Динамика бегущих волн в слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Физика Вып. 1 (38)

УДК 532.51.013.4: 536.252: 537.37

Динамика бегущих волн в слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле

Б. Л. Смородин, А. В. Тараут

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Рассмотрена электроконвекция слабопроводящей жидкости, в которой заряд образуется за счет инжек-ции с анода. Проанализирована перестройка электроконвективного течения от режима модулированной конвекции к бегущей волне, обусловленная нелинейной динамикой системы. Найден режим бегущих волн, изменяющих направление своего движения в переменном электрическом поле. Определены сценарии перехода от данного режима к другим типам течения слабопроводящей жидкости при изменении напряжения на границах слоя. Построены бифуркационные диаграммы решений.

Ключевые слова: электроконвекция, инжекция заряда, бегущие волны, переменное электрическое поле.

1. Введение

Конвективные течения в слабопроводящих жидкостях могут быть вызваны различными внешними воздействиями, например тепловым или электрическим полем. При описании электро-конвективных механизмов неустойчивости используют модели, отличающиеся способами образования (накапливания) заряда в жидкости, такими как зависимость электропроводности [1] или диэлектрической проницаемости [2] жидкости от температуры, инжекция заряда с поверхности электродов [3-4].

В данной работе рассматривается инжекцион-ный механизм зарядообразования, связанный с электрохимическими взаимодействиями примесей и самой жидкости-носителя с поверхностью электродов. Используется модель униполярной автономной инжекции положительного заряда с анода [5]. В выражении для плотности потока ионов учитывается конвективный перенос и подвижность ионов в электрическом поле. Кроме того, пренебрегается эффектами рекомбинации ионов, но учитываются процессы диссоциации ионных пар. Константа диссоциации считается постоянной величиной.

В линейной постановке задача рассматривалась в работе [5], где было показано, что при подведении постоянной разности потенциалов к слою жидкости при нагреве сверху в ней развиваются колебательные возмущения. В двумерной нелинейной постановке было продемонстрировано, что колебательные электроконвективные режимы представляют собой бегущие волны, распростра-

няющиеся вдоль горизонтального слоя [6]. В общем, решение в форме бегущих волн, возникающих в результате бифуркации Хопфа в неоднородных по составу жидкостях, а также нелинейная эволюция стоячих и бегущих волн достаточно хорошо изучены [7]. Общие законы такой эволюции проявляются в поведении электрокон-вективных систем.

В настоящей работе исследовано влияние внешнего переменного электрического поля на динамику нелинейного течения в межэлектродном промежутке, рассмотрено образование бегущих волн, в том числе периодически изменяющих направление при движении в электроконвективной ячейке.

2. Постановка задачи

Рассмотрим горизонтальный плоский слой слабопроводящей жидкости, помещенный в поле тяжести g (рис. 1). Границами слоя являются электроды, к которым подведена разность потенциалов V.

2

d

0

▲ Катод !г

—►

Анод I х

Рис. 1. Геометрия задачи

Жидкость неравномерно нагрета благодаря постоянной разности температур между электродами. Кроме нейтральных молекул жидкости в среде со-

© Б. Л. Смородин, А. В. Тараут, 2010

держится два сорта ионов концентрацией п0. Ионные пары образуются за счет реакций объемной диссоциации молекул примесей, которые всегда содержатся в диэлектрике. Процесс инжекции обусловлен поверхностными электрохимическими реакциями в узком прианодном слое, где формируется положительный объемный заряд плотностью qi = е0п; (п; - концентрация инжектированного заряда, е0 -заряд электрона). Инжектированный заряд под действием электрического поля распространяется в глубь диэлектрика. Двигаясь к катоду, ионы могут увлекать за собой жидкость, что может в свою очередь привести к появлению течения в ячейке.

Запишем систему уравнений, описывающую сформулированную задачу:

Ро + (и .У)и) = -Ур + РоУУ2ь + pg +

+ е0 (п+ - п- ) Е,

V- и = 0,

еУ ■ Е = е0 (п+ - п-), Е = -V®,

(2.1)

дп. „ ^ \ 2е0К 2

-----+ и -Vп+ + КУ (Еп+ ) =-----п,-,,

дt + у +! в

дп_ „ гг„ , „ \ 2е0К -

-----+ и -Уп - КV (Еп ) =---------п0,

дt - к ’ е 0

— + и-У3 = хУ23.

ы

Условия на непроницаемых, твердых, электропроводящих и идеально теплопроводных границах:

^ = 0: Ф = ¥0, и = 0, <9 = 50, п+= п,

2 = d : Ф = 0, и = 0, 3 = 0, п-= 0. (2.2)

На вертикальных стенках для всех функций мы ставим условие периодичности _Д0) = /(/), моделируя бесконечный слой. Мы рассматриваем решения, периодические вдоль оси х с пространственным периодом I = 2х / k. В расчетах использовалось критическое значение волнового числа k = 4.3 [6].

Уравнение Навье-Стокса, описывающее движение несжимаемой жидкости плотностью р0 и вязкостью , записано в приближении Буссинеска и включает силу тяжести и силу Кулона, действующую на заряженные частицы со стороны поля.

В электростатических уравнениях предполагается, что при малых градиентах температуры диэлектрическая проницаемость среды е не зависит от внешнего поля и температуры. Уравнения переноса заряда записаны в терминах объемной плотности ионов п+ и п_. Поток ионов включает подвижность ионов в поле и конвективный перенос. Коэффициент подвижности К принимает постоянное значение. Диффузионным потоком в данной модели пренебрегается, поскольку характерные

диффузионные времена достаточно велики по сравнению с временем ионного дрейфа между электродами. В правых частях уравнений переноса заряда стоят константы, описывающие диссоциацию примесных молекул на положительные и отрицательные ионы.

Для неоднородно нагретой жидкости необходимо записать еще уравнение теплопроводности (х - коэффициент температуропроводности жидкости, 3 - температура).

При обезразмеривании задачи использованы

2

масштабы: длины [х] = /, времени Щ = / /V , скоро-

22

сти [и] = V//, давления [р] = р^ //, разности потенциалов [Ф] = У0, концентрации положительных и отрицательных ионов [п+] = п+п0, [п-]=п0, температуры [3] = З0.

Задача решалась с использованием двухполевого метода [8], в терминах функции тока у и завихренности ф:

и = (-ду / дz, 0, ду / дх), р = (гоЩ2.

Система уравнений (2.1) в безразмерном виде имеет вид

дф дф ду дф ду 2

----1---------------= V ф-

д дх дz дz дх

2

- Gr —-(

дх М ^ дх дz дz дх

2

дФ дq дФ дq „ дх д2

q = ((С + С0 ) п+- С0 п- ), V2Ф = -q,

дп+ дп+ ду дп+ ду д( дх дz дz дх

Т , , 2С0Т С0/С

-----2 ( qn+ +VФVn+ ) = —0^^-0------------т,

М2К + +’ М2 (С0/С+1)’

дп+ дп- ду дп- ду

д( дх дz дz дх

(2.3)

+-— (qn- + VФVn- ) =

М

дЗ + дЗ ду дЗ ду 1 y2£

дt дх дz дz дх Рг

2С0Т М 2

Условия на границах для неизвестных полей:

2 = 0: Ф= 1, у = 0, ду / д2 = 0,

3 = 1, п+ =

1

С0/С +1

2 = 1: Ф= 0, у = 0, ду / д2 = 0,

3 = 0, п_ = 0.

(2.4)

В уравнениях встречаются следующие безразмерные параметры: Gr = gP&l3/V2 - число Грас-гофа, Рг = V / х - число Прандтля, параметр С = еп112 / ее0У0 определяет степень инжекции положительных ионов, С0 = еп012 / ее0У0 соответствует равновесному значению концентрации диссо-

циировавших (примесных) ионов в жидкости в отсутствие поля; Т = е0¥0р0/vK0 - параметр электро-конвективной устойчивости. Характерные значения этого параметра достаточно велики - порядка 106, что соответствует внешнему напряжению

¥0~200 ^ 300В. М=^е0 / к0ро - характеризует

подвижность ионов (е0 - диэлектрическая проницаемость вакуума). В дальнейшем при расчетах мы использовали характерное для слабопроводя-щих жидкостей значение параметров М = 30, Рг=10. [4-5].

3. Результаты

Рассмотрим сначала влияние постоянного поля на конвекцию в слое неравномерно нагретой жидкости. На рис. 2 представлена зависимость максимального значения функции тока и частоты волны от параметра электроконвективной неустойчивости Т. При значениях параметра Т > Т* равновесие после переходного режима стоячих волн сменяется режимом бегущих волн. Для сравнения представлены зависимости для двух значений чисел Релея, благодаря чему видно, что для больших чисел Релея бегущая волна имеет большую частоту и соответственно большую фазовую скорость.

Для более подробного описания пространственно-временных свойств бегущих волн мы использовали разложение в ряды Фурье полей функции тока, температуры и концентрации ионов.

F(х,0 = Fо(х,t) +Е Fnа)вткх. (3.1)

П=1

Ограничимся разложением функций в ряды в горизонтальном сечении ^ = 0.5).

Вычислительные эксперименты показали, что в конвективной ячейке образуются преимущественно двухвихревые течения, так что амплитуда первой гармоники в разложении (3.1) -р!© будет наибольшей, и мы в дальнейшем будем следить за поведением первой гармоники функции тока во времени.

В постоянном поле бегущие волны являются устойчивыми и формируются в результате эволюции стоячих волн [6]. Если представить волну в виде суперпозиции двух волн, движущихся в противоположных направлениях,

/ (0~ А+ вш + А_е~ш,

то вид волны будет зависеть от соотношения амплитуд А+ и А_. Если А+ = А_ то взаимодействие дух мод приводит к образованию режима стоячих волн. В противном случае вклад одной из мод преобладает, что влечет формирование бегущей волны. Амплитуды А+ и А- сами являются функциями времени, поэтому можно наблюдать трансформацию стоячих волн в бегущие, как, например, в конвекции бинарной смеси [7].

Рис. 2. Максимальное значение функции тока и частота бегущей волны в зависимости от значения параметра Т. Для Ra = -1000 (-2000) состояние покоя становится неустойчивым при Т > Т*.

Т* ~ 3.095 106 (3.090106)

Продемонстрируем переходный процесс от стоячих волн к бегущим на примере слабопрово-дящей жидкости в постоянном электрическом поле. На рис. 3 представлена зависимость от времени модуля \у1 (/)| первой моды функции тока в разложении (3.1). На вставке рис. 3 изображена траектория ^(0 на комплексной плоскости. На начальном этапе эволюции наблюдается стоячая волна — первая мода осциллирует, имея нулевое среднее значение. Для данного режима амплитуды А+ ~ А-. Образом ц/х (/) на комплексной плоскости ^е ц/х, 1ту!) является прямая линия. С течением времени одна из амплитуд затухает и в электро-конвективной системе появляется направленное поступательное движение жидкости вдоль горизонтальной координаты.

Образ ц/! (/) на комплексной плоскости ^е ц/1,

1т ц/!) превращается в незамкнутую линию, которая с ростом амплитуды ^(О) стремится к аттрактору бегущей волны— окружности на комплексной плоскости (вставка на рис. 3).

Рассмотрим теперь влияние переменного электрического поля на формирование и распространение бегущих волн. Параметрическое воздействие на данную колебательную систему в линейной постановке было подробно изучено в [9]. Здесь мы рассмотрим эффекты, связанные с нелинейной динамикой волны. Ограничимся случаем нагрева сверху Ra = -1000. Будем воздействовать на слабо-проводящую жидкость переменным полем с амплитудой г = 0.05 и частотой/,-&, не равной собственной частоте которая зависит от параметра Т (рис. 2).

Рис. 3. Зависимость от времени модуля амплитуды первой Фурье гармоники функции тока (Ra = -1000) при переходе стоячей волны в бегущую

В переменном поле в результате численного моделирования найдено несколько типов устойчивых режимов течения, которые можно условно разделить на три группы (рис. 4 ). При малых Т < ТТщ устойчивым является режим модулированной конвекции (линия I), соответствующий синхронному отклику на внешнее воздействие. Для Т > ТТщ в слое жидкости появляется направленное движение вдоль горизонтальной координаты х в виде модулированных бегущих волн (линия II). Линия III на рис. 4 соответствует нерегулярному течению.

Обсудим подробнее характеристики режимов (I и II, рис.4 а). В постоянном поле этот режим модулированной конвекции неустойчив [6]. Переменное поле стабилизирует в подкритической области режим синхронных колебаний. В этом режиме |^1(/)|— периодическая функция, которая достигает двух различных локальных максимумов в зависимости от фазы напряженности электрического поля на аноде Еа. Заметим, что во время роста напряженности поля амплитуда волны достигает меньшего значения. На комплексной плоскости ^ец/х, 1туг) этот режим модулированной конвекции представляет собой прямую линию.

Значение ТТщ необязательно совпадает с Т*, но находится вблизи критической точки Т* и зависит от частоты переменного поля. При варьировании частоты модуляции поля в широком интервале частот в подкритической области, которая в постоянном поле соответствует равновесию жидкости, реализуется режим синхронного отклика, соответствующий модулированной электроконвекции. В подкритической области могут возникать и бегущие волны при условии, что внешняя частота поля совпадает с резонансными частотами системы. Здесь мы используем фиксированную

частоту внешнего поля и эффекты, связанные с возникновением резонансных бегущих волн в под-критической области, не рассматриваем.

Рис. 4. Максимальное значение функции тока волны в зависимости от значения параметра Т в переменном поле. Ra = - 1000, ^ = 1.78.

Для Т>ТТщ (участок II, рис. 4) в слое жидкости появляются модулированные бегущие волны. На рис. 5 изображены характеристики волны в зависимости от времени. Для характеристики горизонтального движения жидкости удобно использовать величину у, которая представляет собой производную по времени фазы первой гармоники

иоо=Ы е 7(1).

Поскольку в разложении (3.1) для функции тока первая гармоника дает основной вклад, то величина у представляет собой хорошее приближение для фазовой скорости бегущей волны.

В период интенсивного вращения конвективных валов, когда |^1(?) достигает максимального

значения, горизонтального движения в слое практически нет - фазовая скорость близка к нулю. Но в те моменты времени, когда интенсивность конвективного перемешивания уменьшается, жидкость начинает быстро перемещаться вдоль слоя, что соответствует пикам на диаграмме фазовой скорости у . Особенностью бегущих волн в переменном поле является то, что направление движения жидкости как целого вдоль слоя может изменяться.

При значениях параметра Т, близких к Тто, две противоположно направленные волны конкурируют между собой так, что соотношение амплитуд А+ и А- изменяется. Пики фазовой скорости первой моды соответствуют слабому вращению валов. В эти моменты |^1(?) достигает практически нуля, при этом происходит смена направления движения волны — знак фазовой скорости изменяется. Отметим, что направления движения чередуются в соответствии с фазой напряженности по-

ля на аноде. Для случая, представленного на рис.

5, А+ преобладает при росте напряженности поля и А- - при уменьшении (разумеется, возможна и обратная ситуация, все определяется начальными условиями). В данном режиме среднее по времени значение горизонтальной компоненты скорости бегущей волны равно нулю.

Еа

1.05

1

0.95

Рис. 6. Режим бегущей волны. Увеличенная область рис. 4 (внутри окружности). Максимальное значение функции тока волны в зависимости от значения параметра Т в переменном поле. Ra = -1000, ^ = 1.78

Рис. 5. Зависимости от времени сверху вниз: напряженности поля на аноде, амплитуды первой Фурье гармоники функции тока, фазовой скорости волны (Т=3.0945, ^ = 1.78,

Ra = -1000)

Бегущие волны с переменным направлением движения имеют несколько режимов распространения, соответствующих участкам 1, 2 и 3 на рис.

6, который представляет собой увеличенную картину области, заключенной в окружность на рис.

4. На участках 1 и 2 знак скорости волны изменяется периодически, как в рассмотренном выше примере (рис. 5). В результате в среднем жидкость вдоль слоя не перемещается.

На участке 1 рис. 6 траектория ^(/) на комплексной плоскости ^ец/х, !туг) никогда не замыкается. Через некоторое время т две точки траектории смещаются на определенный шаг (рис. 7а). Время т — интервал между двумя глобальными минимумами фазовой скорости волны (рис. 5). При росте значения электрического параметра Т величина смещения траектории ц/х (/) на комплексной плоскости ^е ц/х, !ту1) спустя время т постепенно уменьшается. В конце концов траектория замыкается (рис. 7, б) и превращается в цикл, характеризуя стационарное движение. Такие режимы соответствуют участку 2 на рис. 6.

а)

б)

Рис. 7. Траектория на комплексной плоскости ^е^, 1ту1). Ra=-1000, ^х=1,78; а) Т=3.0935, б) Т=3.0945

При дальнейшем увеличении параметра Т в системе появляется выделенное направление движения бегущей волны, так что в среднем жидкость перемещается против горизонтальной оси. Этот режим течения соответствует участку 3 на рис. 7. Он также характеризуется незамкнутой траекторией ц/х (/) на комплексной плоскости.

При большей надкритичности система переходит в режим фазово-модулированных бегущих волн (отмечено ромбами на рис. 4). В этом режиме также выделяется одно направление оси х, вдоль которого перемещается жидкость.

В целом можно усреднить фазовую скорость волны по достаточно большим временам АТ >> т (рис. 8). Среднее значение фазовой скорости характеризует движение жидкости вдоль оси как целого. Из рис. 8 видно, что среднее горизонтальное движение появляется при Т = 3.095. Вертикальный участок на рис. 8 соответствует кривой 3 на рис. 6, где наблюдается конкуренция двух волн с амплитудами А+ и А- , при этом одна из амплитуд доминирует. В конечном итоге меньшая амплитуда полностью затухает и в системе формируется однонаправленное движение, чему соответствует по-

логий участок графика (рис. 8). Заметим, что при большой надкритичности фазовая скорость стремится к своему значению в постоянном поле - в спектрах Фурье преобладает собственная частота колебаний f (рис. 2).

Рис. 8. Модуль среднего значение фазовой скорости волны. Ra= - 1000,^=1.78

4. Заключение

Изучена нелинейная эволюция и получены характеристики различных электроконвективных режимов, возникающих и существующих в слабо-проводящей жидкости в переменном электрическом поле: 1) модулированной конвекции в виде синхронного отклика, 2) модулированных бегущих волн, представляющих собой либо субгармонический, либо квазипериодический отклик, 3) бегущих волн, меняющих направление своего движения. В пространстве параметров задачи найдены области существования данных режимов.

Определены сценарии трансформации режима бегущей волны, изменяющей направление движения, в другие режимы при увеличении (уменьшении) напряжения и степени нагрева жидкости. По-

строены бифуркационные диаграммы решений в зависимости от степени надкритичности.

Исследования выполнены при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (К 07-01-96046) и проекта АВЦП РНП 2.1.1/4463.

Список литературы

1. Gross I. J., Porter J. E. Electrically induced convection in dielectric liquids // Nature. 1966. Vol. 212. P. 1343-1345.

2. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей. М.: Физмат-гиз, 1972.

3. Стишков Ю. К., Остапенко А. А. Электрогид-родинамические течения в жидких диэлектриках. Л.: Изд-во Ленинград. ун-та. 1989. 176 с.

4. Жакин А.И. Ионная электропроводность и комплексообразование в жидких диэлектриках // Успехи физ. наук. 2003. Т. 173, № 1. С. 51-68.

5. Pontiga F., Castellanos A. Physical mechanism of instability in a liquid layer subjected to an electric field and a thermal gradient // Phys. Fluids. 1994. Vol. 6, N 5. P. 1684-1701.

6. Смородин Б. Л., Тараут А. В. Электроконвекция слабопроводящей жидкости при наличии остаточной проводимости и инжекции // Вестн. Перм. ун-та. 2009. Вып. 1. Физика. С. 7-12.

7. Futterer C., Lucke M. Growth of binary fluid convection: Role of the concentration field // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65. P. 1-18.

8. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. у-нта, 1990.

9. Смородин Б. Л., Тараут А. В. Параметрическая конвекция слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле// Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2010. № 1 (в печати).

Dynamics of traveling waves in poorly conducting liquid under an alternating electric field

B. L. Smorodin, A. V. Taraut

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990 Perm

Electroconvection of poor conducting liquid is considered in the case when electric charge is created due to the injections from the anode. Transitions between modulated convection and traveling wave solution in investigated. The traveling waves with alternating of the movement direction are investigated and transitions between these waves and others regimes are defined. Bifurcation diagrams of solutions are obtained.

Keywords: electroconvection, charge injection, traveling waves, alternating electric field.