CC BY
42
Модель электротермической конвекции слабопроводящей жидкости в горизонтальном конденсаторе
*В. А. Ильин, Н. Н. Картавых
Пермский государственный национальный исследовательский университет, ул. Букирева, 15, г. Пермь, 614990, Россия, e-mail: ilin1@psu.ru
Изучена электроконвекция слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле горизонтального конденсатора с твердыми границами в случае мгновенной релаксации заряда на основе пятимодовой модели. Исследованы нелинейные режимы электроконвекции. Построена карта режимов. Выявлены квазипериодические и синхронные колебательные режимы конвекции. Обнаружено, что в зависимости от частоты внешнего поля переход к хаосу происходит либо через квазипериодичность, либо через перемежаемость.
Ключевые слова: электроконвекция, слабопроводящая жидкость, переход к хаосу.
УДК 532.5
ВВЕДЕНИЕ
Процессы тепло- и массообмена охватывают разнообразные области человеческой деятельности и приобретают большое значение в связи с совершенствованием современных технологий и технических средств их реализации. Исследователи уделяют внимание поиску новых методов управления процессами переноса. Среди таких методов особое место отводится воздействию электрических полей на теплоноситель благодаря высокой эффективности, простоте регулирования и контроля над данным воздействием [1-3].
Электрическое поле может оказывать влияние на движение жидкости благодаря действию специфических электроконвективных механизмов неустойчивости, связанных с различными способами возникновения заряда в жидкости [4-7]. Диэлектрофоретический механизм зарядообра-зования связан с зависимостью диэлектрической проницаемости жидкости от температуры, элект-рокондуктивный механизм зарядообразования -с зависимостью электропроводности жидкости от температуры [2]. В случае инжекции свободный заряд появляется вблизи поверхности электрода, а затем проникает в объем жидкости [2]. Эти механизмы вызывают накопление в объеме жидкости зарядов, взаимодействие которых с внешним полем может привести к возникновению конвекции даже в невесомости.
В настоящей работе рассматривается слабо-проводящая жидкость с электрокондуктивным механизмом зарядообразования в переменном электрическом поле горизонтального конденсатора. В такой постановке электроконвекция слабопроводящей жидкости в постоянном электрическом поле исследована в работе [8], а в
переменном электрическом поле в [9]. В работах [8, 9] использованы свободные граничные условия. В отличие от них в настоящей работе рассмотрены твердые граничные условия. Для них получена маломодовая модель электроконвекции. Проведено исследование нелинейных режимов движения жидкости в переменном электрическом поле в случае мгновенной релаксации заряда.
С прикладной точки зрения наиболее интересны результаты по усилению теплопередачи в зависимости от величины прикладываемого напряжения. Использование электрогидродинамических систем с инжекцией зарядов позволяет усилить теплоотдачу в 10 и более раз [10]. Но встречаются задачи, в которых инжекция не проявляется, а наблюдается электрокондуктив-ный механизм зарядообразования или омическая модель проводимости. Это имеет место, когда толщина конденсатора больше или порядка 1 см, а напряженность электрического поля ~ 1 кВ/см [6]. В таком случае, как показано в настоящей работе, тепловой поток можно усилить более чем в 2 раза. При изменении параметров задачи можно резко менять интенсивность конвекции и совершать переходы между разными режимами поведения жидкости: равновесием, синхронной и квазипериодической колебательной электроконвекцией.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим плоский горизонтальный конденсатор с вязкой слабопроводящей жидкостью, находящейся в переменном вертикальном
электрическом поле E и поле силы тяжести g . Ось х направлена вдоль слоя, ось г - перпендикулярно границам слоя.
© Ильин В.А., Картавых Н.Н., Электронная обработка материалов, 2017, 53(3), 73-78.
Идеально тепло- и электропроводные границы конденсатора расположены в 2 = -к/2, к/2 (к - толщина слоя), нагреты до разной температуры Т(-Н/2) = ©, Т(Н/2) = 0. Здесь Т - температура, отсчитываемая от верхнего электрода; © - характерная разность температур. Случай © > 0 соответствует нагреву снизу. Слой находится в переменном электрическом поле, которое направлено вдоль оси 2 перпендикулярно границам. Потенциал поля верхней границы равен нулю: ф(Н/2) = 0, потенциал нижней - изменяется со временем t по гармоническому закону: ф(-Н/2) = и соб(С). Здесь и - амплитуда напряжения, со = 2%/tf - частота; tf - период модуляции. Возмущения скорости V и температуры на границах обращаются в ноль.
В общем виде электрическая сила, действующая на единицу объема диэлектрической жидкости, может быть записана в виде
fe = реЁ-2Е2Уе + У(рЁ2Эв/ф), где ре - свободный заряд единицы объема, в, р - диэлектрическая проницаемость и плотность жидкости соответственно. Последнее слагаемое имеет градиентный вид и приводит лишь к переопределению давления р в уравнении Навье-Стокса. Вторая (диэлектрофоретическая) часть силы, связанная с неоднородностью диэлектрической проницаемости в, не существенна. Такой подход оправдан в случае, когда неоднородность электропроводности, связанная с градиентом температуры, намного больше, чем неоднородность диэлектрической проницаемости. Движение может вызвать только первая (кулоновская) часть силы, связанная со свободным зарядом в жидкости.
Рассмотрим поведение слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле, используя электрогидродинамическое приближение, в котором магнитные эффекты пренебрежимо малы по сравнению с электрическими [1]. Считается, что разность потенциалов на пластинах конденсатора не превышает критического значения и*, начиная с которого существенна инжекция. Плотность и электропроводность жидкости линейно зависят от температуры: р = ро(1 - РТ), а = Со(1 + раТ).
Уравнения конвекции жидкого диэлектрика были обезразмерены на основе масштабов: времени - р0Н2/^, расстояния - к; скорости - %/Н; температуры - ©; потенциала - и; плотности заряда - вв0ира©/Н2; давления - щ/Н2; частоты -^/р0Н2. Здесь в0 - электрическая постоянная; ^ - динамическая вязкость; х, Р, Ра - коэффициенты температуропроводности, теплового расширения жидкости и температурный коэффи-
циент проводимости. Условие малости ра© << 1 дает возможность использовать безындукционное приближение, в котором в расчет берется только внешнее электрическое поле (электрическое поле, связанное с перераспределением заряда в жидкости, пренебрежимо мало) [2]. В результате система уравнений электроконвекции примет вид:
8v 1 /- \- - - -
- + —I v • VI v = -Vp + Av + Ra T у + Raape у cos cot,
8t Prv
dT
+ (yV)T
8t pP^1•V)p^ - 8z
Pr "87 + (y^v)T = AT, div v = 0, (1)
8pe , Pre 8T
Pr„^ +
-(v •V)pe +pe + — cos ct =
Здесь у = (0,0,1) - орт, направленный по вертикали вверх, введены безразмерные параметры - тепловое число Рэлея Ra, число Прандтля Pr, электрическое число Прандтля Pre, электрическое число Рэлея Raa:
Ra =
мР^_, Pr=Л. Pr =
Ra „ =
> e . 2 : Хй) h Pb°0
88oU 2ра0
"ЛХ
(2)
В переменных полях жидкость может разогреваться за счет диэлектрических потерь. В работе [6] рассмотрены электрогидродинамические уравнения в переменных полях с учетом этих потерь. Диэлектрические потери согласно [11] при малых частотах для жидкостей типа трансформаторного масла не зависят от частоты и являются потерями сквозной проводимости. Этими потерями можно пренебречь, когда в уравнении теплопроводности мощность диэлектрического нагрева много меньше слагаемого, описывающего молекулярную теплопроводность. Оценка этого отношения дает условие, когда можно пренебречь этим нагревом: аЕ2Н2/(2к©) << 1 (к - коэффициент теплопроводности).
В настоящей работе в размерных единицах рассматриваются частоты меньше 1 Гц, напряженности электрического поля порядка 1 кВ/см при толщине слоя жидкости в 1 см. Для электропроводности очищенного трансформаторного масла а = 2,1-10-9 Ом"1м"1 [6] и характерных параметров трансформаторного масла [12] оценка критерия малости дает значение меньше или порядка 10-2. Поэтому вкладом диэлектрического нагрева можно пренебречь.
Представим поля скорости, температуры, давления и плотности заряда в виде: V, Т = Т0 + 3,
Р = Р0 + Р', ре =ре0 + ре' (штрихи означают
отклонения величин от равновесных значений Т0, р0, ре0, далее штрихи опускаем). Учтем равновесные решения. Плоские и пространственные возмущения одинаково опасны, поскольку задача изотропна в плоскости слоя, поэтому рассмотрим плоские возмущения: V = (и,0^), д/ду = 0 [13].
Границы слоя считаются недеформируемыми, твердыми, изотермическими:
z = ±1/2: u = w = 3 = 0.
(3)
Введем функцию тока у: ^ = , и = . В
дх дг
ее терминах уравнения электротермической конвекции запишутся в виде:
д , 1 (ду д , ду д , Л
—Ду +—I--Ду---Ду I =
д: Рг ^ дх дг дг дх )
др дЗ
= Яаа —- 008 ю: + Яа— + Д 2у,
дх дх
„ д3 ду д3 ду д3 . „ ду Pr— + ^----— = Д3 + —-,
dt дх dz dz дх
дх
(4)
P дре Pr, Pr —— +
dt
+ Ре +
ду дре ду дре Pr ^ дх dz dz дх д3
dz
-cos at = 0.
Граничные условия изменятся (штрих означает производную по z):
z = ±1/2 : у = у' = 3 = 0.
(5)
Для решения системы уравнений (4) использовался метод Галеркина. Используемые для плотности заряда базисные функции, как и в [8, 9, 14], удовлетворяют граничному условию ре = -дЗ/дг. Такой набор базисных функций позволяет решить различные задачи линейной устойчивости в переменных полях. Аппроксимации полей, удовлетворяющие граничным условиям, выбраны следующим образом:
f
у =
1
- — z
1
- — z
2 Л
sin кх,
аппроксимациях необходимы, чтобы учесть нелинейность системы (4).
Подставляя разложения (6) в систему (4), после ортогонализации получаем систему восьми обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд. В случае Рге = 0, когда время релаксации заряда много меньше характерного гидродинамического времени, получается пятимодовая модель электроконвекции. С учетом перемасштабирования переменных:
::, 4 ^ ^ + *2)х,
10 + к2
A2 ^
47к
13272(10 + к2)
V,
B ^ 3^Y, B2 ^ 6^2W, C ^ 6Z (7)
модель электроконвекции примет вид (точка над переменными - производная по времени):
X = Pr(-qX + rY - eWcos2 cot),
Y = -Y + X-XZ, Z = -bZ + XY + VW,
V = Pr(—d1V + d2rW + d3eY cos2 cot),
W = —d4W + d5V — VZ. Здесь введены новые параметры:
Ra R 28(k2 + 10)2(к2 +12)
r =-, Ra0 =-2-,
Ra0 0 27к2
Ra 0 R У7(к2 + 10)2(к2 +12)
e =-—, RaCTo =-2-,
Ra ' ff0 9к2
(8)
к4 + 24k2 + 504 , 42 q =—----, b =
(к2 + 12)(k2 +10) к2 +10
, к4+88к2 +3960
di =—2-2-,
1 (к2 + 44)(к2 +10)
7 (к2 +12) = 1 (к2 +12)
(9)
27 (к2 + 44) 6 (к2 + 44)
3 = 1 B I — z2 | + B2
+ CI- — z2 4
Ре =| A z + AI 4 — 3z2
- — z
z |cosкх+
1
cos кх + E| — — 3z2 4
(6)
где к - волновой вектор, характеризующий периодичность возмущений в плоскости слоя; Л\(:), ¿2(0, ВД, ВД, С(:), Д(0, £>2(0, £(0 - амплитуды, зависящие от времени. Вторые слагаемые в
d4 =
к2 + 42
4 " 7,2
к2 +10
d 11
d5 =—,
5 3 '
где е - нормированное электрическое число Рэлея; r - нормированное тепловое число Рэлея; q, b, di, d2, d3, d4, d5 - геометрические параметры; Ra0, Ra^0 — критические числа, при которых начинается термогравитационная или электро-кондуктивная конвекция соответственно.
Динамическая система (8) является обобщением маломодовой модели Лоренца [15] на случай электроконвекции слабопроводящей
к
жидкости с электрокондуктивным механизмом зарядообразования в переменном электрическом поле. Фактически для получения системы (8) использован метод Бубнова-Галеркина с небольшим числом базисных функций. Несмотря на это ограничение, применение подобного подхода для описания конвекции в переменных полях [16, 17] показывает неплохое согласие теоретических и экспериментальных данных вплоть до значений управляющего параметра, соответствующих состоянию надкритичности 2,5 [17].
Метод Бубнова-Галеркина позволяет относительно просто выявить качественное поведение жидкости, но имеет известные ограничения. Задача, рассмотренная в настоящей работе, требует дальнейшего исследования с применением других методов. В настоящее время существуют вычислительные математические пакеты, используя которые можно рассчитывать электроконвективный теплообмен в переменных электрических полях.
Для анализа интенсивности теплопереноса через конденсатор вычислялся усредненный по времени и длине ячейки безразмерный теплопо-ток на границе жидкости (число Нуссельта) следующим образом:
Nu = (ÉL
2 i„A > I éz
end 0 0
dxdt, Nu =
z=±-
2
qh
к®,
(10)
где q - плотность потока тепла. Усреднение числа Нуссельта проводилось по большому временному интервалу tend = (N > 100). При
подстановке температуры и интегрировании по длине ячейки получается:
1 te}d
Nu = 1 + 3 — J Z(t)dt.
(11)
Исследование нелинейных режимов конвекции было проведено для числа Прандтля Рг = 100 в случае невесомости г = 0. Волновое число было взято в минимуме нейтральной кривой к = 4,444. Все вычисления сделаны для этих значений параметров.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд (8) интегрировалась численно методом Рунге-Кутты-Мерсона с постоянными начальными условиями и методом продолжения по параметру. Временная эволюция амплитуд анализировалась с помощью быстрого преобразования Фурье. По спектрам Фурье определялись типы режимов.
Результаты расчетов были систематизированы, и построена карта режимов электроконвекции на плоскости параметров «нормированное электрическое число Рэлея е - обратная частота 1/к» (рис. 1). В области I жидкость находится в равновесии; II - область квазипериодических режимов; III - область синхронных колебаний, IV - область хаоса с окнами периодичности.
Случай Ки = 1 соответствует процессу молекулярного теплопереноса, превышение числа Нуссельта над единицей Ки > 1 свидетельствует о возникновении конвекции.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Было проведено исследование линейной устойчивости равновесия жидкости в постоянном электрическом поле. Для Рг = 100 в случае невесомости критическое волновое число, электрическое число Рэлея, его нормированное значение и частота в минимуме нейтральной кривой колебательной неустойчивости следующие: кс = 4,444, Яаос = 288947, е = 69,07, ш = 17,52. В случае свободных границ критические параметры меньше: кс = 3,023, Яа^ = 11697, е = 41,51, ш = 15,99 [8].
Рис. 1. Карта режимов: I - область равновесия; II - область квазипериодических режимов; III - область синхронизации; IV - область хаоса; ABC и EFG - области гистерезиса между синхронным и квазипериодическим режимами; BCD - область гистерезиса между равновесием и синхронным режимом; FGH - область гистерезиса между хаотическим и синхронным режимами.
Методом продолжения по параметру обнаружены гистерезисные переходы между различными режимами. На рис. 1 они обозначены штриховкой: ABC и EFG - области гистерезиса между синхронным и квазипериодическим режимами; BCD - область гистерезиса между равновесием и синхронным режимом; FGH - область гистерезиса между хаотическим и синхронным режимами.
105
145
115
125
135
145
155
Рис. 2. График зависимости безразмерного теплопотока от электрического числа при V = 1,087 . В точке 1 происходит переход через линию ББ на рис. 1; в 2 - переход через линию АС, в 3 - переход через линию ВС, в 4 - переход через линию ВБ, в 5 устанавливаются хаотические колебания.
Рис. 3. График зависимости безразмерного теплопотока от электрического числа при V = 1,266 . В точке 1 происходит переход через линию устойчивости на рис. 1; в 2 - переход через линию ОБ, в 3 - переход через линию ОН, в 4 - переход через линию БЕН.
В области II на пороге устойчивости рождаются квазипериодические колебания - возникают две несоизмеримые и комбинированные частоты. Они эволюционируют, затем через квазипериодичность происходит переход к хаотическому режиму, в котором спектр Фурье сплошной (область IV). В области III существуют синхронные колебания. Переход к хаосу из этой области происходит через перемежаемость.
При изменении частоты внешнего воздействия сценарий перехода к хаосу через квазипериодичность сменяется сценарием перехода к хаосу через перемежаемость. Из синхронного периодического режима возникает перемежаемый хаос, при рассинхронизации частоты колебаний становятся несоизмеримыми, и переход к хаосу происходит через квазипериодичность.
На рис. 2 представлен график зависимости числа Нуссельта, безразмерного теплопотока, от электрического числа при V = 1,087 . В точке 1 из равновесия рождаются синхронные колебания -происходит переход через линию ББ на рис. 1. В точке 2 происходит переход от синхронных периодических колебаний к квазипериодическому режиму колебаний - переход через линию АС (рис. 1). В точке 3 осуществляется переход через линию ВС (рис. 1) - переход между областями с разными гистерезисами: гистерезисом между равновесием и синхронным режимом и гистерезисом между синхронным и квазипериодическим режимами. В точке 4 осуществляется переход через линию ВБ (рис. 1), выше которой начинается область гистерезиса между
синхронным режимом и равновесием. В точке 5 устанавливаются хаотические колебания.
На рис. 3 представлен график зависимости числа Нуссельта от электрического числа при V = 1,266. В точке 1 из равновесия рождаются квазипериодические колебания - происходит переход через линию устойчивости на рис. 1. В точке 2 осуществляется переход к хаосу, что соответствует линии ОБ на рис. 1. В точке 3 происходит переход к области синхронизации (ОН на рис. 1). Линия ОБ разграничивает области с разными гистерезисами: конкуренцией между синхронным и квазипериодическим режимами (ниже ОБ) и гистерезисом между хаотическим и синхронным режимами (выше ОБ). В точке 4 происходит переход между квазипериодическими и синхронными колебаниями (линия ББН на рис. 1).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследована электротермическая конвекция слабопроводящей жидкости для твердых граничных условий в переменном электрическом поле горизонтального плоского конденсатора. Рассмотрено действие электрокондуктивного механизма зарядообразования. В случае мгновенной релаксации заряда получена пятимодовая модель электроконвекции. На ее основе изучены нелинейные режимы движения жидкости.
Результаты могут быть использованы при планировании экспериментов со слабопроводя-щими жидкостями, например трансформаторным маслом в плоском горизонтальном конденсаторе
толщиной в пределах 1 см. В переменном электрическом поле теплообмен может быть увеличен по сравнению с теплопроводным режимом более чем в 2 раза.
Выделены синхронные периодические, квазипериодические и хаотические режимы движения жидкости. Определены области существования этих режимов. Исследованы гистерезисные переходы между ними. Определены сценарии перехода к хаосу - в зависимости от частоты переход к хаосу происходит либо через квазипериодичность, либо через перемежаемость.
Исследования выполнены при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 14-01-31253-мол_а).
ЛИТЕРАТУРА
1. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей: Физические основы электрогидродинамики. М.: Наука, 1979. 319 с.
2. Болога М. К., Гросу Ф. П., Кожухарь И. А.
Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. 320 с.
3. Стишков Ю. К., Остапенко А. А. Электрогидродинамические течения в жидких диэлектриках. Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. 174 с.
4. Traore Ph., Perez A.T., Koulova D., Romat H. J Fluid Mech. 2010, 658, 279-293.
5. Siddheshwar P.G., Radhakrishna D. Commun Nonlinear Sci Numer Simul. 2012, 17(7), 2883-2895.
6. Жакин А.И. УФН. 2012, 182(5), 495-520.
7. Fogaing M.T., Yoshikawa H.N., Crumeyrolle O., Mutabazi I. Eur Phys J E. 2014, 37(4). DOI 10.1140/epje/i2014-14035-0
8. Ильин В.А. ЖТФ. 2013, 83(1), 64-73.
9. Картавых Н.Н., Смородин Б.Л., Ильин В.А. ЖЭТФ. 2015, 148(1), 178-189.
10. Жакин А.И., Кузько А.Е. МЖГ. Известия РАН. 2013, (3), 31-42.
11. Сканави Г.И. Физика диэлектриков: область слабых полей. М.: ГИТТЛ, 1949. 500 с.
12. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. 420 с.
13. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972. 392 с.
14. Smorodin B.L., Velarde M.G. J Electrostat. 2000, 48(3-4), 261-277.
15. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. 368 с.
16. Finucane R.G., Kelly R.E. Int J Heat Mass Transfer. 1976, 19, 71-83.
17. Ahlers G., Hohenberg P.C., Lücke M. Phys Rev A. 1985, 32, 3493-3534.
Поступила 26.02.16 После доработки 04.05.16 Summary
The electroconvection of a weakly conducting liquid in an alternating electric field of a horizontal capacitor with hard boundary conditions is investigated on the base of a five-mode model in case of instantaneous charge relaxation. Nonlinear regimes of electroconvection are investigated. A card of regimes is constructed. Both quasi-periodic and synchronic oscillation regimes of convection are revealed. It is found that, depending on the external field frequency, the transition to chaos is realized either through quasi-periodicity or through alternation.
Keywords: electroconvection, weakly conducting liquid, transition to chaos.
