Электроконвекция слабопроводящей жидкости при наличии остаточной проводимости и инжекции Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Физика Вып. 1 (27)

Электроконвекция слабопроводящей жидкости при наличии остаточной проводимости и инжекции

Б. Л. Смородин, А. В. Тараут

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Изучена электроконвекция слабопроводящей жидкости, в которой заряд образуется за счет диссоциации примесей (остаточной проводимости) и инжекции с анода. В случае постоянного внешнего поля определены пороги конвекции, критические волновые числа и частоты нейтральных колебаний в зависимости от интенсивности нагрева и соотношения числа диссоциировавших и инжектированных ионов. Проанализирована перестройка электроконвек-тивного течения от режима стоячей волны к режиму бегущей волны, обусловленная нелинейной динамикой системы.

1. Введение

Влияние электрических полей на конвекцию неравномерно нагретой жидкости зависит от способа образования заряда в жидкости [1]. К ним относятся термоэлектрические явления, зависимость электропроводности или диэлектрической проницаемости от температуры жидкости, инжекция зарядов с поверхности электродов. Из-за большого разнообразия электроконвективных явлений существует множество подходов для их теоретического описания [2-4]. Один из основных механизмов за-рядообразования в жидкости связывают с инжек-цией свободных зарядов с поверхности электрода.

В случае действия инжекционного механизма заряд возникает в приэлектродной области вследствие электрохимических взаимодействий компонентов жидкости с поверхностью электродов и образования ионов за счет реакций следующего типа

[4]:

М+(Х+У-} ^Ы(е)+(Х+У) ^Х+й-ее.

Здесь M - металл электрода, который захватывает электрон е от ионной пары (^У-). Ионная компонента X+ называется инжектируемой, а проводимость, связанная с реакцией, - инжекционной. Эта схема представляет собой классический пример униполярной инжекции: на аноде образуются положительные ионы.

Ввиду сложности проблемы существуют разные модели для описания процессов инжекции заряда в слабопроводящую жидкость [2, 4].Среди них следует выделить модель [4], которая описы-

вает униполярную автономную инжекцию положительных ионов с анода, конвективный перенос заряда, подвижность носителей и включает эффект диссоциации ионов в диэлектрике. Зарядообразо-вание происходит только на одном из электродов, например на аноде. Объемная плотность заряда в узком приэлектродном слое не зависит от напряженности электрического поля и температуры и не меняется со временем. Плотность заряда у электрода определяется природой жидкости-носителя и электролитов (примесей), растворенных в ней. Считается, что положительные и отрицательные ионы имеют одинаковую подвижность. Различия между инжектированными ионами и ионами, образованными в среде за счет процессов диссоциации, нет. Предполагается, что константа диссоциации не зависит от величины поля и температуры, что справедливо для полей Е и 106 В/м. Если время дрейфа ионов в поле намного меньше характерного времени рекомбинации ионов, то рекомбинацией ионов в межэлектродном промежутке можно пренебречь (что выполняется в случае Е > 2 -103 В/м при толщине слоя порядка миллиметра).

В данной работе, а проведено исследование возникновения и нелинейной стадии электроконвекции диэлектрической жидкости, в которой объемный заряд возникает как за счет инжекции, так и за счет диссоциации примесей. Задача рассмотрена в двумерной постановке. Исследовано влияние внешнего электрического поля на динамику течения и эволюцию электроконвективных колебаний в межэлектродном промежутке.

© Б. Л. Смородин, А. В. Тараут, 2009

2. Постановка задачи

Рассмотрим горизонтальный конденсатор, заполненный слабопроводящей жидкостью со следующими свойствами: р0 - плотность, v - вязкость, є - диэлектрическая проницаемость. К обкладкам конденсатора, находящегося в поле тяжести, приложены разность температур © и разность потенциалов V0. Расстояние между пластинами (обкладками конденсатора) d (рис. 1).

є

g

l x

2nlk

0sV ■ E = e0 (и+ - и_ ), E = ^Ф,

(2.2)

е0 - электрическая постоянная.

Предполагается, что при малых градиентах температуры диэлектрическая проницаемость среды е не зависит от внешнего поля и температуры.

Уравнения переноса заряда запишем в терминах объемной плотности положительных и отрицательных ионов

dn

_^ + и ■ Vn+ + K0V(En+) = dn

—^ + и ■ Vn_ - К0 V (En_ ) =

2e0K0 ,„2 rlf\

2e0K0 „2 'k\ •

(2.3)

Рис. 1. Горизонтальный слой. Геометрия задачи и оси координат

Под действием электрического поля на положительном электроде образуется положительный поверхностный заряд, который создает постоянную объемную плотность заряда q1=e0n1 (где nl -концентрация инжектированного заряда, е0 - заряд электрона) в узком прианодном слое. Инжектированный заряд под действием электрического поля распространяется в глубь диэлектрика. Двигаясь к катоду, ионы могут увлекать за собой жидкость, что может в свою очередь привести к появлению электроконвективного течения в слое.

Эволюция движения жидкости, плотностью р0 и вязкостью v помещенной в поле тяжести, описывается уравнением Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска

Ро [ju + (и • V)v j = -Vp + PoW2u + pg +

+ e0 (n+ - n_ )E, (2.1)

v = 0,

где n+ и n_ - концентрации положительных и отрицательных ионов в слабопроводящей среде, v -скорость жидкости, p - давление. Внешняя сила, действующая на единичный объем жидкости, включает силу плавучести p0p3g (3 - отклонение температуры от некоторого среднего значения, в - коэффициент теплового расширения) и электрическую силу (силу Кулона), описывающую электрическое поле с зарядом среды.

Распределение электрического поля E и потенциала Ф описывается стандартными уравнениями электростатики

Поток ионов включает конвективный перенос и подвижность в электрическом поле. Коэффициент подвижности ионов К0 одинаков для всех сортов ионов и не зависит от температуры и поля. Эффектами диффузии и рекомбинации пренебрегается, поскольку в нашем приближении характерные времена диффузии и рекомбинации ионов превышают время их дрейфа в межэлектродном промежутке под действием электрического поля [4]. Объемная плотность положительных ионов п+ содержит вклад как инжектированных с анода зарядов, так и зарядов, диссоциировавших в объеме жидкости. В правых частях уравнений (2.3) стоят константы, описывающие диссоциацию примесных молекул на положительные и отрицательные ионы. Константа диссоциации написана для неполярной жидкости, в которой в отсутствие поля существует динамическое равновесие между свободными ионами и ионными парами, т.е. катионами и анионами [4]. При неоднородно нагретой жидкости необходимо записать еще уравнение теплопроводности (% - коэффициент температуропроводности жидкости)

дЗ + и-V3 = XV23. dt

(2.4)

В случае непроницаемых, твердых, электропроводящих и идеально теплопроводных границ слоя имеем следующие граничные условия:

z = 0 : Ф = V0, v = 0, З = З0, n+ = n, z = d: Ф = 0, v = 0, З = 0, n_ = 0.

(2.5)

Рассмотрим решения задачи, периодические вдоль горизонтальной координаты с периодом I = 2ж/к (к - волновое число пространственной электроконвективной структуры), что позволяет использовать следующие условия на вертикальных границах расчетной области:

и(0) = и(1), 3 (0) = 3 (I), п (0) = п+ (I), п_ (0) = п_ (I), Ф(0) = Ф(/).

z

є

d

и решать задачу в одном пространственном периоде.

Используем в качестве масштабов длины [х]=1, времени [1]=12/у , скорости [у]= v/l, давления [р]= p0v2/12, разности потенциалов [Ф]=К0, концентрации положительных и отрицательных ионов [п+]=п1+п0 [п-]=п0, температуры [3]=30 и, применяя двухполевой метод для вихря скорости ф = (rotк)y и функции тока

и = (ду / дz, 0, -ду / дх),

запишем безразмерную систему уравнений и граничные условия для электроконвекции слабопро-водящей жидкости в виде

дф дф ду дф ду 2

----1-----------------= V ф —

дt дх дг дг дх

д3 Т2 ( дФ дд дФ дд

дх М2 V дх дг дг дх

ф = Ду,

v2ф = -q, q = ((С + Со ) n+- Con-),

дп+ дп+ ду дп+ ду

dt дх дг дг дх

Т , , 2С0Т С0/С

+ —( qn+ - VФVn+) =------V^-0--------ч-

M2У ’ M2 (С0/С+1)'

дп- дп- ду дп- ду

дt дх дг дг дх

-^ ( qn-^Vn-) = ^, M 2 - - M 2

д3 д3 ду д3 ду 1 ^2^

дt дх дг дг дх Pr

Условия на границе:

г = 0

3 = 1,

Ф = 1, у= 0, ду / дг = 0,

1

С /с+1

(2.6)

г = 1: Ф = 0, у = 0, ду / дг = 0,

3 = 0, n = 0.

Кроме стандартных для гидродинамики пара-

3 2

метров, таких как вг = gp&l /V - число Грас-гофа, Рг = V / % - число Прандтля, параметр

С = en l / ss„ К

0 г 0 0

определяет степень инжекции

положительных ионов, С = еп()1 / ее0V соответствует равновесному значению концентрации диссоциировавших (примесных) ионов в жидкости в отсутствие поля; Т=е(у0р0 /vK0 - параметр элек-троконвективной устойчивости. Характерные значения этого параметра достаточно велики - поряд-

ка 10 , что соответствует внешнему напряжению V0~200 + 300В. M=yjе0 /Kgp0 - характеризует

подвижность ионов (s0 - диэлектрическая проницаемость вакуума). В дальнейшем при расчетах использованы типичные для слабопроводящих жидкостей значения параметров Pr=10, M=30 [4].

3. Метод решения

Краевая гидродинамическая задача (6) в линейной (п. 4) и нелинейной (п. 5) постановке решалась численно с помощью метода конечных разностей. Размер расчетной области вдоль горизонтальной оси составлял /=2л/£. Значение волнового числа £=3.1 соответствует критическому в задаче свободной тепловой конвекции. Волновое число £=4.3 характеризует критические возмущения в задаче об электроконвекции (2.6). Использовались следующие сетки по вертикальной и горизонтальной координате: 20*40 узлов в случае £=3.1 и 20*29 узлов в случае £=4.3 соответственно. Уравнения эволюции вихря ф и температуры 3 решались с помощью неявной схемы с использованием

продольно-поперечной прогонки. Уравнения Пуассона, связывающие функцию тока с вихрем скорости, и уравнение Пуассона для потенциала решались методом последовательной верхней

релаксации [5]. Для нахождения решений уравнений переноса заряда использовалась явная схема.

4. Линейная теория

Известно, что задача (2.6) допускает решение [4], в котором скорость жидкости в слое равна нулю, а распределения температуры, напряженности электрического поля и двух типов заряда характеризуются линейными распределениями по z. Обсудим результаты линейной устойчивости равновесия слабопроводящей жидкости, которые могут быть получены в результате исследования линеаризованной задачи (2.6).

В отсутствие внешнего электрического поля поведение слабопроводящей жидкости представляет собой классический случай конвекции Рэлея -Бенара. Известно, что горизонтальный слой жидкости под действием разности температур теряет устойчивость, когда число Релея Ra=GrPr превышает некоторое критическое значение, которое в случае твердых теплопроводных границ равно Rac=1708.

В рассматриваемой нами конвективной системе, находящейся в электрическом поле, важным управляющим параметром является параметр Т, который легко изменяется за счет разности потенциалов на электродах. На рис. 2 представлены нейтральные кривые (зависимости параметра Т от волнового числа £), для значения параметра

С0 /С = 0.2 при разных нагревах слоя. Пунктирная

линия - граница колебательных режимов конвекции, сплошные линии - границы монотонной конвекции. В случае нагрева снизу (Ra>0) для всех нейтральных кривых (линии 1-3, рис. 2) минимум нейтральной кривой соответствует монотонным возмущениям.

к

Рис. 2. Нейтральные кривые на плоскости Т(к) для различных значений числа Ra: 1500 (1), 1000 (2), 200 (3), -1000 (4)

При нагреве сверху (Ra<0), превышающем некоторое критическое значение (Ra<Ra*), развиваются только колебательные возмущения.

Яа

Рис. 3. Зависимость основной частоты колебаний значения функции тока в точке от числа Релея. С(/С=0.2

При этом минимумы нейтральных кривых и, следовательно, критическое значение Т для различных значений Яа практически совпадают. Для

каждого значения параметра Ra<Ra* в системе имеется частота нейтральных колебаний. Представленный на рис. 3 результат численного решения соответствует известной в теории тепловой конвекции корневой зависимости [6]

/~ ((Ка*-Ка)/Рг)1/2.

В нашем случае частота / обращается в нуль при Яа*= -100. Влияние соотношения диссоциировавших и собственных ионов С0/С на характеристики пороговых электроконвективных колебаний представлено в таблице, из которой видно, что С0/С изменяет пороги и характерные масштабы возмущений, практически не сказываясь на частоте колебаний. С другой стороны, частота колебаний сильно зависит от степени нагрева (Яа).

Зависимость критических параметров нейтральных колебаний от соотношения С0/С

Со/С к Т / (Яа=-1000) / (Яа=-1500)

0.1 4.4 2.52-106 1.209 1.515

0.2 4.3 3.09-106 1.221 1.526

0.3 3.45 5.67-106 1.209 1.492

5. Нелинейная задача

Рассмотрим теперь задачу (2.6) в полной нелинейной постановке и сравним с результатами линейной теории. Прежде всего, обратим внимание на характер возникновения конвекции в слабопро-водящей жидкости. При нагреве снизу нарастают монотонные возмущения, что приводит к режиму стационарной конвекции, которая возникает мягким образом. На рис. 4 изображена зависимость максимального значения функции тока от параметра Т.

Т/106

Рис. 4. Зависимость максимальной функции тока от параметра Т для случая стационарной конвекции Яа=1000, С(/С=0.2

Значение параметра Т, рассчитанное для волнового числа к=3.1 (рис. 4), Т и106 с хорошей точно-

стью соответствует порогу линейной теории с к^3.6 (кривая 2 на рис. 2 имеет пологий минимум).

При нагреве сверху (Ка<Ка*) в результате нарастания колебательных возмущений возникает режим бегущей волны (рис. 5). На первой стадии формирования течения (К150) наблюдается стоячая волна. Фазовая скорость волны вдоль оси х равна нулю. С течением времени стоячая волна теряет устойчивость и в результате длительного переходного процесса устанавливается режим бегущей волны (/>400), в котором максимальное значение функции тока постоянно, а значение функции тока в фиксированной точке ячейки меняется практически по гармоническому закону. На рис. 6 изображен спектр сигнала функции тока в фиксированной точке ячейки с координатами (//4;

а/2).

Рис. 5. Эволюциямаксимальной функции тока от времени для случая Яа=-1000, С0/С=0.2, к=4.3

0.3 г

0.2

0.1

0.4

0.8

/

1.2

1.6

Рис. 6. Спектр сигнала значения функции тока в точке (х=1/4; г=сС/2); Т=3.1-10б, Яа = —1000,

С0/С=0.2, к=4.3

Профили полей концентрации заряда, функции тока и температуры, соответствующие режимам стоячей и бегущей волы, представлены на рис. 7. Для наглядности все величины были приведены к одному масштабу (были выполнены следующие

преобразования: 3 ^ 3 - 0.5, д^(д-0.995014)х 500000-0.22). Момент времени ^150 (рис. 7, а) соответствует стоячей волне, а при t=530 (рис. 7, б) сформировалась бегущая волна. Как видно из рисунков, все профили имеют вид практически гармонических по горизонтальной координате функций. Интенсивность электроконвективного движения в режиме бегущей волны (^тахи0.4) на порядок превосходит соответствующее значение для стоячей волны (^тахи0.04).

а) і=150

б) t=530

Рис. 7. Профили полей концентрации заряда (•), температуры (сплошная линия) и функции тока (пунктирная линия) в различные моменты времени в середине слоя ^=1/2); Т=3.1-10б, Яа = —1000, С0/С=0.2, к=4.3

На рис. 8 изображены изолинии функции тока и температуры, где видно, что вихри прижаты к катоду, их центры вращения смещены относительно середины слоя к верхней границе. Это, конечно, связано с влиянием силы Кулона на заряд единицы

Рис. 8. Изолинии полей функции тока (пунктир) и температуры (сплошная линия) бегущей волны в момент времени 1=530; Т=3.1-10б, Яа = —1000, С0/С=0.2, к=4.3

х

0

0

объема жидкости: из-за инжекции с анода жидкость в целом имеет положительный заряд, который стремится к катоду.

Характер возникновения колебательного режима конвекции при нагреве сверху зависит от значения волнового числа. Так, в минимуме нейтральной кривой при критическом волновом числе к^4.3 значение Т практически совпадает с результатами линейных расчетов (рис. 9, а). Если значение волнового числа равно критическому для задачи о свободной конвекции к=3.1 (рис. 9, б), то пороговое значение параметра Т отличается от значения, полученного в линейных расчетах: конвекция возникает жестким образом.

T/1O6

T/1O6

Рис. 9. Зависимость максимального значения функции тока от параметра Т. Знаком ” X ” обозначена граница устойчивости из линейной теории. Яа=1000, С0/С=0.2. а) k=4.3, б) к=3.1

Расчеты показали, что частота бегущей волны и, следовательно, и ее фазовая скорость уменьшаются с ростом параметра Т (напряжения на конденсаторе).

6. Заключение

Исследована электроконвекция слабопроводя-щей неравномерно нагретой жидкости в горизонтальном конденсаторе, у которого с анода происходит инжекция положительного заряда. В рамках линейной теории найдены границы неустойчивости и пространственно-временные характеристики опасных возмущений. Выполнен анализ нелинейной стадии электроконвекции. Обнаружен эффект уменьшения фазовой скорости бегущей волны при увеличении электрического параметра Т.

Данное исследование проведено при частичном финансировании фондов СКЭБ (РЕ-009-0) и РФФИ (№ 07-01-96046)

Список литературы

1. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и электрогидродинамических полей. М.: Наука, 1979. 319 с.

2. Pankratieva I. L., Polyansky V. A. // J. of Electrostatic. 1999. Vol. 48. P. 27.

3. Жакин А. И. // Успехи физ. наук. 2003. Т. 103, № 1. C. 51.

4. Pontiga F., Castellanos A. // Phys. Fluids. 1994. Vol. 6, № 5. P. 1684.

5. Тарунин Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. 228 с.

6. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.