СДВИГОВЫЕ ЭЛЕКТРОУПРУГИЕ ВОЛНЫ В ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОМ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОМ СЛОЕ С РАЗНОТИПНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№4 (85) / 2023.

УДК 539.3:534.1

doi:10.24412/0136-4545-2023-4-23-30 EDN:YFWFOO

©2023. Д.С. Карасев1, С.В. Сторожев2, В.А. Шалдырван3 СДВИГОВЫЕ ЭЛЕКТРОУПРУГИЕ ВОЛНЫ В

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОМ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОМ СЛОЕ С РАЗНОТИПНОЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

Предложен итерационный алгоритм численно-аналитического интегрирования системы уравнений в частных производных, описывающей распространение связанных нормальных электроупругих волн сдвигового типа в слое функционально-градиентной пьезокерамики с переменными по толщине разнотипными экспоненциальными зависимостями для параметра плотности и для параметров деформационных и электрических свойств материала. Базисные решения волновых уравнений получены в форме векторных экспоненциальных рядов. Сформулированы дисперсионные уравнения для исследуемых нормальных волн при отдельных вариантах электромеханических краевых условий на гранях слоя.

Ключевые слова: слой функционально-градиентной пьезокерамики, поперечная экспоненциальная неоднородность, различие изменяемостей плотности и электромеханических свойств, нормальные сдвиговые электроупругие волны, динамические уравнения электромеханического деформирования, базисные частные решения, алгоритм последовательных приближений, экспоненциальные ряды с векторными коэффициентами, дисперсионные уравнения.

Введение и цели исследования. Исследование вопросов о спектрах нормальных электроупругих волн в волноводах из новых поколений создаваемых

1 Карасев Дмитрий Сергеевич - аспирант каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: vektor8899@ya.ru.

Karasev Dmitry Sergeevich - Postgraduate, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

2 Сторожев Сергей Валериевич - доктор техн. наук, проф. каф. специализированных информационных технологий и систем строительного ф-та ДонНАСА, Макеевка, e-mail: s.v.storozhev@donnasa.ru.

Storozhev Sergey Valerievich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka, Faculty of Civil Engineering, Chair of Specialized Information Technologies and Systems.

3Шалдырван Валерий Анатольевич - доктор физ.-мат. наук, гл. науч. сотр. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: shaldyrvan.v.a@mail.ru.

Shaldyrvan Valery Anatolievich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Chief Researcher, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

с применением аддитивных технологий функционально-градиентных пьезоке-рамических материалов является актуальной задачей в связи с прикладными конструкторскими расчетами при проектировании акустоэлектронных радиокомпонентов [1—5]. Здесь можно констатировать, что наряду с применением в этих целях универсальных стандартизированных приложений для конечно-элементного расчетного анализа соответствующих расчетных моделей, большой интерес представляет дальнейшее развитие численно-аналитических методов анализа математических моделей волновых процессов в непрерывно-неоднородных пьезоактивных средах [6-10], в том числе разработка все более эффективных алгоритмов исследования волновых процессов в функционально-градиентных пьезоэлектрических волноводах с расширенными возможностями верификации получаемых результатов. В свою очередь, важным элементом в развитии методик расчетного анализа моделей распространения электроупругих волн в неоднородных пьезоэлектрических средах является учет различий в значениях параметров достаточно широко используемых в современных исследованиях экспоненциальных функциональных [11-13] зависимостей, описывающих поперечную неоднородность деформационных и электрических свойств пьезоактив-ных материалов и их неоднородную по толщине плотность.

В контексте данных соображений, цель реализуемых в настоящей работе исследований заключается в разработке численно-аналитического итерационного алгоритма построения базисных векторных частных решений систем дифференциальных уравнений, описывающих распространение связанных стационарных нормальных электроупругих волн сдвигового типа в слое функционально-градиентной пьезокерамики с переменными по толщине и задаваемыми разнотипными экспоненциальными зависимостями для параметра плотности и параметров деформационных и электрических свойств материала.

1. Система основных соотношений рассматриваемой модели. Рассматривается занимающий область V = {х1 € [-Н,Ь\, (х2,Х3) € К2} в координатном пространстве ОХ1Х2Х3 слой функционально-градиентного линейно-поляризованного пьезокерамического материала класса 6шш гексагональной системы с осью поляризации Охз, обладающего переменными вдоль координаты по толщине слоя физико-механическими свойствами. Система уравнений связанного динамического деформирования пьезоэлектриков, описывающая распространение вдоль оси Ох2 в рассматриваемом слое нормальных сдвиговых поляризованных вдоль координатного направления Ох3 в плоскости слоя электроупругих £Я-волн, может быть записана в форме

01(713 + 02(723 - р(хг)йз = О, <91-01 + 02-О2 = о, <9,- = д/дх^ {] = 1,2); (1)

013 = С44 (Х1)01 из + в1б(Х1 )дф 023 = С44 (Х1)д2 из + в1б(Х1 )&2ф, (2) А = -£11 (Х1)д1 ф + е1б(Х1)д1из, А = -еп Х)д2 ф + в15(Х1)д2из, (3)

где u3(x1,x2,í), ф(Х1 ,Х2,Ь) - соответственно комплексные функции динамических упругих смещений и потенциала квазистатического электрического поля в

SH-волне; 0i3, 023 - комплексные функции сдвиговых механических напряжений в исследуемых волнах; Di, D2 - комплексные функции индукции квазистатического электрического поля; Cij(xi), eij(xi), eij(xi), p(x\) - соответственно экспоненциальные функциональные характеристики распределений модулей упругости, параметра плотности, пьезоэлектрических и диэлектрических параметров поперечно-неоднородного пьезокерамического материала по толщине слоя, описываемые соотношениями вида

Cij(xi) = Cij0 exp(Axi), eij(xi) = e^o exp(Axi), (xi) = e^o exp(Axi); (4)

p(xi) = рол exp(Axi) + poM exp(^xi). (5)

Система соотношений (1)-(3) дополняется следующими частными вариантами однородных электромеханических краевых условий на плоских гранях слоя:

- грани свободны от механических усилий и имеют нанесенные тонкие ко-роткозамкнутые электроды

(ai3(xi,x2,t))x1=±h = 0, (<p(xi ,x2,t))xi=±h = 0; (6)

- грани закреплены и имеют нанесенные тонкие короткозамкнутые электроды

(U3(xi,x2 ,t))xi=±h = 0, ^(xi ,x2,t))xi=±h = 0; (7)

- грани закреплены и контактируют с вакуумом (разреженным газом)

(u3(xi ,x2,t))Xi=±h = 0, (Di(xi,x2,t))xi=±h = 0. (8)

При подстановке соотношений (2), (3) в (1), получаемые в качестве следствия в рассматриваемом случае уравнения относительно u3(xl,x2,t), 4>(xi,x2,t), первоначально принимают вид

<9i(c44<9i«3) + C44,d^u3 + di(ei5дф + е^сд^ф - pÜ3 = 0,

2 2 (9)

di(ei5diU3) + ei5d2U3 - di(enдф - епд^ф = 0,

а затем, с введением для характеристик исследуемых волн с круговой частотой ш и волновым числом k представлений

U3(xi,x2,t) = U3o(xi)exp(-¿(wt - kx2)), (1Q)

ф(x1 ,x2,t) = ф0(xi)exp(-i(wt - kx2)),

могут быть записаны в форме

C440u/3/o(xi) + ei5oФ0/(xl) + (ролш2 - C440k2)u3o(xi) - ei5ok2фo(xl)+

+A(c44ou3o(xi) + ei50 Ф0(xl)) = -р0^ Ш2 exp(7xi )u3o (xi), (ц)

ei5ou3/o(xi) - eiioФ0/(xl) - C440k2u3o(xi) + enok^(xi) + +A(ei5ou3o(xi) - eiioФ0(xl)) = 0,

где 7 = л — Л.

Далее система обыкновенных дифференциальных уравнений (11) преобразуется к следующему матричному виду

Здесь

(Аг^г+Аа®! = Вех Р(7Ж1)Ф(Ж1).

изо(Х1)

Ф(Х1 )=( изо(Х1) 1} 1 Фо(хг)

(12) (13)

А\) Аз.) Аз > Л. ~ матрицы второго порядка с постоянными элементами вида:

ЛС440 Ле 150

¿1 =

Аз =

С440 е150 е150 —е110 22

—2 =

Р0л"2 — С440к'2 —е150к2 —е150к2 еП0к2

Ле 150 —Ле110 ,2

В = ' "" "

р0" 0 0 0

(14)

К системе вида (12), на первом этапе получения дисперсионных соотношений для рассматриваемых типов нормальных волн, применяется итерационный алгоритм аналитического интегрирования [14-19].

2. Итерационный векторно-матричный алгоритм интегрирования дифференциального уравнения модели. В применяемом итерационном алгоритме для искомой вектор-функции Ф(ж1) вводится исходное представление

в котором

Ф(Ж1) = Ф0(ж1) + ФхСжх) + Ф2(ж1) + ••• + +

ШЯ + А2д1 + АзШ%1) = о,

(15)

(16)

(А1д21+А2д1+А:М1^1)=е/Х1ВФ0(х1),..., (17)

{АЛ + Аздг +А3ЖЫ = е^ВФп-Лхг) (18)

На этапе анализа задачи начального приближения по определению базисных решений системы однородных дифференциальных уравнений (16) (12) с постоянными коэффициентами, применение метода Эйлера с введением функции

#(6) = 62 + Л6 — к2,

(19)

приводит к полиномиальному характеристическому уравнению относительно параметра 6 четвертой степени

с корнями

#(6)((С440 £110 + е250)#(6) + Р0Л£110 "2) = 0

^ = (—Л + (-1У (Л2 + Ак2)1'2)/2 и = 1, 2);

63 = (—Л + (—1У (Л2 — 4((р0л £110"2)(С440 £110 + е250)-1 — к2)1'2 )/2

(20)

С/ =3, 4);

в результате чего базисные частные решения (16) могут быть представлены в виде

<МЖ1) = Со,ехР(^ж1)>

Со, = (0,е15о)Т (.7 = = (£по,е150)Т 0' = 3~?).

(21)

После нахождения в форме (21) четырех базисных решений (16) построение отвечающих им базисных решений (12) осуществляется с применением итерационного алгоритма (16)—(17) при выборе последовательных приближений Ф_щ{х\) в виде

= Су ехр((<^- + 7)ж1),

(22)

) = С ехр((^- +

где

<П] = 0-п] в д_пз = А^ + п7)2 + А2{53 + 717) + и

В итоге, базисные решения (5) имеют следующие явные аналитические представления

^Ы) = Су ехр((^- + 27)ж1), ...,

Ф/ая) = ^ ехР((^ + пФа) (З = 1,4),

га=О

с . = я~1вс}-\ в ■

2.п] —п]——га— 1,]— — 1]—2-Ц]

(23)

На базе применения критерия Даламбера может быть сделано заключение относительно абсолютной сходимости по норме векторных экспоненциальных рядов в представлениях (23) с учетом выполняющегося свойства

Иш

и^ж

■и+1,]

ехр((5, + {п + 1)7)ж3))/( ехр((5, + п7)ж3))

< 1.

(24)

3. Дисперсионные соотношения для волноводов рассматриваемого типа. На базе соотношений (2)-(4), (13), (23), применительно к волновым процессам исследуемого типа можно записать следующие представления для их комплексных амплитудных характеристик

Ф(ж1) = йгФ^хг) + й2 $2(^1) + 4 Фз(^1) + (¿^4(^1),

ФДая) =

Ф^ (Ж1) Ф® (Х1)

(25)

И30(Ж1) = ¿1Ф(11)(Ж1) + d2Фy2í> (Х1) + ¿зФ31; (XI) + d4Ф41; (XI) фо(х1) = dlф(l2)(xl) + d2ф22)(xl) + dзф32)(xl) + d4фi2)(xl);

(1)

(1)

(1)

(26)

(

Д.С. Карасев, С.В. Сторожев, В.А. Шалдырван 0"13о(ж1) = ехр(Аж1}{^1 (С440 д^1^) + е^од^^ж^Н

+Й2(С44001$21) (Ж1) + е15001$22)(Ж1)) + ¿з(С44О01ф31)(Ж1) + е15001Ф32)(Ж1}} + +Й4(С44О01Ф41)(Ж1}+ е15001ф42)(Ж1))), ^230(Ж1) = ехр(АЖ1)(^1(с440 г^ф(11) (Ж1) + е^гкФ^ (ж1)) + +^2(С440 гкф21)(Ж1) + е150 ¿Лф22)(Ж1)) + ^3(с440«кф31) (Ж1) + е150 гкф32)(Ж1))+

+^4(0440 ¿кф41) (Ж1) + е150гкф42) (Ж1))); ^ю(Ж1) =ехр(АЖ1)(^1 (е15001ф(11)(Ж1) - £11001ф(12)(Ж1)) + +Й2(е15001ф21) (Ж1) - £110 01ф22)(Ж1)) + dз(еl50дl ф31) (Ж1) - £110^3^ Ж)) + +d4(е150д1ф41)(Ж1) - £110д1ф42)(Ж1))),

(28)

^20(Ж1) = exp(Ажl)(dl(е150гкф(11)(Ж1) - £110кф12)(Ж1)) + d2(еl5оikф21)(жl)--£1101кф{22) (Ж1)) + dз(еl5оikф31)(жl) - £llоikф32) (ж1))+ +d4(еl5оikФ41)(жl) - £ИоikФ42)(жl))).

Получение соотношений (26)—(28) позволяет, в частности, записать искомые дисперсионные уравнения для краевых условий (6)—(8) в форме равенств нулю функциональных определителей для матриц следующих из краевых условий систем однородных алгебраических уравнений относительно неопределенных постоянных коэффициентов dq

к) = (1еЛ\\тРд\\ = 0 (р,д = Т~4),

где для случая (6)

= С44од1Ф^(й) + е15од^(й), т^ = С440 дlФql) (-к) + ещ,д^2>(-к), r3q = Ф^ (к), T4q = -к);

(29)

для случая (7)

Tlq = Ф^(к), T2q = Ф^-к), T3q = Ф{2) (к), T4q = Ф(<2) (-к); (30) для случая (8)

^ = Ф«(к), T2q = Ф« (-к), (31)

T3q = е!50д!Ф«(к) - £1^2 (к), T4q = е^Ф« (-к) - £Пд1 Фq2) (-к) .

Заключение. Итогом проведенных исследований является разработка численно-аналитического итерационного алгоритма построения базисных векторных частных решений систем дифференциальных уравнений, описывающих распространение сдвиговых нормальных электроупругих волн слое функционально-градиентной пьезокерамики с переменными по толщине свойствами, задаваемыми разнотипными экспоненциальными зависимостями для параметра плотности

и параметров деформационных и электрических свойств. Базисные решения получены в форме векторных экспоненциальных рядов, коэффициенты которых определяются векторно-матричными рекуррентными соотношениями. Реализовано также получение аналитической формы дисперсионных соотношений для исследуемых электроупругих сдвиговых волн в некоторых отдельных случаях задания однородных краевых электромеханических условий на гранях слоя.

Исследования проводились в ФГБОУ ВО «ДонГУ» в рамках государственного задания (№ госрегистрации 1023030100040-4- 1.1.2;2.3.1).

1. Setter N. Piezoelectric material and devices / N. Setter. - Lausanne, Switzerland: Swiss Federal Institute of Technology, 2002. - 518 p.

2. Yang J. Dynamic anti-plane problems of piezoceramics and applications in ultrasonics - a review / Jiashi Yang, Ji Wang // Acta Mechanica Solida Sinica. - 2008. - Volume 21, Issue 3.

- P. 207-220 https://doi.org/10.1007/s10338-008-0824-3.

3. Heywang W. Piezoelectricity, evolution and future of a technology / W. Heywang, K. Lubitz, W. Wersing. - Berlin: Springer, 2008. - 581 p.

4. Tanaka S. Piezoelectric acoustic wave devices based on heterogeneous integration technology / S. Tanaka // Proceedings 2014 IEEE International Frequency Control Symposium (FCS) (Taipei, Taiwan). - 2014. - P. 1-4. doi: 10.1109/FCS.2014.6859994.

5. Washim R.A. Piezoelectric MEMS based acoustic sensors: A review / Reza Ali Washim, Prasad Mahanth // Sensors and Actuators A: Physical. - 2020. - Vol. 301, 111756. https://doi.org/10.1016/j.sna.2019.111756

6. Yoon H. Macroporous alumina ceramics with aligned microporous walls by unidirectionally freezing foamed aqueous ceramic suspensions / H. Yoon, U. Kim, J. Kim, Y. Koh, W. Choi, H. Kim // J. Am. Ceram. Soc. - 2010. - V. 93. - P. 1580-1582.

7. Uchino K. Advanced Piezoelectric Materials. - Cambridge: Woodhead Publishing, 2011. -696 p.

8. Lugovaya M.A. Complex material properties of porous piezoelectric ceramics / M.A. Lugovaya, A.A. Naumenko, AN. Rybyanets, S.A. Shcherbinin // Ferroelectrics. - 2015. - V. 484, Issue. 1.

- P. 87-94.

9. Рыбянец А.Н. Упругие диэлектрические и пьезоэлектрические свойства керамоматрич-ных композитов ЦТС/a-AOs / А.Н. Рыбянец, Г.М. Константинов, А.А. Науменко, Н.А. Швецова, Д.И. Макарьев, М.А. Луговая // ФТТ. - 2015. - Т. 57., Вып. 3. - C. 515518.

10. Bowen C.R. The piezoelectric medium and its characteristics / C.R. Bowen, V.Y. Topolov, H.A. Kim // Springer Series in Materials Science. - 2016. - V. 238. - P. 1-22.

11. FGM: Design, processing and applications / Y. Miyamoto, W.A. Kaysser, B.H. Rabin et al. -Dordrecht: Kluwer Academic, 1999. - 434 p.

12. Birman V., Byrd L. W. Modeling and Analysis of Functionally Graded Materials and Structures // Appl. Mech. Rev. - 2007. - Vol. 60, N 5. - P. 195-216.

13. Yang Y.-H., L.-Z. Wu, X.-Q. Fang Non-destructive detection of a circular cavity in a finite functionally graded material layer using anti-plane shear waves // J. Nondestructive Eval. -2010. - Vol. 29. - P. 233-240.

14. Болнокин В.Е. Анализ модели распространения сдвиговых упругих волн в полубесконечном трансверсально-изотропном функционально-градиентном геомассиве / В.Е. Болнокин, А.А. Глухов, В.И. Сторожев // Журнал теоретической и прикладной механики. -2022 - № 3 (80). - С. 14-19. - doi: 10.24412/0136-4545-2022-3-14-19. - EDN BOBAVC.

15. Глухов А.А. Интегрирование системы уравнений распространения произвольно ориентированных трехпарциальных поверхностных волн в функционально-градиентном орто-тропном полупространстве / А.А. Глухов, В.И. Сторожев, В.А. Шалдырван // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022 - № 4 (81). - С. 15-22. - doi: 10.24412/01364545-2022-4-15-22. - EDN JBHEKR.

16. Карасев Д. С. Интегрирование уравнений распространения связанных электроупругих сдвиговых волн в полупространстве функционально-градиентной пьезокерамики / Д.С. Кара-сев, С.В. Сторожев // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022 - № 4 (81).

- С. 47-52. - doi: 10.24412/0136-4545-2022-4-47-52. - EDN RAPMHU.

17. Глухов А.А. Волны Лява в структуре «однородный изотропный слой на трансверсально-изотропном полупространстве с двойной экспоненциальной неоднородностью» / А.А. Глухов, В.И. Сторожев, В.А. Шалдырван // Журнал теоретической и прикладной механики.

- 2023. - № 1 (82). - С. 32-39. - doi: 10.24412/0136-4545-2023-1-32-39. - EDN ENGOVX.

18. Глухов А.А. Анализ модели распространения поверхностных релеевских волн в функционально-градиентном ортотропном полупространстве с приграничной локализованной зоной неоднородности / А.А. Глухов, В.И. Сторожев, В.А. Шалдырван // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2023. - № 2 (83). - С. 26-38. - doi: 10.24412/0136-45452023-2-26-38. - EDN ETYFCH.

19. Карасев Д.С. Интегрирование уравнений распространения локализованных сдвиговых электроупругих волн в функционально-градиентной пьезокерамике с двойной экспоненциальной неоднородностью / Д.С. Карасев, С.В. Сторожев, В.А. Шалдырван // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2023. - №2 (83). - С. 48-55. - doi: 10.24412/01364545-2023-2-48-55. - EDN SPYOBC.

D.S. Karasev, S.V. Storozhev, V.A. Shaldyrvan

Shear electroelastic waves in a functionally-gradient piezoceramic layer with different exponential heterogeneousity of mechanical and electrical properties.

An iterative algorithm for the numerical-analytical integration of a system of partial differential equations, which describes the propagation of coupled normal electroelastic shear-type waves in a layer of functional-gradient piezoceramics with different types of exponential dependences varying in thickness for the density parameters, as well as for the parameters of the deformation and electrical properties of the material is proposed. Basic solutions of the wave equations are obtained in the form of vector exponential series. Dispersion equations are formulated for the normal waves under study under certain variants of electromechanical boundary conditions on the edges of the layer.

Keywords: layer of functional-gradient piezoceramics, transverse exponential heterogeneity, difference in density variability and electromechanical properties, normal shear electroelastic waves, dynamic equations of electromechanical deformation, basic partial solutions, successive approximation algorithm, exponential series with vector coefficients, dispersion equations.

Получено 26.10.2023