МОДЕЛИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ ИЗОТРОПНОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА ДЛЯ СЛУЧАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:534.1

doi:10.24412/0136-4545-2023-1-40-61

EDN:EWIYSR

©2023. И.А. Моисеенко1, В.А. Моисеенко2, Н.Ю. Мельничук3

МОДЕЛИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ ИЗОТРОПНОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА ДЛЯ СЛУЧАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН

Определены двухфакторная для случая крутильных волн и два альтернативных варианта трехфакторной для случая волн продольно-сдвигового типа модели радиальной функциональной неоднородности физико-механических характеристик изотропного материала сплошного цилиндрического волновода. Представлены два подхода к определению функциональных составляющих указанных моделей. Для каждого из указанных подходов в рамках каждой из представленных моделей определено достаточное условие несильной радиальной неоднородности, обеспечивающее построение целевого базисного решения соответствующих уравнений классической математической модели волнового деформирования. Построены базисные решения, элементы которых выражены через аналитические функции, представленные своими разложениями с определяемыми из явных рекуррентных соотношений коэффициентами. Дан сопоставительный анализ результатов численного эксперимента, поставленного для случаев однородных и функционально неоднородных изотропных свободных волноводов. Изучены эффекты влияния функциональной радиальной неоднородности материала волновода на топологию дисперсионных спектров, распределение фазовых и групповых скоростей бегущих волн продольно-сдвигового типа. Приведены количественные и качественные оценки полученных численных результатов.

Ключевые слова: функционально-градиентные материалы, изотропия, цилиндрический волновод, осесимметричные волны, многофакторная модель радиальной неоднородности, базисное решение, дисперсионные соотношения.

1 Моисеенко Игорь Алексеевич - доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонНУ, Донецк, e-mail: [email protected].

Moiseyenko Igor Alekseevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Donetsk National University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Acad. A.S. Kosmodamiansky.

2Моисеенко Виктор Алексеевич - канд. физ.-мат. наук, доцент каф. специализированных информационных технологий и систем строительного ф-та ДонНАСА, Макеевка, e-mail: v.a. moiseyenko@donnasa. ru.

Moiseyenko Viktor Alekseevich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka, Faculty of Civil Engineering, Chair of Specialized Information Technologies and Systems.

3Мельничук Наталия Юрьевна - ассистент каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонНУ, Донецк, e-mail: [email protected].

Melnichuk Natalia Iurievna - Assistant, Donetsk National University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

Введение. При исследовании волновых процессов в изотропных, трансверсально-изотропных и цилиндрически ортотропных функционально радиально неоднородных протяженных круговых цилиндрах для построении базисных аналитических решений системы дифференциальных уравнений классической трехмерной математической модели волнового деформирования оказался плодотворным подход, основанный на задании с точностью до константного сомножителя единого для всех физико-механических характеристик материала волновода экспоненциально-степенного закона радиальной неоднородности. В рамках такой модели неоднородности в аналитическом виде построены базисные решения соответствующих уравнений математических моделей и исследованы свойства бегущих осесимметричных и неосесимметричных нормальных упругих волн в изотропных [1], трансверсально-изотропных [2, 3] и цилиндрически ортотропных [4] протяженных цилиндрах кругового поперечного сечения.

Переход к рассмотрению независимых функциональных законов радиальной неоднородности для всех физико-механических характеристик материала волновода требует привлечение новых моделей, обеспечивающих построение в аналитическом виде целевых базисных решений математических моделей рассматриваемых волновых процессов, в достаточной мере свободных от принципиально сужающих область их применения ограничений. В этом направлении для трансверсально-изотропных цилиндрических волноводов в [5] на основе предложенной трехфакторной модели радиальной неоднородности построено аналитическое базисное решение и исследованы свойства бегущих упругих крутильных волн, а в [6] на основе предложенных двух вариантов шестифакторной модели радиальной неоднородности построены соответствующие аналитические базисные решения и исследованы свойства бегущих упругих волн продольносдвигового типа.

В данном исследовании для случаев распространяющихся осесимметричных волн крутильного и продольно-сдвигового типов представлены модели радиальной неоднородности изотропного материала сплошного цилиндрического волновода, обеспечившие построение базисных аналитических решений соответствующих уравнений математических моделей указанных волновых процессов, исследованы свойства бегущих волн.

1. Постановка задачи. Рассматривается протяженный цилиндрический волновод, имеющий в поперечном сечении форму круга радиуса R* (рис. 1). В нормированной параметром R* безразмерной цилиндрической системе координат OrOz волновод занимает область V = {r Е [0,1] , O Е [—п,п\ , z Е (-ж, то)}. Изотропный материал волновода считается в радиальных направлениях функционально неоднородным:

А (r) = C* A (r), ц (r) = C* fi(r), p (r) = p* p (r).

Полагается, что произвольные в пределах допустимости

Рис. 1.

варьирования значений физико-механических характеристик функциональные законы изменения упругих модулей Ламе и плотности радиально неоднородного материала, нормированных, соответственно, параметрами C* = const и р* = const

\ = \(r) > 0, A = A(r) > 0, р = р(т) > 0 (r е [0,5)), (1)

относятся к классу C1 [0,5). Для параметра 5 (5 > 1) границы допустимых значений будут определены ниже.

Рассматриваются нормальные упругие осесимметричные волны, распространяющиеся вдоль оси Oz с круговой частотой ш и продольным волновым числом k (k е C), нормированным параметром R*. Нормированные соответственно величинами R* и C* отличные от тождественного нуля компоненты вектора упругих перемещений и тензора напряжений в рамках пространственной линейной математической модели динамического напряженно-деформированного состояния упругих изотропных тел могут быть представлены в рамках независимо исследуемых волновых процессов отдельно для волн крутильного

u0

<g'W) (r, z, t) = exp (-iut + ikz) v!g'W') (r)

£ (TW) (r,z,t) =

aZW) (r,z,t) azW)(r,z,t)

= exp(-iut + ikz) P^W)£(TW') (r), (2)

u(TW) = (TW) = 0 JTW) = a(TW) = (TW) = a(TW) = 0.

ur uz — 0, a rr a 00 a zz arz — °;

и продольно-сдвигового

U(LSW) (r,z,t)

£(LSW) (r,z,t)

urLSW) (r, z, t)

uZLSW) (r,z,t)_

ZLSW) (r, z, t) a010SW) (r z, t) oZSW) (r, z, t) ALzSW) (r, z, t)_

exp (-i ut + ikz) pUSW) Ц( LSW) (r), exp (-iut + ikz) p(LSW) f(LSW) (r),

u(LSW) 0 (LSW) = (LSW) 0

uo — 0, a0z = ar0 — 0

(3)

типов. Здесь

j(TW) (r) = j(TW)

a,

a,

(TW)

0z

(TW)

r0

MM(TW) u(TW) (r е [0,5)),

(4)

(TW) (TW) (TW) (TW)

где u0 = u0 (r) и as = as (r) (s = 0z, r0) - вещественные радиаль-

ные амплитудные составляющие соответствующих компонент волнового процес-

са в случае крутильных волн;

U(LSW) (r) = Uj(LSW) =

\~(LSW)' —r

.-.(LSW)

—z

S(LSW) (r) =

(LSW) Urr (LSW)

°ee

(LSW ) Pzz

~ (LSW) Prz

= MM(LSW) и(LSW) (r e [0, 5))

где USLSW) = -LSW) (r) (s = r,z) и aiLSW) = aiLSW) (r) (s = rr, 66, zz, rz) - вещественные радиальные амплитудные составляющие соответствующих компонент

0(Z

волнового процесса в случае волн продольно-сдвигового типа; PS

(TW)

Р

и Р

(LSW) U

s соответственно имеющие размерности 2 х 2 и 4 х 4 квадратные диа-

(LSW)

гональные матрицы комплексной нормировки с элементами

Р

(TW)

S

J 1,1

= г,

Р

(TW) S

J 2,2

= 1,

(LSW)

U

= 1,

Р

(LSW)

Р

(LSW) S

J JJ

1,1

= 1 (j = М)

U

2,2

(6)

Р

(LSW)

s

J 4,4

=г;

MM(TW) = MM(TW) (r) и MM(LSW) = MM(LSW) (r) - векторный и матричный дифференциальные операторы следующего вида

X + 2—^ dr + Xr 1

MM (TW =

, ^-r-4 • m (bOT )=

Xdr + [X + 2-J r 1

- (dr + r-1) k-

-kX

-kX

—k(X + 2-dr

(7)

где dr = d/dr.

Уравнения движения для рассматриваемых типов волновых процессов с учетом соотношений (1) - (7) могут быть записаны так:

.(TW)

r2 d2 + r f1 dr + /2) nyeZW> =0 (r e [0,5))

(8

где

f(1) = f(1) (r) = 1 + r-/-,

/(2) = /(2) (r) = —1 — r-/- + r2 (p2p/- — k2) ;

D(LSW) и(LSW) = O (r e [0, 5)).

Здесь D(LSW) = ID(LSW) (r) - матричный дифференциальный оператор вида

(9)

D (LSW) =

r2 d2 + /11 r dr + /

In r2 dr + /(2) r r2 d2 + /22) rdr + Л? r2

(2)

11

/и r2 dr + Л? r2

(10)

г

где

/!!’ = Л!’ и = i+r £±|£,

А + 2ц

Ц) - А(2) -

/У (^) = -1 + г

/У = /У (г) = -к

X + 2ц

л + д

А + 2Д ’

+ г2 ( Q2

^------к2

ц

X + 2ц

Л? = /122) (г) = -к

X + 2ц А'

А + 2Д ’

А!’ = А!’ м = Л? = Л? и = 4^+4

Ц \ Ц Ц ,

/У = /У у) = 1 + г

ц

/У = Л? (г) = П2ф - к

Р т.2 У+2Д_

ц

ц

O - нулевой вектор-столбец размерности 2; Q = (р* ^2 ш2/С*)1/2 - безразмерная приведенная частота.

Представленные математические модели (1), (2), (4), (6) - (8) и (1), (3), (5) -(7), (9), (10) дополняются соответствующего вида классическими однородными граничными условиями на свободной

~(TW) атв

(1)=0

(11)

либо жестко закрепленной

Ё(LSW) (1)

(1.4)

O,

UTW) (1) = 0

и(lsw) (i) = о

(12)

(13)

(14)

граничной поверхности волновода.

2. Модель радиальной неоднородности для случая крутильных

волн. Вводятся в рассмотрение декартова система координат OxiX2 и комплексная переменная £ = xi + ix2. Формально полагается, что неотрицательная часть вещественной полуоси системы координат OX1X2 совпадает с осью Ог

Ox2 = Ог (x2 > 0).

В рамках математической модели (1), (2), (4), (6) - (8) на плоскости комплексной переменной £ вводятся две произвольные аналитические в области |£| < 5 функции <р = <р (£) и ф = ф (£). Закон радиальной неоднородности (1) с учетом вида входящих в уравнение (8) функций (s = 1,2) далее опреде-

ляется через введенные функции так:

ц (г) = ev(r\ А (г) = ф (г) ev(r) (г е [0,5)). (15)

Далее соотношения (15) называются моделью функциональной радиальной неоднородности для случая крутильных волн.

На основе модели неоднородности (15) рассматривается продолжение на плоскость комплексной переменной £ обыкновенного дифференциального уравнения (8). Получается уравнение

(е4+см+л) u^w)=о №| < , (16)

где

/(1) = 1 + Р2 = -1 - & + с2 (И2ф - k2) . (17)

Здесь /W = /W (£) (s = 1,2) и й^ТИ/') = й^ТИ/') (£) - аналитические продолжения на комплексную плоскость переменной £ вещественных функций /(s) (r) (s = 1,2) и й),ТИГ) (г); dg = d/d£. Известно, что дифференциальное уравнение (16) имеет в области |£| <5 аналитические решения [7].

Рассматриваются два подхода к определению аналитических в области ICI < 5 функций р (£) и ф (£) по заданным функциональным законам (1) из класса C1 [0,5).

Первый подход (далее аналитический подход) основан на аналитическом определении указанных функций из соотношений

р (0 = 1п(ф (0), ф (о = р (о/ф(о (|£| <5). (18)

Он применим, если fi(r) и р (r) допускают аналитическое продолжение на комплексную плоскость переменной £, аналитические продолжения ф (£) и р (£) в области С <5 являются аналитическими функциями, выполняется достаточное (аналитическое) условие несильной радиальной неоднородности материала волновода

1 <5 < £*, (19)

где £* - наименьший по модулю корень уравнения ф (£) = 0.

Второй подход (далее численный подход) реализуется любым численным методом, обеспечивающим аппроксимацию полиномами на отрезке r Е [0,1] искомых функций р (£) и ф (£) на основании приближенных соотношений

р (r) ъ ln (ф (r)), ф (r) ъ р (r)/ф (r) (r Е [0,1]), (20)

где

N N

р (£) = £ a{n £n, ф (С) = £ an £n. (21)

n=0 n=0

Таким образом, при численном подходе модель функциональной радиальной неоднородности (15) определяет отличающиеся от заданных (1) функциональные законы ф(*^ (r) и p(*^ (r), для которых далее строится базисное решение уравнения (16). Здесь следует отметить, что физико-механические характеристики

реальных материалов зачастую предоставлены с весьма ограниченной точностью £, поэтому степень N полиномов (21), обеспечивающая соответствующую точность аппроксимации

max

re[o,i]

Д (r) — Д(*^ (r)

< £,

max

re[o,i]

р (r) — р(*^ (r)

< £,

может выбираться весьма небольшой.

Учитывая тот факт, что при реализуемом соотношениями (20), (21) численном подходе помимо естественных ограничений (1) отсутствуют какие-либо другие, аналогичные условию (19) ограничения на заданные функциональные законы l(r) и p(r), второй подход может рассматриваться как предпочтительный.

Таким образом, представленная модель функциональной неоднородности (15) в случае реализации аналитического подхода при выполнении условия (19), а также численного подхода без дополнительных условий, обеспечивают аналитичность в области |£| < 5 определяемых соотношениями (17) функций f(s (£) (s = 1,2). Следовательно, обыкновенное дифференциальное уравнение (16) на комплексной плоскости переменной £ в рамках обоих рассмотренных подходов к определению функций р (£) и ф (£) имеет в области |£| < 5 аналитическое решение.

3. Модель радиальной неоднородности для случая волн продольносдвигового типа. В рамках математической модели (1), (3), (5) - (7), (9), (10) на плоскости комплексной переменной £ вводятся три произвольные аналитические в области |£| < 5 функции ip = ip (£), ф3 = ф3 (£) (s = 1,2). Закон радиальной неоднородности (1) с учетом вида входящих в представление (10) функций fnm (s,n,m = 1,2) далее определяется через введенные функции двумя способами:

l (r) = (1 — 2 ф1 (r)) ev(r), l(r)= ф1 (r) ev(r), p (r) = Ф2 (r) ev(r') (r e [0,5));

l(r)= Ф1 (r) ev(r\ l(r) = ev(r\ p (r) = ф2 (r) ev(r) (r e [0,5)).

Далее соотношения (22-А) и (22-Б) называются альтернативными вариантами модели функциональной радиальной неоднородности для случая волн продольносдвигового типа.

На основе представленных вариантов модели неоднородности (22-А) и (22-Б) рассматривается продолжение на плоскость комплексной переменной £ уравнений (9). Получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, записываемая в матричном виде так:

D(LSW) U(LSW) = о (£ < 5) , (23)

(22-A)

(22-Б)

где

D (LSW) = £ (LSW) =

С2 4 + ЛР Сd? + ЛР

/2? С2 d + /2? С

/11) С2 d? + Л? С2

С 2 d| + f2P С d? + f2? С 2

U(LSW) = J(LSW) (С)

u(LSW)]

Ur

U(LSW) •

uz

Здесь D(LSW) (С) и U(LSW) (С) - соответственно аналитические продолжения на комплексную плоскость переменной С вещественного матричного дифференциального оператора D(LSW) (r) и вещественного вектора U(LSW) (r). В соотношениях (24) iiiLSW) = y(LSW) (£) (s = r,z) и fitl = fnl(0 (s,n,m = 1,2)

- аналитические продолжения на комплексную плоскость переменной С вещественных функций й(г) (s = г, z) и fnm{r) (s,n,m = 1,2). Функции fnm (s,n, m = 1, 2) в соответствии с вв1браннв1м вариантом модели (22-А) или (22-Б) получают вид:

ЛР = 1 + ^', f12) = -1 + С (v' - 2ф\ - + с2 (^2ф2 - к2ф0 >

ЛР = к (ф1 - 1) > Л? = k (2 ф - v' + 2 ф') > (25 А)

f2P = k (Хз - 1), f 21 = к (хз - 1 + С (v' + Х2)) ,

f22) = 1 + С (V + Х2) , f 22 = ^2Х1 - к2Хз;

f1l) = 1 + С (V + Х2) , Л? = -1 + С (v' + Х2 - 2ф) + с2 (^2Х1 - к2Хз) ,

ЛР = к (Хз - 1), ЛР = к(2ф - v' - Х2) , (25-Б)

f2P =к (ф1 +1)> f22) =к (1+ф1+&'), f2P = 1 + &', Л? = Q2^2 - к2 (ф1 + 2) •

В соотношениях (25-А) и (25-Б) использованы вспомогательные, определяемые в соответствии с выбранным вариантом модели (22-А) или (22-Б) аналитические в области \С\ <5 функции:

Х1 = Х1 (С)

М2 ,.2

МО’

ф = ф (С)

Х2 (О = ф , Хз = Хз (О ф1(С)

ф1(С) v (С) (|С\ <5);

1

Фг (О7

(26-А)

Х1 = Х1(С) =

ф2 (О ф1 (£) + 2’

Х2 = Х2 (С) =

ф'Л0 ф1 (е)+2:

Хз = Хз (С) =

1

ф1 (С) + 2

> ф = ф (С)= Хз (С) v'(С)

< 5) •

(26-Б)

Известно, что система дифференциальных уравнений (23) имеет аналитические в области \С\ <5 решения [7-8].

Рассматриваются два подхода к определению аналитических в области |£| < 5 функций р(£) и ф3 (£) (s = 1,2) по заданным функциональным законам (1).

Первый подход (далее аналитический подход) основан на аналитическом определении указанных функций из соотношений, определяемых соответственно выбранному варианту модели (22-А) или (22-Б) так:

P (О = ln (МО +2Л(0) ,

А (О р(()

01 (П = ---------, 02 (£) =

А(6+2£(0 А(0 +2А (О

р (0 = in (Л(0),

(№ < 5); (27-А

№ l <5). (27-Б

Он применим для обоих вариантов модели (22-А), (26-А), (27-А) и (22-Б), (26-Б), (27-Б), если Л (г), ф(т) и р(г) допускают аналитическое продолжение на комплексную плоскость переменной £, аналитические продолжения А(£), Л (О и А(£) в области |£| <5 являются аналитическими функциями, выполняется достаточное (аналитическое) условие несильной радиальной неоднородности материала волновода

1 <5 < min

-(1)

-(2)

(27)

где £(1) и £(2) - соответственно наименьшие по модулю нули функций А (£)+2Л (£) и Л(0-

Второй подход (далее численный подход) реализуется любым численным методом, обеспечивающим аппроксимацию полиномами на отрезке r Е [0,1] искомых функций (£) и ф3 (£) (s = 1, 2) на основании соответствующих выбранному варианту модели (22-А) или (22-Б) приближенных соотношений:

■01 (r) &

р (r) & in (^Л (r) + 2 Л (r)J

Л(г) , /ч Л(г)

Л (r) + 2Л (r)

02 (r)

Л (r) + 2А (r)

(r Е [0,1])

р (r) & ln(p(r)) ,

01 (r) & Л (r)/Л (r), 02 (r) & Л(г)/Л(г) (r Е [0, 1])

Здесь

N

N

P

(o = £<40)r, 0ЛО = Еап)о1 (s = i,2).

n=0

n=0

(29-А)

(29-Б)

(30)

Очевидно, что найденные согласно соотношениям (29-А), (30) и (29-Б), (30) функций р(£) и ф3 (£) (s = 1,2) на основании соответствующего варианта модели неоднородности (22-А) и (22-Б) фактически определяют отличающиеся от заданных (1) функциональные законы Л(*) (r), Д(+) (r) и Л(*) (r), для которых,

собственно, и будут строиться целевые базисные решения уравнений (23). Но, поскольку физико-механические характеристики реальных материалов могут быть предоставлены с весьма ограниченной точностью е, то следовательно степень N полиномов (30), обеспечивающая соответствующую точность аппроксимации

max re [0,1]

А (r) — A* (r)

< е,

max re [0,1]

Д (r) — д* (r)

< е,

max

re[o,i]

р (r) — р(* (r)

< е,

(31)

может выбираться весьма небольшой.

Следует отметить, что в случае численного подхода требование аналитичности в области |£| < 5 введенных представлениями (26-А) и (26-Б) вспомогательных функций Xs (£) = 1, 3) для обоих вариантов модели (22-А) и (22-

Б) является единственным, помимо естественного условия (1), ограничением, обеспечивающим возможность построения целевого аналитического в области |£| < 5 решения уравнений (23). Оно будет удовлетворено, если выполняется достаточное (численное) условие несильной радиальной неоднородности материала волновода

1 <5 < |s*| , (32)

где s* - наименьший по модулю нуль функции ф (£) для модели (22-А), (26-А), (29-А), (30), либо функции ф1 (£) +2 для модели (22-Б), (26-Б), (29-Б), (30). Учитывая, что для альтернативных вариантов модели неоднородности (22-А) и (22-Б) условие (32) фактически накладывает различающиеся ограничения на заданные физико-механические характеристики материала волновода (1), а также тот факт, что выбор порядка аппроксимирующих полиномов (30) также влияет на условие (32), численный подход в случае волн продольно-сдвигового типа может рассматриваться как более гибкий, а значит - предпочтительный.

Таким образом, представленные варианты модели функциональной неоднородности (22-А) и (22-Б) в случае аналитического подхода при выполнении условия (28), а также в случае численного подхода при выполнении условия (32) обеспечивают аналитичность в области |£| <5 входящих в соотношения (24) функций fnm (£) (s, n,m = 1,2). Следовательно, в рамках обоих представленных подходов к определению функций <р(£) и ф3(£) (s = 1,2) система обыкновенных дифференциальных уравнений (23) на комплексной плоскости переменной £ имеет в области |£| <5 аналитические решения.

4. Базисное решение и дисперсионные уравнения для случая крутильных волн. С целью построения аналитического в области |£| < 5 частного решения уравнения (16) используются разложения в окрестности точки £ = 0 аналитических в указанной области функций ф (£), ф (£) и целевого частного

„ (TW,particular) г- г

решения щ (£) в абсолютно и равномерно сходящиеся в любом круге

|£|< s (0 < s < 5) ряды вида

v (0 = Е аП dn,

n=0

4 Ш=Е аП Г,

n=0

^particular) (q= dp

p=0

(id <5).

Здесь jаП™^ (m = 0,1) - определяемые соотношениями (18) при аналитиче-

n=0

ском подходе, либо соотношениями (20), (21) при численном подходе (аП = 0 п = N + 1, сю; s = 0,1) наборы коэффициентов; р е {0} (JN и {dp}^=0 № / 0)_ подлежащие определению соответственно параметр и набор коэффициентов. В результате подстановки разложений (33) в уравнение (16) и соотношения (17) получается однородное функциональное уравнение F (£) = £Р = 0 (|£| < 5)

p=0

относительно аналитической в области |£| < 5 функции F (£). Следовательно указанное функциональное уравнение порождает совокупность алгебраических уравнений §р = 0 (р = 0,оо), из которых при р = 0 определяется начальное условие

П = 1,do = 1, (34)

а при p > 1, с учетом формально дополняющих разложения (33) определений

^ n (s = 0,1; п = — оо, —l) , d-1 = 0,

аП = 0

получаются явные рекуррентные соотношения для искомых коэффициентов dp ( p > 1) вида

d = 1

Р р{р + 2)

k2dp-2 +

p-i

Е

j=o

(j (j - P) аР- - П2аРР-.2-3) dj

(p = 1, 2,...) . (35)

При рассмотрении аналитического продолжения на плоскость комплексной переменной £ векторного вещественного оператора M(TW) (r), с учетом представлений (15), определяется векторный оператор

M(TW) (£) = M(TW) =

kee

\_ep d - £-i).

Тогда на основании соотношения (4), с учетом того, что

. (TW,basic) m (TW,particular)

ue (£) = uo (s) ,

(36)

(37)

общее решение уравнений математические модели (1), (2), (4), (6) - (8) допустимо представить в таком виде (произвольный скалярный множитель полагается

равным единице)

~(TW,general)

щ

(r)

,(TW, basic) U0

(r)

^ (TW,general)

(r)

MM(TW) u(TW,basic)

LVQ

€=r

(r e [0,5)).

Из граничных условий (11) и (13) с учетом соотношений (38) определяются соответствующего вида дисперсионные уравнения относительно безразмерного продольного волнового числа k и приведенной частоты П следующего вида:

Ф{TW)

(k, П)

MM (TW)

J 2

(TW,basic)

ue

?=1

0;

(39)

Ф^ (k, П) = ufW,basic) (1) = 0. (40)

5. Базисное решение и дисперсионные соотношения для случая волн продольно-сдвигового типа. С целью построения аналитических в области |£| < 5 частных решений уравнений (23) используются разложения в окрестности точки £ = 0 соответствующих выбранному варианту модели неоднородности (22-А) либо (22-Б) аналитических в указанной области функций Д£), 'ipsiO (s = 1)2), Xs(0 (s = 1, 3) и ф(£), а также целевых частных реше-

„ /ч (LSW,particular) /А\ г \ г г

ний Us (£) (s = r,z) в абсолютно и равномерно сходящиеся в любом

круге |£| < s (0 < s < 5) ряды вида

Ж

V(0 = Ean)tn’ 4'*(0 = Ean)tn (S = T^)’

n=0 n=0

ж ж

xs(o = Ebns)tn (* = м), Ф(о = Т,9пС,

n=0

n=0

U(sLSW,particular) (£) = £d(ps)£p (s = r,z), (|£| < 5),

p=0

(41)

Г (s') 1 00 ___\

где nr = 1, kz = 0. В представлениях (41) ai (s = 0,2) - определяемые

n=0

соотношениями (27-А) или (27-Б) при аналитическом подходе, либо соотношениями (29-А), (30) или (29-Б), (30) при численном подходе (аД =0 s = 0, 2; n = N~

n

+ l,oo) наборы коэффициентов; {bn^ } (s = 1,3) и {gn}Z=o ~ определяе-

n=0 n=0

мые соотношениями (26-А) или (26-Б) наборы коэффициентов

n-1

bV I У у bbm an-m I /а0 ,

(1)

m=0

n- 1

ьп = ((n+i) ani i -J2 m аП- m) /a01)’

m=0

n- 1

= I 60,n ah—m I /a0 ,

(1)

m=0

9n= (n - m + 1) ai-m+l am (n = 0, oo) ;

m=0

n = (о,П - ^ ьт аЩ- \ ^a01) +2),

m=0

ьП] = ((n + 1) ^+1 - ^ b(m!a{n-ml / (^ + 2) ,

m=0

b{n = (&0,n- ^ bm a(n-ml/ (^+2) ,

m=0

n

9n = (n - 171 + X) ai-m+l 6m (n = Mo) ;

m=0

7(s)

n e {Q}U N и \ dp ' f- _o ( s = r,z;

(r)

+

(z)

(42-А)

(42-Б)

= Q) - подлежащие определе-

нию соответственно параметр и наборы коэффициентов. Здесь

n

0

0

5

m,n

1, m = n

Q, m = n‘

(43)

В результате подстановки разложений (41) в уравнения (23) и соотношения (24), (25-А) или (24), (25-Б) получается система из двух однородных функциональных уравнений

f(s) (е) = Е ^ е = q (s = r,z) (iei <s) (44)

p=0

относительно аналитических в области |£| <6 функций F(s) (£) (s = r, z). Следовательно, имеет место совокупность однородных систем линейных алгебраических уравнений

4]

4z)

q (Р = 0, о°) •

(45)

В случае p = 0 при ц = 0 из (45) определяются два начальных условия

П(

ч(1) = 0, d0’l) = 1, d{0z,1) = 0,

П(2) = 0, d0,z> = 0, dy0z,zj = 1, для двух линейно независимых частных решений

i(r,2)

(z,2)

(46)

(47)

^(LS’VF,particular,q) ({) = ^ g фА (S = r, *; g = 1,2) , (|£| < 5) , (48)

p=0

а при p > 1, с учетом формально дополняющих разложения (41) условий

а^ =0 (s = 0,2) , =0 (s = 1,3), gn = 0 (n = -оо, -l) ,

получаются явные рекуррентные соотношения, которые с учетом начальных условий (46), (47) и введенных в рассмотрение матричных коэффициентов

V(LSW) =

d

'(r-Д) ,(г,2)

Р

Р

d

(z,r) d(z,2)

j,p up

можно записать в виде

(p=mMLSW)

1 0 0 1

V(LSW) , V -1

0 0 0 0

(49)

p-1

VPLSW) = QiLSW,P)y(-S2W) + £ q(lswp)v(lsw) (p = 1,2,...) . (50)

j=0

Элементы матриц q[LSW,p^ и QpSW’p^ (^ = ^ qq) c учетом выбранной модели неоднородности (22-А) либо (22-Б) определяются так:

Q(LSW,p)

= p 1(p + 2) 1k2 (1 — а{

-1 2

1,1

1(1)

0

Q(LSW,p)

1,2

Q

(LSW,p)

= p 1k

J 2,1

Q

( LSW,p)

2,2

= 0,

Q

(LSW,p)

j

11 = p 2( p + 2) 1 ((2 + j — p)(1 — аО1^ k2aP- 2 - j+

+ k2pap-2-j — n2p ap-2-j + (2 + j) (j — p) pap-j + 2 (p — j) pap-j+

Qj

a0 (LSWp)

>-2-j

+ (a01) — ^ k2 (bp-3-j + (2 + j) bp-2-3) + 2p^p-1-j)

j

1 2 = p 2(p + 2) 1 ((p — j)jP) — j — p) kap-j+

(51-А)

+p (j — 2p) kap-j + (1 — aO1^ k3bp-2-j+ ,(1)

Q

(LSWp)

2,1

Р-3

+ (a01) — ^ k (^2bP-2-j + jbJ>2)1-j) — 2pk9p-1-j),

a(0)

ap-2-j

Q

(LSWp) j

2,2

= p 2 ((2 + j — p) k^^p-^2-j — k (fPPi-j + (2 + j) bP-2-^ ) , = p-2 (j (j — p) aP°)j + k2bP-2-j— Q2bP-2-j— jbP-1-3) ;

и

j

Q

(LSW,p)

J 1,1

q(LSW,p)

J 1,2

= -p 1(p + 2) 1 k2 (1 - 603)) , = 2p-2(p + 2)-1k3 (l - ,

Q

Q

(LSW)

(LSW,p)

2,1

= -P 1k,

Q

-1k3

(LSW,p)

2,2

= 2p-2 k2,

11 = P 2(P + 2) 1 ((j + 2 - p) (l - b03^ k2ap-2-j+

+ (bo3) - ^ (j + 2) k2aP-2-j + P(j + 2) (j - P) a(p-j+

Q

(LSW,p)

j

p-2-j

bp-2-j - P 1

+'Pk2b{pl2-j - ptt2bp-2-j -p(j + 2) bpp-1-j + 2pgp-1 j ,

p

4p-1-3 2

= p 2(p + 2) 1 (k (b03) - ^ (ti2^— -j - k2a,p-2-j) + + (p - j) (jb03) - j + p) ka(p-j + pk (bpP-1-j- jbp-j) - 2pkgp-1 -j),

Q

o

(LSW,p) j

2,1

= p 2k ((j + 2 - p) apP-2-j - (2+ j) ^2-3) ,

Q

(LSW,p)

2,2

= p 2 (j (j - p) apP-j + kaPP-2-j - ti2a(p-2-j) ■

p-2-j 2 (2)

(51-Б)

Таким образом, соотношения (49), (50), (51-А) и (49), (50), (51-Б) определяют соответственно для каждого варианта модели неоднородности (22-А) либо (22-Б) коэффициенты разложений двух линейно независимых векторных частных решений

J(LSW,particular,q) (^)

/ч (LSW,particular,q) Ur

л. (LSW,particular,q) Uz

(t) (t)

(9 = 1,2),

(52)

элементами которых являются аналитические в области \t\ <5 функции, представленные в этой области абсолютно и равномерно сходящиеся в любом круге |t| < s (0 < s < 5) рядами (48). Векторные частные решения (52) для каждого варианта модели неоднородности (22-А) и (22-Б) определяют матричное размерности 2 х 2 базисное решение вида

j(LSW,basic) -J(LSW,basic) (£)

J(LSW,particular,1) (£) J(LSW,particular,2) (£)

(53)

При рассмотрении аналитического продолжения на плоскость комплексной переменной t матричного вещественного оператора MM(lsW) (r) (7), для каждого варианта модели неоднородности (22-А) и (22-Б) определяется соответствующий

матричный оператор

M(LSW) (g) = дм(LSW) =

MM(LSW) (g) = jM(LSW) =

'e* (d$ + (1 - 2Pi) g-1) ke* (2pi - 1)'

e* ((1 - 2pi) d$ + g-i) ke* (2pi - 1)

e* (1 - 2pi) d + g-i) -ke*

k e* pi e* pi d$

e* ((pi + 2) d$ + pi g-i) -ke* pi

e* (pi d$ + (pi + 2) g-i) -ke* pi

e* pi d + g-i) -ke* (pi + 2)

ke* e* d$

(54-А)

(54-Б)

Тогда, с учетом соотношений (5), окончательно получаются представления для общего решения уравнений математической модели (1), (3), (5) - (7), (9), (10) в виде

-0-(LSW,general) (г) = j(LSW,basic) (г) д |](LSW,general) (r) _ /"дм(lsw)0(LSW,basic)\ д (r ^ [0,^)) , (55)

V / $=r

где A - произвольный вектор-столбец размерности 2. Граничные условия (12) и (14) с использованием представлений (55) определяют соответствующего вида дисперсионные уравнения относительно безразмерного продольного волнового числа k и приведенной частоты П

${LSW) (k, П) = det ( (Гм(lsw^ (i,4),(i,2)U(LSWbasic

?=i

0;

$>(LSW) (k, П) = det (u(LSW,basic) (i^ = о

а также соответствующего вида уравнения для нахождения вектора A

A = O;

?=i

M(LSW)\ (M);(1;2)U(LSWbasic)

jj(LSW,basic) (i) a = O.

(56)

(57)

(58)

(59)

6. Численный эксперимент. Анализ дисперсионных спектров, фазовых и групповых скоростей бегущих волн продольно-сдвигового типа проводился для свободного однородного протяженного цилиндра из алюминия (Al)

Л = \(Al), Д = p(Al), р = p(Al),

(60)

а также для свободных неоднородных цилиндров, функциональные законы радиальной неоднородности физико-механических характеристик материала которых были заданы так:

\(r) = \(Al) (1 + 0, 3 r3) , Д = p(Al\ р = Р

Л (Al);

(61-А)

A = X(Al), fi(r)= A(Al) (1 + 0,3r3) , p = p(Al);

A = X(Al), A = A(M), p(r) = p(Al) (1 + 0,3r3) ;

A (r) = X(Al) (1 - 0,25r3) , A(r)= a(AI) (1 + 0,3r3)

A = p(Al).

Здесь Л(Al) = 5, 91, A(M) = 2, 61, p(Al) = 2, 7, C* = 1010 Н/м2 , p* = 103 кг/м3 .

Выбор определенных соотношениями (61-А) - (61-Г) законов неоднородности был обусловлен задачей исследовать влияние на топологическую картину спектра, а также графики фазовых и групповых скоростей бегущих волн продольносдвигового типа фактора неоднородности по каждой физико-механической характеристике изотропного материала отдельно. Далее волновод, задаваемый физико-механическими характеристиками (60), будет называться однородным волноводом, а с характеристиками (61-А) - (61-Г) - соответственно неоднородным волноводом А, Б, В или Г.

Для неоднородных волноводов А - Г был получен конкретный вид достаточного (аналитического) условия (28), соответственно

1 <5 < 1, 844, 1 <5 < 1, 493, 1 < 5 < те, 1 <5 < 1, 493. (62)

(61-Б)

(61-В)

(61-Г)

Конкретный вид достаточного (численного) условия (32) для указанных волноводов был получен при N = 4 в соотношениях (30) отдельно для вариантов модели радиальной неоднородности (22-А)

1 <5 < 1, 455,

и (22-Б)

1 <5 < 1, 844,

1 <5 < 1,409, 1 < 5 < те, 1 <5 < 1,372, 1 < 5 < те,

1 <5 < 1,461, 1 <5 < 1,141.

(63)

(64)

При этом максимальная погрешность полиномиальной аппроксимации в соотношениях (31) для обоих вариантах модели неоднородности (22-А) и (22-Б) не превысила е = 10_3. Основываясь на соотношениях (62) - (64) с целью оптимизации вычислительного эксперимента по времени его проведения был выбран вариант модели неоднородности (22-А) и численный подход (29-А), (30) к определению функций + (С) и ips ({) (s = 1,2).

В области изменения параметров к £ [0, 35] и Q £ [0, 30] для однородного волновода и неоднородных волноводов А-Г были построены фрагменты спектров бегущих волн продольно-сдвигового типа. Указанные спектры представлены соответственно на рисунках 2-6.

Сравнение представленных фрагментов спектра позволяет сделать следующие выводы. Неоднородность только по упругому модулю A (r) (рис. 2, б) не приводит к видимым изменения спектра по сравнению с однородным волноводом

а) однородный волновод

б) неоднородный волновод А

Рис. 2. Фрагменты спектров свободных волноводов

а) неднородный волновод Б

б) неоднородный волновод В

Рис. 3. Фрагменты спектров свободных волноводов

(рис. 2, а), в то время как неоднородность только по упругому модулю / (r) (рис. 3, а) и только по плотности р (r) (рис. 3, б) приводит к существенной перестройке спектральной картины. Сопоставление рисунка 2, а, рисунка 3, а и рисунка 4 иллюстрирует полное доминирование фактора неоднородности по упругому модулю / (r) над модулем 1 (r) при формировании спектра неоднородного волновода. В целом можно указать на характерную локализацию асимптотического поведения в коротковолновой высокочастотной области первой моды по отношению к старшим модам спектра для однородного волновода (рис. 2, а), а также для волноводов с

Рис. 4. Фрагмент спектра свободного неоднородного волновода Г

неоднородность только по упругому модулю Л (r) (рис. 2, б) и только по плотности р(г) (рис. 3, б), в то время, как при наличии неоднородности по упругому модулю Д (r) (рис. 3, а и рис. 4) указанная тенденция не проявляется.

С целью анализа количественных различий полученных спектров использовалась функция сравнения парных по номеру в соответствующих спектрах мод

AQ (к) = (О(неоднородный) (k) - 0(однородный) (кЛ . (65)

На рисунках 5-8 представлены результаты сопоставительного анализа поведения низших пяти мод фрагментов спектров однородного и неоднородного волновода А - Г. Номера сопоставляемых мод спектров и тип соответствующей линии

Рис. 5. Сопоставление спектров однородного и неоднородного волновода А

Рис. 6. Сопоставление спектров однородного и неоднородного волновода Б

Рис. 7. Сопоставление спектров однородного и неоднородного волновода В

Рис. 8. Сопоставление спектров однородного и неоднородного волновода Г

приведены в нижней части рисунков. В качестве характерных можно указать следующие закономерности. Все моды построенных фрагментов спектров неоднородных по упругим модулям волноводов А, Б и Г смещены по отношению к соответствующим модам однородного волновода в область более высоких частот. Этот эффект иллюстрируется для низших пяти мод сопоставляемых спектров на рисунках 5, 6, 8. При этом количественные значения функции AQ (к) при сопоставлении спектров однородного волновода и неоднородного по модулю Л (r) волновода (рис. 5) в абсолютных значениях оказались на порядок меньшими, чем значения указанной функции при сопоставлении однородного волновода и неоднородных по модулю / (r) (рис. 6, 8) и плотности р (r) (рис. 7) волноводов. Для неоднородного по плотности волновода В тенденция противоположная - все моды построенного фрагмента спектра неоднородного волновода смещены по отношению к соответствующим модам однородного волновода в область более низких частот.

Для представленных на рисунках 2, а и 3 фрагментов спектров построены графики фазовых (рис. 9-11) и для низших пяти мод групповых (рис. 12-14) скоростей. На графиках cp и cg - соответственно пронормированные величиной с* = л/С*/р* приведенные фазовая и групповая скорости.

Рис. 9. Фазовые скорости волн Рис. 10. Фазовые скорости волн

в однородном волноводе в неоднородном волноводе Б

Выбранные фрагменты спектров демонстрируют, как уже было отмечено выше, существенное влияние на топологию спектра фактора радиальной неоднородности отдельно по упругому модулю / (r) (рис. 3,а) и плотности р (r) (рис. 3,б). Представленные графики фазовых скоростей иллюстрируют локализацию асимптотического поведения фазовой скорости первой моды для однородного (рис. 9) и неоднородного отдельно по плотности p(r) (рис. 11) волноводов относительно фазовых скоростей старших мод, в то время как асимптотическое поведение фазовых скоростей низших мод неоднородного отдельно по упругому модулю /1 (r) (рис. 10) волновода имеет единую тенденцию.

Рис. 11. Фазовые скорости волн в неоднородном волноводе В

Рис. 12. Групповые скорости волн в однородном волноводе

Рис. 13. Групповые скорости волн в неоднородном волноводе Б

Рис. 14. Групповые скорости волн в неоднородном волноводе В

Выводы. Полученные результаты перспективны для использования в прикладных исследованиях, связанных с расчетами характеристик волноводных компонентов акустоэлектронных устройств, анализом моделей ультраакустической диагностики, верификацией результатов, полученных прямыми численными методами.

1. Моисеенко И.А. Нормальные волны в функционально-градиентных сплошных цилиндрах / И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2018. - № 1-2 (62-63). - С. 16-34.

2. Моисеенко И.А. Спектры нормальных упругих волн кручения в экспоненциально-неоднородных трансверсально-изотропных цилиндрах // Теоретическая и прикладная механика. - 2014. - Вып. 9 (55). - С. 139-145.

3. Моисеенко И.А. Распространение нормальных волн вдоль трансверсально изотропных функционально градиентных цилиндров // Вестник ДонНУ. Сер. А: Естественные науки. - 2018. - № 1. - С. 37-54.

4. Моисеенко И.А. Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью / И.А. Моисеен-

ко, В.И. Сторожев. // Механика твердого тела. - 2015. - Вып. 45. - С. 112-124.

5. Моисеенко И.А. Исследование упругих волн крутильного типа с использованием трехфакторной модели функциональной неоднородности трансверсально изотропных сплошных цилиндрических волноводов / И.А. Моисеенко, Н.Ю. Мельничук // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022. - № 2(79). - C.5-15. - doi:10.24412/0136-4545-2022-2-5-15. - EDN:ATARHS.

6. Моисеенко И.А. Осесимметричные продольно-сдвиговые упругие волны в протяженных сплошных цилиндрах из шестифакторно функционально неоднородного трансверсальноизотропного материала / И.А. Моисеенко, Н.Ю. Мельничук // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022. - № 3(80). - C.33-59. - doi:10.24412/0136-4545-2022-3-33-59. - EDN:NPEDMW.

7. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - Харьков: НТИУ. — 1939. — 719 с.

8. Petrowsky I.G. Sur l’analyticite des solutions des systems d’equations differentielles // Матем. сб. - 1939. - № 5(47). P. 3-70.

I.A. Moiseyenko, V.A. Moiseyenko, N.I. Melnichuk

Models of functional inhomogeneity of an isotropic cylindrical waveguide for the case of axisymmetric normal waves.

A two-factor model for the case of torsional waves and two alternative versions of a three-factor model for the case of longitudinal-shear waves are determined for the radial functional inhomogeneity of the physical and mechanical characteristics of the isotropic material of a cylindrical waveguide. Two approaches to determining the functional components of these models are presented. For each of these approaches, within the framework of each of the presented models, a sufficient condition for a weak radial inhomogeneity is determined, which ensures the construction of the target basic solution of the corresponding equations of the classical mathematical model of wave deformation. Basic solutions are constructed, the elements of which are expressed in terms of analytic functions represented by their expansions with coefficients determined from explicit recurrent relations. A comparative analysis of the results of a numerical experiment is given for the cases of homogeneous and functionally inhomogeneous isotropic free waveguides. The effects of the influence of the functional radial inhomogeneity of the waveguide material on the topology of the dispersion spectra and the distribution of phase and group velocities of longitudinal-shear traveling waves are studied. Quantitative and qualitative estimates of the obtained numerical results are given.

Keywords: FGMs, isotropy, cylindrical waveguide, axisymmetric waves, multifactorial model of

radial inhomogeneity, basic solution, dispersion relations.

Получено 02.02.2023