CC BY
2УДК 539.3:534.1
doi:10.24412/0136-4545-2023-2-48-55
EDN:SPYOBC
©2023. Д.С. Карасев1, С.В. Сторожев1 2, В.А. Шалдырван3
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ СДВИГОВЫХ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ВОЛН В ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОЙ ПЬЕЗОКЕРАМИКЕ С ДВОЙНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ
Для частного варианта системы уравнений динамического электроупругого деформирования, описывающей распространение локализованных стационарных электромеханических волн Гу-ляева-Блюстейна вдоль поверхности полупространства линейно поляризованной пьезокерамики класса 6mm с непрерывной поперечной неоднородностью физико-механических характеристик, описываемой двойными экспоненциальными функциями, предложен и реализован численно-аналитический алгоритм получения векторной формы базисных частных решений. Рассматриваемый вариант описания неоднородности занимающего полубесконечную область функционально-градиентного пьезоактивного материала характеризует наличие приповерхностной области существенных изменений параметров рассматриваемой модели деформирования вдоль координаты по толщине полупространства с асимптотическим сглаживанием данных изменений в его глубине. Построенные решения представлены сходящимися по норме векторными экспоненциальными рядами со слагаемыми, определяемыми с применением векторно-матричных рекуррентных соотношений.
Ключевые слова: модель распространения волн Гуляева-Блюстейна, электроупругое полупространство, функционально-градиентная пьезокерамика, двойная экспоненциальная физикомеханическая неоднородность, интегрирование системы волновых уравнений, итерационный
1 Карасев Дмитрий Сергеевич - аспирант каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].
Karasev Dmitry Sergeevich - Postgraduate, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
2 Сторожев Сергей Валериевич - доктор техн. наук, проф. каф. специализированных информационных технологий и систем строительного ф-та ДонНАСА, Макеевка, e-mail: [email protected].
Storozhev Sergey Valerievich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka, Faculty of Civil Engineering, Chair of Specialized Information Technologies and Systems.
3Шалдырван Валерий Анатольевич - доктор физ.-мат. наук, гл. науч. сотр. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].
Shaldyrvan Valery Anatolievich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Chief Researcher, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
аналитический алгоритм, экспоненциальные векторные ряды.
Введение и цели исследования. Поверхностные электроупругие волны Гуляева-Блюстейна, получившие самое обширное применение в процессах функционирования акустоэлектронных устройств, по самым различным аспектам остаются до настоящего времени предметом актуальных теоретических исследований [1—7]. К ряду представляющих современный интерес новых элементов в постановке задач о распространении связанных локализованных электроупругих волн данного типа относится, в частности, учет усложненных физикомеханических свойств материала пьезоактивного полупространства, проявляющихся вследствие целенаправленного применения новых технологий формирования такого материала, в том числе методов 3D печати. Создаваемые такими способами волноводы для волн Гуляева-Блюстейна являются функциональноградиентными, обладающими, в том числе, различными типами непрерывной неоднородности физико-механических свойств по толщине. Соответственно, исследование спектров и свойств локализованных электроупругих волн в таких волноводах является актуальным научным заданием с важными перспективами прикладного применения, в частности, при поиске новых конструктивных решений в процессе разработки инновационных акустоэлектронных радиокомпонентов [8—11].
В этом контексте целью данного исследования является разработка и реализация итерационного численно-аналитического алгоритма получения векторных базисных частных решений системы дифференциальных уравнений динамического электроупругого деформирования, описывающей распространение локализованных стационарных электромеханических волн Гуляева-Блюстейна вдоль поверхности полупространства линейно поляризованной пьезокерамики класса 6mm с непрерывной поперечной неоднородностью физико-механических характеристик, описываемой двойными экспоненциальными функциями. Исследуемый вариант описания неоднородности функционально-градиентного пьезоактивного материала в полубесконечной области отвечает существованию приповерхностной области выраженных изменений его параметров вдоль координаты по толщине полупространства с асимптотическим сглаживанием темпа этих изменений в глубине [12-13]. Он является альтернативным по отношению к описанию приграничной неоднородности физико-механических свойств на базе использования экспоненциальных зависимостей, рассмотренному в работе [14].
1. Основные соотношения исследуемой модели. Рассматривается занимающая область xi > п > 0 в координатном пространстве Oxix2x3 полубесконечная непрерывно-неоднородная гексагональная пьезокерамическая упругая среда класса 6mm с осью поляризации Oxi, имеющая переменные вдоль оси Oxi физико-механические свойства:
Р = Ро • &(\,/3,xi), cij = cijо • rd{\,e,xi), e-ij = eijо • §{\,e,xi), £ij = £jо • §{\,e,xi), (1)
§(\, в, xi) = exp (Xexp (-fixi)),
где Cij (xi), eij (xi), eij (xi), p (xi) - соответственно модули упругости, пьезоэлектрические и диэлектрические параметры и параметр плотности функциональноградиентной пьезокерамики материала. Для введенных таким образом физикомеханических характеристик материала в глубине полупространства x3 > п > 0 при в > 0 имеет место асимптотическое стремление к величинам Cij о, ejo, eij о, Ро.
Соотношения полной системы уравнений динамического электроупругого деформирования в квазистатическом приближении для электромагнитного поля применительно к рассматриваемому случаю распространения плоско-поляризованных поперечных стационарных поверхностных электроупругих волн Гуляева-Блюстейна вдоль координатного направления Ox2 в рассматриваемом полупространстве, имеют исходный вид
diau + <92<х2з - ри3 = 0, diDi+d2D2 = 0, dj = d/dxj (j = 1,2); (2)
^13 = C44diU3 + ei5di^, о2з = C44 д2пз + ei5d2p, (3)
Di = -eiidiy + ei5 дуиз, D2 = -eu d2p + e^u3. (4)
где u3 (xi, x2, t'), p (xi, x2, , Di (xi, x2, 't) , D2 (xi, x2, 't), ^i3 (xi, x2, , ^"23 (xi, x2,
- соответственно комплексные функции упругих волновых перемещений упругого смещения, потенциала, а также компоненты вектора индукции связанного квазистатического электрического поля и тензора механических напряжений в исследуемых локализованных SH-волнах.
Совокупность соотношений (2)-(4) первоначально сводится к системе двух уравнений в частных производных
di(c44diU3) + C44d|u3 + di(ei5dip) + ei5d|p - рщ = 0,
(5)
di(ei5diU3) + ei5d|u3 - di(endip) - end|p = 0,
которая после введения представлений для характеристик исследуемой электромеханической волны
u3(xi ,x2,t) = u3o(xi)exp(-i(wt - kx2)), p(xi,x2,t) = po(xi)exp(-i(wt - kx2)),
(6)
где ш - циклическая частота, k - волновое число, и с учетом соотношений (1) преобразуется к виду
C44ou3o(xi) + ei5op0(xi) + (Рош2 - C44ok2)U3o(xi) - ei50k2p(xi) =
= ((C44ou3o(xi) + ei5opo (xi)) (Хв) exp(-exi)),
„ „ (7)
ei5ou3o(xi) - eiiopo (xi) - C44oк2u3o(xi) + eiiok2p(xi) =
= ((ei5ou3o(xi) - eiiop'o(xi))(\e)exp(-exi)).
На следующем этапе преобразований система (7) записывается в следующей матричной форме
{Aid\ +A3)F(xi) = (Xf3)exp(-f3xi))A2diF(xi), (8)
где
F(x i)
«30(xiA .
Аъ An Аз - матрицы постоянных коэффициентов
—1
c440 ei50
ei50 £110
/\fiC440 Afiei50
lA^ei50 — Ae&ii0
A3
p0^2 — C440k2 —ei50k2
-ei50k2
eiwk2
(9)
(10)
В качестве способа интегрирования системы (10) предлагается использование метода последовательных приближений, представляемого алгоритмом
Е(х 1) = ЕоМ + EiM +F2(xi) + ... +Ер{х 1) + ... (11)
(A^l + £3) Zq(ti) = 0, {A^l + As)Ei(x 1) = e 13x3А&ЕоЫ),...
(12)
{AA% + £3) EM) = e-^AadsEv-M), • • •
Решение однородной системы дифференциальных уравнений относительно компонентов вектор-функции £0(ж 1) записв1вается в виде
£0(ti) = си AMXi + a2 M~&2X1, (13)
где cij (j = 1,2) произволвнвю постояннв1е коэффициентв1, Д -величины вида
. _ /£ii0А2 + еуюк2 —'7 \е150^2 — eiso^2
5j — корни бикубического характеристического уравнения
векторные
(14)
(c440£ii0 — e250)А4 + ((Р0W2 — c440k2) £ii0 + c440£ii0к
+ 2e250k2)^2 +
+((P0W2 — C440k2)£ii0k2 — e2i50k4)52) _ 0,
(15)
удовлетворяющие условию ReSj > 0.
Выбирая, далее, в качестве начального приближения алгоритма (11)—(12) функции
Eoj(xi) = Aj e~&jX1, (16)
можно последовательно получить представления
Fpj(x 1) = Q_fexp((-p(3 + Sj)x i)
где
Qf =M^P)KlpjQf~1\
(18)
j — (—P@ + $j)2Ai + A:
£13!
(19)
Mipj = ((-(p - AP + SAAz
м
(20)
или
Qf =MZp)MlpjM,
-ipj ALo,p—i,j AL\,p—\,j ■ ••
M
...•Mo-i'Mn.Qf, Qf1 = Aj- (21)
Таким образом, для системы уравнений (7) волновых движений рассматриваемого типа в функционально-градиентной электроупругой пьезокерамической среде с двойной экспоненциальной неоднородностью получена совокупность двух базисных решений, имеющих представления в виде векторных функциональных рядов экспоненциального типа с явными аналитическими выражениями для последовательно определяемых векторных коэффициентов
Анализ сходимости рядов в представлениях (22) может быть реализован с использованием признака Даламбера. Так, ввиду выполняющегося в области в области х\ > п > 0 свойства
функциональный ряд (22) обладает свойством сходимости по норме в указанной области.
Таким образом, для полубесконечной пьезоактивной функционально-градиентной гексагонально-анизотропной среды получены аналитические решения уравнений распространения сдвиговых электроупругих волн, являющиеся основой для исследования закономерностей распространения в рассматриваемых средах локализованных волн Гуляева-Блюстейна.
С введением для компонентов векторнвк коэффициентов Q^ и векторфункций F_j(xi) обозначений
E.j(x i) = ff&f^Pd-Pfi + 8AX i) Q = 1> 2).
(22)
Дт (||Qjp+1)||exp{{-{p + 1 )/? + Sj)xi)) / (\\Q_f\\expQ-pf3 + SQxif < 1, (23)
представления для комплексных функций волновых перемещений и потенциала квазистатического электрического поля могу быть записаны в форме
«э(ж1 ,X2,t) = (aifn(xi) + 0,2/12(xi))exp(-i(ut - kx2)),
<p(xi,x2,t) = (aif2i(xi) + a2f22(xi))exp(-i(ut - kx2)),
(25)
Ж
fnj(x 1) = ^2qnjPexp((-pl3 + Sj)x 1) (n,j = M).
p=0
Ее использование при записи дисперсионного соотношения для волн исследуемого типа в рассматриваемом функционально-градиентном волноводе со свободной электродированной поверхностью xi = п приводит к соотношению вида
det \\dnj|| = 0, (26)
в котором
Ж
dij = c44e^2 Qijp(-P@ + Sj )exp((-pfi + Sj )n)+
p=0
ж
+ei5eX^ d2jp(-pp + Sj )exp((-pfi + Sj )n), (27)
p=0
ж
#2 j = '^q2jPexp{(-pfd + 5j)r/) (j = T/2).
p=0
Заключение. Результатом проведенных исследований является разработка итерационного численно-аналитического алгоритма получения базисных векторных частных решений системы дифференциальных уравнений, описывающей распространение поверхностных электроупругих волн Гуляева-Блюстейна вдоль границы полубесконечного тела из линейно поляризованной пьезокерамики класса 6mm с описываемой двойными экспоненциальными функциями непрерывной поперечной неоднородностью физико-механических характеристик. Согласно использованному описанию закона изменения физико-механических параметров пьезоактивной среды по толщине волновода, в его глубине данные параметры асимптотически стремятся к постоянным величинам, а вблизи границы данный закон изменения описывает формирование области локализованной приповерхностной неоднородности свойств материала.
Построенные решения имеют форму сходящихся по норме векторных экспоненциальных рядов со слагаемыми, определяемыми с применением векторноматричных рекуррентных соотношений.
Исследования проводились по теме государственного задания в ФГБОУ ВО «ДонГУ» (код FRRE-2023-0001). 1
1. Liu H. Propagation of Bleustein-Gulyaev Waves in a Pre-Stressed Layered Piezoelectric Structure
/ H. Liu, Z.B. Kuang, Z.M. Cai // Ultrasonics. - 2003. - Vol. 41. - P. 397-405.
2. Jin F. The Propagation Behavior of Bleustein-Gulyaev Waves in a Pre-Stressed Piezoelectric Layered Structure / F. Jin , Z. Wang , K. Kishimoto // International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation. - 2003. - Vol. 4. - P. 125-138.
3. Kaplunov J. An Explicit Asymptotic Model for the Bleustein - Gulyaev Wave / J. Kaplunov, L. Kossovich, A. Zakharov // Comptes Rendus Mecanique. - 2004. - Vol. 332 (7). - P. 487-492.
4. Приказчиков Д.А. Общее представление для волны Блюштейна-Гуляева / Д.А. Приказчиков, Б. Эрбаш // Инженерный журнал: наука и инновации. - 2013. - Вып. 7.
URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/hidden/848.html
5. Желнорович В.А. Поверхностные волны Релея и Блюстейна-Гуляева в упругих пьезоэлектриках при наличии релаксации диэлектрической поляризации / В.А. Желнорович // ПММ. - 2015. - Т. 79, Вып. 2. - С. 273-285.
6. Белубекян В.М., Белубекян М.В., Гараков В.Г. Условия появления волны Гуляева - Блю-стейна с учетом нестационарности электрического поля / В.М. Белубекян, М.В. Белубекян, В.Г. Гараков // Доклады Национальной академии наук Армении. Механика. -2020. - Т. 120, № 3. - С. 174-180.
7. Акустические волны в материалах и элементах конструкций с дефектами, неоднородностями и микроструктурой: монография / М.С. Аносов [и др.]; отв. ред. В.И. Ерофеев, А.О. Мальханов. - Нижний Новгород: Нижегород. гос. техн. ун-т им. Р.Е. Алексеева, 2021. -311 с.
8. Setter N. Piezoelectric material and devices / N. Setter. - Lausanne, Switzerland: Swiss Federal Institute of Technology, 2002. - 518 p.
9. Hudai Kara Porous PZT ceramics for receiving transducers / Kara Hudai, Ramesh Rajamami, Ron Stevens, Cris R. Bowen // IEEE Trans. UFFC. - 2003. - V. - 50. - N 3. - P. 280-296.
10. Saito Y. Lead-free piezoсeramies / Y. Saito, H. Takao, T. Tani, T. Nonoyama, K. Takatori, T. Homma, T. Nagaya, M. Nakamura // Nature. - 2004. - V. 432. - P. 84-87.
11. Heywang W. Piezoelectricity, evolution and future of a technology / W. Heywang, K. Lubitz, W. Wersing. - Berlin: Springer, 2008. - 581 p.
12. Болнокин В.Е. Анализ модели распространения сдвиговых упругих волн в полубесконечном трансверсальноизотропном функционально-градиентном геомассиве / В.Е. Болнокин, А.А. Глухов, В.И. Сторожев // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022 -№3 (80). - С. 14-19. - doi: 10.24412/0136-4545-2022-3-14-19. - EDN BOBAVC.
13. Глухов А.А. Интегрирование системы уравнений распространения произвольно ориентированных трехпарциальных поверхностных волн в функционально-градиентном орто-тропном полупространстве / А.А. Глухов, В.И. Сторожев, В.А. Шалдырван // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022 - №4 (81). - С. 15-22. - doi: 10.24412/0136-4545-2022-4-15-22. - EDN JBHEKR.
14. Карасев Д. С. Интегрирование уравнений распространения связанных электроупругих сдвиговых волн в полупространстве функционально-градиентной пьезокерамики / Д.С. Карасев, С.В. Сторожев // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022 - №4 (81).
- С. 47-52. - doi: 10.24412/0136-4545-2022-4-47-52. - EDN RAPMHU.
D.S. Karasev, S.V. Storozhev, V.A. Shaldyrvan
Integration of propagation equations of localized shear electroelastic waves in functional gradient piezoceramics with double exponential in homogeneity.
For a particular version of the system of equations of dynamic electroelastic deformation, which describes the propagation of localized stationary electromechanical Gulyaev-Blustein waves along the surface of a half-space of linearly polarized piezoceramics of class 6mm with continuous transverse inhomogeneity of physical and mechanical characteristics, described by double exponential functions, a numerical-analytical algorithm for obtaining a vector form basic private solutionsis proposed
and implemented. The considered variant of describing the heterogeneity of a functionally graded piezoactive material occupying a semi-infinite region characterizes the presence of significant changes in the parameters of the considered deformation model along the thickness of the half-space in the near-surface region and asymptotic smoothing of these changes in its depth. The constructed solutions are represented by norm-convergent vector exponential series with terms determined using vector-matrix recurrence relations.
Keywords: Gulyaev-Blustein wave propagation model, electroelastic half-space, functional-gradient piezoceramics, double exponential physical-mechanical inhomogeneity, integration of a system of wave equations, iterative analytical algorithm, exponential vector series..
Получено 29.05.2023
