CC BY
45
Ф МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ
УДК 336.6 (075.8) П.Н. БРУСОВ
профессор кафедры «Прикладная математика» Финансового университета Т.В. ФИЛАТОВА
профессор кафедры «Финансовый менеджмент» Финансового университета
ВЛИЯНИЕ ЗАЁМНОГО ФИНАНСИРОВАНИЯ НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА В РАМКАХ ТЕОРИИ МОДИЛЬЯНИ-МИЛЛЕРА
Под структурой капитала в контексте инвестиций понимают соотношение между величиной заёмных и собственных финансовых средств, инвестируемых в проект, а поскольку, как правило, в проект инвестируются как собственные, так и заёмные средства, проблема влияния степени заёмного финансирования на эффективность инвестиционного проекта представляется крайне актуальной [1, 2]. Надежда определить оптимальную структуру капитала, при которой один или несколько параметров эффективности (NPV,, IRR и др.) оказываются максимальными, уже более полувека побуждает исследователей заниматься данной проблемой [1-4].
Существует альтернатива: включать или не включать потоки по кредиту в оценку проекта методом NPV. При этом рекомендация не учитывать потоки по кредиту справедлива при отсутствии взаимодействия инвестиционного и кредитного решений и имеет следующую аргументацию [5]:
1) получение кредита вследствие его независимости от проекта может рассматриваться как отдельное мероприятие;
2) денежные потоки должны дисконтироваться по норме, соответствующей их степени риска (т.е. мере неопределённости), кредитные денежные потоки поэтому дисконтируются по процентной ставке kd (кредиторы оценивают свой заём с учётом риска по стоимости и имеет место тот же денежный поток с обратным знаком, значит, с той же степенью неопределённости);
3) при отсутствии взаимодействия с проектом потоки по кредиту представляют собой заём, проценты и погашение долга. Их дисконтированная величина в NPV при дисконте kd равна нулю.
На реальном финансовом рынке кредит не может рассматриваться как отдельное мероприятие и NPV кредита не равна нулю, а, следовательно, при оценке эффективности проектов потоки по кредиту нужно учитывать. Существует несколько методов их учёта при оценке NPV, и все они связаны с выбором одной или нескольких эффективных ставок дисконтирования. С аналогичным выбором связано и вычисление IRR, которая может иметь несколько модификаций.
Методы нахождения NPV можно сгруппировать по двум направлениям [5].
1. Определение инвестором такого точного дисконта ke , учитывающего все эффекты заёмного финансирования, которое позволило бы ему не разделять потоки на финансовые и операционные, плюс инвестиционные. Тогда
1. Введение
2. Отделить финансовые потоки от операционных и инвестиционных и дисконтировать каждую составляющую по своей норме дисконта: операционные, инвестиционные потоки дисконтируются по ставке ке, а кредитные потоки - по ставке кл . Тогда решение принимается по величине
P
NPVL = + Х
F
(1 + к) (1 + kd)
(2)
Заметим, что при первом методе нахождения ЫРУ, по-видимому, разумно использовать в качестве нормы дисконта средневзвешенную стоимость капитала ШЛСС. Модильяни и Миллер создали теорию ШЛСС для перпетуитетных компаний [3, 4], для проектов же конечной продолжительности (каковыми являются все инвестиционные проекты) и для компаний с конечным временем жизни, авторы [1, 2] развили последовательную теорию средневзвешенной стоимости капитала.
В данной работе впервые получены реальные результаты в рамках теории Модильяни-Миллера [3, 4]. Для проектов конечной продолжительности [1, 2] проблема будет рассмотрена в нашей слудую-щей статье. Эффективность инвестиционного проекта рассмотрена с двух точек зрения: владельцев собственного и заёмного капитала и владельцев только собственного капитала. Для каждого из этих случаев ЫРУ вычислен двумя способами: с разделением кредитного и инвестиционного потоков (и, соответственно, дисконтированием платежей по двум различным ставкам), и без такого разделения (в этом случае оба потока дисконтируются по одной ставке, в качестве которой, очевидно, может быть выбрана средневзвешенная стоимость капитала ШЛСС). Для каждой из четырёх ситуаций рассмотрены два случая:
- постоянства величины собственного капитала S;
- постоянства величины общего инвестированного капитала I = Б + О (О - величина заёмных средств).
2. Исходные предположения
Итак, эффективность инвестиционного проекта рассматривается с двух точек зрения: владельцев собственного и заёмного капитала, и владельцев только собственного капитала. В первом случае проценты и долг, выплачиваемые владельцами собственного капитала (отрицательные потоки), возвращаются в проект, поскольку они в точности равны потокам (положительным), получаемым владельцами заёмного капитала. Единственный эффект от заёмного капитала в этом случае - эффект налогового
без разделения потоков
с разделением потоков
S = const
I = const
S = const
I = const
Схема 1. Схема рассмотрения проблемы влияния степени заёмного финансирования на эффективность инвестиционного проекта с точки зрения владельцев собственного и заёмного капитала
Владельцы собственного капитала
без разделения потоков
с разделением потоков
S = const
I = const
S = const
I = const
Схема 2. Схема рассмотрения проблемы влияния степени заёмного финансирования на эффективность инвестиционного проекта с точки зрения владельцев собственного капитала
i = О
щита, получаемого за счёт налоговых льгот: проценты по кредиту целиком (как на Западе, или в России до определённого предела), либо частично (как в России при превышении определённого предела), относятся на себестоимость и, тем самым, уменьшают налогооблагаемую базу. Посленалоговый поток капитала за каждый период в этом случае равен
NOI (1 -1)+kdDt, (3)
а инвестиции в момент времени T = 0 равны -I = -5" - D.
Здесь N01 - чистый операционный доход (до выплаты налогов).
Во втором случае инвестиции в начальный момент времени Т = 0 равны -5, а поток капитала за период (помимо налогового щита kdDt он включает в себя выплату процентов за кредит —клМ и погашение основного долга —а D) равен
(N01 — kdD)(l — t) —аD.
(4)
Здесь для простоты рассмотрения полагаем, что проценты за кредит, как и сам кредит, выплачиваются равными долями (kdD и аD соответственно) в течение всех периодов. Иные разнообразные схемы погашения долгосрочных кредитов [1] будут проанализированы нами в последующих статьях.
Мы будем рассматривать два различных способа дисконтирования.
1) Операционные и финансовые потоки не разделяются и оба дисконтируются по общей ставке (в качестве которой, очевидно, может быть выбрана средневзвешенная стоимость капитала ШЛСС). В первой части статьи для ШЛСС будет использована формула Модильяни-Миллера [3, 4] для перпету-итетных проектов, а во второй части статьи мы будем использовать формулу Брусова-Филатовой [1, 2] для проектов конечной продолжительности.
2) Операционные и финансовые потоки разделяются и дисконтируются по разным ставкам: операционные потоки по ставке, равной стоимости собственного капитала ke, зависящей от левериджа, а кредитные - по ставке, равной стоимости заёмного капитала kd, которая вплоть до относительно больших значений левериджа остаётся постоянной и начинает расти лишь при достаточно высоких значениях левериджа Ь, когда возникает опасность банкротства.
3. Эффективность проекта для владельцев собственного и заёмного капитала
3.1. Рассмотрение с разделением потоков
■Л N01 (1 — г) кМ
ИРУ = — I + ^-+ <г
(1 + К ) ,=1 (1 + к,)
= — I+
N01 (1—г)
1—
1
(1 + к )
+мг
1—
1
(1 + к, )'у
В перпетуитетном пределе (п ^ ^) (пределе Модильяни-Миллера) имеем
N01 (1 — г)
ШУ = — I +-^-¿ + мг.
к
(5)
(6)
3.1.1. Случай постоянства общей величины инвестиций (!=сотг) Учитывая М = К,/ (1 + Ь), получим
ШУ = — I
1—г
Ь
V
1 + Ь
+
N0I (1 — г)
к
(7)
Для стоимости собственного капитала ке, и средневзвешенной стоимости капитала ШЛСС в теории Модильяни-Миллера [3, 4] имеем, соответственно
К = ко +(к0 — кЛ )Ь (1 — г),
ШЛСС = к0(1 — м>/) = к0(1 — Ьг /(1 + Ь)).
(8) (9)
к
1=1
Подставляя (8) в (7), получим
' Ь Л
ЫРУ = -I
1 -х
1 + Ь
V Л0
N01 (1 - х)
+-7-Чг^-ч . (10)
ко +(ко - К )Ь (1 - х)
Отсюда для предельных случаев Ь = 0 и Ь = ^ имеем, соответственно
, ч N01 (1 - х) , ч . ч
ЖУ (0) = -I +-^-, ШУ (-)=-1 (1 -х) (11)
к0
/ ч / ч N01 (1 - х)
тру = ту (-) - ту (0) = 1х--^—}-.
к0
(12)
NPУ растёт либо убывает с левериджем в зависимости от соотношения между параметрами IX
N01 (1 - х) N01 (1 - х) N01 (1 - х) , . и-. При 1х >- тУ растёт с левериджем от -I +--до -1 (1 - х) (кривая I
к0 к0 к0
N0I (1 - х) N0I (1 - х) , . на рис. 1.). При В <- тУ убывает с левериджем от -1 +--до -1 (1 - х) (кривая II
к0 к0
на рис. 1.).
ЫР I
ЫРУ(0)
ЫР К2(<~) ------ II
Рис. 1. Зависимость NPV проекта от левериджа в случае постоянства величины инвестиций (!=сопэ^
ЫРУ
ЫРУ(0)
Рис. 2. Зависимость NPV проекта от левериджа в случае постоянства величины собственного капитала (Б=сопв1). Ь -максимальная величина левериджа, при которой проект всё ещё остаётся эффективным
Ь
0
Ь
3.1.2. Случай постоянства величины собственного капитала S=const Учитывая М = Ь5, I = 5 (1 + Ь), получим
ЖУ = — 5 — Ь5 +
N0I (1 — г)
--
(1+к )п,
+ Мг
(1 + К Ь
= —5
(
1 + Ь — гЬ
1—
V
(1+К )
п
<?/ У
+
N0I (1 — г)
1—
(1 + к )
п
.Ъ
(13)
В перпетуитетном пределе (п ^ ^) (пределе Модильяни-Миллера) имеем
ЖУ = — 5 (1 + Ь (1 — г))+
N0I (1 — г) к0 +(к0 — к, )Ьг '
(14)
Отсюда для предельных случаев Ь = 0 и Ь = ^ имеем, соответственно
, ч N0I (1 — г) , ч
ЖУ (0)=— 5 +-^-, ШУ (с~)=—^
(15)
ЖУ убывает с левериджем от — 5 + (1—— до (рис. 2), обращаясь в ноль при Ь = Ь0.
к0
Отметим, что в случае 5=сотг N0I уже не является константой и в общем случае пропорциональна величине инвестиций N0I = в I = в 5 (1 + Ь). В этом случае (14) заменяется на
ШУ = — 5 (1 + Ь (1 — г ))+в 5 (1 + Ь )(1 — г) ,
к0 +(к0 — ка )Ьг
(16)
а Ь0 находится из квадратного уравнения
5 (1 + Ь (1 — г ))=в 5 (1 + Ь)(1 — г).
к0 +(к0 — ка )Ьг
(17)
Убывание ЖУ с левериджем в этом случае связано с тем, что рост заимствований (отрицательный поток) не компенсируется ростом N0I (положительный поток), которая растёт лишь от
в 5 (1 — г) в 5 (1 — г)
к0 (к0 — ка У
3.2. Рассмотрение без разделения потоков
^ N0I(1 — г)+ км N0I(1 — г)+км ЖУ = — I + ^-—-}—а— = — I + 4 ' а
=1 (1 + ШЛСС )
ШЛСС
1—
(1 + ШЛСС )п
В перпетуитетном пределе (п ^ ^) (пределе Модильяни-Миллера) имеем
(18)
ЖУ = — I +
N0I (1 — г)+км
ШЛСС
(19)
л
1
1
к
е
1
1
к
0
1
3.2.1. Случай постоянства общей величины инвестиций (U=const)
/ л
NOI (1 -1)+к,Dt
NUH с-1 +-ь-L-d— с- и
WACC
кл-
L
1-
1+L
L
1 -1+L
+
NOI (1 -1 )
1-
L
\ •
1+L
(20)
Отсюда для предельных слLчаев L = 0 и L = — имеем, соответственно
, ч NOI(1 -1) , N к0 (1 -1)-tk, NOI
NUH (0) с -I +-ь-L , NUH (с^)с-и ^ / ч d +-.
ко k0 (1 -1 ) k0
ANUH с NUH (-)- NUH (0) =
Utk ,, NOI • t
+-> 0.
ко (1 -1 ) к
(21) (22)
NOU (1 -1 ) к0 (1 -1 ) - tkd NOU Это означает, что NUH растёт с левериджем от -U +--до -U------I--(кривая I
к0
на рис. 1.).
3.2.2. Случай постоянства величины собственного капитала (S=const)
k0 (1 -t ) k0
NUH с- U +
NOU (1 -1)+ kdDt
WACC
1-
1
(1 + WACC )n
= -S
1+L
kdLt
WACC
(1 + WACC )n
+
NOU (1 -1 )
WACC
1-
(1 + WACC )n
(23)
В перпетуигетном пределе ( n ^ — ) (пределе Модильяни-Миллера) имеем
NUH с - S
1 + L
kdLt WACC
+
NOU (1 -1 )
WACC '
(24)
NUH с - S
1+L-
kdLt
L
1+L
/ _
+
ßS (1 + L)(1 -1)
L
— -
1+L
(25)
Отсюда для предельных случаев L с 0 и L с — имеем, соответственно
ßS (1 -1 ) , ч Г—, - к0 (1 -1 )+ kdt + ß(1 -1)< 0, NUH (0) с - S +ß S 4, NUH ' °V / d HV / '
kü l- -k0 (1 -1)+kdt + ß(1 -1)> 0.
Если NUH убывает с левериджем, то он обращается в ноль при L с L0
(26)
L с к-ß(1 -1 ) 0 -k0 (1 -t)+kdt+ß(1 -t) .
(27)
Отметим, что L = L0 является максимальным значением левериджа, при котором проект остаётся эффективным (NUH>0).
k
k
0
0
г
1
1
k
k
t
0
0
4. Эффективность проекта для владельцев собственного капитала
4.1. Рассмотрение с разделением потоков
-Л N0I(1 — г) — км(1 — г) —аМ ЖУ = —5 + ^-+ а 4 ' =
« (1 + К )
= - S +
NOI (1 -1 )
--
(1+к ъ
(1+к )
D (к, (1 -1)+а)
(1 + К )";
(28)
В перпетуитетном пределе ( n ^^ ) (пределе Модильяни-Миллера) имеем
NPV = - S +
NOI(1 -1) _ D(к, (1 -1)+а)
(29)
4.1.1. Случай постоянства общей величины инвестиций (!=сотг) Учитывая М = К,/ (1 + Ь), 5 = I/ (1 + Ь), получим
NPV = --
1 + L
1 + L(kd (1 -1)+а)Ï + NOI (1 -1)
(30)
NPV = —
1 + L
1 + L(kd (1 -1)+а)Y NOI(1 -1)
ko +(ko -kd)L(1 -1)
(31)
Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = ^ имеем соответственно
, ч NOI (1 - , ч 1а NPV(0) = -I +-^-, NPV(~)=-I (1 -t)- —
ko kd
, v , v Iа NOI (1 -t) ANPV = NPV (~) - NPV (0) = It----^-}-.
(32)
(33)
Как показывают оценки, NPV убывает с левериджем (кривая II на рис. 1).
4.1.2. Случай постоянства величины собственного капитала (S=const)
Учитывая D = LS, получим в перпетуитетном пределе ( n ^^ ) (пределе Модильяни-Миллера)
NPV = - S
1+
L (kd (1 -t)+а)
+ NΠ(1 -1 ) =- S
/ j \
, ч Lа 1 + L (1 -1 )+-
kd j
+ ßS (1 + L)(1 -1) (34) k0 +(k0 - К )L(1 -1 )
ß S (1 -1 )
Отсюда для предельных случаев L = 0 и L = ^ имеем, соответственно NPV (0) = - S +
k0
NPV (<»)=-«.
S ß(1 -1 )
Итак, NPV с ростом левериджа убывает от - S +--при отсутствии заёмного финансирования
k0
до при L = ^ (рис. 2), обращаясь в ноль при L = L0, находимом из квадратного уравнения
S
f г ^
у ч La
1 + L (1 -1 )+-
Sß(1 + L)(1 -1)
k0 +(k0 - kd )Lt '
(35)
i=1
л
1
1
k
k
d
e
k
k
d
k
k
d
e
k
d
d
0
k
k
d
4.2. Рассмотрение без разделения потоков
NUH с- S + ^
NOU (1 -1) - D (kd (1 -1)+a) (1 + WACC )
с- S +
NOU (1 -1) - D (kd (1 -1)+a)
WACC
1-
(1 + WACC )n
В перпетуитетном пределе ( n ^ — ) (пределе Модильяни-Миллера) имеем
NUH с- S +
NOU (1 -1) - D (kd (1 -1)+a)
WACC
4.2.1. Случай постоянства общей величины инвестиций (!=сотх) Учитывая О = К,/ (1 + Ь), Б = I/ (1 + Ь), получим
L
NUH с - U •
1 NOU(1 -1)-U — (kd (1 -1)+a)
1+L
+ L
WACC
с -U •
1+L
1+
L (kd (1 -1 )+a) k0 (1 - Lt/(1 + L ))_
+
NOU (1 -1 ) к (1 - Lt/(1 + L)) •
Отсюда для предельных случаев L с 0 и L с — имеем, соответственно
NUH (0)с- U +
NOU (1 -1 )
NUH (—)с- U
(kd(1 -1)+a)" к (1 -1 ) ,
+
NOU
ANUH с NUH (—) - NUH (0) с -U
((kd - к )(1 -1 )+a) k0 (1 -1 ) .
+
NOU • t
k
Как показывают оценки, NUH растёт с левериджем (кривая I на рис. 1). 4.2.2. Случай постоянства величины собственного капитала (S=const)
NUH с - S +
NOU (1 -1)- D (kd (1 -1)+ a)
WACC
Заменяя D с LS, получим
NUH с - S
1 + L(kd (1 -1)+a)
WACC
NOU (1 -1 )
+-^-с-S
WACC
1 + L(kd (1 -1)+a) k0 (1 - Lt/(1 + L))
+
ßS (1 + L)(1 -1) k (1 - Lt/(1 + L))
Отсюда для предельных случаев L с 0 и L с — имеем, соответственно
NUH (0)с- S +
S ß(1 -1 )
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
NUH (—)с
—, (kd-ß)(1 -1 )+a > 0 , (kd-ß)(1 -1 )+a < 0.
(44)
¡с!
1
1
k
0
k
0
k
0
oo
/ „у ч Sp(1 -1) Следовательно, при (kd -р)(1 -1)+а> 0NPV убывает с левериджем от -S +--до —
k
обращаясь в ноль при Ь = Ь0 , определяемом из уравнения
к0 (1 — Ьг/ (1 + Ь))+ Ь (ка (1 — г )+а)=в(1 + Ь)(1 — г). (45)
/ „V ч 5 в (1 — г)
При (ка — в)(1 — г)+ а > 0 ЫРУрастёт с левериджем от — 5 +--до ^ .
к0
5. Заключение
В работе впервые за почти 60-летнюю историю исследования проблемы влияния заёмного финансирования на эффективность инвестиционного проекта получены реальные результаты в рамках теории Модильяни-Миллера. Эффективность инвестиционного проекта рассмотрена с двух различных точек зрения: владельцев собственного и заёмного капитала и владельцев только собственного капитала. Показано, что в теории Модильяни-Миллера NPУ практически всегда убывает с левериджем (Ь=М/5) в случае постоянства величины собственного капитала 5. Для каждого из четырёх случаев (при 5=сотг) найдено максимальное значение левериджа, при котором проект остаётся эффективным ^РУ>0).
В случае постоянства величины общего инвестированного капитала (1=сот() возможен как рост NPУ с левериджем (причём, как неограниченный, так и в режиме насыщения, т.е. NPУ асимптотически достигает максимального значения при бесконечном леверидже), так и его убывание, в некоторых случаях это зависит от соотношения между параметрами проекта (N0I, к0, кл, г,а, в). Сформулированы условия возрастания NPУ с левериджем. Все полученные зависимости NPУ(Ь) являются монотонными, что означает отсутствие оптимального левериджа в теории Модильяни-Миллера.
Окончание в следующем номере
литература
1. Финансовый менеджмет: Учебное пособие / П.Н.Брусов, Т.В.Филатова. — M. : Кнорус, 2010, том I—III.
2. Филатова Т.В., ОреховаН.П,Брусова А.П. Средневзвешенная стоимость капитала в теории Модильяни—Миллера, модифицированной для конечного времени жизни компании // Вестник Финансовой академии № 4, 2008. — С. 74—77.
3. Modigliani F,MillerM. American Economic Review, v.48. Р. 261—297 (1958).
4. Modigliani F.,MillerM. American Economic Review, v.53. Р. 147—175 (1963).
5. Кузнецова О.А., Лившиц В.Н. Структура капитала. Анализ методов ее учета при оценке инвестиционных проектов. // Экономика и математические методы. Т.31, вып. 4, 1995. — С. 12—31.
