Волновые режимы электроконвекции при наличии униполярной инжекции Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Серия: Физика Вып. 3 (18)

УДК 532.783

Волновые режимы электроконвекции при наличии униполярной инжекции

А. Н. Мордвинов, Б. Л. Смородин

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Исследована электроконвекция слабопроводящей жидкости, заполняющей горизонтальный слой, при наличии инжекции с катода и нагрева сверху. Построены нейтральные кривые монотонных и колебательных возмущений, найдены зависимости критических параметров неустойчивости от степени нагрева и подвижности носителей заряда. Изучены колебательные режимы нелинейной электроконвекции, построена бифуркационная диаграмма режимов. Показано, что в случае нагрева слоя сверху, когда силы плавучести и силы Кулона противоположно направлены, может существовать устойчивый режим бегущих волн.

Ключевые слова: инжекция заряда, электроконвекция, бегущие волны.

1. Введение

Течение слабопроводящей жидкости в электрическом поле может возникнуть и поддерживаться вследствие действия инжекционного механизма зарядообразования в ней, когда свободный заряд генерируется на границе жидкость - электрод в результате электрохимических окислительновосстановительных реакций [1,2]. Вследствие этих процессов в приграничных областях возникают заряды одного знака с зарядом электродов. Изучению электроконвекции под влиянием такого механизма посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ, обзор которых можно найти в [3-5].

Процесс инжекции заряда в жидкость может быть представлен таким образом. Нейтральная молекула, подходя к металлическому электроду, содержащему либо избыток электронов (катод), либо их недостаток (анод), захватывает электрон (на катоде) или отдаёт его (на аноде), становясь ионом того же знака, что и поверхность электрода. Возникающие ионы отталкиваются от одноимённо заряженной поверхности - происходит инжектирование заряда в жидкость. Например, возникновение заряда в прикатодной области представляет собой образование ионов в результате реакций следующего типа:

М+(Х+У-) ^М(е)+(ХУ~) ^У1ье.

Здесь M - металл электрода, который отдает электрон е ионной паре (Х+У-). Ионная компонента У-называется инжектируемой, а проводимость, связанная с реакцией, - инжекционной. Эта схема

представляет собой классический пример униполярной инжекции: на катоде образуются отрицательные ионы.

При анализе проблемы электроконвекции используют различные модели, основанные на способе задания граничного условия для заряда на инжектирующем электроде. В модели автономной инжекции [6] заряд считается постоянным. В более сложных случаях инжектируемый заряд может зависеть от величины поля на электроде [7-9], причем инжекция может возникать пороговым образом, если поле превышает некоторое критическое значение [9].

Исследования изотермической электроконвекции, возникающей под действием инжекции [8,10], показали, что движение жидкости возникает жестким образом. В некоторой области управляющего параметра, зависящего от напряжения на электродах, имеется два устойчивых режима: молекулярной проводимости и конвективного переноса - и гистерезисный переход между ними.

В данной работе проведено исследование линейной устойчивости и нелинейной стадии электроконвекции в горизонтальном слое слабопроводящей жидкости, в которой объемный заряд возникает за счет инжекции отрицательного заряда с катода. Задача рассмотрена в двумерной постановке. Исследовано влияние внешнего электрического поля на эволюцию электроконвективных колебаний и динамику течения в межэлектродном промежутке при нагреве слоя сверху. Кроме хорошо известного режима стационарной конвекции, обнаружены устойчивые режимы бегущих волн.

© Мордвинов А. Н., Смородин Б. Л., 2011

2. Постановка задачи и метод решения

Рассмотрим горизонтальный конденсатор, заполненный слабопроводящей жидкостью со следующими свойствами: р0 - плотность, V - вязкость, є - диэлектрическая проницаемость. К обкладкам конденсатора, находящегося в поле тяжести, приложены разность температур © и разность потенциалов ¥0. Расстояние между пластинами (обкладками конденсатора) ё (рис. 1).

I = 2тс/к

епеУ ■ Е = а,

0 4 (2.2) Е = -УФ,

е0 - электрическая постоянная.

Предполагается, что при малых градиентах температуры диэлектрическая проницаемость среды в не зависит от внешнего поля и температуры.

Уравнения переноса заряда запишем в терминах объемной плотности положительных и отрицательных ионов

^ + V-Уд - К-У(Ед ) = 0.

(2.3)

Рис. 1. Горизонтальный слой. Геометрия задачи и оси координат

Под действием электрического поля в узком слое вблизи катода образуется заряд. Инжектированный заряд под действием электрического поля распространяется в глубь слабопроводящей жидкости. Двигаясь к катоду, ионы могут увлекать за собой жидкость, что может, в свою очередь, привести к появлению электроконвективного течения в слое.

Эволюция движения жидкости, помещенной в гравитационное и электрическое поля, описывается уравнением Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска:

Ро +(и ■У)иj = -УР + РоуАи + Р8 + ^, (2 ^

V ■ и = 0,

где а - плотность заряда в слабопроводящей среде, и - скорость жидкости, р - давление. Внешняя сила, действующая на единичный объем жидкости, включает силу плавучести pg = (9 - от-

клонение температуры от некоторого среднего значения, в - коэффициент теплового расширения) и электрическую силу (силу Кулона), описывающую воздействие электрического поля на заряд среды.

Распределение электрического поля Е и потенциала Ф описывается стандартными уравнениями электростатики:

Поток ионов включает конвективный перенос и подвижность в электрическом поле. Коэффициент подвижности ионов К не зависит от температуры и поля. Эффектами диффузии и рекомбинации пре-небрегается, поскольку в нашем приближении характерные времена диффузии и рекомбинации ионов превышают время их дрейфа в межэлектродном промежутке под действием электрического поля [4]. При неоднородно нагретой жидкости необходимо записать еще уравнение теплопроводности (% - коэффициент температуропроводности жидкости):

д 9

— + и-У9 = %Д9 .

дґ

(2.4)

Используем в качестве масштабов длины [х]=ё, времени [ґ]=й?2^ , скорости ^]= v/d, давления [р]= Р(^2/й?2, разности потенциалов [Ф]=К0, плотности заряда [д]= єє0и / ё2, температуры [9]= © и запишем систему уравнений электроконвекции в виде:

дv Яа т2

----+ (V -У^ = -Ур + Дv +-------9е----- дУФ,

дґ Рг М

дд Т

----+ (V-У)д = —-(д2 -УФ-Уд),

дґ М

V = 0, ДФ + д = 0,

д 9 1

— + (V-У)9= — Д9. дґ Рг

(2.5)

В случае непроницаемых, твердых, электропроводящих и идеально теплопроводных границ слоя имеем следующие граничные условия:

2 = 0: Ф = 0, и = 0, 9 =90, д = -АдФ/дг, 2 = а: Ф = V, и = 0, 9 = 0.

(2.6)

Кроме стандартных для гидродинамики параметров, таких, как Яа = gp©l3 /V% - число Релея, Рг = v / % - число Прандтля, в систему (2.5-2.6) входят электроконвективный параметр

Т =єє0¥0р0 /уК и параметры, характеризующие

подвижность ионов - М=у]ее0 / К2р0 и интенсивность инжекции с катода - А = аё/вв0 .

3. Границы устойчивости механического равновесия

В механическом равновесии (V = 0 , 1=0) решение системы (2.5-2.6), которое будем называть основным состоянием, имеет вид [8]

Ф0 =

до =

(1 + 2Аг)3/2 -1 (1 + 2А)ЗП -1 -3А2 (1 + 2Аг) (1 + 2А)3/2 -1

9о = - 2 +1.

-1/2

(2.7)

X (w" - к2w) = Д2■№ - к2 — 9 - к2 —-

\ > Рг М2

Ф

Хд--д°w -7^-| 2ддо -

дг

ддо

Рг М2 ^ дг

Ф"- к 2Ф = -д,

— (\ дФ0 дд дФ дд0

дг дг дг дг

дФ

-д-

дг

М

Х9-9 w = — Д9 дг Рг

= 0,

(2.10)

с граничными условиями

ъ = 0: w = 0, = 0, Ф = 0, 9 = 0, а - АФ' = 0,

7 = 1: w = 0, w' = 0, Ф = 0, 9 = 0. (2.11)

Здесь ^=ё2/ё22-к2, а штрих означает дифференцирование по координате г.

Поскольку в уравнении переноса заряда не учитывается диффузия (отсутствуют вторые пространственные производные), достаточно исполь-

зовать только одно граничное условие для заряда на катоде.

Критические значения параметров Ка или Т, определяющие границу устойчивости, зависят от всех остальных параметров системы:

Т* = Т*(Ка, Рг, М, А, к),

Ка*=Ка*(Т, Рг, М, А, к).

В дальнейшем все расчеты проведены для случая Рг = 10.

Для построения решений спектрально-

амплитудной задачи (2.10-2.11) для возмущений с конечным значением волнового числа использовался метод стрельбы с ортогонализацией [12].

Для исследования устойчивости основного состояния равновесия жидкости относительно малых возмущений рассмотрим возмущенные поля вертикальной скорости, температуры, потенциала и свободного заряда:

w’, 9 = 9+9', ф = ф0 + ф' , а = д0 + а. (2.8)

Будем искать решение в виде плоских возмущений

^ (х, 2,1) = w(z) ехр( -X + 1кх) ,

Ф' (х,2,1) = Ф(г) ехр(—Х( + 1кх) , а '(х,1,г) = а(г) ехр(—м + и<х),

9’ (х,х,1) = 9(х) ехр(—М + 1кх), (2.9)

к - волновое число, характеризующее пространственный масштаб возмущений, X - декремент, w(г) , Ф(х), а(х), 9(х) - амплитуды возмущений. После подстановки возмущений (2.9) в систему уравнений (2.5-2.6) получим спектральноамплитудную задачу

Рис. 2. Границы электроконвективной неустойчивости слабопроводящей жидкости. Штриховая линия - граница колебательной моды, сплошные -границы стационарной конвекции: (1) -Яа= -1000, (2) -Яа= -500, (3)-Яа= -120. А=0.25

При нагреве слоя сверху силы плавучести препятствуют возникновению электроконвективной неустойчивости - порог монотонной конвекции повышается с увеличением интенсивности нагрева (Яа<0). Нейтральные кривые монотонных возмущений представлены на рис. 2 сплошными линиями.

Другой важный результат линейной теории связан с появлением колебательной моды неустойчивости, нейтральная кривая для которой представлена на рис. 2 штриховой линией. Как видно из рис. 2, минимум колебательной ветви нейтраль-

ной кривой практически не зависит от интенсивности нагрева в широком диапазоне изменения числа Рэлея - пороги колебательной конвекции совпадают для различных степеней нагрева.

При увеличении волнового числа в области к>3 нейтральные кривые колебательной и монотонной мод сближаются, причем частота нейтральных колебаний стремится к нулю в области пересечения соответствующих кривых. Более сильный нагрев расширяет диапазон волновых чисел (Дк), в котором существуют колебательные возмущения. Кроме того, рост нагрева увеличивает частоту нейтральных колебаний, что продемонстрировано на рис. 3.

12 г

-20

-15 -10 -5

Ra-102

Рис. 3. Зависимость нейтральной частоты колебаний от интенсивности нагрева. Случай А=0.25, к=3.14

Влияние подвижности заряда на устойчивость равновесия относительно колебательных возмущений представлено на рис. 4. Уменьшение параметра М ведет к расширению области существования растущих колебательных возмущений и понижению порога колебательной неустойчивости.

В широком интервале значений M<M* = 116 равновесие неустойчиво по отношению к малым колебательным возмущениям.

4. Нелинейные режимы электроконвекции

В отсутствие нагрева задача об электроконвекции решалась в полной постановке, когда на каждом шагу по времени решается уравнение Пуассона для заряда, и в безиндукционном приближении [7-8], когда пренебрегается изменением потенциала Ф за счет конвективного перераспределения заряда по сравнению с равновесным потенциалом Ф0. При этом обнаружено, что отличие данных, полученных в двух подходах, не превышает 1 %.

Это свойство сохраняется и при наличии нагрева сверху, поэтому основные результаты расчетов далее приведены в безиндукционном приближении. Параметр A учитывается только в равновесных распределениях (2.7).

Применяя двухполевой метод для вихря скорости ^ = (rot v) и функции тока

v = (и,0, w) = (ду ^z ,0,-ду/дх), запишем безразмерную систему уравнений и граничные условия для электроконвекции слабопро-водящей жидкости в виде

д^+д^ду_д^ду = у2 dt дх дz дz дх

дФ0 дц Pr дх M2 I дz дх

Ra дЗ T1 +-----------+ -

9 = Ду, дц дц ду

дt дх дz

дц ду дz дх

(2.12)

M

T ( 2 дФо дц

дz дz

= о,

дЗ дЗ ду дЗ ду 1 ^2^

дt дх дz дz дх Pr

Условия на горизонтальных границах:

z = 0: Ф = 1, у = 0, ду / дz = 0, .5Ф„

Рис. 4. Влияние подвижности носителей заряда М на границы неустойчивости. Сплошная линия -граница стационарной конвекции, штриховые линии - границы колебательной моды. А=0.25

9=1 4 =А дг ’ (2.13)

г = 1: Ф = 0, у= 0, ду / дг = 0,

9= 0.

Рассмотрим решения задачи, периодические вдоль горизонтальной координаты с периодом

I = 2л/ к (к - волновое число пространственной электроконвективной структуры), что позволяет использовать следующие условия на вертикальных границах расчетной области:

и(0) = и(1), 9(0) = 9(1), а(0) = д(1) - (2.14)

8

О

+

+

и решать задачу в одном пространственном периоде.

В дальнейшем при расчетах использованы типичные для слабопроводящих жидкостей значения параметров Рг= 10, М = 14.

Краевая гидродинамическая задача (2.12)-(2.14) в нелинейной постановке решалась численно с помощью метода конечных разностей. Размер расчетной области вдоль горизонтальной оси составлял 1=2Пк. Значение волнового числа к =3.1 соответствует критическому в задаче свободной тепловой конвекции. Использовалась расчетная сетка, содержащая 21 узел по вертикальной и 41 узел по горизонтальной координате, что обеспечивало шаг по координате 0.05. Уравнение эволюции вихря ф решалось с помощью явной схемы. При этом в зависимости от выполнения критерия устойчивости было использовано переключение расчетов со схемы дифференцирования центральными разностями на схему с разностями «против потока» и обратно. Уравнение Пуассона, связывающее функцию тока с вихрем скорости, решалось методом последовательной верхней релаксации [11]. Для нахождения решений уравнений переноса заряда и переноса тепла использовалась явная схема с разностями «против потока» [11] .

Результаты применяемой численной схемы протестированы на известных для случая отсутствия нагрева результатах [8], когда нарастают монотонные возмущения. При этом режим стационарной электроконвекции возникает жестким образом. Порог возникновения монотонной конвекции, рассчитанный нами, составил Т1 = 6.28 103; нижняя граница гистерезисной зоны, где происходит обратный переход от конвекции к равновесию, составил Т2 = 1.78 103. Эти данные находятся в хорошем соответствии с известными результатами [8], которые равны Т1 = 6.2103 и Т2 = 1.8103 соответственно.

При нагреве сверху (Яа<0) в результате нарастания колебательной неустойчивости может возникнуть режим бегущей волны. Порог нарастания колебательных возмущений, вычисленный в без-индукционном приближении методом дифференциальной прогонки (п. 3), равен Т = 5.87'103. Порог нарастания возмущений, рассчитанный методом конечных разностей, равен Т = 5.82 103. Погрешность расчета составляет 1 %.

При нагреве сверху (Яа<Яа*) в результате нарастания колебательных возмущений возникает режим бегущей волны (рис. 5). На первой стадии формирования течения (/<50) наблюдается стоячая волна. Фазовая скорость волны вдоль оси х равна нулю. С течением времени стоячая волна теряет устойчивость, и в результате длительного переходного процесса устанавливается режим бегущей волны (/>111), в котором максимальное значение функции тока постоянно, а значение функции тока

в фиксированной точке ячейки меняется практически по гармоническому закону.

На рис. 6 изображены изолинии функции тока и заряда, где видно, что вихри прижаты к катоду, их центры вращения смещены относительно середины слоя к верхней границе. Это связано с влиянием силы Кулона на заряд единицы объема жидкости.

^ тах

1

0. 8 0. 6 0. 4 0.2 0

0 50 100 150 200 250

t

Рис. 5. Временная эволюция максимальной функции тока для случая Яа= -2500, Т=6800, А=0.25, к=3.14 1

0.8 0. 6 0.4 0.2 0 0.8 0.6 0.4 0.2

0 111111111

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

Рис. 6. Изолинии полей функции тока (а) и заряда (б) в режиме бегущей волны в момент времени /=200; Т=6800, Яа= -2500, А=0.25, к=3.14

Кроме того, в бегущей волне вихри, приходящиеся на одну ячейку, несимметричны. На рис. 6а размер правого вихря больше. Распределение заряда (рис. 6б) слабо отличается от гармонического.

После достижения электрическим числом Релея некоторого критического значения Т=Т* бегущая волна теряет устойчивость и рождается модулированная по амплитуде стоячая волна (рис. 7). Дальнейшее увеличение напряжения, при значении Т = 6822, переводит систему в состояние стацио-

а)

б)

нарной конвекции (рис. 8). Этот режим характеризуется более интенсивным движением жидкости с зеркально симметричным распределением функции тока (рис. 8а) и сильно нелинейным распределением заряда (рис. 8б). Этот режим представляет собой видоизменение монотонной электроконвекции, существующей в отсутствие нагрева сверху [8].

Утах 1. 6

1.2

0.8-

0.4

0

100

t

Рис. 7. Временная эволюция максимальной функции тока для случая Яа= -2500, Т=6820, А=0.25, к=3.14. Режим модулированной стоячей волны

Ут

1 .

0.

0.

Рис. 8. Изолинии полей функции тока (а) и заряда (б) в режиме стационарной конвекции в случае Т=6830, Яа= -2500, А=0.25, к=3.14

На рис. 9 представлена бифуркационная диаграмма динамических режимов термоэлектрокон-вективного течения в случае Яа= -2500, А = 0.25, к =3.14. Здесь «стрелочка вверх» означает выход на режим стационарной конвекции, характеризующейся большей в несколько десятков раз максимальной функцией тока. Характер поведения максимальной функции тока вблизи порога неустойчивости говорит о мягком возбуждении режима бегущих волн.

Т10-3

Рис. 9. Бифуркационная диаграмма динамических режимов конвективного течения. Используемые условные обозначения: Т№ - бегущие волны, М№ -модулированные стоячие волны, БОС - стационарная конвекция

5. Заключение

Изучена линейная неустойчивость равновесия, нелинейная эволюция и характеристики различных электроконвективных режимов, возникающих и существующих в слабопроводящей жидкости в постоянном электрическом поле: 1) бегущих волн, 2) модулированных стоячих волн, 3) стационарной конвекции. Построены нейтральные кривые устойчивости. В пространстве параметров задачи найдены области существования данных режимов. Определены сценарии трансформации режима бегущей волны в режим модулированных стоячих волн при увеличении напряжения и степени нагрева жидкости. Построены бифуркационные диаграммы решений в зависимости от степени над-критичности.

Исследования выполнены при финансовой поддержке проекта АВЦП РНП 2.1.1/4463.

Список литературы

1. Стишков Ю. К., Остапенко А. А. Электрогид-родинамические течения в жидких диэлектриках. Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1989. 176 с.

2. ЖакинА. И. Ионная электропроводность и комплексообразование в жидких диэлектриках //Успехи физ. наук. 2003. Т. 103, № 1. С. 51.

3. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и электрогидродинамических полей. М.: Наука, 1979. 319 с.

4. ЖакинА. И. Приэлектродные и переходные процессы в жидких диэлектриках // Успехи физ. наук. 2006. Т. 176, №3. С. 289-310.

5. Саранин В. А. Устойчивость равновесия, зарядка, конвекция и взаимодействие жидких

0

масс в электрических полях. Изд-во РХД, 2009. 332 с.

6. Pontiga F., Castellanos A. Physical mechanism of instability in a liquid layer subjected to an electric field and thermal gradient // Phys. Fluids. 1994. Vol. 6, № 5. P. 1684.

7. ВерещагаА.Н., ТарунинЕ. Л. Численное и экспериментальное моделирование гидродинамических явлений в невесомости. Свердловск: УрО АН СССР. 1988. С. 93-99.

8. ВерещагаА. Н. Гидродинамика и процессы тепломассопереноса. Свердловск: УрО АН СССР. 1989. С. 42-47.

9. Pankratieva I. L., Polyansky V. A. Electric current oscillations in low conducting liquids // J. of Electrostatic. 1999. Vol. 48. P. 27.

10. Atten P., Lacroix J. C. Electrohydrodynamicc stability of liquids subjected to unipolar injection: non linear phenomena // J. Electrostatics. 1978. V. 5. P. 453-461.

11. ТарунинЕ. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. 228 с.

12. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

Wave regimes of electroconvection in the presence of unipolar injection

A. N. Mordvinov, B. L. Smorodin

Perm State University, Bukirev St., 15, 614990, Perm

The electroconvection of a low conductive liquid in a horizontal layer is investigated in the presence of injection from cathode and heating from above. Neutral curves of monotonous and oscillatory indignations are constructed. Dependences of critical parameters on the heating level and charge carriers mobility are found. Stationary and oscillatory modes of a nonlinear electroconvection are studied. Bifurcation map is constructed.

Keywords: injection of charge, electroconvection, travelling wav.