АНАЛИЗ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ РЕЛЕЕВСКИХ ВОЛН В ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОМ ОРТОТРОПНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С ПРИГРАНИЧНОЙ ЛОКАЛИЗОВАННОЙ ЗОНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:534.1

doi:10.24412/0136-4545-2023-2-26-38

EDN:ETYFCH

©2023. А.А. Глухов1, В.И. Сторожев1 2

АНАЛИЗ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ РЕЛЕЕВСКИХ ВОЛН В ФУНКЦИОНАЛЬНОГРАДИЕНТНОМ ОРТОТРОПНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ С ПРИГРАНИЧНОЙ ЛОКАЛИЗОВАННОЙ ЗОНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ

Представлена численно-аналитическая методика и результаты анализа модели распространения поверхностных волн Рэлея вдоль упруго-эквивалентного направления в плоскости границы функционально-градиентного ортотропного полупространства с приконтурной локализованной зоной неоднородности физико-механических свойств. В качестве варианта описания изменений физико-механических характеристик полубесконечного ортотропного функциональноградиентного тела при отходе от границы вглубь полупространства вдоль одного из его упругоэквивалентных направлений рассматривается зависимость в виде двойной экспоненциальной функции. Исследование включает разработку алгоритма интегрирования системы динамических уравнений, описывающих распространение волн исследуемого типа; получение дисперсионного уравнения для поверхностных волн релеевского типа в рассматриваемой волноводной структуре; исследование зависимостей фазовых скоростей анализируемых волн, форм распределений амплитудных функций волновых смещений и плотности среднего за период потока мощности от варьируемых параметров закона неоднородности вдоль координаты по глубине полупространства.

Ключевые слова: поверхностные волны Рэлея, функционально-градиентное ортотропное полупространство, непрерывная поперечная неоднородность, двойной экспоненциальный закон изменения, дисперсионное уравнение, зависимости фазовых скоростей, трансформации форм волновых смещений, трансформации распределений потоков мощности.

Введение. Волны Рэлея относятся к числу самых распространенных и наиболее изученных типов поверхностных упругих волн [1—8]. Однако, несмотря на

1 Глухов Антон Александрович - аспирант каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: antonglukhov2012@yandex.com.

Glukhov Anton Alexandrovich - Postgraduate, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

2 Сторожев Валерий Иванович - доктор техн. наук, проф., зав. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: stvistvi@mail.ru.

Storozhev Valeriy Ivanovich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

длительный период разветвленных исследований по различным аспектам проблемы описания свойств локализованных волн данного типа, круг вопросов по данной тематике сохраняет высокую степень актуальности как в теоретическом плане, так и в связи с современными приложениями в ряде научно-технических отраслей [2-4, 7-8], в частности в области сейсмоакустики и неразрушающего ультразвукового контроля. К их числу принадлежат задачи о спектрах и свойствах поверхностных волн релеевского типа в полубесконечных анизотропных телах с разнотипной непрерывной неоднородностью физико-механических свойств, в частности с приповерхностными локализованными зонами возмущений в значениях модулей упругости и параметра плотности среды [9-10]. Так, при исследовании закономерностей распространения сейсмоакустических упругих волн в массивах горных пород показано, что важным элементом достижения адекватности соответствующих математических моделей является учет локализованной непрерывной неоднородности физико-механических свойств горных пород при отходе от граничной поверхности вглубь, а также асимптотическое стремление физико-механических постоянных геоматериала к стабилизированным постоянным значениям в глубине массива при неограниченном увеличении расстояния от граничной поверхности. Данные свойства среды можно с достаточной степенью точности описать, введя для каждой из физико-механических характеристик среды двойной экспоненциальный закон изменения вдоль координаты вглубь массива. Этот подход применительно к моделям распространения сдвиговых поверхностных волн Лява и трехпарциальных локализованных волн у поверхности анизотропного полупространства представлен в работах [11-12].

С учетом представленных соображений, целью данной работы является разработка и апробация численно-аналитической методики анализа модели распространения поверхностных волн Рэлея вдоль упруго-эквивалентного направления в плоскости границы функционально-градиентного ортотропного полупространства с приконтурной локализованной зоной неоднородности физикомеханических свойств, описываемой двойной экспоненциальной функцией. Этапами реализуемого исследования являются разработка алгоритма интегрирования системы динамических уравнений, описывающих распространение волн исследуемого типа; получение дисперсионного уравнения для поверхностных волн релеевского типа в рассматриваемой волноводной структуре; исследование зависимостей фазовых скоростей анализируемых волн, форм распределений амплитудных функций волновых смещений и плотности среднего за период потока мощности от варьируемых параметров закона неоднородности вдоль координаты по глубине полупространства.

1. Алгоритм интегрирования системы волновых уравнений модели.

Рассматривается волновод в виде свободного по границе ортотропного функционально-градиентного полупространства c локализованной приконтурной зоной непрерывной физико-механической неоднородности, занимающий в координатном пространстве Ох1х2х3 область V

V = {(xi,Х2) е R2, хз > 5 > 0}. (1)

Непрерывная неоднородность физико-механических параметров плотности и упругих свойств полупространства описывается функциональными зависимостями вида

Cij(жэ) = cj • ф(Х, в, Хз), р(хз) = р(0) • ф(Х, в, Хз),

(2)

(ij = 11,12,13, 33, 22, 23, 44, 55, 66), ф(Х,в,Хэ) = exp(Aехр(-вжз)),

где Х, в (в > 0) - действительнозначные параметры неоднородности. Представления (2) отвечают соображениям о формировании зоны неоднородности в при. (0) . (0)

граничной зоне массива и асимптотических свойствах Cij ^ cij, р ру > при

хэ ^ ж.

Система дифференциальных уравнений относительно комплексных амплитудных функций в представлениях функций волновых смещений

ui(xi,x3,t) = uio(x3 )e-i(ut-kxi), из(ж1 ,X3,t) = U3o(x3)e-i(Mt-kxi), (3)

описывающих распространение релеевских волн P-SV типа вдоль упруго-эквивалентного направления Oxi в граничной плоскости рассматриваемого ортотропного функционально-градиентного полупространства с локализованной неоднородностью, задаваемой соотношениями (2), имеет вид:

c4<4) Ao + je-/3x3c4<4)u'10 + (р(0)ш2 - c(101)fc2)uio+

+(43 + c4<4) )(ik)u' 30 + Ye-l3x3 c<44)(ik)u30 = 0,

(4)

(4*4 + c(1'3))(ik)u/10 + Ye-l3x3 c(1'3) (ik)u10 + 4? и''э0+

+Ye-ex34°u'30 + (р(0)ш2 - 4*4k2)u30 = 0,

и может быть представлена в матричной форме:

(40) dl + d3 + )F = —7е_/3жз (A^ d3 + )F, (5)

где uj - циклическая частота; к - волновое число; А^°\ - матричные коэф-

фициенты

Л<0)

A(°) =

А3 —

c(0)

c44

c(0)

c33

А.2

(0)

4k(c1°)

+ c404) )

(р(0)Ш2 — 41 k2)

(р(0) ш2 — 41 k2)

ik(c103 + c404))

A(1) = (41 0 -2 “ I 0 eg

0

0

0

A(1)

A3

0 ikc(°4

ikc1<3) 0 J

Для получения решения системы (5) может быть использована методика интегрирования, рассматриваемая в работах [11—12]. В рамках ее применения для решения (5) получено представление F(xз) в виде линейной комбинации базис-HBix векторнвгх частник решений Fj(xз) с произволвниши коэффициентами cij

где

aiF_i(x3) F a2F2(x3),

Fj(x 3)

u10j (хэЛ U30j (хэ)) ’

Fj(x3) — F.oj(x3) F F_ij(x3) F F_2j(xs) F ■■■ F F_pj(x3) +

(7)

(8)

Gi(i0)df + А^дз +4з0))£(р(ж3) = 0;

(9)

(A^diFA^dsFAf^F^xs) (A^bj F А^дз F A(3°y)Fpj(x3) =

---le-^U^dsFA^F^xs),...,

-7е-^(41)дз F A^)F_p_ij{x3), • • •; (10)

7 = в\-

При построении базисного частного решения К2(хз) в качестве F_oj(xз) исполв-зуется частное решение однородного уравнения (9) вида

Е*№г ) = fv/jX3, (П)

в котором Sj (j = 1,2) - удовлетворяющие условию ReT/ > 0 корни бикубического характеристического уравнения

det

С4А^2 + (P(ff)^2 - cfjk2) ik(c 13 + c4l)5

c(0)

c33

ik(cf3 + c44) )5 52 + (p(0)u2 - c^k2)

= 0;

(12)

/ - вектор с компонентами вида

f =( -ik(ci3 + ci4))5j ^

_0j VC44 5j + (T*(0) - СП fc2) J

(13)

Далее, согласно итерационному алгоритму (10), можно получить выражения

Fij(xs)

f e(F в)хз —1 j ’

F_nj{x3)

f e(F-nF)x3

—nj ’

(14)

где

Li = -7 Mlra1JM2raj./ra_1

j

(15)

или

Mmj = & - пУ2А^ + (Si - n/3)40) + 40),

M2nJ = №'-(«-i)/?)41)+41)

Наконец, после введения обозначений

Q-nj —1га ,i—2»г ,J ’

(17)

представление для F_Ax з) принимает итоговую форму функционал иного ряда

F,(T3) = fQjes*X3 -iQl3L/S3^)X3 +'r2Qi&<L/Si~2fi)X3 - •••+

(18)

2. Получение и анализ дисперсионного соотношения для локализованных волн релеевского типа. Исходя из краевых условий на свободной граничной поверхности полупространства

03i(6) = 0, а3з(5) = 0,

(19)

и с использованием введенных в (7) обозначений для компонентов uioj(хз), ^зофжз) векторнв1х базиснвк решений 7ф(ж3)> соотношения (19) трансформируются в однородную систему линейных алгебраических уравнений вида

ai(U ioi (5) + iku30i(S)) + a2(u'io2(S) + гкизо2(ё))) = 0, ai(ifcc(1(3)uioi(5) + c3'3)u/3oi(5)) + a2(ikc(i3)uioi(5) + c3'3)u/3oi(5)) = 0.

(20)

Равенство нулю определителя данной однородной системы и представляет собой дисперсионное уравнение для локализованных волн релеевского типа в рассматриваемом функционально-градиентном полупространстве.

Результаты расчета мод исследуемых волн, реализованного с использованием разработанного специализированного программного приложения, при задании модельных величин сЦ = 3.0c*, c3$3} = 3.0c*, c\3 = 1.0c*, cff = 1.0c*,

p(o) = 1.0p*, c* = Ю^Па, p* = 103кг/м3 для варианта значений параметров неоднородности Л = 1, в = 1, представлены на рисунке 1, а количественные данные о различиях в приведенных значениях фазовых скоростей cr локализованных релеевских волн в неоднородном полупространстве из материала с

(o) (o)

указанными значениями c\j , pv ;, и с варьируемыми значениями параметров 0 < Л < 2.5, 0 < в < 2.5 при ш = 5 и скорости cro для предельного случая однородного полубесконечного ортотропного тела (Л = 0, в = 0), приведены в таблице 1.

Рис.1. Моды локализованных волн в однородном полупространстве (линия 1) и в неоднородном полупространстве с Л = 1, в = 1 (штриховая линия 2)

Таблица 1.

Л /3 CR CR — CR0 100% сап

0 0 0.9194 0

0.1 0.1 0.9216 +0.23%

0.1 1.0 0.9228 +0.36%

0.1 2.5 0.9239 +0.48%

1.0 0.1 0.9310 + 1.26%

1.0 0.25 0.9327 + 1.44%

1.0 0.5 0.9391 +2.14%

1.0 1.0 0.9519 +3.53%

1.0 2.5 0.9589 +4.29%

2.5 0.1 0.9353 + 1.72%

2.5 1.0 0.9670 +5.17%

2.5 2.5 0.9731 +5.84%

По данным расчетов можно заключить, что в рассматриваемых диапазонах изменения параметров неоднородности и частоты дисперсия исследуемых волн в неоднородном полупространстве крайне мала. При синхронном наращивании значений параметров неоднородности, как показывает таблица 1, фазовая скорость локализованной волны увеличивается.

3. Кинематические, силовые и энергетические характеристики локализованных волн релеевского типа в функционально-градиентном полупространстве. Анализ кинематических характеристик Пю(хз), ■изо(хз) исследуемых волн реализуется с использованием соотношений (7), (18), (20), из

которых, соответственно, следует

ai = ПiB,a2 = -1Т2В,щ = u'W2(S) + iku302(S) ,П2 = -(u'i0i(S) + ihu3oi(S)); (21)

uio(x3) = В(niui0i(x3) - n2U30i(x3)),u30(x3) = В(niui02(x3) - П2u302(x3)'), (22)

а значение постоянной В определяется условиями нормировки соответствующих величин для свободных поверхностных волн на границе полупространства.

Результаты расчетов, представленные в таблицах 2 и 3, содержат данные о значениях нормированных амплитуд смещений u30(x3)/u\0 и u10(x3)/u\0 для исследуемых волн при углублении в функционально-градиентное полупространство с варьируемыми значениями параметров неоднородности. Значения поперечной координаты для данных в таблицах 2 и 3 отнесены к соответствующей длине \r исследуемых волн релеевского типа, а величины u30 являются амплитудами смещений u,30(x3) на граничной поверхности полупространства. Для сопоставительного анализа соответствующие зависимости амплитуд смещений

Таблица 2. Нормированные амплитуды смещений u30(x3) fufi0

X 0 0.1 0.5 1.0 1.0 2.5 2.5 2.5 2.5

/3 0 0.1 0.1 0.1 1.0 0.25 0.5 1.0 2.5

0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.05 1.04 1.04 1.05 1.05 1.06 1.06 1.09 1.09 1.09

0.10 1.04 1.04 1.05 1.05 1.09 1.08 1.15 1.15 1.14

0.15 1.01 1.01 1.02 1.02 1.08 1.07 1.18 1.19 1.17

0.20 0.97 0.97 0.98 0.98 1.06 1.04 1.19 1.21 1.16

0.25 0.91 0.91 0.92 0.92 1.03 1.01 1.20 1.21 1.14

хг A R 0.30 0.85 0.85 0.86 0.86 0.99 0.98 1.20 1.20 1.10

0.35 0.78 0.79 0.79 0.80 0.94 0.94 1.19 1.18 1.05

0.40 0.71 0.71 0.73 0.73 0.89 0.91 1.17 1.15 0.99

0.45 0.65 0.65 0.66 0.67 0.83 0.87 1.15 1.11 0.92

0.50 0.59 0.59 0.60 0.61 0.78 0.84 1.13 1.06 0.86

0.75 0.34 0.35 0.36 0.36 0.53 0.68 0.97 0.81 0.56

1.00 0.19 0.20 0.20 0.21 0.34 0.55 0.79 0.58 0.34

1.25 0.10 0.11 0.11 0.11 0.21 0.45 0.62 0.40 0.20

1.50 0.05 0.06 0.06 0.06 0.13 0.36 0.48 0.27 0.12

u30(x3)/u*30 и u10(x3)/u30 даны на рисунке 2 применительно к однородному полупространству (сплошные линии) и неоднородному полупространству с Л = 2.5, в = 2.5 (пунктирные кривые). Приведенные распределения описывают эффекты смещения зон максимальных амплитуд волновых перемещений вглубь полупространства из неоднородного материала и существенные изменения в этом случае относительных амплитудных смещений uw(x3)/u^0 у границы полупространства.

Таблица 3. Нормированные амплитуды смещений u10(x3)/u*i0

X 0 0.1 0.5 1.0 1.0 2.5 2.5 2.5 2.5

/3 0 0.1 0.1 0.1 1.0 0.25 0.5 1.0 2.5

0 0.68 0.68 0.69 0.70 0.85 0.86 1.09 1.14 1.07

0.05 0.41 0.41 0.42 0.43 0.59 0.60 0.83 0.89 0.80

0.10 0.21 0.22 0.23 0.24 0.40 0.42 0.65 0.70 0.58

0.15 0.08 0.08 0.09 0.10 0.25 0.30 0.52 0.54 0.38

0.20 -0.01 -0.01 0.00 0.00 0.14 0.21 0.42 0.41 0.23

0.25 -0.07 -0.07 -0.06 -0.06 0.06 0.15 0.34 0.30 0.10

Хз A R 0.30 -0.11 -0.11 -0.11 -0.11 0.00 0.11 0.27 0.20 0.01

0.35 -0.14 -0.14 -0.13 -0.13 -0.05 0.08 0.21 0.12 -0.06

0.40 -0.15 -0.15 -0.15 -0.15 -0.08 0.05 0.16 0.05 -0.10

0.45 -0.16 -0.16 -0.15 -0.15 -0.10 0.03 0.11 0.00 -0.13

0.50 -0.15 -0.16 -0.15 -0.15 -0.12 0.02 0.08 -0.04 -0.15

0.75 -0.11 -0.11 -0.12 -0.12 -0.13 -0.02 -0.04 -0.13 -0.15

1.00 -0.07 -0.07 -0.07 -0.07 -0.09 -0.03 -0.08 -0.12 -0.11

1.25 -0.04 -0.04 -0.04 -0.04 -0.06 -0.04 -0.08 -0.09 -0.07

1.50 -0.02 -0.02 -0.02 -0.02 -0.04 -0.04 -0.07 -0.06 -0.04

Рис.2. Зависимости относительных амплитуд смещений изо(хз)/и30 и u10(x3)/u*30 в релеевской волне от параметра относительной глубины x3/XR

На рисунке 3 представлены зависимости относительных амплитудных характеристик напряжений (гц0(x3)/a\l, ai30(x3)/а£з, азз0(x3)/a3i3 в релеевской волне от параметра относительной глубины x3/\r для однородного полупространства (сплошные линии) и неоднородного полупространства с Л = 2.5, в = 2.5 (пунктирные кривые). Нормирующими параметрами в этом случае являются амплитудные характеристики напряжений a £ г, a 3з, а£з на граничной поверхности полупространства. Соответственно в таблицах 4-6 представлены расчетные

данные для относительных амплитудных характеристик динамических напряжений ац0(х3)/a\i, СТ130(x3)/af3, &330(х3)/&3з в анализируемых волнах при их распространении в функционально-градиентном полупространстве с варьируемыми параметрами двойной экспоненциальной неоднородности.

Рис.3. Зависимости относительных амплитудных характеристик напряжений Olio(хз)/а11, а1зо(жз)/^!!, аззо(хз)/о11 в релеевской волне от параметра относительной глубины хз/Xr

Таблица 4. Нормированные амплитудные характеристики напряжений а'1ю(жз)/о'п

X 0 0.1 0.5 1.0 1.0 2.5 2.5 2.5 2.5

/3 0 0.1 0.1 0.1 1.0 0.25 0.5 1.0 2.5

0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.05 0.64 0.64 0.65 0.65 0.72 0.74 0.78 0.80 0.76

0.10 0.38 0.39 0.04 0.40 0.51 0.55 0.63 0.64 0.56

0.15 0.20 0.21 0.22 0.22 0.35 0.42 0.52 0.50 0.39

0.20 0.07 0.08 0.09 0.09 0.23 0.32 0.42 0.39 0.25

0.25 -0.01 -0.01 0.00 0.00 0.14 0.25 0.35 0.30 0.14

хг A R 0.30 -0.07 -0.07 -0.06 -0.06 0.06 0.19 0.29 0.21 0.06

0.35 -0.11 -0.11 -0.10 -0.10 0.01 0.15 0.23 0.15 0.00

0.40 -0.14 -0.14 -0.13 -0.13 -0.03 0.12 0.18 0.09 -0.04

0.45 -0.15 -0.15 -0.14 -0.14 -0.06 0.09 0.14 0.04 -0.07

0.50 -0.16 -0.15 -0.15 -0.15 -0.08 0.07 0.11 0.01 -0.09

0.75 -0.12 -0.12 -0.12 -0.12 -0.10 0.01 0.00 -0.01 -0.10

1.00 -0.07 -0.07 -0.08 -0.08 -0.08 -0.01 -0.05 -0.08 -0.07

1.25 -0.04 -0.04 -0.05 -0.05 -0.05 -0.02 -0.06 -0.06 -0.05

1.50 -0.02 -0.02 -0.03 -0.03 -0.04 -0.03 -0.05 -0.04 -0.03

Таблица 5. Нормированные амплитудные характеристики напряжений oi3o(x3)/о\3

Л /3 0 0 0.1 0.1 0.5 0.1 1.0 0.1 1.0 1.0 2.5 0.25 2.5 0.5 2.5 1.0 2.5 2.5

ж3 A R 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.05 0.12 0.12 0.12 0.12 0.09 0.12 0.06 0.06 0.05

0.10 0.19 0.20 0.20 0.19 0.14 0.18 0.09 0.08 0.08

0.15 0.24 0.25 0.24 0.24 0.17 0.20 0.10 0.09 0.10

0.20 0.27 0.27 0.27 0.26 0.18 0.21 0.11 0.10 0.13

0.25 0.28 0.28 0.28 0.27 0.19 0.20 0.11 0.11 0.15

0.30 0.28 0.28 0.27 0.27 0.19 0.20 0.11 0.12 0.16

0.35 0.27 0.27 0.27 0.26 0.19 0.18 0.11 0.12 0.17

0.40 0.267 0.26 0.25 0.25 0.19 0.17 0.11 0.13 0.17

0.45 0.24 0.24 0.24 0.24 0.18 0.16 0.11 0.13 0.17

0.50 0.22 0.23 0.22 0.22 0.18 0.15 0.11 0.13 0.16

0.75 0.14 0.14 0.14 0.14 0.13 0.11 0.10 0.12 0.12

1.00 0.08 0.08 0.08 0.08 0.09 0.08 0.09 0.09 0.08

1.25 0.04 0.05 0.05 0.05 0.06 0.06 0.07 0.06 0.05

1.50 0.02 0.03 0.03 0.03 0.04 0.05 0.06 0.04 0.03

Таблица 6. Нормированные амплитудные характеристики напряжений а'ззо(жз)/о'зз

Л Р 0 0 0.1 0.1 0.5 0.1 1.0 0.1 1.0 1.0 2.5 0.25 2.5 0.5 2.5 1.0 2.5 2.5

ж3 A R 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.05 0.17 0.18 0.18 0.17 0.16 0.17 0.15 0.14 0.11

0.10 0.29 0.29 0.29 0.29 0.25 0.27 0.23 0.20 0.17

0.15 0.36 0.36 0.36 0.36 0.30 0.32 0.28 0.24 0.21

0.20 0.40 0.40 0.40 0.39 0.34 0.35 0.31 0.27 0.25

0.25 0.41 0.41 0.41 0.41 0.35 0.37 0.33 0.29 0.28

0.30 0.41 0.41 0.41 0.41 0.36 0.37 0.34 0.30 0.30

0.35 0.40 0.40 0.40 0.40 0.36 0.37 0.35 0.31 0.30

0.40 0.38 0.38 0.38 0.38 0.35 0.36 0.35 0.31 0.30

0.45 0.36 0.36 0.36 0.36 0.34 0.36 0.35 0.31 0.30

0.50 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 0.35 0.35 0.31 0.28

0.75 0.20 0.21 0.21 0.21 0.24 0.29 0.32 0.26 0.20

1.00 0.12 0.12 0.12 0.12 0.16 0.24 0.27 0.19 0.13

1.25 0.06 0.07 0.07 0.07 0.10 0.19 0.22 0.14 0.08

1.50 0.03 0.04 0.04 0.04 0.06 0.16 0.17 0.09 0.05

Анализируемыми энергетическими характеристиками являлись распределения по толщине полупространства относительной функции среднего за период потока мощности P1m(x3)/P1m в исследуемых волнах, где P£m - граничное значение P1m(x3) на поверхности полупространства, а P1m(x3) рассчитывается по формуле

Pim(x3) = (w/2) • 1т(<7цо(жз)«1о(жз) + о-1зо(ж)изо(ж3)). (23)

Графики распределений P1m(x3)/Pfm для однородного полупространства (сплошная линия) и для неоднородного полупространства с параметрами Л = 2.5, в = 2.5 (пунктирная кривая) представлены на рисунке 4, а для полупространства с варьируемыми параметрами неоднородности соответствующие величины P1m(x3)/P^m приводятся в таблице 7.

Рис.4. Зависимости относительных амплитудных характеристик относительной функции среднего за период потока мощности Pim(xz)/P\m в релеевской волне от параметра

относительной глубины x3/Xr

Таблица 7. Нормированные амплитудные характеристики относительной функции среднего за период потока мощности Pim(%3)/Pim

Л /3 0 0 0.1 0.1 0.5 0.1 1.0 0.1 1.0 1.0 2.5 0.25 2.5 0.5 2.5 1.0 2.5 2.5

жз A R 0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.05 0.66 0.66 0.66 0.66 0.69 0.72 0.74 0.74 0.68

0.10 0.57 0.57 0.57 0.57 0.56 0.60 0.62 0.59 0.48

0.15 0.56 0.56 0.56 0.55 0.49 0.54 0.55 0.49 0.37

0.20 0.57 0.56 0.56 0.55 0.46 0.51 0.51 0.43 0.32

0.25 0.56 0.55 0.54 0.54 0.44 0.48 0.47 0.38 0.31

0.30 0.53 0.52 0.52 0.51 0.42 0.45 0.45 0.36 0.30

0.35 0.48 0.48 0.47 0.47 0.39 0.42 0.43 0.44 0.29

0.40 0.43 0.43 0.43 0.42 0.37 0.39 0.41 0.32 0.28

0.45 0.37 0.38 0.37 0.37 0.34 0.36 0.39 0.31 0.26

0.50 0.32 0.32 0.32 0.32 0.31 0.34 0.37 0.29 0.24

0.75 0.12 0.13 0.13 0.13 0.16 0.23 0.28 0.19 0.12

1.00 0.04 0.04 0.04 0.04 0.07 0.15 0.20 0.10 0.05

1.25 0.01 0.01 0.01 0.01 0.03 0.10 0.13 0.05 0.02

1.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.06 0.07 0.02 0.00

Как показывают результаты расчетов, представленные на рисунке 4, изменения в распределениях P\m(x3)/P\m наиболее выражено наблюдаются для интервала относительных глубин 0.15 < Хз/Xr < 0.55 и выражаются в уменьшении показателей интенсивности потока при сохранении, в целом, профиля закона распределения.

Заключение. Итогом проведенных исследований является разработка численно-аналитической методики анализа модели распространения поверхностных волн Рэлея вдоль упруго-эквивалентного направления в плоскости границы функционально-градиентного ортотропного полупространства с описываемой двойной экспоненциальной функцией приконтурной локализованной зоной неоднородности физико-механических свойств. Разработан алгоритм интегрирования системы волновых уравнений для среды рассматриваемого типа и получено дисперсионное уравнение, описывающее распространение релеевских поверхностных волн в рассматриваемой волноводной структуре. Осуществлено исследование фазовых скоростей анализируемых волн, а также соответствующих форм распределений вдоль координаты по глубине полупространства для амплитудных функций волновых смещений, механических напряжений и плотности среднего за период потока мощности в зависимости от варьируемых параметров закона неоднородности. Охарактеризованы некоторые эффекты в свойствах исследуемых волн, обусловленные факторами неоднородности.

Исследования проводились по теме государственного задания в ФГБОУ ВО «ДонГУ» (код FRRE-2023-0001). 1

1. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах / И.А. Викторов. - М: Наука, 1981. - 287 с.

2. Дьелесан Э. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов /

Э. Дьелесан, Д. Руайе. - М.: Наука. - 1982. - 424 с.

3. Речицкий В.И. Радиокомпоненты на поверхностных акустических волнах / В.И. Речиц-кий. - М.: Сов. радио, 1984. - 112 с.

4. Морган Д. Устройства обработки сигналов на поверхностных акустических волнах / Д. Морган. - М.: Радио и связь, 1990. - 415 с.

5. Белубекян М.В. Пространственная задача распространения поверхностных волн в трансверсально-изотропной среде / М.В. Белубекян, Д.Э. Мгерян // Известия Национальной академии наук Армении. - 2006. - Т. 59, №2. - С. 3-9.

6. Мелешко В.В. Упругие волноводы: история и современность / В.В. Мелешко, А.А. Бондаренко, С.А. Довгий, А.Н. Трофимчук, Г.Я. ван Хейст // Математические методы и физико-механические поля. - 2008. - Т.51, №2. - С. 86-104.

7. Datta S.K. Elastic Waves in Composite Media and Structures: With Applications to Ultrasonic Nondestructive Evaluation, in Mechanical Engineering Series / S.K. Datta, A.H. Sha. — Boca Raton: CRC Press, 2008. - 336 p.

8. Акустические волны в материалах и элементах конструкций с дефектами, неоднородностями и микроструктурой: монография / М.С. Аносов [и др.]; отв. ред. В.И. Ерофеев, А.О. Мальханов. - Нижний Новгород: Нижегород. гос. техн. ун-т им. Р.Е. Алексеева, 2021. -311 с.

9. Gabbert U. Smart structures and structronic systems / U. Gabbert, H.S. Tzou. - Dordrecht: Kluver Academic Pub., 2001. - 384 p.

10. Birman V. Modeling and Analysis of Functionally Graded Materials and Structures / V. Birman, L.W. Byrd // Appl. Mech. Rev. - 2007. - Vol. 60, N 5. - P. 195-216.

11. Болнокин В.Е. Анализ модели распространения сдвиговых упругих волн в полубесконечном трансверсальноизотропном функционально-градиентном геомассиве / В.Е. Болнокин, А.А. Глухов, В.И. Сторожев // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022. -№3 (80). - С. 14-19. - doi: 10.24412/0136-4545-2022-3-14-19. - EDN BOBAVC.

12. Глухов А.А. Интегрирование системы уравнений распространения произвольно ориентированных трехпарциальных поверхностных волн в функционально-градиентном орто-тропном полупространстве / А.А. Глухов, В.И. Сторожев, В.А. Шалдырван // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022. - №4 (81). - С. 15-22. - doi: 10.24412/0136-4545-2022-4-15-22. - EDN JBHEKR.

A.A. Glukhov, V.I. Storozhev

Analysis of the model of surface rayleigh waves propagation in a functional-gradient orthotropic half-space with a border localized zone of inhomogeneity.

A numerical-analytical technique and the results of an analysis for a model of Rayleigh surface waves propagation along the elastic-equivalent direction in the plane of the boundary of a functional-gradient orthotropic half-space with a contour localized zone of inhomogeneity of physical and mechanical properties are presented. As a variant of describing changes in the physical and mechanical characteristics of a semi-infinite orthotropic functional-gradient body when moving away from the boundary deeper into the half-space along one of its elastically equivalent directions, a dependence in the form of a double exponential function is considered. The research includes the development of an algorithm for integrating a system of dynamic equations describing the propagation of waves of the type under study; obtaining a dispersion equation for Rayleigh-type surface waves in the waveguide structure under consideration; study of the dependences of the phase velocities of the analyzed waves, the shapes of the distributions of the amplitude functions of wave displacements and the density of the average power flux over the period on the varying parameters of the law of inhomogeneity along the coordinate along the depth of the half-space.

Keywords: Rayleigh surface waves, functional-gradient orthotropic half-space, continuous

transverse heterogeneity, double exponential law of properties change, dispersion equation, parametrical dependences of phase velocities, transformations of wave displacement shapes, transformations of power flow distributions.

Получено 27.04.2023