CC BY
80
УДК 336.6 (075.8)
п.н. Брусов
профессор кафедры «Прикладная математика» Финансового университета
т.в. филатова
профессор кафедры «Финансовый менеджмент» Финансового университета
общая теория стоимости и структуры капитала КОМПАНИЙ: выход за рамки теории модильяни-миллера
До сих пор основной теорией стоимости капитала компаний была теория нобелевских лауреатов Модильяни и Миллера. Одно из серьёзных ограничений теории Модильяни-Миллера связано с предположением о перпетуитетности (бесконечном времени жизни) компании. Мы снимаем это ограничение и показываем, что учёт конечного срока существования компании при наличии корпоративных налогов приводит к изменению как стоимости собственного капитала компании ке , так и её средневзвешенной стоимости, ШЛСС. Приведено строгое доказательство теоремы Брусова-Филатовой о том, что при отсутствии корпоративных налогов стоимость собственного капитала компании ке, а также её средневзвешенная стоимость WA.CC не зависят от времени жизни компании.
1. Компании с произвольным временем жизни
Проблема средневзвешенной стоимости капитала для компании с конечным временем жизни была впервые решена нами в [1, 2, 6-9]. Следуя полученным результатам, рассмотрим ситуацию для конечного промежутка времени. Найдём величину налогового щита компании за п лет
(гг = к,ВТX (1 +к,)-' = бт [1 -(1+к„ У ]. (1)
г=1
(Мы использовали формулу для суммы п членов геометрической прогрессии).
Далее используем теорему Модильяни-Миллера [3, 4]:
Стоимость финансово зависимой компании равняется стоимости компании той же группы риска, не использующей леверидж, увеличенной на величину налогового щита, возникающего за счёт финансового левериджа и равного произведению ставки корпоративного налога на прибыль Т на величину заёмных средств Б.
V = г0 + ВТ . (2)
Эта теорема сформулирована Модильяни и Миллером для перпетуитетных компаний, но мы применим её с учётом методики Брусова-Филатовой для компании с конечным временем жизни:
V = V + (РГ )га = Го + ВТ [1 - (1 + к, )- п ]; (3)
V = Го + (РГ)и = Го + ВТ[1 -(1 + к,)-п] = Го + ^уТ[1 -(1 + к,)-п] ; (4)
V (1 - Т [1 -(1 + кл )-п ])= Го. (5)
вопросы ТЕОРИИ
Общепринятым является применение следующих двух формул для стоимостей финансово независимой и финансово зависимой компаний [1, 2]:
V = CF/k0 и V = CF / WACC . (6)
Однако эти, практически всегда используемые формулы, получены для перпетуитетной компании и, в случае компании с конечным временем жизни должны быть модифицированы таким же образом, как и величина налогового щита [1, 2]:
V0 = CF[1 -(1 + ^)-п]/ка ; V = CF[1 -(1 + WACC)-п]^АСС . (7)
Из формулы (5) получаем уравнение Брусова-Филатовой для ШАСС [1, 2]:
[1 -(1 + WACC)- п ] [1 -(1 + ко)- п ]
ШСС к, [1 -ш,Т (1 -(1 + к,)п)]' (8)
Здесь и далее:
В - величина заёмного капитала компании;
£ - величина собственного (акционерного) капитала компании;
, В
к л, wd = ^ - стоимость и удельный вес заёмного капитала компании;
£
к , w = - стоимость и удельный вес собственного капитала компании;
е е В + £
Ь = В / £ - финансовый леверидж (финансовый рычаг).
При п=1 получаем формулу Майерса для одногодичного проекта [5]:
(1 + ко )к,
ША^ = ^ ^ wdT . (9)
1 + к,
При п=2 имеем:
[1 -(1 + WACC )-2 ] [1 -(1 + ко )-2 ]
к„|1 -ш Т (1 -(1 + к,
Это уравнение ещё можно решить относительно WACC.
2 + WACC 2 + ко
I* V о/ I
. (1о)
[1 -ш,Т(1 -(1+к,) )]
(1 + WACC )2
(1 + ко)2
где
2 + ко
а =----------- о
(1 + ко)
2к, + к,
1 -ш, Ттт^2-
(11)
(1 + к, )
2 + WACC = а(1 + WACC)2, (12)
(13)
1 - 2а ±у/4а +1
WACC = . (14)
2а
При п=3 и п=4 уравнение для WACC становится довольно громоздким, но его всё ещё можно в принципе решить аналитически, а при п>4 оно и в принципе решается только численно.
Сделаем важное методическое замечание [2]: при учёте конечного времени жизни компании все формулы без исключения должны быть получены с учётом этого факта, т.е. необходимо использовать формулы (7) вместо их перпетуитетных пределов (6).
2. Алгоритм нахождения WACC в случае компании с произвольным временем жизни
Рассмотрим подробнее результаты, полученные нами в [1, 2, 6-9].
Вернёмся к компании, срок жизни которой - п лет. В этом случае уравнение для WACC имеет сле-
дующий вид:
[1 -(1 + WACC )- п ]
^] - A(n) = о, (15)
WACC
где
[1 -(1 + ко) ]
A(n) = -Г-[-------/ , ]ч-п 4-1. (16)
ко [1 -ш ,Т (1 -(1 + к, ) )]
Алгоритм решения уравнения (15) будет следующим:
- подставляя в (16) значения параметров ко, ш,, Т , для данного срока жизни компании п вычисляем A(n);
- определяем два значения WACC, для которых левая часть уравнения (15) имеет противоположные знаки. Очевидно, что в качестве этих двух значений можно использовать WACCl и WACC^, поскольку WACCl > WACCn > WACC^ для конечных п > 2 ;
- используя, например, метод деления отрезка (интервала) пополам, можно численно решить уравнение (15).
3. Сравнение результатов Модильяни-Миллера (перпетуитетная компания), Майерса (одногодичная компания) и Брусова-Филатовой (компания с произвольным временем жизни)
Майерс [5] сравнил свои результаты для одногодичной компании (9) с результатами Модильяни-Миллера для перпетуитетной компании
WACC = ^ (1 - wdt). (17)
Он использовал следующие значения параметров:
ко = 8% + 24%; кл = 7%; Т = 5о%; wd = о% + 6о%
и оценил разность значений WACC, получаемых из формул (9) и (17). Мы провели аналогичные вычисления для двух-, трех-, пяти-годичной и десятилетней компаний для того же самого набора параметров, и получили следующие результаты, приведённые в таблице 1.
Отметим, что для стоимости собственного капитала ко = 8% существует небольшая неопределён-ность в полученных результатах: это связано с близостью стоимости собственного капитала ко к стоимости заёмных средств кл = 7%. Для всех других значений ко результаты очень наглядны, информативны и обсуждаются ниже.
Для графической иллюстрации полученных результатов мы используем данные для п = 1,2, ^ , которые достаточно полно отражают полученные нами результаты.
4. Обсуждение результатов
1. Из таблицы 1 и рисунка 1 видно, что WACC имеет максимальные значения для одногодичной компании и убывает с ростом времени жизни компании, достигая минимума в пределе Модильяни-Миллера (перпетуитетной компании). Зависимость WACC от доли заёмных средств wd оказывается практически линейной при всех значениях стоимости собственного капитала ко и всех продолжительностях жизни компании. Это естественно для одногодичной компании, описываемой формулой Майерса (9), и для перпетуитетной, описываемой формулой Модильяни-Миллера (17), которые являются линейными, но представляется несколько неожиданным для остальных случаев (2 < п < ^), когда уравнения являются явно нелинейными (см., например, уравнение (Ю) для двухгодичной компании).
Отрицательный угол наклона WACC растёт (по модулю) с ростом ко.
2. Как следует из таблицы 2 и рисунка 2, зависимость отношения г = Д1 /А2 от доли заёмных средств wd очень слабая, и сами отношения г = Д^А2 при фиксированных значениях стоимостей собственного капитала ко могут рассматриваться как постоянные.
Значения этих констант растут линейно с ростом стоимости собственного капитала ко: для двухгодичного проекта от 1,22 при ко = 1о% до 5,69 при ко = 24% (см. рис. 3).
Таблица 1
Зависимость WACC для компаний с различным временем жизни от доли заёмных средств wd при различной стоимости собственного капитала к0
ко п = 10% 20% 30% 40% 50% 60%
чО 00 1 1 к п=1 7,6 7,3 6,9 6,6 6,2 5,9
п=2 7,52 7,08 6,6 6,17 5,67 5,21
п=х 7,6 7,2 6,8 6,4 6,0 5,6
к0 = 10% п=1 9,7 9,3 8,9 8,6 8,2 7,8
п=2 9,51 9,05 8,59 8,13 7,64 7,16
п=х 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5 7,0
к0 = 12% п=1 11,6 11,3 10,9 10,5 10,2 9,8
п=2 11,51 11,02 10,54 10,07 9,6 9,09
п=3 11,46 10,93 10,39 9,85 9,31 8,77
п=5 11,42 10,83 10,25 9,66 9,06 8,46
п=10 11,3964 10,7863 10,1695 9,5455 8,914 8,2745
п=х 11,4 10,8 10,2 9,6 9,0 8,4
к0 = 16% п=1 15,62 15,2 14,9 14,5 14,1 13,7
п=2 15,52 14,99 14,5 13,98 13,47 12,96
п=3 15,44 14,88 14,31 13,75 13,18 12,61
п=5 15,38 14,76 14,14 13,51 12,88 12,24
п=10 15,34 14,67 13,99 13,31 12,62 11,92
п=х 15,2 14,4 13,6 12,8 12,0 11,2
к0 = 20% п=1 19,6 19,2 18,8 18,4 18,1 17,7
п=2 19,45 18,97 18,45 17,93 17,37 16,86
п=3 19,41 18,82 18,23 17,64 17,05 16,45
п=5 19,35 18,69 18,03 17,36 16,70 16,03
п=10 19,27 18,54 17,80 17,05 16,30 15,54
п=ж 19,0 18,0 17,0 16,0 15,0 14,0
к0 = 24% п=1 23,6 23,2 22,8 22,4 22,0 21,6
п=2 23,46 22,94 22,37 21,80 21,30 20,75
п=3 23,39 22,77 22,15 21,54 20,91 20,29
п=5 23,31 22,61 21,91 21,21 20,51 19,80
п=10 23,21 22,40 21,60 20,78 19,96 19,13
п=ю 22,8 21,6 20,4 19,2 18,0 16,8
Рис. 1. Зависимость ШЛОО для компаний с различным временем жизни, от доли заёмных средств wd, при различной стоимости собственного капитала ко.
Таблица 2
Зависимость разностей Д1 = ШЛСС1 - ШЛСС^ (первая строка), А2 = ШЛСС1 - ШЛСС2 (вторая строка) и их отношения г = Д^А2 (третья строка) от доли заёмных средств wd при различной стоимости собственного капитала ко
мс1 = 10% 20% 30% 40% 50% 60%
к0 = 10% 0,20 0,30 0,4 0,60 0,7 0,8
0,19 0,25 0,31 0,47 0,56 0,64
1,05 1,2 1,29 1,28 1,25 1,25
к0 = 12% 0,2 0,5 0,7 0,9 1,2 1,4
0,09 0,28 0,36 0,43 0,6 0,71
2,22 1,76 1,94 2,09 2 1,97
к0 = 16% 0,4 0,8 1,3 1,7 2,1 2,5
0,08 0,21 0,4 0,52 0,63 0,74
5,0 3,81 3,25 3,27 3,33 3,38
к0 = 20% 0,6 1,2 1,8 2,4 3,1 3,7
0,15 0,23 0,35 0,47 0,73 0,84
4,0 5,22 5,14 5,11 4,25 4,4
к0 = 24% 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8
0,14 0,26 0,43 0,6 0,7 0,85 00
5,7 6,15 5,58 5,33 5,71 5,65 00
Таблица 3
Зависимость средних значений отношений г =< А1/А2 > от стоимости собственного капитала к
ко 10% 12% 16% 20% 24%
г =< А^А2 > 1,22 2,00 3,67 4,69 5,69
г 7,00 6,00
5.00
4.00
3.00
2.00 1,00 0,00
10
20
30
40
50
60
Wн
Рис. 2. Средние (по значениям доли заёмных средств wd) значения отношений г =< А1/А2 >
для ко = 1о%;12%;16%;2о% и 24%.
Рис. 3. Зависимость средних значений отношений г =< А^А2 > от стоимости собственного капитала ко.
3. Относительная разность значений ШЛСС между одногодичной компанией и двухгодичной растёт с уменьшением стоимости собственного капитала ко. Это означает, что ошибка при использовании формулы Майерса для двухгодичной компании также растёт с уменьшением стоимости собственного капитала ко. При этом относительная разность значений ШЛСС между одногодичной компанией и пер-петуитетной растёт с ростом ко.
Окончание в следующем номере
