Механическое равновесие слабопроводящей жидкости в модулированном поле при наличии остаточной проводимости и инжекции Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Серия: Физика Вып. 3 (25)

УДК 532.51.013.4; 536.252; 537.37

Механическое равновесие слабопроводящей жидкости в модулированном поле при наличии остаточной проводимости и инжекции

А. В. Тараут

Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Получено аналитическое решение задачи о пространственно-временном распределении зарядов и электрического поля в покоящейся слабопроводящей жидкости, находящейся в модулированном электрическом поле плоского конденсатора. Предполагается, что свободный заряд в жидкости образуется за счет остаточной проводимости (диссоциации примесей) и инжекции с анода. Показано, что распределение заряда в конденсаторе представляет собой суперпозицию линейного распределения и волны.

Ключевые слова: слабопроводящая жидкость; инжекция; волна заряда

1. Введение

Электроконвекция неизотермической жидкости может быть связана с различными способами образования заряда [1]. К ним относятся термоэлектрические явления, зависимость электропроводности или диэлектрической проницаемости от температуры жидкости, инжекция зарядов с поверхности электродов. Из-за большого разнообразия электроконвективных явлений существует множество подходов для их теоретического описания [2-4]. Один из основных механизмов зарядо-образования в жидкости связывают с инжекцией свободных зарядов с поверхности электрода.

Заряд в приэлектродной области может возникать вследствие электрохимических взаимодействий примесей жидкости ионных пар (Х У ) с поверхностью электродов, сопровождающихся захватом электронов е - металлом электрода М [3]:

М+(Х+у-) —>М(е)+(Х+У) ^Х+&ее. (1)

Ионная компонента Х+&ее называется инжектируемой, а возникающая проводимость жидкости -инжекционной. Реакция (1) представляет собой стандартный механизм униполярной инжекции: на электроде (аноде) образуются ионы (в данном случае положительные).

Ввиду сложности проблемы существуют раз-

ные подходы для описания процессов инжекции заряда в слабопроводящую жидкость и процессов переноса заряда внутри нее [2, 3], однако общие черты различных режимов электроконвективных течений, полученных в рамках этих моделей, остаются одинаковыми [4, 5]. Это наличие колебательной моды неустойчивости при нагреве слоя жидкости сверху или существование устойчивых режимов бегущих волн.

В случае модулированного воздействия поведение слабопроводящей жидкости: распределение заряда, действие механизмов неустойчивости и эволюция электроконвективных течений, - усложняется [6, 7]. Это относится даже к режиму механического равновесия [6].

В данной работе для описания электроконвекции используется модель [3], которая учитывает диссоциацию примесей в жидкости, униполярную автономную инжекцию положительных ионов с анода, а также подвижность и конвективный перенос заряда. Плотность заряда, образующегося в узком приэлектродном слое, определяется природой жидкости-носителя и электролитов (примесей), растворенных в ней. Плотность заряда постоянна: не зависит от напряженности электрического поля и температуры. Считается, что все ионы - положительные и отрицательные, инжектированные и диссоциировавшие - имеют одинаковую подвижность Ко. Предполагается, что диэлектрическая

©Тараут А. В., 2013

проницаемость среды е и константа диссоциации не зависит от величины поля и температуры, что справедливо для полей Е < 10б В/м. Если время дрейфа ионов в поле намного меньше характерного времени рекомбинации ионов, то рекомбинацией ионов в межэлектродном промежутке можно пренебречь (что выполняется в случае Е> 2-103 В/м при толщине слоя порядка миллиметра).

В данной работе проведено исследование механического равновесия слабопроводящей жидкости, в которой объемный заряд возникает как за счет инжекции, так и за счет диссоциации примесей. Задача рассмотрена в двумерной постановке. Исследовано влияние внешнего электрического поля на динамику заряда и электрического поля в межэлектродном промежутке. Получено приближенное аналитическое решение задачи. Поазано, что аналитическое решение и численные расчеты хорошо согласуются.

Ро' ¥+'V)v'= ~Vp+p°vy2v+p^9g+

+ е (п+ -п_)Е,

(2.1)

V-u = О,

где V - скорость жидкости, р - давление, п+ и п_ -концентрации положительных и отрицательных ионов в слабопроводящей среде. Внешняя сила, действующая на единичный объем жидкости, включает силу плавучести (3 - отклоне-

ние температуры от некоторого среднего значения, Р - коэффициент теплового расширения) и электрическую силу (силу Кулона).

Распределение электрического поля Е и потенциала Ф описывается стандартными уравнениями электростатики:

eV-E = е (п+ - п_ ),

=о

Е = -УФ,

(2.2)

2. Постановка задачи

Рассмотрим горизонтальный конденсатор, заполненный слабопроводящей жидкостью со следующими свойствами: ро - плотность, v - вязкость. К обкладкам конденсатора, находящегося в поле тяжести, приложены разность температур © и разность потенциалов Vo (l + rj cos at), r| и со -

амплитуда и частота модуляции электрического поля. Расстояние между пластинами (обкладками конденсатора) - d (рис. 1).

1'

2 л!к

-0 V

е0 - электрическая постоянная.

Уравнения переноса заряда запишем в терминах объемной плотности положительных и отрицательных ионов:

дп, „ ,, „ , „ s 2еКп 9 + 0. v„+ + к0V (Еп+ ) = —± nl,

^- + vVn_-K0V(En_) = ^n20,

(2.3)

Рис. 1. Горизонтальный слой. Геометрия задачи и оси координат

На положительном электроде образуется положительный поверхностный заряд с постоянной объемной плотностью цх = ел, (где я - концентрация инжектированных ионов). Двигаясь к катоду, под действием электрического поля, ионы могут увлекать за собой жидкость и привести к появлению электроконвективного течения.

Эволюция движения жидкости, помещенной в поле тяжести, описывается уравнением Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска:

где по - равновесное значение концентрации ионов. Эффектами диффузии и рекомбинации в (2.3) можно пренебречь, поскольку в нашем приближении характерные времена диффузии и рекомбинации ионов превышают время их дрейфа в межэлектродном промежутке под действием электрического поля [3]. Отметим, что объемная плотность положительных ионов п+ содержит вклад как инжектированных с анода зарядов, так и зарядов, диссоциировавших в объеме жидкости. В правых частях уравнений (2.3) стоит константа, описывающая диссоциацию примесных молекул на положительные и отрицательные ионы. Скорость диссоциации ионных пар написана для неполярной жидкости, в которой в отсутствие поля существует динамическое равновесие между свободными ионами и ионными парами, в случае, когда подвижность положительных и отрицательных ионов одинакова [3]. Для случая неоднородно нагретой жидкости необходимо записать еще уравнение теплопроводности (% - коэффициент температуропроводности жидкости):

дЗ 7

dt л

(2.4)

В случае непроницаемых, твердых, электро-

проводящих и идеально теплопроводных границ слоя имеем следующие граничные условия:

z = 0: Ф = J^(1 + 77COS®/),d = 0, 3 = 30,п+ = п{, z = d: Ф = О, V = 0, 3 = 0, п_ = 0. (2.5)

Используем в качестве масштабов длины [х] = d, времени [/] = cf/v , скорости [ о ] = vid, давления \р\ = povVd2, разности потенциалов [Ф] = Vo, концентрации положительных и отрицательных ионов \п \ = Wi+Wo I" | = по, температуры [ 3 ] = © и, применяя двухполевой метод для вихря скорости ср = (rot v) и функции тока

V = {дц//дг,0,-дц//дх) ,

запишем безразмерную систему уравнений и граничные условия для электроконвекции слабопроводящей жидкости в виде

дер ^дср д ц/ дер д ц/ 2 dt дх dz dz дх

Gr 83 Т2 ( 5Ф dq 5Ф dq дх М2 V дх dz dz дх q> = Д|{/,

V2® = -g, q = ((C + C0)n+-C0n_),

дп+ дп+ дц/ дп+ дц/ dt дх dz dz дх

Т / ч 2CJ CJC (2-6) + —-íqn, -УФУп, ) =—-—5--

м2УЧ + +) м2 (с0/с+1)'

дп_ дп_ дц/ дп_ дц/ dt dx dz dz dx

T / \ 2CJ --T(qn_- V®V«_ ) = —V,

M2 V M

d3 | d3 di// дЗдц/ _ 1 3/ cbr dz dz dx Pr

= 0: Ф = (l + ?;cos®/), ц/ = 0, d^/dz = 0, 1

,9 = 1

C0/C + l'

г = \: ф = 0, ц/ = 0, dц/ / dz = 0, 3 = 0, п_= 0.

Кроме стандартных для гидродинамики параметров, таких, как Gx = gP&dЪlv1 - число Грасгофа и Рг = г / _/ - число Прандтля, в задаче появляются дополнительные параметры. Выражение С = еигА?2/££0У0 определяет степень инжекции положительных ионов, С(] = еп(]с12/,<;,<;(]У(] соответствует равновесному значению концентрации диссоциировавших (примесных) ионов в жидкости в

отсутствие поля; Т=е0¥0р0/уК0 - параметр электроконвективной устойчивости. Характерные значения этого параметра достаточно велики - порядка 106, что соответствует внешнему напряжению

Уо~200 + 300В. М=^£0 /К%р0- характеризует подвижность ионов.

3. Механическое равновесие

Задача (2.6) допускает решение, описывающее неподвижную жидкость, когда <р=0, !//=(). а все остальные поля зависят только от координаты г. При этом система уравнений, описывающая концентрации зарядов температуры и поля в состоянии механического равновесия, имеет более про-

стой вид:

Т [oN - dt мЧ 0 0+ 9Ф„ dz <W0+ dz

dNo Т ( ЛГ —- + —И q0N0 -dt М2 { ° 5Ф0 dz dN0_ dz

52 л

М2 CJC+Y

М2

(3.1)

q0=(C + C0)N0+-C0N0_ d2

-©„=0.

dz

z = 0: Ж0+ =

С

с0+с

; Ф0 = l + r)cos(íy/); ©0=1;

z = 1: N0_ = 0; Ф0 = 0; ©0 = 0.

Профиль температуры поперек слоя имеет линейный вид:

3 = 1-г,

а распределение зарядов и электрического поля можно найти в общем случае с помощью численного метода или аналитически, в пределе малых амплитуд модуляции.

В стационарном случае, когда эффекты инжекции и диссоциации слабы, известно решение для распределения концентрации и напряженности поля [3]:

£> 1 + С\ z —

Nn

1

С + С,

1 <с-[с2-2C¡]z), (3.2)

при условии (С0 «1, С «1, С0 < С).

В случае малых амплитуд модуляции поля можно получить выражения для распределения концентрации ионов в переменном поле с помо-

щью разложений в ряды по малым параметрам Со, С, г].

Будем искать решения для полей концентрации и поля в виде гармонических функций

М0± =М0,± + ц4±(г)ек Е = ЕХ+ л\еш.

(3.3)

. I - амплитуды переменных вкладов в концентрацию ионов соответствующего типа, зависящие от вертикальной координаты.

Производные по г будут выглядеть следующим образом:

= С,

дЕ ~дг

ал^ с - 2С„ а*

(3.4)

- + т)—-е

дг С + С0 дг

дг дг

Подставим разложения (3.3), (3.4) в систему уравнений (3.1) и выпишем слагаемые при малой амплитуде г):

Т Т дА

шА, + — СА, +—Е.. "

М1

М1 1 5г

Т С2 - 2С2

~ м2 с+с0

■А Т пл Т г7 дА- 7

1соА_---СА_---Ех-=--

М2 М2 дг М

(3.5)

-1С

2 0 '

Т дА+ Т С - 2Са каА +—г—= —Г--

+ М2 дг М2 С + С„

(3.6)

/соА

Т дА

М2 дг М2

-1С

Решив уравнения (3.6), получим М2

А±=С1±еш\ Ь=а>-

С, =

С2 - 2С1 е'"2

+ С„

1+ С + С0 л 2+'

Сх_ — 2С0 - \- С2_. ю

соответствующих случаю инжекции с анода:

АЛ =0, А\ = 0.

которые вытекают из граничных условии для заряда (3.1). На аноде плотность инжектированного заряда является константой и не зависит от поля. На катоде отсутствует инжекция, поэтому плотность отрицательного заряда там должна быть равна нулю. Для величин С2± получим

^ С2 - 2С\ 1 ^ + С + С0 л'

С2---2С0— е

Окончательно для амплитуд переменных вкладов в концентрацию зарядов будем иметь выражения:

А =С2 2С"-(\-е ">:).

I * '

С + С0 / ь

(3.7)

А =

гсМг-е^).

гЪ ^ '

Полные вьфажения для распределения концентрации положительных и отрицательных ионов примут вид:

N.

+11"

с+с0

С2 - 2Сд 1 С + С0 Л

1—{С-[С2-2С20-]г) +

(3.8)

Отметим, что изменение концентраций ионов в электрическом поле связано с перераспределением диссоциированных и инжектированных зарядов, величина которых не зависит от напряженности приложенного поля. Поэтому считаем, что А ~ (С, С0). Учитывая, что С является малым па-

Т

раметром и, предполагая со » —- С, перепишем

М

(3.5) в виде:

Ы0_*2С0(\-г) +

Физический смысл имеет вещественная часть выражений (3.8):

с+с,

Ы0_*2С0\1-

- ^ г) (сое (¿у/) вш (Ьг) + 5ш(ю/) (1 - сое (¿г)))^|, г - ^ г) (сое (¿У/) вш (Ь (г -1)) +

-вш«)(сое(6(2-1))-!)) |. (3.9)

Используя вьфажения (3.9) и решая уравнение для поля из системы (3.1) с использованной в нашем рассмотрении точностью получим, что напряженность поля изменяется гармонически:

Е, «1 + с(^-£) + Т1С05(®/). (3.10)

Неизвестные константы С2± найдем из условий,

Приведенные приближенные распределения

(3.9) соответствуют колебаниям плотности носителей заряда синхронно с колебаниями внешнего воздействия. Решение для концентрации каждого типа ионов представляют собой суперпозицию двух функций. Первые слагаемые в выражениях (3.9) для плотности ионов п+ и П- являются постоянными во времени, линейными по вертикальной координате г распределения, соответствующие состоянию с постоянной разностью потенциалов на электродах (г) = 0) и совпадают с известными результатами (3.2). Остальные слагаемые гармонически меняются с частотой внешнего воздействия: переменное поле модулирует линейные профили концентрации п+ и п . в слое слабопроводящей жидкости распространяется волна заряда.

Поиск решения задачи (3.1) дополнительно выполнялся прямым численным моделированием. Это позволило не накладывать каких-либо ограничений на значения параметров задачи. Эволюция концентрации зарядов моделировалась с помощью явной схемы методом конечных разностей. Решение уравнения Пуассона для электрического потенциала находилось методом скалярной прогонки [8]. Шаг сетки вдоль горизонтальной оси составлял 0.02 (50 узлов). Полученное численное решение позволило оценить значения малых параметров С, Со и г), при которых еще справедливо выражение (3.9).

Профиль распределения плотности заряда вдоль горизонтальной оси г (рис. 2) показывает хорошее соответствие между найденным решением (3.9) и численным решением нелинейной краевой задачи (3.1). Заряд практически линейно распространен между обкладок конденсатора, в каждой точке плотность заряда изменяется в соответствии с внешним полем.

Рис. 2. Распределение заряда в конденсаторе в различные моменты времени, точки - аналитическое решение при ц=0.1, С=0.01, Со=0.002, Т=0.5106

Сравнение аналитического и численного решения проведено для параметра М= 30, характерного для слабопроводящих жидкостей.

Суммарный заряд <2, полученный аналитически по формуле

в=\((С/С0+1)М0+-М0_)сЬ (3.11)

о

с использованием (3.9) и в результате численного решения задачи в случае отсутствия движения жидкости (2.6), демонстрирует существование синхронных гармонических колебаний в неподвижной жидкости при наличии переменного внешнего воздействия (рис. 3).

Для набора параметров, представленных на рис. 3, со—60, поэтому соотношение

0.4 0.6 0.8 t

Рис. 3. Суммарный заряд (¿ф в конденсаторе в зависимости от времени, точки -аналитическое решение при ц=0.1, С=0.01, Со=0.002, Т=0.5106

Точность аналитического выражения, полученного с помощью (3.9) и (3.3) можно оценить, если проследить за разностью аналитического и численного решения при изменении параметров задачи. На рис. 4 приведена зависимость погрешности вычисления суммарного заряда при изменении амплитуды поля (а) и уровня инжекции (Ь).

Погрешность вычислялась как средняя за период разность между численным и аналитическим решением, отнесенная к среднему значению заряда. Максимальным точкам на графиках соответствуют относительные погрешности около 0,05% для г) = 0.4 (при С =0.01) и примерно 0,3% для С= 0.1 (при г) = 0.1). Из рисунка видно, что решение наиболее чувствительно к изменению параметра С, что и следовало ожидать, поскольку это аналитическое решение задачи предполагает малость параметров С по сравнению с величиной саК/р-П, а с ростом С это соотношение ухудшается.

Таким образом, на фоне неподвижной жидкости в модулированном поле имеются неоднородные распределения положительных и отрицательных ионов - волны заряда, индуцированные и движу щиеся в среде за счет переменного электрического поля.

Ю, %

Ъ)

Рис. 4. Погрешность вычисления суммарного заряда при изменении параметров - амплитуды поля (а, С=0.01) и уровня инжекции (Ь, ц=ОЛ). Т=0.5106, Со=0.002, со~60

4. Заключение

Исследованы распределения зарядов и поля внутри слабопроводящей неравномерно нагретой жидкости в горизонтальном конденсаторе, у которого с анода происходит инжекция положительного заряда. Найдены пространственно-временные распределения электрических характеристик среды. Показано, что на фоне неподвижной жидкости в модулированном поле имеются неоднородные распределения положительных и отрицательных ионов - волны заряда, индуцированные и движущиеся в среде за счет переменного электрического поля. Сравнение аналитического решения с результатами численного моделирования позволяет оценить интервалы изменения параметров задачи, где это аналитическое решение хорошо описывает поведение слабопроводящей жидкости.

Данное исследование проведено при частичном финансировании фонда РФФИ (№13-01-00171).

Список литературы

1.

Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и электрогидродинамических полей. М.: Наука, 1979. 319 с. 2. Жакин А. И. Ионная электропроводность и комплексообразование в жидких диэлектриках

// Успехи физических наук. 2003. Т. 103, № 1. С. 51-68.

3. Pontiga F., Castellanos A. Physical mechanisms of instability in a liquid layer subjected to an electric field and a thermal gradient // Physics of Fluids. 1994. Vol. 6, № 5. P. 1684-1702.

4. Мордвинов A. H., Смородин Б. JI. Электроконвекция при инжекции с катода и нагреве сверху // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2012. Т. 141, № 5. С. 997-1005.

5. Тараут А. В., Смородин Б. Л. Электроконвекция при наличии автономной униполярной инжекции и остаточной проводимости // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2012. Т. 142, № 8. С. 403-412.

6. Смородин Б. Л. Возникновение конвекции слабопроводящей жидкости в модулированном тепловом поле // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2001. Т. 120, № 6. С. 1421-1429.

7. Ильин В. А., Смородин Б. Л. Периодические и хаотические режимы электроконвекции жидкого диэлектрика в горизонтальном конденсаторе // Письма в «Журнал технической физики». 2005. Т. 31, № 10. С. 57-63.

8. Тарунин Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: издательство Иркутского университета, 1990. 228 с.

The mechanical equilibrium of the low conducting liquid under modulated electric field in the presence of residual conductivity and injection

A. V. Taraut

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

Analytical solution of the problem of charge and electric field spatio-temporal distribution in the quiescent low conducting liquid in the modulated electric field of a plane capacitor is obtained. It is assumed that the free charge in the liquid is being formed due to residual conductivity (impurities dissociation) and injection from the anode. It is shown that the charge distribution in the layer is a superposition of a linear distribution and waves.

Keywords: low conducting liquid; injection; charge wave