CC BY
36
УДК 336.6 (075.8)
п.н. Брусов
профессор кафедры «Прикладная математика» Финансового университета
т.в. Филатова
профессор кафедры «Финансовый менеджмент» Финансового университета
общая теория стоимости и структуры капитала КОМПАНИЙ: выход за рамки теории модильяни-миллера
Окончание. Начало в предыдущем номере
5. Теорема Брусова-Филатовой (случай отсутствия корпоративных налогов)
Теория Модильяни-Миллера в случае отсутствия корпоративных налогов даёт следующие результаты для зависимости ЖАСС и стоимости собственного капитала ке от левериджа:
1) у0 = уь; С^к0 = СГ/ЖАСС , откуда ЖАСС = к0. (18)
2) ЖАСС = we ■ ке + wd ■ кё ; откуда
к - 1 к
ЖАСС - wd ■ к. ко 1 + тк* , ч , ч
К =-— =-Т^" = ко + Ь(к0 -ка). (19)
w 1
е _
1 + ь
Для компаний с произвольным временем жизни теорема Модильяни-Миллера [3, 4] о равенстве стоимостей финансово-независимой и левериджной компаний (У0 = Уь) приобретает следующий вид [1, 2]:
V = V •
' о ' ь
[1 -(1 + ко Г ] [1 -(1 + ЖАССГ ]
С¥-^ = С¥-^ . (20)
к0 ЖАСС
С помощью этого соотношения докажем важную теорему Брусова-Филатовой: при отсутствии корпоративных налогов стоимость собственного капитала компании ке, а также её средневзвешенная стоимость WACC не зависят от времени жизни компании и равны, соответственно:
ке = ко + ь(ко -кй) и ЖАСС = ко. (21)
Рассмотрим вначале одногодичную и двухгодичные компании.
1. Для одногодичной компании из (2о) имеем:
[1 -(1 + ко )-1 ] [1 -(1 + ЖАСС )-1 ] ко = ЖАСС
откуда
-+- = —(23)
1 + к0 1 + шлсс
следовательно
ЖЛСС = к0. (24)
Формула для стоимости собственного капитала ке = к0 + 1 (к0 - кл ) теперь получается подстановкой ЖЛСС = к0 в (19). ' 2. Для двухгодичной компании из (20) имеем
откуда
[1 -(1+к)-2] [1 -(1+шлсс)-2] к0 = шлсс
2 + к0 2 + жлсс
(25)
(1 + к0 )2 (1 + шлсс) 2 + к0
Обозначив а =--, получим следующее квадратное уравнение для Шлсс:
(1 + к0)
а • Жлсс2+(2а -1)- Шлсс + (а - 2) = 0 . (26)
Оно имеет два решения.
1 - 2а ±у/4а +1
Шлсс , =---. (27)
1,2 2а
2 + к0
Подставляя а =--, получим
(1+к)
(к2 - з)±(к0 + 3)(1+к)
шлсс,, = --^--. (28)
1,2 2 (2 + к0)
2к0 + 3
шлсс. = к0; шлсс, =--0-< 0. (29)
1 0 2 к0 + 2
Второй корень отрицательный, а средневзвешенная стоимость капитала может быть только положительной, поэтому остаётся только одно значение:
Шлсс; = к0.
3. Для компании с произвольным временем жизни п формула Брусова-Филатовой (20) даёт
[1 -(1 + к )-п] [1 -(1 + шлсс)п ]
^-1 = ^-1. (30)
к0 шлсс
При фиксированном к0 (30) является уравнением п - степени относительно Шлсс. Оно имеет п корней (в общем случае комплексных). Одним из корней, как показывает непосредственная подстановка, всегда является Шлсс = к0. Исследование остальных корней является сложным и не входит в нашу задачу.
Формула для стоимости собственного капитала ке = к0 + Ь (к0 - кл ) теперь получается подстановкой Шлсс = к0 в (19). 8
Таким образом, мы доказали теорему Брусова-Филатовой.
6. Случай наличия корпоративных налогов
При наличии корпоративных налогов теория Модильяни-Миллера даёт следующие результаты для зависимости Шлсс и стоимости собственного капитала ке от левериджа:
1) шлсс '
V = V + В; В = ; (31)
СГ/ЖАСС = СГ/ко + Ш = СГ/ко + wdt СГ/ЖАСС ; (32)
1 - w.X 1
* - • (33)
ЖАСС ко
I Ь Л
ЖАСС = ко (1 - w/) = ко 1 - — X . (34)
V 1 + Ь )
Таким образом, WA.CC убывает с левериджем от ко (при отсутствии заёмного финансирования (Ь=о)) до ко (1 - X) (при Ь = ~).
2) Стоимость собственного капитала ке
ЖАСС = ко (1 - w/)= wе • ке + Wd • к* (1 -X);
откуда
ЖАСС - wй • ка-(1 - X) ко (1 - ^О- Т+Г^ (1 - 0 _
ке = -* ) = -Ш- = ко + Ь (ко - ка )(1 - X). (35)
w 1
е -
1 + Ь
Рассмотрим, как изменятся средневзвешенная стоимость капитала ЖАСС и стоимость собственного капитала ке при учёте конечного времени жизни компании. Одногодичная компания. Из (2о) имеем
[1 -(1 + ЖАСС)-"] [1 -(1 + ко У ]
(36)
ЖАСС "ко [1 - wdX (1 -(1 + к* )-" )]'
Для одногодичной компании получаем
[1 -(1+ЖАсс )-1 ] [1 -С1+ко )-1 ]
ЖАСС - ко [1 - wdX (1 -(1 + к* )-1)] .
Отсюда получаем известную формулу Майерса (9), являющуюся частным случаем формулы Брусо-ва-Филатовой (2о)
1 + к
ЖАСС = ко--к м X.
о 1 + к„ * "
а
Отсюда
I (1 + к )• к. ь Л
(38)
ЖАСС = ко
, (1 + ко )• к* Ь
1 -7-\---X
(1 + к* )• ко 1 + Ь ^
Таким образом, WACC убывает с левериджем от ко (при отсутствии заёмного финансирования
\ (1 + ко )• К X'
(Ь=о)) до ко
(при Ь = ^).
о/ й
(1 + к* )• ко ,
Приравнивая правую часть к общему выражению для ЖАСС
ЖАСС = We • ке + wй • ка (1 - X), (39)
получим
1 + К / ч
ко --—- kdWdX = W е ■ ке + Wй ■ к* (1 - X) . (4о)
1 + К
шлсс
1 (1 + К )• к, . (1+к,)-к
к (1 - о 0
(=0 (апу п)
= п=1
п=<х
Рис. 4. Зависимость МЛСС от левериджа при отсутствии корпоративных налогов (горизонтальная прямая (?=0)), а также при наличии корпоративных налогов (для одногодичной (п=1) и перпетуитетной компаний (п = ^)). Кривые для ШЛСС компаний с промежуточным временем жизни (1 < п < ^ ) лежат внутри заштрихованной области.
(=0 (апу п)
0
Рис. 5. Зависимость стоимости собственного капитала ке от левериджа при отсутствии корпоративных налогов (горизонтальная прямая (¿=0)), а также при наличии корпоративных налогов (для одногодичной (п=1) и перпетуитетной компаний (п = ^)). Зависимости для стоимости собственного капитала ке компаний с промежуточным временем жизни (1 < п < ^ ) лежат внутри заштрихованной области.
Отсюда
к = —
е
к -1+К
к а™ а* - ка™ а (1 - ()
0^,1 '"а а а а
1 + ка
к
= (1 + 1)к -1"ТТ" [(1 + К ) + (1 + ка )(1 - ()]= к0 +1 (к0 - ка )
1+к
1+к
</ /
ке = к0 +1 (к0 - ка )
1 — 1 + к
а /
(41)
Таким образом, видим, что в случае одногодичной компании перпетуитетный предел ке = к0 +1 (к0 -кл)(1 -() заменяется на (41). Отличие связано с различной величиной налогового щита для одногодичной компании и перпетуитетной.
Исследуем вопрос о величине налогового щита для компаний с различным временем жизни более подробно.
7. Налоговый щит
Общее выражение для налогового щита имеет вид (Брусов-Филатова)
к В Т$ = £ а
каВ( [1 -(1 + к, )- ] ]
[ В(|_1 -(1 + ка)] .
« (1 + ка) (1 + к,)(1 -(1 + к,)-1)
к
0
к
к
к
0
к
,1
1) В перпетуитетном пределе (п ^ налоговый щит равен Т^ = В(, что ведёт к так называемому эффекту налогового щита, связанного с появлением множителя (1 - () в стоимости собственного капитала ке = к0 +1 (к0 - ка )(1 -1) .
2) Для одногодичной компании величина налогового щита равна
= В( (1 -(1 + кл)-1 )= 0^/(1 + кл). (43)
( К Л
Это приводит к появлению множителя I 1--( в стоимости собственного капитала (41)
К = К0 + L (К0 - kd )
/ , Л V 1 + kd
К,
1 —d— t
V 1 + kd у
3) Налоговый щит для двухгодичной компании равен
Т»2 = В( (1 -(1 + ка)-2 )= Вка (2 + кл)/(1 + кл)2 , (44)
и если бы аналогия с одногодичной компанией сохранялась, то множитель (1 - () в теории Модильяни-Миллера заменялся бы на множитель
( / \ Л 1 _ kd (2 + kd ) t
(1+к )2
(45)
Однако, в силу нелинейной связи Шлсс и К0 и ка в формуле Брусова-Филатовой (15) для двухгодичной компании (и компании с более длительным сроком жизни) такой простой аналогии уже не наблюдается, и вычисления становятся более сложными.
8. Заключение
В настоящей работе теория стоимости капитала перпетуитетных (существующих бесконечно долго) компаний нобелевских лауреатов Модильяни и Миллера обобщена на случай компаний с произвольным сроком существования. Авторы показали, что учёт конечного срока существования компании при наличии корпоративных налогов приводит к изменению как стоимости собственного капитала компании ке, так и её средневзвешенной стоимости Шлсс, по сравнению с их значениями для перпетуитетных компаний. Приведено строгое доказательство теоремы Брусова-Филатовой о том, что при отсутствии корпоративных налогов стоимость собственного капитала компании ке, а также её средневзвешенная стоимость Шлсс не зависят от времени жизни компании.
литература
1. Финансовый менеджмет: Учебное пособие / ПН.Брусов, Т.В.Филатова. - M.: КНОРУС, 2011, том I—III.
2. Филатова Т.В, Орехова Н.П, Брусова А.П. Средневзвешенная стоимость капитала в теории Модильяни—Миллера, модифицированной для конечного времени жизни компании // Вестник ФА №4, 2008. — С.74—77.
3. Modigliani F,MillerM. American Economic Review, v.48. Р.261—297 (1958).
4. Modigliani F, Miller M. American Economic Review, v.53. Р.147—175 (1963).
5. Myers S. "Capital Structure" Journal of Economic Perspectives, 2001, Vol. 15, №. 2, pp. 81 — 102.
6. БрусовП.Н., Филатова Т.В. Применение математических методов в финансовом менеджменте: Учебное пособие, части 3, 4. — М.: ФА, 2010.
7. Brusov Peter, Filatova Tatiana, Orehova Natalia, Brusova Nastia. Weighted average cost of capital in the theory of Modigliani—Miller, modified for a finite life—time company. Applied Financial Economics, 21 (№ 7), 2011 (UK).
8. Брусов ПН, Филатова Т.В. Финансы и кредит, № 3 (435), 2011.
9. Brusov Peter, Filatova Tatiana, Orehova Natalia, Brusov Pavel, Brusova Nastia. Research Journal of Economics, Business and ICT, v. 2, 2011 (UK).
