Электроконвекция слабопроводящей жидкости в горизонтальном конденсаторе при наличии инжекции Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007

Физика

Вып. 1 (6)

Электроконвекция слабопроводящей жидкости в горизонтальном конденсаторе при наличии инжекции

Б. Л. Смородин, А. В. Тараут

11ермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Изучены процессы переноса заряда и нелинейная стадия электроконвекции жидкого диэлектрика в постоянном или переменном электрическом поле горизонтального плоского конденсатора. В качестве основного механизма зарядообразования рассмотрен механизм автономной униполярной инжекции положительных ионов с анода. Кроме того, считается, что в среде благодаря процессам диссоциации присутствует некоторое количество собственных положительных и отрицательных ионов. Для анализа прохождения тока учтены подвижность носителей во внешнем электрическом поле и конвективный перенос ионов. Изучено пространственно-временное поведение заряда в неподвижном диэлектрике и структур течения жидкости. Представлены зависимости временной эволюции функции тока, результаты Фурье-анализа и фазовые портреты различных режимов электроконвекции. Показано, что при нагреве жидкости сверху модулированное поле приводит либо к существованию подкритиче-ских синхронных колебаний, либо квазипериодических нелинейных колебаний.

1. Введение

Процессы протекания тока через слабопрово-дящие жидкости, а также законы, описывающие кинетику зарядов в многокомпонентных средах, находящихся в электрических полях, представляют интерес для изучения в связи с возможностью управления течениями жидких диэлектриков и влияния на процессы переноса заряда в них. Один из основных механизмов электроконвекции связан со свободными зарядами, инжектируемыми в жидкость с поверхности электрода. Заряды взаимодействуют с электрическим полем, приводя к движению жидкости. Ввиду большой сложности проблемы существует множество подходов для описания специфических электроконвективных явлений [1-3]. Среди них следует выделить модель [3], которая описывает униполярную автономную инжекцию положительных ионов с анода, конвективный перенос заряда, подвижность носителей и включает эффект диссоциации ионов в диэлектрике. Плотность инжектированного заряда у электрода постоянна и не зависит от величины электрического поля. Считается, что положительные и отрицательные ионы имеют одинаковую подвижность. Различия между инжектированными ионами и ионами, образованными в среде за счет процессов диссоциации, нет. Предполагается, что константа диссоциации не зависит от поля и темпера-

туры, что справедливо для полей Е«106 В/м. Если время дрейфа ионов в поле намного меньше характерного времени рекомбинации ионов, то рекомбинацией ионов в межэлектродном промежутке можно пренебречь (что выполняется в случае

Е > 2 • 103 В/м при толщине слоя порядка миллиметра). В работе [3] изучена линейная задача устойчивости неоднородно нагретой диэлектрической жидкости, помещенной в поле тяжести и постоянное электрическое поле в случае униполярной автономной инжекции заряда.

В данной работе аналитически получено решение, описывающее распределение концентрации ионов в неподвижном диэлектрике в переменном поле, а также с помощью метода конечных разностей проведено исследование нелинейной стадии электроконвекции в рамках модели [3]. Задача рассмотрена в двумерной постановке. Исследовано влияние внешнего переменного поля на динамику течения и эволюцию электроконвективных колебаний в межэлектродном промежутке.

2. Постановка задачи

Рассмотрим слабопроводящую жидкость (рис. 1), находящуюся в поле тяжести % и электрическом поле Е плоского горизонтального конденсатора, пластины которого находятся при разных температурах. Предполагается, что жидкая среда-носитель

© Б. Л. Смородин, А. В. Тараут, 2007

содержит два сорта ионов - положительные и отрицательные - с концентрацией щ , которые образуются из-за реакций объемной диссоциации молекул примесей в диэлектрике. Кроме того, в электрическом поле за счет поверхностных электрохимических реакций в узком прианодном слое образуется положительный поверхностный заряд: создается постоянная, не зависящая от времени, напряженности поля и прочих факторов объемная плотность заряда: где щ - концентрация

инжектированного заряда, е0 -заряд электрона. Инжектированный заряд под действием электрического поля распространяется в глубь диэлектрика. Двигаясь к катоду, ионы могут увлекать за собой жидкость, что может в свою очередь привести к появлению течения в ячейке. Такая модель называется моделью автономной инжекции [3].

Я

Рис. 1. Горизонтальный слой. Геометрия задачи и оси координат

В электрическом поле движение неоднородно нагретой жидкости вызывают две силы: сила Архимеда, связанная с неоднородностью плотности под действием градиента температуры, и сила Кулона, обусловленная взаимодействием свободного заряда в среде и внешнего поля. Уравнения неразрывности и Навье-Стокса, описывающие эволюцию жидкости в этих условиях, в приближении Буссинеска имеют вид

(ди Л

Ра — + (»-У)о =-Vp + т]S/2v + pg +

\о1 )

+е0 (/?+-«_)£, (1)

У-о = 0,

где р0 и Т]- плотность и вязкость жидкости, /7+ и

п. - концентрации положительных и отрицательных ионов в слабопроводящей среде, и - скорость жидкости, р - давление. Слагаемое е0 (л+ - л_) Е -

сила Кулона, действующая на единицу объема жидкости.

Распределение электрического поля Е и потенциала Ф описывается стандартными уравнениями электростатики

£^-Е = ед(п+ -п_),

Е = -УФ.

Будем считать, что диэлектрическая проницаемость среды £ не зависит от внешнего поля и температуры.

Изменение во времени плотности положительных и отрицательных ионов в среде описывается уравнениями

+ К0У(&1+) = ^°-и02, д1 е

-К0У(Еп_)= 2в°-° г%, 3/ £

(3)

в которых пренебрегается токами диффузии и рекомбинацией ионов [3]. К0 - коэффициент подвижности ионов в электрическом поле. Константа К0 одинакова для всех сортов ионов и не зависит от температуры и поля. Кроме подвижности ионов в электрическом поле, в поток ионов входит конвективный перенос. В правых частях уравнений стоят константы, описывающие диссоциацию положительных и отрицательных ионов в среде. Константа диссоциации написана для неполярной жидкости, в которой в отсутствие поля существует динамическое равновесие между свободными ионами и ионными парами, т.е. катионами и анионами [3]. При неоднородно нагретой жидкости необходимо записать еще уравнение теплопроводности

Я 9

— + v^S/9 = х^2Э д1

(4)

(5)

(2)

Условия на границах конденсатора и вертикальных границах для скорости, электрического потенциала, температуры, плотности положительных и отрицательных ионов запишутся в виде

г = 0:

Ф = К0, о = 0, Э = я+=Лр

г = <1:

Ф = О, V = 0, 5 = 0, п_ = 0.

Периодические граничные условия:

«(0) = »(/),

т=ад,

я+( 0) = и+(/),

я.(0) = л (/),

Ф(0) = Ф(/).

Процессы, происходящие в бесконечном слое, предполагаются периодическими в пространстве, и поэтому нелинейная задача решалась для одной ячейки длиной / = 2я7 к . Значение волнового числа бралось из линейной задачи электроконвекции к* 3.1 [3].

Используем безразмерные переменные на базе масштабов длины - с1, времени - с?/у, скорости-у/г/, потенциала - К0, концентрации положительных - п^+пц и отрицательных - щ зарядов. В этом

случае безразмерная система уравнений примет вид

д(р дф ду/ _

д/ + дх 02 дх

- У2(р-

-Сг —Г—^

дх М2 V дх дг дг дх </ = ((С + С о К -С„л,),

у2ф - ~Ф

дп, дъ дуг дл+

+ ^Г &

с;/

(72 ОХ

_ІК(?*+ + УФУ*,) = 2СУ с°/с ,

' М2 (С0/С+1)

(6)

М"

дп, дп д¥ оп_ ду/ + ‘ ~ дг дх

ді дх 0:1

Т--

£(Л

і'Кп

Ри определяемся подаваемым на конден-

сатор напряжением. Характерные значения этого параметра достаточно велики - порядка 106, что соответствуй! внешнему напряжению У(р 200+

300В. Параметр

объединяет гидроди-

намические и электрические характеристики жидкости. Все дальнейшие результаты были получены для значений М=30, Рг~10.

3. Метод решения

Исследование нелинейных уравнений проводилось с помощью метода конечных разностей (метода сеток). Размер ячейки вдоль горизонтальной оси равен Ь2п/к, высота ячейки - единице. Для выбранного значения волнового числа к * 3.1, соответствующего порогу возникновения электро-конвекции в постоянном поле [3], соотношение сторон ячейки примерно 1:2. Использовалась сетка постоянного размера - количество узлов по координате х N*=40, по вертикальной оси 20. Урав-

нения движения жидкости и эволюции температуры решались с помощью неявной схемы методом продольно-поперечной прогонки. Уравнения Пуассона, связывающие функцию тока с вихрем скорости, и уравнение Пуассона для потенциала решались методом последовательной верхней релаксации [4]. Уравнения переноса заряда не содержат лапласиана (током диффузии мы пренебрегли), поэтому к ним нельзя применить методы прогонок. Для нахождения решений этих уравнений использовалась явная схема.

4. Равновесие. Распределение зарядов в неподвижной жидкости

Прежде всего было изучено распределение зарядов в неподвижной жидкости под действием переменной разности потенциалов, изменяющейся по гармоническому закону:

д1 + дх дг ді дх Рг

В уравнениях (6) использована функция тока у/ и вихрь скорости (р\

ьх~д\^1дг\ и.~-ду/1дх\ ((гку/. (7)

Кроме стандартных для гидродинамики параметров чисел Грасгофа вг и Прандтля Рг - в задаче появляется еще ряд безразмерных параметров. Параметр Со/С (С0-е0и^2 /££0Уи,

С^е0п{с!~/^У0) характеризует соотношение положительных и отрицательных ионов в среде [3].

<р = К0(1 + т] эт(соО), где бУ-2тс/7’0.

(8)

Здесь 7]- амплитуда, ш - циклическая частота модуляции внешнего поля. Рассмотрим случай малого значения параметра С0/С. Такая ситуация соответствует преобладанию положительных ионов в среде. В этом случае мы можем рассмотреть линейное приближение. Зависимости концентраций положительных и отрицательных ионов от времени и вертикальной координаты г в размерном виде запишутся следующим образом:

Г л 1 \ 2С0

п і = п, ■ 1 — С 0

1 ( сі С

1 ~~-(^(со^ф/^іп^) + 5Іп(*У/)(1 - С05(6г))

Ь

п_ = 2лпС.

1

- -(^(созО^фіп {Ьг ~ Ьсі) + 5Іп(й>/)(соз(б2 - Ьсі) -1))

(9)

где (і- расстояние между электродами, размерный параметр Ь=й)с1/У0К .

Полный заряд в конденсаторе £> получался путем интегрирования распределения плотности заряда <7 поперек ячейки. На рис. 2 4 изображена эволюция суммарного заряда О конденсатора во времени в неподвижной среде, вычисленная аналитически (точки на і рафиках) и полученная в результате численного моделирования с использованием явной схемы (сплошная линия). При численном моделировании в жидкость вносились начальные возмущения, эволюция которых после переходного процесса, как видно из рисунков, хорошо описывается соотношением (9). со выбиралось -60 рад/с, что соответствует частоте пример-

ло 10 Гц.'На рисунках приведены зависимости для различных амплитуд модуляции внешнего поля и различных значений постоянной составляющей напряжения.

г

Рис. 2. Эволюция суммарного заряда, вычисленная аналитически (точки на графиках) и полученная в результате численного моделирования. г}~0.1, У-Уо^Ю3 В

I

Рис. 3. Эволюция суммарного заряда. ц=0.5, У=У0=103 В

-§“ ■ • ' ч

Рис. 4. Эволюция суммарного заряда. ц=0.01, У0=Ю'В

Рисунки демонстрируют хорошее согласие результатов аналитических расчетов и численного моделирования, которое наблюдается в широком

диапазоне амплитуд модуляции и значений постоянной составляющей напряжения.

При изменении параметров задачи состояние равновесия может стать неустойчивым: на фоне периодически меняющегося заряда в жидкости развивается параметрическая неустойчивость, возникает электроконвективное движение.

5. Постоянное поле

Прежде всего рассмотрим нелинейное поведение слабопроводящей среды в постоянном поле. В результате анализа нелинейной эволюции возмущений построены карты устойчивости электрокон-вективной системы, которые соответствуют результатам линейной теории. На рис. 5 изображена карта устойчивости для СУОО.2. Область зоны устойчивости прилегает к осям координат. С ростом отношения Со/С, т.е. с добавлением в среду отрицательно заряженных ионов, область устойчивости увеличивается.

Яа

Рис. 5. Карта устойчивости слабопроводящей жидкости. С(/С=0.2

/

Рис. 6. Эволюция максимального значения функции тока при монотонных возмущениях. Т~2106, На-2500, Рг=10, СЛ'^0.2

В области неустойчивости существуют два различных режима. При нагреве снизу (Яа=СгРг>0)

нарастают монотонные возмущения, что приводит к режиму стационарной конвекции (рис. 6).

Режим бегущей волны, возникающий при нагреве сверху (Яа=СгРК0) в результате нарастания колебательных возмущений, представлен на рис. 7, где изображена эволюция максимального значения в конвективной ячейке функции тока.

2.0 ч

а 1.0

І

Рис. 7. Эвилюг\ия максимального значения функции тока в области колебательной неустойчивости* Т-3.2-Ю6, На = -2000, С</С=0.2

На первой непродолжительной стадии развития течения мы наблюдаем пульсирующий режим конвекции (стоячая волна). На ячейку приходятся два конвективных вала, которые меняют направление вращения. В целом поступательного движения жидкости вдоль горизонтальной координаты нет. После Н30 единиц безразмерного времени режим стоячей волны теряет устойчивость и в результате переходного процесса 30</<60 трансформируется в режим бегущей волны - максимальная функция тока выходит на постоянное значение. В режиме бегущей волны значение функции тока в фиксированной точке ячейки меняет знак. На рис. 8 изображена функция тока в фиксированной точке ячейки с координатами (И4;612).

„ 0.0

-1.5

Обнаружить устойчивое пульсирующее течение, изменяя параметр Т, не удалось: течение либо затухает (при малых Г), либо переходит в бегущую волну. Сформированная бегущая волна не симметрична по координате х: интенсивность вращения соседних конвективных валов разная, об этом свидетельствует поведение функции тока в некоторой точке внутри ячейки, ДЛЯ которой ^шах^пип (рИС. 8) Фазовый портрет (рис. 9) данного режима на плоскости - функция тока в фиксированной точ-ке-число Нуссельта N - подтверждает наличие единственной частоты в элект роконвективных колебаниях жидкости. При этом число Нуссельта

, д. IV дЭ

вычислялось по формуле N =- —

/ д &

ах

'1=0

Рис. 9. Зависимость числа Нуссельта от значения функции тока в точке (х=1/4;г=сУ2); Т=3.2106, Яа = -2000, Со/С-0.2

6. Переменное поле

При нагреве ячейки снизу, в области параметров, в которой в постоянном поле реализуется стационарная конвекция, переменное поле приводит к

Рис. 8. Эволюция значения функции тока в точке

(х-1/4;х-(і/2); Т=3.2-106, Яа = -2000, С^С^О.2

Рис. 10. Эволюция максимального значения функции тока в переменном поле с частотой 0.56; Т-2-106, Яа=2500, С</С=0.2

установлению режима колебаний с основной частотой, равной частоте внешнего поля. Для графика, изображенного на рис. 10, частота внешнего поля и частота отклика совпадают и равны у=0.56.

/

а)

в)

Рис. 11. Эволюция максимального значения функции тока (а), спектр сигнала (б) и фазовый портретів) в переменном поле при Т-3.145-106, Яа = -2000 , Со/С=0.2

После непродолжительного переходного процесса в конвективной ячейке устанавливается

пульсирующий режим, в котором интенсивность движения конвективных валов меняется, но каждый вал постоянно вращается в одном направлении.

При нагреве слабопроводящей жидкости сверху, когда в постоянном поле существуют колебательные возмущения, переменная составляющая поля приводит 1) к подкритическим синхронным колебаниям и 2) квазипериодическим нелинейным колебаниям. В общем случае частота внешнего поля V отличается от собственной частоты электро-конвективной системы У0.

Рассмотрим, например, точку на карте устойчивости Т=3.145-106, Яа = -2000 (Т<Т*=3.15-106), которая в отсутствие модуляции соответствует равновесию жидкости. Пусть частота внешнего поля у=0.56, а собственная частота электроконвек-тивной системы в нашем случае у0=0.77. Уже при амплитуде переменного поля т)=0.01 в конденсаторе существуют электроконвективные колебания.

Эволюция максимальной функции тока и другие характеристики колебаний при т]=0.1 представлены на рис. 11. В начале развития течения наблюдается пульсирующий режим - жидкость в ячейке образует два конвективных вала, меняющих направление вращения, но поступательное движение вдоль слоя отсутствует. Максимальная функция тока достигает нулевого значения, в это время жидкость неподвижна, затем направление вращения соседних конвективных валов меняется на противоположное. Этот режим стоячей волны оказывается неустойчив и сменяется по прошествии некоторого времени бегущей волной /~100 (рис.

11, а). Как видно из рисунка, амплитуда возникшей бегущей волны меняется во времени.

Фурье-анализ этого сигнала показывает (рис. 11,6), что спектр его довольно сложен. Нелинейные слагаемые в уравнениях приводят к взаимодействию различных частот и генерации новых гармоник. Основная частота при этом соответствует частоте внешнего поля V. Фазовый портрет элетроконвективных колебаний в переменном поле (рис. 11, в), также отражает сложное поведение структур течения.

Влияние амплитуды модуляции на усложнение электроконвективных колебаний представлено на рис. 12. При малой амплитуде модуляции т]=0.01 (рис. 12, а) реализуется режим синхронных колебаний: в спектре доминирует единственная частота, равная частоте внешнего поля у=0.56, присутствует также вторая гармоника у2—1.12. Необходимо отметить, что при таких малых амплитудах собственная частота vo=0.11 затухает. Режим электроконвекции соответствует стоячей волне. Такое положение существует вплоть до амплитуд модуляции Г|=0.06. Причем, чем больше амплитуда, тем дольше продолжается процесс затухания собственных колебаний. Начиная с ампли-

0.020

0 015

0.010

0.005

0.000 L-0 0

0,66

0 4

0.8

1.2

1.6 2.0

а)

У у ■ 4 "

V 'Ш -•л

0 10

0.08

0.06

0.04

0.02

0 00

0,76

0,56

—Li

1,12

1

I . J и

0,0 04 O.B 12 16

v

2,0

б)

07-, 0.6 0 5 0.4 0.3 0.2 0.1

0.0

0.71

■4“

0.56

0,14

_-L

ИГ" •

1.27 V 0.85 }

Ау УгГ

к

* -

■Т

1.41

0.0

0.4

06 1.2

v

—н— 16

2 0

Рис. 12. Влияние амплитуды г\ переменного поля на спектр сигнала функции тока в точке (x-l/4;z=d/2), T=3J45l(f, Ra=-2000, С</С=0.2: a) rj=0.0I, 6) rj~0.07(начальныйучасток), в) г)=0.07 (реэ/сим бегущей волны), г) rj=Q.I25

туд г|=0.07 электроконвективные колебания имеют квазипериодическиЙ характер, а эволюция сигнала содержит два участка: неустойчивой стоячей волны (рис.12, б,) и бегущей волны (рис.12, в). В спектрах отчетливо видна собственная частота колебаний vo=0.77, частота внешнего поля v=0.56, кратные гармоники и комбинационные частоты. При достаточно большой амплитуде модуляции ■q=1.125 в спектре присутствует множество комбинационных частот (рис. 12, г).

7. Заключение

В данной работе изучены процессы распространения заряда и образования электрокопвек-тивных структур, происходящие в постоянном или переменном поле конденсатора с жидким диэлектриком. В неподвижном диэлектрике аналитически найдены пространственно-временные распределения концентраций положительных и отрицательных ионов. Результаты аналитических расчетов хорошо согласуются с данными численного моделирования. Исследовано влияние переменного поля, меняющегося по гармоническому закону, на эволюцию и окончательное состояние электрокон-вективной системы в области нарастания монотонных и колебательных возмущений. Проведен анализ влияния амплитуды модуляции электрического поля на характер электроконвекгивных колебаний, Показано, что при нагреве слабопрово-дящей жидкости сверху переменная составляющая поля приводит 1) к подкритическим синхронным колебаниям и 2) квазипериодическим нелинейным колебаниям.

Данное исследование проведено при частичном финансировании фондов CRDF (РЕ-009-0) и РФФИ (N05-01-00789)

в)

Список литературы

1. Pankraiieva /. L., Polyansky V. А. //J. of Electrostatic. 1999. Vol. 48. P. 27.

2. Жакин А. И. //Успехи физ. наук. 2003. Т. 103, N 1.С. 51.

3. Cosiellanos А. // Phys. Fluids. 1994. Vol. 6, N 5. P.1684

4. Тарунин E.JJ. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: изд-во Иркут, ун-та, 1990. 228 с.