CC BY
49
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ
УДК 336.6 (075.8)
п.н. брусов
профессор кафедры «Прикладная математика» Финансового университета
т.В. филатова
профессор кафедры «Финансовый менеджмент» Финансового университета
влияние заёмного финансирования на эффективность инвестиционных проектов конечной продолжительности
1. Введение
В первой статье [1] мы исследовали проблемы влияния заёмного финансирования на эффективность инвестиционного проекта в рамках теории Модильяни-Миллера. В данной статье мы рассмотрим эту проблему для проектов конечной продолжительности, используя полученные нами результаты [2, 3].
Модильяни и Миллер создали теорию стоимости и структуры капитала для перпетуитетных компаний [4, 5], для компаний же с конечным временем жизни, как и для проектов конечной продолжительности (каковыми являются все инвестиционные проекты) мы развили последовательную теорию средневзвешенной стоимости капитала ШЛСС [1-3].
В данной работе эффективность инвестиционного проекта рассмотрена с двух точек зрения: владельцев собственного и заёмного капитала, и владельцев только собственного капитала. Для каждого из этих случаев ЫРУ вычислен двумя способами: с разделением кредитного и инвестиционного потоков (и, соответственно, дисконтированием платежей по двум различным ставкам), и без такого разделения (в этом случае оба потока дисконтируются по одной ставке, в качестве которой, очевидно, может быть выбрана средневзвешенная стоимость капитала ШЛСС). Для каждой из четырёх ситуаций рассмотрены два случая:
1) постоянства величины собственного капитала S;
2) постоянства величины общего инвестированного капитала 1=$+0 (О - величина заёмных средств).
Разница по сравнению со случаем Модильяни-Миллера, рассмотренном в первой части статьи, состоит в том, что вместо перпетуитетных пределов для ЫРУ и стоимостей собственного капитала, ке, и средневзвешенной ШЛСС, используются полученные нами точные выражения [2, 3].
2. Ставки дисконтирования для проектов конечной продолжительности 2.1. Средневзвешенная стоимость капитала
Мы получили следующее уравнение для средневзвешенной стоимости капитала ШЛСС в случае п - летнего проекта
[1 -(1 + ШЛССп ] [1 -(1 + ко)- п ] 1
ШЛСС = ко [1 -Ш / (1 -(1 + К )п)] . (1)
10
20
30
40
50
60 Wd
0
Рис. 1. Зависимость ШЛОО для компаний с различным временем жизни, от доли заёмных средств ^ , при различной стоимости собственного капитала к0.
Здесь ^ - доля заёмного капитала, ^ - ставка налога на прибыль компании. При п=1 получаем формулу Майерса [6] для одногодичного проекта
(1 + кп)к,
ШЛСС = к0 - --^ . (2)
0 1 + кл
При п=2 уравнение (1) ещё можно решить относительно ШЛСС [3]. При п=3 и п=4 уравнение для ШЛСС становится довольно громоздким, но его всё ещё можно в принципе решить аналитически, а при п>4 оно и в принципе решается только численно.
Приведём графики зависимости ШЛСС для компаний с различным временем жизни, от доли заёмных средств wd, при различной стоимости собственного капитала к0. Мы использовали следующие значения параметров: к0 = 10% + 24%; кл = 7%; I = 50%; м>л = 0% + 60% . Верхняя линия соответствует п=1,средняя - п=2 и нижняя п = ^ (рис. 1).
Видно, что все зависимости ШЛСС ) с хорошей точностью можно считать линейными и аппроксимировать формулой
WACC (wd ) = k0 (1 -у-wd ) = k0
' L Л
1 -Y
v
1 + L
(3)
Y вычисляется по формуле Брусова-Филатовой и зависит от параметров k0, kd, t. При фиксированных k0, kd, t параметр y = const.
Мы будем использовать ставку дисконтирования (3) при приведении потоков без разделения их на операционные и кредитные.
2.2. Стоимость собственного капитала
Выведем формулу для стоимости собственного капитала с использованием формулы (3). Запишем стандартную формулу для WACC:
Б 8 L 1
WЛCC = к* (1 - г) — + к - = к* (1 - г)-+ к -
* I е1 * 1 + L е 1 + L
Находя отсюда к , имеем
ке = ШЛСС (1 + L) - к^(1 - г).
(4)
(5)
Подставляя вместо ШЛСС = к0
1 -у
L
, получим
1 + L
к. = ко (1 + L (1 -у))-к^(1 - г).
(6)
Мы будем использовать ставку дисконтирования (6) при приведении потоков с разделением их на операционные и кредитные.
3. Эффективность проекта для владельцев собственного и заёмного капитала
3.1. Рассмотрение с разделением потоков
-А N01 (1 - г) кО N01 (1 - г)
ЫРУ = -1 + 2-+ 2— —"=-1 +
(1+ке) ^ (1+к*)
1
(1+к.)
п
+ Ог
1
(1+К)
п
*
3.1.1. Случай постоянства общей величины инвестиций (1=еотг) Учитывая О = 1Ь/ (1 + L), получим
ШУ = -I +
N01 (1 - г)
(1 + к.)
п
.) У
+ -
иг
= -1
1-
Lt
1 + L
1-
(1+К )
*]
1 + L
/
(1+К )
п
<?/ у
+
N01 (1 - г)
1-
(1 + к.)
п
.
Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = ^ имеем, соответственно,
ШУ (0)= -1 +
N01 (1 - г)
1-
(1 + ко)
п
оп
ШУ (~)=-1
1-г
1-
(1+К )
п
* ) У
(7)
(8)
(9)
(10)
ЫР
NPУ(0)
ЫР К2(<~)
II
L
Рис. 2. Зависимость NPV проекта от левериджа в случае постоянства величины инвестиций (¡=сопэ^
1
1
I=1
.
1
1
к
1
1
к
1
к
0
1
Для одногодичного проекта формулы (9) и (10) упрощаются и имеют вид
NPV (0)=-1 +
NOI (1 - г)
1+к
NPV (~)=-1
г • к,
1 + к
(11)
а /
Растёт ли NPV с левериджем или убывает (для одногодичного проекта), зависит от соотношения
I • г • к. N01 (1 - г) . ч
и -, или, что то же, I • г • кл и N01 (1 - г). Если больше первая
между величинами
1+к
1+к
а 0
величина, то NPVрастёт, если вторая - то убывает (рис. 2).
3.1.2. Случай постоянства величины собственного капитала (Б=сотг) Учитывая Б = Ь5, I = S (1 + Ь), получим
NPV = - 5 - ЬБ +
N01 (1 - г)
(1 + ке)
+ Бг
е/ /
(1 + кЛ )
п
а) У
(12)
В случае Б=сотг N01 уже не является константой и в общем случае пропорциональна величине инвестиций N01 = в I = в 5 (1 + Ь).
NPV = - 5
1 + Ь - гЬ
— -
(1 + ка )
п
а) У
+
в5 (1 + ь)(1 - г)
— -
(1 + ке )
п
е) У
Стоимость собственного капитала линейно зависит от левериджа ке = к0 + Ь [к0 (1 - у ) - кЛ (1 - г) ]. Для предельных случаев Ь = 0 и Ь = ^ имеем, соответственно,
NPV (0)=- 5 + Для одногодичного проекта
NPV = - 5
в 5 (1 - г)
1-
(1+к )
п
0п
NPV (<»)=-«.
1 + Ь - гЬ
1+к
+
в5 (1 + Ь)(1 - г)
1+к
Отсюда для предельных случаев Ь = 0 и Ь = ^ имеем, соответственно,
NPV (0) = - 5 + в 5 (1 - *), NPV (~) = —
1+к
(13)
(14)
(15)
ЫРУ
ЫР¥(0)
Ь
Рис. 3. Зависимость NPV проекта от левериджа в случае постоянства величины собственного капитала (5=00^). Ь0 -максимальная величина левериджа, при которой проект всё ещё остаётся эффективным
1
1
к
е
1
1
к
1
к
0
к
Ь
0
Уравнение для ь0 (максимальной величины левериджа, при которой проект всё ещё остаётся эффективным) имеет следующий вид: 1) для одногодичного проекта
8
1 + L - ь
к
1+к
в8 (1 + L)(1 - г)
1+к
2) для п - летнего проекта
8
1 + ь - гь
1 —
(1 + К )
)п
л)
в8 (1 + ь)(1 - г)
1-
(1 + к.)
п
.
(16)
(17)
3.2. Рассмотрение без разделения потоков
^ N01 (1 - г)+к0г N01 (1 - г)+ ко
ЖУ = -1 + 2-^-— — =-1 +
=1 (1 + ШЛСС )
ШЛСС
1-
(1 + ШЛСС )п
/
Подставляя вместо ШЛСС его выражение через леверидж (3) ШЛСС = к0
ЖУ = -I +
1 -у
ь
\
(18)
N01 (1 - г)+ко
к0 / 1 - V ь } -у 1+ь У
V 1 + Ь/
\
получим
1+к
1 -у
ь
1+ь
(19)
3.2.1. Случай постоянства общей величины инвестиций (1=еотг)
ЖУ = -I +
N01 (1 - г)+кЛВг
ШЛСС
1-
(1 + ШЛСС )п
ЖУ = -1
кл-
1 —
Ь 1 + Ь
N01 (1 - г)
ь
1 -у-г
1 + ь у
1 -у-г
. 1 + ¿у
1-
1-
1
1 + к
ь
1 -у-г
1 + ь у
V
У]
1 + к
ь
1 -у-г
1 + ь у
(20)
Отсюда для предельных случаев ь = 0 и ь = ^ имеем, соответственно,
ЖУ (0)=-1
N01 (1 - г)
1-
ЖУ («>)=-1
1-
к0 (1 -уг)
1-
(1 + к (1 -У г ))п
]
(1=
N01 (1 - г)
к0 (1 -уг)
1-
(1 + к (1 - У г ))п
(21)
(22)
NPУ растёт либо убывает с левериджем в зависимости от соотношения между параметрами (N01,ка,к*,ку) -ри). 3).
1
1
к
1
1
п
1
+
к
0
1
+
к
0
1
к
0
1
1
Для одногодичного проекта
NPV = -I
кл-
1 --
L 1 + L
1 + WACC
NOI (1 -1 ) 1 + WACC
(23)
Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = œ имеем, соответственно,
NPV (0)= -1 +
NOI (1 -1 )
1 + к
NPV («>)=-1
1-
1 + ко (1 -Yt)_
NOI (1 -1 )
1 + ко (1 -Yt)
(24)
(25)
3.2.2. Случай постоянства величины собственного капитала (S=const)
NPV = -I +
NOI (1 -1)+kdDt
= -S
k.Lt 1 + L - d
WACC
/
1-
1
WACC
1-
(1 + WACC )
ß S (1 + L)(1 -1 )
v
(1 + WACC )n
+
WACC
1-
(1 + WACC )n
(26)
Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = œ имеем, соответственно,
NPV (0)= - S +
NPV убывает с левериджем от - S +
ß S (1 -1 )
1
(1 + ко )
NPV (œ)=-œ
(27)
о
NOI (1 -1 )
1-
(1 + ко )
f
о
до -œ (рис. 3), обращаясь в ноль при
L = L0, определяемом из уравнения
S
кХЛ 1 + L — d
WACC
1-
(1 + WACC )n
NOI (1 -1 )
WACC
1-
(1 + WACC )n
Отметим, что L = L0 является максимальным значением левериджа, при котором проект остаётся эффективным (NPV > 0).
Для одногодичного проекта
NOI (1 -1)+ кЛл
NPV = -1 +-^-1-d— = - S
1 + WACC
1 + L--
1 + WACC
+
NOI (1 -1 )
1 + WACC
(28)
Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = œ имеем, соответственно,
, ч NOI (1 -1)
NPV (0) = - S +-^-}-
1
(1+к )
f
0j
NPV убывает с левериджем от - S + определяемом из уравнения
S
NOI (1 -1 )
(1+к )
f
0j y
, NPV (œ)=-œ . (29)
, обращаясь в ноль при L = L0,
до
кХЛ 1 + L — d
1 + WACC
NOI (1 -1 ) 1 + WACC
(30)
+
1
1
к
0
1
к
0
1
1
0
1
к
0
Учитывая, что в случае 8=еотг N01 пропорциональна величине инвестиций N01 = вI получим для предельных случаев
ЖУ (0)=- 8 +
в 8 (1 - г)
1
(1 + к0 Ь
ЖУ (<»)=-»
Таким образом, ЖУ убывает с левериджем (рис. 3).
4. Эффективность проекта для владельцев собственного капитала 4.1. Рассмотрение с разделением потоков
^ N0I (1 - г) - ко (1 - г )-а О
ЖУ = -8 + 2-+ 2" =
(1 + к. )
(1 + К )
= - 8 +
N0I (1 - г)
1-
(1 + к.)
п
.п
О (к* (1 - г )+а)
1-
(1+к Ь
4.1.1. Случай постоянства общей величины инвестиций (!=еот{) Учитывая О = К,/ (1 + ь), 8 = I/ (1 + ь), получим
ЖУ =
1+ь
1+
ь(к* (1 -г)+а)
(1+К )
п *
+
N0I (1 - г)
(1 + к.)
п
.
Отсюда для предельных случаев ь = 0 и ь = ^ имеем, соответственно,
ЖУ (0)=-1 +
N0I (1 - г)
1
--
(1+к Ь
жУ (-) =
-1 (к* (1 - г)+а)
(1 + к )п ,
Для одногодичного проекта
ЖУ =
1+ь
1 + ь(к* (1 - г)+а)
1+к
+
N0I (1 - г)
1+к
Отсюда для предельных случаев ь = 0 и ь = ^ имеем, соответственно,
, ч N0I (1 - г) , ч -I (к* (1 - г)+а)
ЖУ (0) = -I +-^-}- , ЖУ (~) = -
1+к
1+к
4.1.2. Случай постоянства величины собственного капитала (3=еотг)
ЖУ = - 8
^ + ь (к* (1 - г)+а)
V
к
1-
(1 + к Ъ
+
в8 (1 + ь)(1 - г)
к
1-
(1+к. ъ
в 8 (1 + ь),
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
Мы учли, что в случае 8=еотг N0I пропорциональна величине инвестиций N0I = вI Отсюда получим для предельных случаев п-летнего проекта
ЖУ (0)=- 8 +
в 8 (1 - г)
1-
1
(1+к)
п
0
ЖУ (с~)=-^.
(38) в 8 (1 + ь).
(39)
л
1
к
0
I=1
I=1
1
1
к
к
*
1
1
к
к
*
к
0
1
к
*
Л
г
1
1
к
0
Итак, NPV с ростом левериджа убывает от - S +
ß S (1 -1 )
к
(1+к )
n
0) J
при отсутствии заёмного
финансирования, до при бесконечном леверидже (рис. 2), обращаясь в ноль при Ь = Ь0, определяемом из уравнения
S
1+
L(к (1 -л)+«)
1
(1+к )
d / /
ßS (1 + L)(1 -1)
1
— -
(1+к )
e/ /
Для одногодичного проекта
NPV = - S
/
1+
L (kd (1 -1)+a)ï ßS (1 + L)(1 -1)
v
1+к
+
d
1+к
Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = œ имеем, соответственно,
NPV (0)=- S +ß S (1 - Л ) , NPV (œ)=-œ . 1 + к0
Зависимость NPV от левериджа та же, что и в случае n-летнего проекта (рис. 2).
4.2. Рассмотрение без разделения потоков
NPV = - S + ^
NOI (1 -1) - D (^ (1 -1)+a)
= - S +
(1 + WACC ) NOI (1 -1) - D (hd (1 -1)+a)
WACC
(1 + WACC )n
4.2.1. Случай постоянства общей величины инвестиций (!=сотг) Учитывая Б = (1 + Ь), 5 = I/ (1 + Ь), получим
NPV = --
1+L
1 + L (к (1 - л)+a)
WACC
1-
(1 + WACC )n
+
NOI (1 -1 )
WACC
1-
(1 + WACC )n
Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = œ имеем, соответственно,
NPV (0)=-1 +
NOI (1 -1 )
1 --
1
NPV (œ)=-1
(к (1 - л)+a)
к (1 -Y t )
1-
(1 + 0
(1+к (1 -Y t ))
(1+к )
f
0/ y
+
NOI (1 -1 )
к (1 -Y t )
1-v (1 + » 0
(1+к (1 -Y t ))
Для одногодичного проекта
NPV =
1+L
1+
L (к (1 - л )+a)
1 + WACC
+
NOI (1 -1 ) 1 + WACC '
NPV (0)=-1 +
NOI (1 -1 )
1 + к
NPV (œ)=-1
(к (1 - л)+a)"
_ 1 + к (1 -yt)_
+
NOI (1 -1 ) 1 + к (1 -Yt)
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
1
1
r
r
к
к
d
\
1
1
1
к
0
Л
1
1
Итак, возможен как рост NPV с левериджем, так и его убывание (рис. 1), в зависимости от соотношения между параметрами проекта (NOI, к0, кл, t, a, y).
4.2.2. Случай постоянства величины собственного капитала (S=const)
J . \
NPV = - S +
Заменяя D = LS , получим
NOI (1 -1)- D (^ (1 -1)+a)
WACC
1-
1
(1 + WACC )n
NPV = - S
1 + L (k (1 - л)+a)
WACC
1-
(1 + WACC )n
+
ßS (1 + L)(1 -1)
WACC
1-
(1 + WACC )n
Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = œ имеем, соответственно,
(49)
(50)
NPV (0)=- S +
ß S (1 -1 )
(1+к )
n
0n
NPV (œ)=-œ
Итак, NPV с ростом левериджа убывает от - S +
ß S (1 -1 )
к
1-
(1+к )
n
0n
(51)
при отсутствии заёмного
финансирования, до при бесконечном леверидже, обращаясь в ноль при Ь = Ь0, определяемом из уравнения
S
1 + L (k (1 - л )+a)
WACC
1-
1
(1 + WACC )n
ßS (1 + L)(1 -1)
WACC
1-
1
(1 + WACC )n
(52)
Для одногодичного проекта
NPV = - S +
NOI (1 -1) - D (k (1 -1)+a)
1 + WACC
(53)
Заменяя D = LS, NOI = ßI = ßS (1 + L), получим
NPV = - S
1+
L(к (1 -л)+a)
1 + WACC
+
ßS (1 + L)(1 -1)
1 + WACC '
(54)
Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = œ имеем, соответственно,
NPV (0)=- S +ß S (1 - Л ) , NPV (œ)=-œ . 1 + к
(55)
в 5 (1 - г)
Итак, NPV с ростом левериджа убывает от -5 +--при отсутствии заёмного финансирова-
1 + к0
ния, до при бесконечном леверидже, обращаясь в ноль при Ь = Ь0, определяемом из уравнения
1 + WACC + L (^ (1 -1 )+a)=ß(1 + L )(1 -1 ).
(56)
л
1
1
1
к
0
1
f
5. Заключение
В работе впервые за почти 60-летнюю историю исследования проблемы влияния заёмного финансирования на эффективность инвестиционного проекта получены реальные результаты для проектов конечной продолжительности. Эффективность инвестиционного проекта рассмотрена с двух различных точек зрения: владельцев собственного и заёмного капитала, и владельцев только собственного капитала. Показано, что как и в теории Модильяни-Миллера, NPV для проектов конечной продолжительности всегда убывает с левериджем (Ь=Б/5) в случае постоянства величины собственного капита-
ла 8. Для каждого из четырёх случаев (при 5=сош^) получены уравнения для максимального значения левериджа ь = ь0, при котором проект остаётся эффективным (МРУ> 0).
В случае постоянства величины общего инвестированного капитала (!=со^^) возможен как рост NPУ с левериджем, так и его убывание, в зависимости от соотношения между параметрами проекта (N0I, к0, кл, г, а, в, у).
литература
1. Брусов П.Н, Филатова Т.В. Влияние заёмного финансирования на эффективность инвестиционного проекта в рамках теории Модильяни-Миллера // Вестник ФА №5, 2010. - С. 28-36.
2. Финансовый менеджмент: Учебное пособие / П.Н. Брусов, Т.В. Филатова. - M. : Кнорус, 2010.
3. Филатова Т.В, Орехова Н.П, Брусова А.П. Средневзвешенная стоимость капитала в теории Модильяни-Миллера, модифицированной для конечного времени жизни компании. // Вестник ФА №4, 2008. - С. 74-77.
4. Мodigliani F, UillerM. American Economic Review, v.48. Р.261-297 (1958).
5. Мodigliani F,МИ^гM. American Economic Review, v.53. Р.147-175 (1963).
6. Мyers S. Journal of Economic Perspectives, v.15. Р.81-102 (2001).
