (С) и Фз (С) {з = 1) условие (14), определяя границы допустимых значений для введенного параметра 5, фактически накладывает ограничения на вид заданных функциональных законов для упругих модулей с Ц (г) и 44 (г), сужая тем самым область применимости указанных моделей при построении целевого решения уравнения (7). Поэтому далее (14) будет называться достаточным (аналитическим) условием несильной радиальной неоднородности материала волновода.
Второй подход к определению функций <£>({) и гpj (£) = 1,5) реализуется любым численным методом, обеспечивающим аппроксимацию полиномами на отрезке г € [0,1] заданных вещественных из С1 [0, 5) функций (12). Получаются соответствующие приближенные представления
V (г) ~ 1п ( 4? (г)) , Ф1 (г) ^ 44 (г) с[\НгУ Ф2 (г) ^ (0 4? (г)'
V
с 11 (г) , Ф4 (г) „ 4? м 4:Пг)' Фъ (г) р(*) (г) ~ 4? (0 (г е [0,1])
V (г) ~ 1п ( '44 м), Ф1 (г) ^ 4? м 44 М Ф2 (г) ^ 44 (0 44 (г)'
, Ф4 (г) „ 4з (г) 44 м' Фъ (г) _ р(*) (г) ~ 4? (0 (г е [0,1])
(15-А)
(15-Б)
Здесь
N
N
а(р)гп
(:Р = 1,5).
(16)
= Мг) = Е-
п=0 п=0
Учитывая, что физико-механические характеристики реальных материалов могут быть предоставлены с весьма ограниченной точностью (относительная погрешность обычно не меньше 10_3), степень N полиномов (16), обеспечивающих соответствующую точность аппроксимации, может выбираться весьма
небольшой. Следует также отметить, что в реализуемом соотношениями (15-А), (16) либо (15-Б), (16) подходе к определению искомых функций ф (С) и Ф] (О 0 = 1> помим° естественных ограничений (12) отсутствуют дополнительные, аналогичные условию (14) ограничения на заданные функциональные законы для упругих модулей с^ (г) и с* (г). Указанные соображения обосновывают целесообразность применения данного подхода и в случае, когда заданный закон радиальной неоднородности (12) изначально представлен аналитическими в подходящей области |С| <5 (5 > 1) функциями
С* (С) (в = 11,12,13, 33, 44), р* (С). Например, в случае задания функциональных законов полиномами
4*1) (г) = 1 + яг2, с1* (г) = 1, (17)
при определении ф 1 (С) в рамках первого (аналитического) подхода для обоих вариантов модели (13-А) и (13-Б) получается разложение
те
ф1 (С ) = Т.(-я)п С2п (18)
п=0
и определяемые из условия (14) границы допустимых значений параметра 1д1 < 1 (несильная радиальная неоднородность модуля упругости с1*1) (г)). В то время, как реализуемый методом наименьших квадратов для соотношений (15-А), (16) и (15-Б), (16) второй (численный) подход к определению ф1 (С) порождает полином
N
ф1 (г) = 52 аПХ)гП, (19)
п=0
коэффициенты которого при д = 4 (сильная радиальная неоднородность модуля упругости (г)) для различных значений N представлены в таблице 1.
Таблица 1.
N а(1) а о 41] а{1] 41} а(1) а6 е
3 1.0222940 -0.7120511 -1.0809290 0.9854210 0.025
4 1.0031790 -0.1003681 -4.1393440 5.8788860 -2.4467320 0.005
5 0.9986906 0.1240594 -5.9347630 10.9060600 -8.1920670 2.2981320 0.0013
6 0.9990593 0.0975067 -5.6249820 9.5843210 -5.6430030 0.0322946 0.7552807 0.001
В последнем столбце таблицы 1 приведены значения абсолютной погрешности аппроксимации
е = тах ге[о,1]
с12) (г)
с*)
- 11
(г)
N
ЕаП1]гп
п=0
(20)
для соответствующих степеней полученных полиномов (19).
3. Базисные решения и дисперсионные соотношения. Рассматривается аналитическое продолжение на комплексную плоскость переменной е определяемых соотношениями (11-А) либо (11-Б) функций с3 (г) (в = 11,12,13, 33, 44) и р (г). Тогда соотношения (5) - (8) допустимо переписать так:
и^) (г) = и(ьзш)
е=г
(LSW) - (LSW)\
Ъ(Ь8№) (г) = (М^" и ')
(г е [0,5));
(г е [0,5));
е=г
] (LSW )_и (LSW)
о
< 5).
Здесь
и
(LSW)
и ^) (е ) =
U(LSW)'
—Г
U(LSW)
(21)
(22)
(23)
(24)
л. (LSW) „(LSW) , (LSW) , (LSW)
где иг = иг (е) и щ = щ (е) - аналитические продолжения на комплексную плоскость переменной е вещественных функций й^^) (г)
(LSW)
(е) - аналитические
~(LSW) , , и(LSW) и с^ ' (г); М
м(LSW) (е) и ](LSW)
]и
продолжения на комплексную плоскость переменной е вещественных матрич-
1 1 -й,r(LSW) . . ~ (LSW) , ,
ных дифференциальных операторов М (г) и ] (г), которые для соответствующих вариантов шестифакторной модели радиальной неоднородности (11-А) либо (11-Б) получают вид:
Ми
(LSW)
'е* ( + г_1ф1) -ке*Ф2
{ф( +'
1
-ке* ф2
е*ф2 ( + г-1) -ке*ф3ф4
Ми
(LSW)
ке*ф3
е*ф3 ( + г-1ф1) е*ф3 (ф 1 + г"1) е*ф2 ( + г"1)
ке*
е*ф3^
-ке* ф2 -ке* ф2 -ке* ф4 е* ^
(25-А)
(25-Б)
*
е
]и
(LSW)
1 = е2(2+е (1+еV1) ^+е ф + фО -1+
]и
(LSW)
(LSW)
1,2
+е2 (п2Фъ - к2ф3),
= -ке2 ((Ф2 + Ф3) ^ + Ф2 + Ф2),
]и
]и
(LSW)
2,1
= ке2 (1+Х1) ^ + ке (1+Х1+е X+V'))
= е24+е (1+ех3+еv0 ^+е2 - кЩ;
(26-А)
1
Б
(ЬЯШ)
11 = С24 + С {1 + Сф + хз)) ^ + С (Ф! + 01 + Фз) -1+
)
Б
)
1,2
+С2 (П2Х2 - к2Хб) , = -кС2 ((Х1 + Хб) 4 + Х4 + Ф2),
(26-Б)
Б
Б
(ЬЯШ)
2,1
= кС2 (1+ Ф2) ^ + кС (1 + ф2 + Сф') ,
2,2
= с24 + с (1+сф') ^+с2 (^2фб - к2ф4).
В приведенных соотношениях = й/йС и соответственно варианту используемой модели (11-А) либо (11-Б) определены вспомогательные функции
Х1 = Х1(С) =
Ф2 (С)
Х2 = Х2 (С) =
Фб (С)
Хз = Хз (С) =
ФЗ (С)
Фз (С)' ~ ~ ^ Фз (С)' ™ ^ ^ Фз (СУ Ф1 = ф1 (С) = Ф1 (С) Ф (С), Ф2 = Ф2 (С) = Ф2 (С) Ф (С);
(27-А)
Х1 = Х1(С) =
Ф2 (С)
Фз (С)'
Х4 = Х4 (С) =
Х2 = Х2 (С) =
Ф2 (С)
Фб (С)
Фз (С)' Хб = Хб (С) =
Хз = Хз (С) =
Фз (£)'
Фз (С)' Л0 Л°^ Фз(С)' Ф1 = ф1 (С) = Ф1 (С) ф' (С), Ф2 = Ф2 (С) = Х1 (С) Ф (С) Фз = Фз (С)= Хз (С) Ф1 (С).
(27-Б)
На эти функции также накладывается требование - они должны быть аналитическими в области |С| <5 (5 > 1) .
При использовании первого (аналитического) подхода к определению функций <р (£) и (£) = 1, 5) требование аналитичности вспомогательных функций Х] (С), Ф] (С) для обоих вариантов модели (11-А), (13-А), (27-А) и (11-Б), (13-Б), (27-Б) уже заложено в условие (14), поскольку в определяемой этим условием области |С| <5 соответствующие выбранному варианту модели функции Фз (С) нулей не имеют.
Если используется второй (численный) подход к определению функций ф (С) и ф^ (£) = 1, 5), то, как уже было отмечено выше, требование аналитичности вспомогательных функций Х] (С), Ф] (С) для обоих вариантов модели (11-А), (15-А), (27-А) и (11-Б), (15-Б), (27-Б) является единственным, помимо естественного условия (12) ограничением, обеспечивающим возможность построения целевого решения уравнения (23). Оно будет выполнено, если соответственно выбранному варианту модели (11-А), (15-А), (27-А) либо (11-Б), (15-Б), (27-Б) потребовать
1 <5 <|С*|,
(28)
1
где С* - наименьший по модулю нуль соответствующей выбранному варианту модели функции фз (С). Ограничение (28), накладывающее требования на вид заданных функциональных законов для упругих модулей с^ (г) и С* (г), далее по аналогии с (14) будет называться достаточным (численным) условием несильной радиальной неоднородности материала волновода.
Следует отметить, что для некоторых, удовлетворяющих достаточному (аналитическому) условию несильной радиальной неоднородности (14) функциональных законов сЦ (С), С* (С) и некоторых степеней аппроксимирующего полинома
N
фз (г) = ^2 аП)гП, (29)
п=0
используемое при численном подходе достаточное (численное) условие несильной радиальной неоднородности (28) может не выполняться, обусловливая тем самым невозможность построения целевого решения уравнения (23). Например, если к заданным соотношениями (17) функциональным законам добавить определение
4*4 (г) = 1+ рг, (30)
то при д = р = 0.5 (достаточное (аналитическое) условие несильной радиальной неоднородности (14) выполняется) для различных значений N методом наименьших квадратов в рамках вариантов модели (11-А) и (11-Б) согласно соотношениям соответственно (15-А) и (15-Б) строятся полиномы (29) с характеристиками, представленными в таблице 2.
Таблица 2.
N Вариант модели (11-А) Вариант модели (11-Б)
6 £А 6 £Б
2 1.0933007 6 • Ю-3 1.5767732 6 • ю-3
3 0.8020626 2 • Ю-3 1.3061290 6 • ю-4
4 1.0360860 з • ю-4 1.2831760 6 • Ю-5
5 0.9867653 8 • Ю-6 1.3476748 6- Ю-6
6 0.9733651 7- Ю-6 1.4829524 6- Ю-7
7 1.1051205 8 • Ю-7 1.4509852 6 • Ю-8
В таблице 2 и ниже представленной таблице 3 приведены значения абсолютной погрешности аппроксимации
£А
тах ге [од]
с(*) с44
(Г)
с1*1) (г)
N п=0
а(3) гп
тах ге [о,1]
с(*) с11
(г)
Ц (Г)
N
22
п=0
а(3) гп
(31)
для соответствующих степеней построенных полиномов (29), жирным шрифтом выделены значения параметра С*, при которых условие (28) не выполняется. На
основе представленной в таблице 2 информации можно сделать вывод, что при использовании второго (численного) подхода выбор модели (11-А) либо (11-Б), а также степени аппроксимирующего полинома (29) может иметь определяющее значение с точки зрения дальнейшей возможности построения целевого решения уравнения (23) даже в случае выполнения достаточного (аналитического) условия несильной радиальной неоднородности (14). С другой стороны, возможна ситуация, когда при невыполнении условия (14) использование второго (численного) подхода, а также подходящий выбор варианта модели (11-А) либо (11-Б) и степени аппроксимирующего полинома (29) может обеспечить выполнение достаточного (численного) условия несильной радиальной неоднородности (28), делая возможным построение целевого решения уравнения (23) с приемлемой точностью аппроксимации заданных функциональных законов модулей упругости материала волновода. Представленные в таблице 3 характеристики полинома (29) для ц = 0.3, р = 1.25 обосновывают применимость варианта модели (11-Б) совместно со вторым (численным) подходом и выбором степени N = 4 аппроксимирующего функцию фз (г) полинома е абсолютной погрешностью не хуже 10"3.
_Таблица 3.
N Вариант модели (11-А) Вариант модели (11-Б)
6 £А 6 £Б
2 0.5978713 з • ю-3 1.3910367 2 • Ю-2
3 0.6233704 2 • Ю-3 1.1159488 з • ю-3
4 0.9467001 8 • Ю-5 1.0079997 6 • ю-4
5 0.9207157 2 • Ю-5 0.9559652 2 • Ю-4
Для обоих вариантов модели неоднородности (11-А) и (11-Б) аналитические в области | <5 функциональные составляющие выбранной модели ф (£) и Фз (О {з = 1, 5), а также вспомогательные функции ({) (А : = 1, 3; Б : = 1, 5) и Фз (О (А : 3 = 1, Б : = 1, 3) могут быть представлены абсолютно сходящимися в указанной области разложениями вида
го
¥> = у(0 = £ФР = ФР(0 = Т,ап]С {р = Щ,
п=0 п=0
го
ХР(£) = £^)Г (А = Б:р = Щ, (32)
п=0
го
</>р(£) = £^р)Г (А :р = 1Д Б :р = Щ (|£| < 5) .
Для коэффициентов Ъп ^ {п = 0, оо) соответственно выбранному варианту модели получаются явные рекуррентные соотношения. С учетом совпадения пред-
ставлений для Xj (О {з = 1)3) в соотношениях (27-А) и (27-Б), рекуррентные
(р)
соотношения для Ьп допустимо записать в едином для обоих вариантов модели виде так:
(п— 1 \ / п— 1 \
ап — У ] Ьгпап—т I /а0 , Ьп = I ат — У ] Ьт ап—т I /а0 , т=0 ) \ т=0 )
Ьп3 = ( (п + 1) ап+1 — Ьтап—т I /а0 ,
т=0 (33)
/ п—1 = (33)
Ьп ) = ( (п + 1) ап+1 — Ьтап—т I /а0 ,
\ т=0 )
Ъ,<?> = (бо,п ~ £ /а<3) (п = 0^3) ,
\1, m = п (Р)
где om,n = < . Представления для дП получаются в таком виде
I 0, m = п
7(1)
Y^ (п - m + 1) а[_m+^mK
m=0 (34-A)
n
9п] = J2(n-m + 1) (ln-m+lam (п = !
m=0
gin1) =J2(n - m + 1) аП°_m+1 ^, gП2) = J2(n - m + 1) ^П0^m+1^,
m=0 m=0
n
(34-Б)
= (n = 0, oo) .
m=0
Уравнение (23) имеет аналитические в области |4| < 0 частные решения
~ (LSW,particular) / \ г г
us (4) (s = r,z), которые могут быть представлены в указанной об-
ласти абсолютно сходящимися разложениями вида
<х
U(LSW,particular) (4) = £ ¿m) ^ ^ = ^ z) , 1 < 0) (35)
m=0
с подлежащими определению множеством коэффициентов {¿л? } (s = r,z) и
m=0
параметром п (п € {0} UN). В результате подстановки представлений (32), (35) в уравнения (23), с учетом формально дополняющих разложения (32), (35) со-
отношении
4Р) =0 (р = Щ , =0 (s = г, z),
= 0 (А : р = 173; Б : р = 175) , д\р) = 0 (А : р = 172; Б : р = Т7з) (36)
(.j = -оо,-1)
для каждого варианта уравнения (23), (26-А) и (23), (26-Б) находятся два набора начальных определении
п(1) =0, = 0, = 0, d°z>1) = 1, d[z'l) = 0; (37-А)
П(1) =0, d°гД) =0, d1r>1) =0, d[z'1) = 1, d<z,1) =0; (37-Б)
JO) + a(1) + .(1) , ч r/2)=l, 4^ = 1, d[r'2) = -h , d^2)=0,
^>2) =
(38-А)
a(°) + a(1) + h(3) + .(1) + .(3)
(2) _ , Jr,2) _ 1 ,(r,2) _ flj + flj + Op + gp + gp
// — ±, Uq — ±, U1 — .
,(z,2) „ j(z,2) , 1 + a°2) d\ ' = —k-
(38-Б)
Каждый вариант набора (37-А), (38-А) и (37-Б), (38-Б) определяет два линейно независимые векторные частные решения
Л (LSW,particular,q) ^ (LSW,particular,q) ,
U = U (4) =
(9 = 1.2)
~(LSW,particular,q) /¿.ч Ur
LSW,particular,q) /¿.ч Uz (U
(39)
элементы которых являются аналитическими в области |£| < 5 функциями, представленными в этой области своими абсолютно сходящимися разложениями вида
го
-(ЬЯШяагЫсиЫгл) (^) = V- = г, г) (|£| < 5)
(40)
(? = й).
Для вычисления коэффициентов с!^'9^ {т = 2, оо) получаются явные рекуррент-
ные соотношения
г1(г,Я) =
(п(д) + ш) - 1 V Г=0
т— 1 г /
Е 3 - ш) {з + п(д)) а®!—] + =0
+ (3 - ш) ат— + к^т—— - П2а(т—2—] - дт—1—^ + +к ((^ + ш - 1) а(2—1—] + (з + а(3—1—] + д(2—2—г) )
1 /т—1 г^
^ - ( е [(а -) +е,+*•■"„!*
-«2Ь^2—] - + ^ЬС—1—^ 4-> +
+к ((1 + 3 - ш) а^0—1—] - + 3 + 1) Ь^— 1—^ - Ь%—2—3)
(г,я)
-к (т + г?(9)) (¿^ (т = 2, оо) ;
г!(т,д) =
(п(я) + ш) - 1 V ]=0
т— 1 2
(3 - ш) (з + п(д)) а^—] +
+ (3 - ш) а^1—] - П2Ь^2—] - (3 + П(д)) Ь^3—1—] +
,к2Ь(5) _д(1) _д(3) \г](т,д) + +к Ьт—2—] дт—1—] дт—1—]1а] +
+к ((3 + Ч(')) (€_,_, + С—) + е2_, + ) 4ад)])
г1(г,я) =
(п(^ + ш) \ ~0
т—1
чЕ
г
(3 - ш) (3 + п(?)) а«0—+
+к а^)— 2—] П 2—^ +
ат—1—Г
+к ( (1 + 3 - ш) а(0)—1—г - (п(9) + 3 + 1) а^—1 -к (т + г/")) (¿^ (т = 2^3) .
(г,9)
(41-А)
(41-Б)
Окончательно общее решение уравнения (23) записывается через его матричное размерности 2 х 2 базисное решение
- (ЬЯШ^авгс) - (ЬЯШ^авгс)
и = "и (С) =
ц(ЬЯШратЫеЫаг, 1) ц (ЬЯШ,ратИсп1ат,2)
(42)
1
1
1
в виде
и1 ' (£) = и1 ' ; А.
(43)
Здесь А - произвольный вектор-столбец размерности 2. Тогда используемые в представлениях (5) векторные радиальные амплитудные составляющие определяются так:
и (г) = и А
лLSW
(г) = М и
(LSW,basic)
А
£=т
(г е [0,5)).
(44)
Граничные условия (9) и (10) с использованием представлений (44) определяют дисперсионные уравнения относительно безразмерного продольного волнового числа к и приведенной частоты О, которые для свободной и жестко закрепленной граничной поверхности волновода принимают соответственно вид
Ф(Е) (к, О) = I [МИ
(LSW,basic)
^ (1,4),(1,2)
ф(и) (к, 0)=ёе1 (и^,Ьа^с) (1)) =0.
(45)
(46)
4. Численный эксперимент. Анализ дисперсионных спектров и кинематических характеристик рассматриваемого типа волнового процесса проводился для свободных однородных протяженных цилиндров из цинка (^п)[6]
_(Яп)
"33
{с(1^п) = 16, 35; =2, 64; сЦп) = 5,17;
= 5, 31; "44п) = 3, 78; р(2п) = 7,134; А(^п) = -10, 24}, (47)
С* = 1010 Н/м2, р* = 103кг/м3;
кадмия (СБ) [6]
{4^ = 12,12; =4, 81; с{°3=4, 42;
С
с¥3Л) = 4, 45; 4? = 1, 80; р(СЛ) = 8, 749; А(са) = -1, 04}, С* = 1010 Н/м2, р* = 103кг/м3;
(48)
магния (Мд) [6]
{с1Мд) =5, 88; с1Мд) =2, 03; 4^ =2, 02;
¿Ид)
с33д) = 5, 96; с4?д) = 1,14; 4й = 1, 739; АИ = 0, 73}, С* = 1010 Н/м2, р* = 103кг/м3;
(49)
а также для свободных неоднородных цилиндров, функциональные законы радиальной неоднородности физико-механических характеристик материала которых были заданы так:
с 11 (г) = сЦ (1 - 0.15г), с 12 (г) = сЦ (1 + 0.25г3) ,
с13 (г) = сй (1 - 0.3г2) , (50)
с33 (г) = с33) (1 + 0.3г) , Й44 (г) = 544 (1 + 0.25г3) , р = р^ (в = гп, С(, Мд).
Выбор материалов (47) - (49) был обусловлен разбросом значений соответствующего материалу параметра А, характеризующего отличия в поведении дисперсионных кривых спектров однородных волноводов из трансверсально-изотропных и изотропных материалов [6]. Представленные материалы разбиты на три группы, каждая из которых включает соответствующий однородный и неоднородный материал с совпадающими физико-механическими характеристиками на оси волновода: (47) и в = гп (50) - группа А (А(2п) = -10, 24); (48) и в = С( (50) - группа Б (А(са) = -1, 04); (49) и в = Мд (50) - группа В (А(Ид) = 0, 73).
Для неоднородного материала из группы А ограничение (14) получило конкретный вид
1 < 5(2п) < 1.5874, (51)
обусловивший допустимость применения аналитического подхода (13-А) к определению функциональных составляющих <р (£) и гpj (£) = 1, 5) выбранной для проведения численного эксперимента модели неоднородности (11-А). С целью ускорения вычислительного эксперимента на основании заданных функциональных законов в = гп (50) методом наименьших квадратов из соотношений (15-А) были получены для <р (£) и гpj (£) = 1, 5) представления в виде полиномов пятого порядка (точность представленных ниже коэффициентов меньше использованной при вычислительном эксперименте)
р (С) - 2.79423 - 0.15000С - 0.01125С2 - 0.00113С3 - 0.00012С4 - 0.00002С5, ф1 (С) - 0.16147 + 0.02423С + 0.00354С2 + 0.04129С3 + 0.00544С4 + 0.00149С5, ф2 (С) - 0.31621 + 0.04743С - 0.08772С2 - 0.01328С3 - 0.00175С4 + 0.00048С5, ( ) ф3 (С) - 0.23119 + 0.03469С + 0.00507С2 + 0.05912С3 + 0.00778С4 + 0.00213С5, ( ) ф4 (С) - 1.40475 + 0.00136С + 0.40296С2 - 0.25819С3 - 0.21486С4 + 0.12494С5, ф5 (С) - 0.43633 + 0.06545С + 0.00981С2 + 0.00149С3 + 0.00020С4 + 0.00005С5.
Данные соотношения обеспечили максимальную абсолютную погрешность в представлениях (15-А), не превышающую 10_4. Соотношения (52) определили конкретный вид ограничения (28)
1 < 5(^п) < 1.5379 (53)
Таким образом, используемые для численного эксперимента физико-механические характеристики материала неоднородного волновода (47), s = Zn (50), (52) определили область
1^1 < 8{Zn) = L5379) (54)
в которой все элементы построенного матричного базисного решения (42) будут аналитическими функциями. В случаях выбора неоднородных материалов из групп Б и В также были получены для ) и tpj (£) (j = 1,5) аналогичные (52) представления, определившие соответствующие области < (¿(s) > 1; s = Cd, Mg, в которых элементы указанного решения будут аналитическими функциями. В области изменения параметров k G [0, 50] и Q G [0, 30] (группа материалов А), k G [0, 50] и Q G [0, 20] (группа материалов Б), k G [0, 40] и Q G [0, 30] (группа материалов В) были построены фрагменты спектров бегущих продольно-сдвиговых нормальных волн. Указанные спектры для однородного и неоднородного волноводов из материалов трех выше перечисленных групп представлены соответственно на рисунках 2-4.
0 20 40 А 0 20 40 к
а) Однородный волновод б) Неоднородный волновод
Рис. 2. Фрагменты спектров свободных волноводов из материалов группы А
Сравнение представленных фрагментов спектра позволяет отметить только качественное различие топологической картины сопоставляемых спектров. Так, в частности, можно указать на характерную локализацию асимптотического поведения в коротковолновой высокочастотной области первой моды по отношению к старшим модам однородных волноводов из материалов с отрицательным значением параметра А групп А (рис. 2,а) и Б (рис. 3,а), не наблюдаемую в случае неоднородных волноводов из материалов указанных групп (рис. 2,б и 3,б). При этом данная тенденция не проявляется для материалов группы В с положительным значением параметра А (рис. 4,а и 4,б). Также следует отметить более ранний переход на асимптотическое бездисперсионное поведение мод начиная со второй в случае неоднородного материала по сравнению с однородным материалом группы А.
а) Однородный волновод б) Неоднородный волновод
Рис. 3. Фрагменты спектров свободных волноводов из материалов группы Б
а
20
10
УУ
РУ
£2
20
10
щ
у
О 20 к 0 20
а) Однородный волновод б) Неоднородный волновод
Рис. 4. Фрагменты спектров свободных волноводов из материалов группы В
С целью анализа количественных различий полученных спектров для однородного и неоднородного материалов из одной группы использовалась функция сравнения парных по номеру в соответствующих спектрах мод
АП (к) = (Ъ(неоднородный) (к) - о(°Д«°р°Д«ый) (к)) . (55)
На рисунках 5-7 представлены результаты сопоставительного анализа поведения низших мод фрагментов спектров однородных и неоднородных волноводов трех групп материалов. Номера сопоставляемых мод спектров и тип соответствующей линии приведены в нижней части рисунков.
В качестве характерных можно указать следующие закономерности. Низшая мода спектра неоднородного волновода для всех рассмотренных групп материалов на всем исследованном отрезке изменения значений продольного волно-
вого числа к смещена по отношению к низшей моде однородного волновода в область более высоких частот, при этом у функции сравнения АО (к) наблюдается устойчивая асимптотика возрастающей линейной функции уже начиная с области средних длин волн при к > 16 для материалов группы А, к > 20 для материалов группы Б, к > 5 для материалов группы В. Указанное характерное смещение мод неоднородного волновода относительно соответствующих мод однородного волновода прослеживается в высокочастотной коротковолновой области и для старших мод всех сопоставляемых спектров.
Рис. 5. Сопоставление спектров Рис. 6. Сопоставление спектров однородного однородного и неоднородного волноводов и неоднородного волноводов
из материалов группы А из материалов группы Б
А£2
О.Н------
О 5 10 15 20 25 к
- 1..... 2 4--5
Рис. 7. Сопоставление спектров однородного и неоднородного волноводов из материалов группы В
Для приведенных на рисунках 2-4 фрагментов спектров были построены графики фазовых (рис. 8-10) и групповых (рис. 11-13) скоростей.
р \\ 1
о--
О 10 20 £2
а) Однородный волновод
0 10 20 ¡2
б) Неоднородный волновод
Рис. 8. Фазовые скорости волн в свободных цилиндрах из материалов группы А
а) Однородный волновод б) Неоднородный волновод
Рис. 9. Фазовые скорости волн в свободных цилиндрах из материалов группы Б
Л
10
20
а) Однородный волновод б) Неоднородный волновод
Рис. 10. Фазовые скорости волн в свободных цилиндрах из материалов группы В
-о.:
■■ п
V ■V.- Г 1 1 ' \ \ / \.у 1
-0.!
' N
тУКУ
V1 :| ; 1
! г
10 20 £2 0 10 20 £2 |- 1..... 2--3 - - 4\ I- 1..... 2--3 - - 4\
а) Однородный волновод б) Неоднородный волновод
Рис. 11. Групповые скорости волн в свободных цилиндрах из материалов группы А
с 9
0.4
0.2
0.0
-0.2
ч.-*5" •'■^-Т-Ьч*^' ГТ-,^*.
Н/-У
л/ Iм
11
11 11
С 9
0.4
0.2
0.0
-0.2
— —---- ^
/-'А Г'" 1 1
: 1 1 :| 1 ; | ;
10 Я 0 10 £2
|- 1..... 2~~ 3—~ 41 I- 1..... 2~~ 3--~ -Л
а) Однородный волновод б) Неоднородный волновод
Рис. 12. Групповые скорости волн в свободных цилиндрах из материалов группы Б
а) Однородный волновод б) Неоднородный волновод
Рис. 13. Групповые скорости волн в свободных цилиндрах из материалов группы В
На представленных графиках ср и сд - пронормированные величиной с* = у/С*/р* приведенные соответственно фазовая и групповая скорости. Отмеченное выше асимптотическое поведение АО (к) как возрастающей линейной функции нашло естественное отражение в виде смещения вверх начиная со средних частот графиков фазовых скоростей первой моды неоднородного волновода относительно аналогичного графика однородного волновода для всех рассмотренных групп материалов. Характерное поведение первых мод сопоставляемых спектров проявилось и на представленных графиках - групповые скорости волн первых мод больше в неоднородных волноводах. Также отмечается отчетливо выраженный переход в исследованном диапазоне частот на асимптотическое поведение групповых скоростей волн второй и третьей мод спектра неоднородного волновода из материала группы А.
Был проведен сопоставительный анализ кинематических и силовых характеристик исследуемого волнового процесса в однородных и неоднородных волноводах из трех групп материалов. Ниже представлены графики радиальных амплитудных составляющих всех отличных от нуля компонент вектора перемещений и тензора напряжений при к = 1 в точках первой (рис. 14-19) и второй (рис. 20-25) мод.
Рис. 14. Сопоставление амплитудных характеристик волн первой моды при к = 1 в свободных однородных (сплошная линия) и неоднородных (штриховая линия) цилиндрах из материалов группы А
О 0.5 ГО 0.5 ГО 0.5 г
Рис. 15. Сопоставление амплитудных характеристик волн первой моды при к = 1 в свободных однородных (сплошная линия) и неоднородных (штриховая линия) цилиндрах из материалов группы А
ч ч ч
ч \ \ \ \ \
\ \ ч \ ч 4 ч
ч ч ч ч ч
а
гг 0.20
0.15
■V ч N
ч ч ч ч
ч ч ч ч
\ч чч
\
Рис. 16. Сопоставление амплитудных характеристик волн первой моды при к = 1 в свободных однородных (сплошная линия) и неоднородных (штриховая линия) цилиндрах из материалов группы Б
У У /
/ / / /
/ у у у
— ч ч ч \ ч.
ч ч ч ч ч
ч ч Ч ч ч
-0.05'
\ \ 1 1
\ \ \ 1 1 1
\ \ \ \ 1 1 /
\ \ ч ч / / / /
ч /
Рис. 17. Сопоставление амплитудных характеристик волн первой моды при к = 1 в свободных однородных (сплошная линия) и неоднородных (штриховая линия) цилиндрах из материалов группы Б
Рис. 18. Сопоставление амплитудных характеристик волн первой моды при к = 1 в свободных однородных (сплошная линия) и неоднородных (штриховая линия) цилиндрах из материалов группы В
О 0.5 Г ' О 0.5 Г 0 0.5 Г
Рис. 19. Сопоставление амплитудных характеристик волн первой моды при к = 1 в свободных однородных (сплошная линия) и неоднородных (штриховая линия) цилиндрах из материалов группы В
\
\ ч^
\ ч
ч V \ \ ч
\ ч \ ч \ч
\ч чч
Рис. 20. Сопоставление амплитудных характеристик волн второй моды при к = 1 в свободных однородных (сплошная линия) и неоднородных (штриховая линия) цилиндрах из материалов группы А
Рис. 21. Сопоставление амплитудных характеристик волн второй моды при к = 1 в свободных однородных (сплошная линия) и неоднородных (штриховая линия) цилиндрах из материалов группы А
у / / / х / / / / // // N. N ___ \ \ \ \ \ ч
// // // // и
Ч Ч ч ч
\ \ ч
х ч ч ч^
Рис. 22. Сопоставление амплитудных характеристик волн второй моды при к = 1 в свободных однородных (сплошная линия) и неоднородных (штриховая линия) цилиндрах из материалов группы Б
2.52 1.5-
ч \
ч ч \
\ \ \ \
\ \ \
V \ \
\\ чч чч.
Рис. 23. Сопоставление амплитудных характеристик волн второй моды при к = 1 в свободных однородных (сплошная линия) и неоднородных (штриховая линия) цилиндрах из материалов группы Б
/ / / / / / / / / /
/ / // // // // /
\
ч Л
ЧЧ. чч Чч^
ч ч ч ч
- ч^
X ч ч ч ч
ч. ч \ч чч
Рис. 24. Сопоставление амплитудных характеристик волн второй моды при к = 1 в свободных однородных (сплошная линия) и неоднородных (штриховая линия) цилиндрах из материалов группы В
г"
/ / - / / / /
/ / t / / / /
/ / / / / / У / S / S /
Рис. 25. Сопоставление амплитудных характеристик волн второй моды при к = 1 в свободных однородных (сплошная линия) и неоднородных (штриховая линия) цилиндрах из материалов группы В
В качестве характерной можно отметить следующую выявленную закономерность - более чем на порядок меньшие максимальные абсолютные значения радиальной амплитудной составляющей касательного напряжения ärz по сравнению с максимальными абсолютными значениями амплитудных составляющих нормальных напряжений ärr, две, äzz в точке первой моды для однородного волновода при сопоставимых порядках значений указанных величин для неоднородного волновода, в то время как в точке второй моды характеристика ärz для однородного и неоднородного волноводов имеет близкие величины, сопоставимые по максимальным абсолютным значениям с характеристиками ärr, ¡jqq, <rzz.
Выводы. Полученные результаты перспективны для использования в прикладных исследованиях, связанных с расчетами характеристик волноводных компонентов акустоэлектронных устройств, анализом моделей ультраакустической диагностики, верификацией результатов, полученных прямыми численными методами.
1. Моисеенко И.А. Нормальные волны в функционально-градиентных сплошных цилиндрах / И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2018. - № 1-2 (62-63). - С. 16-34.
2. Моисеенко И.А. Спектры нормальных упругих волн кручения в экспоненциально-неоднородных трансверсально-изотропных цилиндрах // Теоретическая и прикладная механика. - 2014. - Вып. 9 (55). - С. 139-145.
3. Моисеенко И.А. Распространение нормальных волн вдоль трансверсально изотропных функционально градиентных цилиндров // Вестник ДонНУ. Сер. А: Естественные науки. - 2018. - № 1. - С. 37-54.
4. Моисеенко И.А. Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью / И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев. // Механика твердого тела. - 2015. - Вып. 45. - С. 112-124.
5. Моисеенко И.А. Исследование упругих волн крутильного типа с использованием трехфак-торной модели функциональной неоднородности трансверсально изотропных сплошных цилиндрических волноводов / И.А. Моисеенко, Н.Ю. Мельничук // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022. - № 2(79). - C.5-15.
6. Космодамианский А.С. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред / А.С. Космодамианский, В.И. Сторожев. - К.: Наук. думка, 1985. - 176 с.
Продольно-сдвиговые упругие волны в протяженных неоднородных сплошных цилиндрах I.A. Moiseyenko, N.I. Melnichuk
Axisymmetric longitudinal-shear elastic waves in extended solid cylinders from a six-factor functionally inhomogeneous transversally isotropic material.
Two alternative versions of the six-factor model of the radial functional inhomogeneity of the physical and mechanical characteristics of a transversally isotropic material of a solid cylindrical waveguide are determined for the case of propagating axisymmetric normal longitudinal-shear elastic waves. Two approaches to determining the functional components of these models are presented. For each of these approaches, a sufficient condition for a weak radial inhomogeneity is determined, which ensures the construction of a basic matrix solution of the equations of the classical mathematical model of wave deformation for the type of wave process under consideration. The elements of the basic solution are expressed in terms of analytic functions represented by their expansions with coefficients determined from explicit recurrent relations. A comparative analysis of the results of a numerical experiment is given for the cases of homogeneous and functionally inhomogeneous transversally isotropic free waveguides. The effects of the influence of the functional radial inhomogeneity of the waveguide material on the topology of dispersion spectra, the distribution of phase and group velocities of traveling waves of longitudinal-shear type, and the kinematic and force characteristics of the wave process are studied. Quantitative and qualitative estimates of the obtained numerical results are given.
Keywords: FGMs, transversally isotropic, cylindrical waveguide, axisymmetric longitudinal-shear waves, multifactorial model of radial inhomogeneity, basic solution, dispersion relations.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 14.09.2022
Donetsk National University, Donetsk
mia@donnu.ru
