CC BY
12Влияние взаимодействия каналов распада на К-ЬЬ оже спектр в №.
В. Ф. Демехин, Н. В. Демехина, И. Д. Петров (znanie@jeo.ru) Ростовский Государственный Университет Путей Сообщения.
В работе показано, что учет взаимодействия каналов безрадиационного распада ^ вакансии в № приводит к существенному (до 26%) перераспределению относительной интенсивности линий оже электронов, соответствующих различным каналам распада. Полная вероятность распада практически не изменяется.
Введение.
В литературе известен ряд работ, например, [1, 2], учитывающих корреляции при расчетах ширин внутренних вакансий многих атомов по теории возмущений. В частности, в [3] учтено влияние более 20 типов корреляций на ширину ^ вакансии в №. Целью настоящей работы является исследование влияния взаимодействия каналов распада 1 s вакансии в № на парциальные ширины и иллюстрация методики учета этих корреляций и определения парциальных ширин распада при описании сплошного спектра оже электрона дискретным спектром собственных дифференциалов [4] и с помощью К- матрицы.
Вакансия в оболочке № в конфигурации |К-1ир> = ^^р^Р^^р^, возникающая после поглощения фотона и ионизации одного ^ электрона в состояние ир, распадается за счет корреляций типа 2/12/2 - 1sEl3 остовных 2s и 2р электронов. В результате таких безрадиационных переходов (оже распад вакансии) образуется пять типов (каналов) конечных
-2
конфигураций р> = |КР Е1Р>, перечисленных в табл.1. Слабый канал радиационного (2р-^) распада (он дает вклад меньше 1% в полную ширину ^ вакансии) а также распады, обусловленные упругим (ир-1Б) и неупругим (ир-даБ, ир-^) рассеянием поглощенного фотона в дальнейшем не учитываем. Кроме этого, не учитываем взаимодействие состояний спектра
-1 2 1 1 6 2 2 5 1
|К- ир> с состояниями спектров |1s 2s тр( Р)2р > и |1s 2s 2р Р)>, что является само-
стоятельной задачей. Во всех нижеследующих рассуждениях считаем, что радиальные части функций фотоэлектрона (ФЭ) при распаде вакансии не перестраиваются, поэтому при анализе процесса распада 1 s вакансии функции ФЭ не записываем.
Конфигурация р> Энергия остова, Яу Ер0(ОЭ), Яу
|К-1> = |^^22р6> -193.268 -
|1> = ^^^р6 Е$1> -244.675 51.408
|2> = |1822812р5(1Р) Ер> -247.659 54.392
|3> = |1822812р5(3Р) Ер>
|4> = |1822Б22р4(18) Еэ4> -250.251 56.983
|5> = ^^^р^Б) Ed>
Табл. 1. Энергии конфигураций |К-1> и |КР2> и оже электронов на базисе |К-1>.
Конфигурацию |К 1> = |^^22р6> опишем в приближении Хартри-Фока (ХФ), и ради-
-2
альные части функций остовных электронов используем для описания пяти остовов |КР >,
возникающих после распада ^ вакансии. Полные энергии конфигураций |КР > и резонансные (Ер0) энергии оже- электронов (ОЭ) из равенства W(K-1) = W(Kp2) + Ер0 приведены в табл.1, W - полная энергия конфигурации, указанной в скобках. Энергии конфигураций
2 1 5 2 2 4
|1s 2s 2р > и |1s 2s 2р > рассчитаны с указанными функциями для среднего взаимодействия в конфигурациях 2s12p5 и 2р4, соответственно.
Радиальные части функций ОЭ с энергиями Ер получим при решении одноэлектронного
Л ... л
уравнения Нр \Ер> = Ер Ер>, где Нр - оператор ХФ для ОЭ в среднем поле остова |Кр >.
Так как одной из целей работы является выяснение возможности анализа рассматриваемых задач методом численного решения векового уравнения (ВУ) при замене сплошного спектра ОЭ дискретным спектром собственных дифференциалов (СД), то сплошной спектр ОЭ заменим дискретным спектром |Ер > с энергиями Ер = Ер0 + .ЬЕ, где . = 0, ±1, ±2, ±3... и
величина ЬЕ одинаковая для всех каналов распада [4]. Состояние | Ер > представляет
интервал энергии (Ер, ЬЕ) сплошного спектра и является СД первого приближения. В соответствии с обозначениями, введенными в работе [4], собственными дифференциалами нулевого приближения в данном случае являются состояния | Ер (в), ЬЕ0>, получающиеся при
л ~. ~. 2 решении уравнения (Нр + У(г))| Ер > = Ер Ер >, где У (г) = вг при в—0. Собственными
дифференциалами первого приближения будут состояния |Ер, ЬЕ> = К-12 X | Ер (в) >, где
геЬЕ
ЬЕ = КЬЕ0, и N в—^0 при фиксированной величине ЬЕ.
Процедура получения всех функций Ер (г) обеспечивает условие ортогональности
л
< Ер | Ер > = Ь. и условие диагональности < Ер |Нр | Ер > = ЕрЬ.,. При этом предполагается, что конечным состоянием является определенный остов |Кр2> и ОЭ с определенной энергией Ер.
2 2 4 1 2 6 1
При таком подходе не учитывается смешивание остовов |1s 2s 2p ( Б)> и |1s 2p ( Б)>. Таблица 2. Матричные элементы для пяти каналов оже- распада 18 вакансии в № в атомной системе единиц.
Ур <p|H|K- 1> Формула Значение Ур°
У1 1> - КО^ЗЛЗЕБО - 0.0124
У2 1> 4з / 2 R0(2s2p,1sEp) + R1(2s2p,Ep1s) / 4б 0.0174
Уз 1> —79 / 2 R0(2s2p,1sEp) + R1(2s2p,Ep1s)/^2 - 0.0126
У4 1> ^да^^;,)/ 43 - 0.0086
У5 1> - л/2/3 R1(2p2p,1sEd) -0.0294
В табл.2 приведены выражения для Ур из матричных элементов
<Кр2 Ёр | н |к-1> = ур л/ЬЕ. Значения Ур рассчитаны с функциями ОЭ, нормированными в
шкале энергий, для Ер0. На рис. 1а приведены зависимости Ур от разности Ыр = W(K-2E.) - W(K-1).
V
р
0.00
-0.02 -0.04 -0.06
У2- --
---------- (а)
г | | |
-50
-50
50
100 Де] Яу50
Р' 7
(V)2
Е = +0.098 эВ
50
100 Де1 Яу150
р' 7
Рис. 1 .
а) Зависимость матричных элементов
л
Vp = <КР2Ер| Н |К-1> для пяти каналов, указанных в табл. 1 от энергии ОЭ.
л
б) Зависимость матричного элемента <<Р 1| Н |К-1> от энергии ОЭ.
Из пяти континуумов р> образуем пять модифицированных континуумов [5]
|Р1> = А Е УРКр2Ер > и |Рк> = ЕС^Р|Кр-2Ер >, где А'Е(V/)2 = 1,
(1)
при условии <рр 1|хРк7> = 51к. В таком случае состояние |К 1> возмущает только спектр |Р 1>, и
<Р 1|Н |К-1> = А Е (VР)2 = + Е (УР )2 л/5Е= ул/8Е.
(2)
Зависимость Vj от энергии ОЭ показана на рис. 1б.
<р|Н Ч> Формула Значение и00 РЧ Таблица 3.
и12 <1|Н|2> -^3/2 Я0(28Ер,Е812р) + л/2 / 3 Я1(28Ер,2рЕ81) .0219 Матричные элемен-
И13 <1|Н|3> 3/ л/2 Я0(28Ер,Е812р) .0054 ты Ирч = <р| Й Ч>
И23 <3|Н|2> --¡3 /2(3Я0(2рЕр,Ер2р) - Я1(28Ер,Ер28)/3) -.0069 взаимодействия
И24 <2|Н|4> -л/2 /3 •Я1 (25ЕБ2,2рЕр) + 1/(3 ^2)Я1(28Е82,Ер2р) -.0210 между каналами
И25 <2|Н|5> 2/3^(28Е42рЕр) - 1/3Я1(28Е4Ер2р) -.0026 распада в атомной
И34 <3|Н|4> 1 /46 Я1(28Е82,Ер2р) .0010 системе единиц.
И35 <3|Н|5> -1 / 43 Rl(2sEd,Ep2p) -.0013
И45 <4|Н|5> л/2 (2/5 • R2(2pEs2,2pEd) - Rl(2pEs2,Ed2p)/3) -.0064
Между состояниями разных каналов распада есть взаимодействие. В табл.3 приведены
выражения для матричных элементов этих взаимодействий и их значения для ер1 и £°, Н -гамильтониан полной энергии.
Взаимодействие из табл. 3 делает спектр > недиагональным и, кроме этого, состояния спектра |Р1> в (1) взаимодействуют с оставшимися в тени четырьмя спектрами |Рк>-
0
Первое приближение.
На первом этапе примем взаимодействие из табл. 3 равным нулю и учтем возмущение спектра |Р 1> состоянием |К-1>. Для этого диагонализируем матрицу ВУ на базисе состояния |К-1> и невзаимодействующих между собой состояний спектра |Р 1>. При составлении ВУ с обоих сторон от '(К-1) взято по 24 уровня спектра |Р 1> с 8Е = у/4, где у = пУ2 и
W(XF 1) = W(K-1) + .ЬЕ, где. = ±1/2, ±3/2, ±5/2 .±47/2. Остальные состояния спектра |ХР 1> с энергиями от 50 Ry ниже и до 150 Ry выше резонанса описаны СД с увеличивающимися ЬЕ7 по мере удаления от резонанса (Де. = W(XP 1) - W(K-1)). В результате решения ВУ получаем функции возмущенных состояний спектра |¥1> в виде:
| Ф 1> = а ^^ + Хв/Р? 17>. (3)
.
На рис. 2 показана зависимость а ¿2 от ДЕ = W( Ф 1) - W(K-1) (линия 1), из которой видно, что распределение аг2 по энергиям представляет контур, близкий к дисперсионному, но пик распределения смещен относительно Де. = 0 в сторону больших энергий на величину Дп = 0.093 эВ.
Здесь следует отметить, что рассчитанное
а.
i
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00
V28EJ
значение X—;-
J Ае7
= 0.098 эВ. Следовательно,
результат, полученный в [6], что сдвиг (Дп) пика резонанса может быть найден как
Ап = Р J
V2( Е )dE
АЕ
в данном случае выполняет-
-0.02
-0.01
0.00 0.01 А< ат.ед. Рис. 2. Контуры линии в оже спектре в зависимости от способа расчета. За ноль энергии принята энергия конфигурации |K-1>.
ся с хорошей точностью.
Для сравнения на этом же рисунке приве-
~ 2
дено распределение а. в случае решения ВУ с У7 = У0 и ограничения состояний в спектре 1> энергиями Де' = ± 50 Ry (линия 2). В этом случае распределение а¿2 имеет ту же форму (ту же ширину), что и в предыдущем случае, но его пик совпадает с Де. = 0. Это распределе-
~2 У2
ние сравнено на рис. 2 с дисперсионным распределением а. = —~-2 (линия 3), которое
ДЕ 2 + у2
~ 2
имеет чуть меньшую ширину и большее значение в пике. Для того, чтобы распределение а, , полученное решением ВУ, совпало с аналитическим, необходимо при решении ВУ спектр вблизи резонансной энергии представить как можно большим числом уровней с постоянным шагом ЬЕ и величину ЬЕ сделать как можно меньше. При решении ВУ с переменным
~ 2
У7 (рис. 1б) и с учетом состояний с энергиями ±6у, распределение а, совпадает с линией 2. Во всех случаях распределение аг2 симметрично относительно энергии пика, т.е. переменность У' не дает асимметрии линии.
Проанализируем, как сдвиг пика оже линии сказывается на определении порога ионизации Ь2 оболочки, т.е. можно ли этот сдвиг интерпретировать как уточнение распадного состояния ^^ точно также, как уточнение энергии этого состояния, например, учетом перестройки электронов остова или учетом двухэлектронных корреляций электронов остова.
Для этого сначала уточним функцию и энергию состояния ^^ локальной составляющей за счет взаимодействия со спектром |ХР1> в первом порядке теории возмущений (ТВ). В результате получим уточненное состояние |K-1>:
|Kт-1> = + X X | K-2Ер >, где ДУр = Ур - Ур0.
р 7 ДЕ ]
(4)
Здесь и до конца раздела Де. = W(Kт1) - W(XP 1). Энергия этого состояния во втором порядке
ТВ равна Д^УХ
У ЬЕ7 Де ,
хр ДУ5'ЬЕ7
На рис. 3 приведена радиальная часть одноэлектронной функции кЕ5(г)= X-
' ДЕ.
УЬЕ.
ДЕ.
| Е5 >
| Е5 >
в канале 1s 2s 2p Еd (рис. 3б) в сравнении с радиальной частью функции X
У "V
(рис. 3а). Из рисунка видно, что радиальная часть функции кЕ5(г) имеет признаки локальности и ее вклад в норму функции (4) равен 2.1 х10-5. Это число показывает вклад от рассмотренного канала в z , где z - спектроскопический фактор [5].
По аналогии с (4) уточненные функции сплошного спектра будут иметь вид:
Уи ДУ7
т> = X ^р2 Е р > - гЧ
-0.04 0.000
-0.005-
-0.010
= 2.12 х 10~
р
Состояния |K-1> взаимодействуют со спектром |^т> во втором порядке ТВ с постоянным матричным элементом У0 = У. - ДУ. При таком подходе энергия промежуточного состояния определяется после уточнения остова ^^ всеми локальными функциями, в том числе и от спектра состояний 8 г, ат.ед. |^1>. Энергия ФЭ в промежуточном состоянии (4) определяется из равенства
W(K0 + юл) = W(K-1) + ЕлГ(ФЭ), а резонансная
-1 -2
энергия ОЭ - из равенства W(Kт ) = W(Kp ) + + Ер(ОЭ), т.е. одноэлектронная энергия ФЭ не изменяется при распаде уточненного промежуточного состояния.
Если же энергию ФЭ в промежуточном состоянии определять без учета сдвига энергии
состояния ^^ вызванного сплошным спектром 1>, то из равенства W(K0 + юл) =
-2 -1 = W(Kp ) + е(ОЭ) + еДФЭ) = W(K ) + еДФЭ) следует, что пик распределения интенсивности
Рис. 3. а) Радиальная часть функции
X
У ЬЕ7 ДЕ.
| е. > б) Радиальная часть функции
з —]
ОЭ из второго слагаемого в (4) в канале
в спектре ФЭ будет сдвинут на Дп = X
У®
ДЕ.
относительно энергии Ел промежуточного со-
стояния |К-1#р>. Но в обоих подходах ФЭ в конечном состоянии начнет появляться в сплошном спектре при одной и той же энергии фотона.
Это значит, что при энергиях фотона, достаточных для ионизации атома в промежуточное состояние с е^ > 0, энергии фотоэлектронов, соответствующие пику линии ФЭ, будут меньше величины е^ на величину Дп. При такой интерпретации сдвига пика линии в оже спектре кроме перестройки ФЭ, приводящей к существенному захвату медленного ФЭ из сплошного спектра промежуточного состояния в дискретные состояния конечного состояния (4), возможен еще один механизм захвата ФЭ в дискретные состояния из сплошного спектра промежуточного состояния, если Дп > 0. Если Дп < 0, то ФЭ из дискретного состояния (е^ < 0) в промежуточном состоянии переходит в сплошной спектр (е# > 0) в конечном состоянии. Представление функции промежуточного состояния в виде (4) назовем учетом статических корреляций.
Возможно, что уточнением промежуточного состояния локальной функцией за счет взаимодействия со спектром |Р1> не удастся полностью избавиться от сдвига пика в спектре ОЭ при распаде |К-1> в |Рт>, и тогда энергия пика в спектре ФЭ не будет точно совпадать с энергией ФЭ в состоянии |К-1#р>, получающейся из равенства '(К-1#р) = '(К0 + Юлт). Такой сдвиг пика распределения в спектре ФЭ назовем следствием динамической корреляции.
~ 2 -1 В дальнейших записях сдвиг пика распределения аг- относительно энергии '(К ) не
будем указывать, а величину этого сдвига учтем в энергии состояния |К-1>, т.е. предполагаем, что функция и энергия состояния |К-1> уточнены взаимодействием с состоянием
1 -2
|ф> = у ЕУр|Кр кЕР>, где радиальные части кЕР(г) получены аналогично кЕ5(г) и локализованы внутри атома (см., например, рис. 3 и пояснения к нему).
Второе приближение.
В этом разделе приближенно учтено взаимодействие между каналами распада и пояснен способ расчета вероятности распада в определенный оже- канал.
Для уточнения функции базисного состояния 0> = |КР2Е^р> с энергией ОЭ ер0, остальные четыре спектра | ~j > = |КЧ2 Е' > представим состояниями с энергиями еЧ = ед° + ,йЕ, где, = ±1/2, ±3/2, ±5/2... Энергия состояния 0> равна энергии состояния |К-1>. Решение ВУ на этом базисе даст возмущенную функцию состояния |р0 > в виде
И0' йЕ
| ~р > = Мр[|р0> + ЕЕИД?бЕ | Ч, >] = Мр[|~0> + Е пИрЧ |к~р0 >]; (5)
ч*р , Де, ч*р
U°7 8E ~
где Де, = W(K-1) - W(|qj>), Mp2[\ + X^UJJ )2] = j, nU^kq^ = E¿ (r) =
q* p j Де j
= ПUP°q|Kq2k^q0>, = 1, k^V) = kE$(r)JM , U^ =<Kp2Ep0| H |Kq2Eqj>. ФуНКЦИИ
без волны нормированы в шкале энергий. Индекс «р» у |kpp > означает, что радиальная часть получена при уточнении состояния | p 0>.
-2 ~ 0
Здесь следует обратить внимание, что сдвиг (AEp) энергии состояния |Kp Ep > за счет взаимодействия со спектрами |Kq2 E qj> равен
(U0j )2 ñE Mp = Х5ЕX (U Д = ñЕДp.
q * p j
При 8Е ^ 0 сдвиг ДЕp = 8ЕДP ^ 0, поэтому сдвиги энергий возмущенных состояний в (5) не учитываются.
Такой способ нахождения возмущенной функции состояния |Kp2 Ep> назовем вторым
порядком теории возмущений (ВПТВ), независимо от того, учтены или нет в ВУ матричные
-2 ■ А -2
элементы <Kq H |Kk E{>, с q *p, k *p. Форма и амплитуда осцилляций радиальной части функции nUpoq |kEq'> внутри атома не зависит от расположения энергий в спектрах | q1 > отно-
сительно энергии состояния |ф0>. Амплитуда же осцилляций на больших г меняется от пИРЧ (использованное расположение уровней) до , — пИРЧ /л/3 (если е/ = еЧ° + ,йЕ,
при, = 0, ±1, ±2, ±3 ...). Дополнительный анализ показал, что если интервал энергий 8Е описать N собственными дифференциалами |ф(КД)>, представляющими интервалы энергий 8Ек= йЕ/К, то получим возмущенные функции в виде:
И0, йе
|фР (NR)> = Ыр'Ьч1 (NR)> + ЕЕ^Д-^-1Ч' (NR)>].
ч*р , Де,
Здесь 8ЕN ^0, но йЕ = N8ЕN фиксировано. После образования СД первого приближе-
ния, представляющего интервал йЕ получим
| фР ^)> = Е | фР (NR)> = Мр[|рР0> + Е пИР0Ч |кфр0 >]. (5 а)
1ебЕ ч * р
2 00
В этой функции амплитуда осцилляций примесных функций при г ^ <» равна л —пИ не-
V пк
зависимо от взаимного расположения уровней |ф 1(КК)> и | ф'(КК-)>.
Итак, решением пяти ВУ описанным выше способом получим пять возмущенных функций спектров |ф1 > при энергии '(|К-1>):
| ~p > = Mp[| ~ 0> + X nU^ |k~p° >]. (6)
q* p
Будем считать, что функции возмущенных спектров в небольшом интервале энергий около '(К-1) сохраняют вид (6), т.е.
|фр> = Мр[|р0> + XлU00¡ |к~р0>]. (7)
я
Кроме того, будем считать, что эти состояния диагональны и ортонормированы:
<фр |H|фя> = W(фр)р' ЬрдЬу и <фр|фя> = ЬряЬ. (8)
Введем обозначение:
<фр ^ = Мр[Ур0 + XкУр ]л[ЬЕ = УрС^5Е, (9)
н lк > = м_1У: + > кУ9 '
я
тя л „ илтя __тт00
ря р
я
где Ур = Мр[Ур0 + XкУр ], а кУр ^5Е =п ирЯ <кф0 | H ^1>.
Из состояний спектров |ф 1р > с одинаковой полной энергией образуем модифицированные континуумы:
^ >=cX Урс|ф р >, с2 X (Урс)2=1, Ус2=X (Урс)2 , и > = X Срк|ф р >. (10)
р р р р
Эта операция полностью повторяет получение формулы (1 ), но теперь комбинируются уточненные функции (7). Состояния | ^ > не взаимодействуют ни с состоянием ^^ ни со спектром | >, и они никак не проявятся при распаде 1 s вакансии (при условиях
л
< 1 > = 0 и < | 1 > = 0, которые выполняются при равенствах (8)).
Матричный элемент < ХР101H ^ 4> = С X (Урс)УЬЕ = Ус^8Е, следовательно, полная ши-
р
рина распада 1s вакансии Гс = 2лX (Ур?)2. Таким образом, учет взаимодействия спектров мор
жет привести к изменению ширины распада ^ вакансии, которая до учета взаимодействия
была равна Г = 2яX У р.
р
Проанализируем структуру функции |^1г > в (10). Для этого подставим в (10) функции | ф р > из (7), перегруппируем слагаемые и примем, что радиальная часть кфЯ (г) при больших г не зависит от я, т.е. кр1 (г)> = |кр' (г)>. В результате получим
^ > = У X[VpCMp|pг> + ( X УдМдПир0я )|кр'>] (11)
Ус р я*р
При обозначениях
Вр = УрМр и Ар = X УяСМяП ир0я (12)
я
формула (11) принимает вид:
| ^ > = У X-! Ар + Вр ^ Е ;(Лр)>, (13)
Ус р
где | ЕрВ(Пр)> = ^Пр! Ер> + ^^кЕр^ tgЛр = Ар/Вр и < ЕЦ Е£> = 1.
Из (12) видим, что учет взаимодействия спектров и образование модифицированных континуумов приводят в каждом канале распада к разному сдвигу фазы у функции ОЭ, что и проявляется в структуре функции Ер"(пр).
2 2
Величину Ар + Вр мы интерпретируем как вероятность распада в канал р>.
Ар + Вр
Таким образом, величины -2— будут характеризовать в К-ЬЬ оже спектре относи-
тельные полные интенсивности линий, соответствующих конкретным каналам распада
Кр2 Е ;(лр)>.
Как видно из табл. 2, матричные элементы и0° и и°°0 существенно больше остальных.
По этой причине мы провели только для первого, второго и четвертого каналов распада ис-
2 2 2 2 2 следование зависимости У1 + У2 + У4 и парциальных вероятностей Ар + Вр от учета
взаимодействия между каналами распада.
и0'
и 21
0.02 0.01 0.00 -0 .0 1 -0 .02
] (а) У2 = .0174; кУ12 = .0012
И01 = .0219
/
и
24
0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02
и
0' ' р2
0.02 0.01 0.00
-0 .0 1 -0.02
0 50 : (б) 1 0 0 1 5 0 ^ 2 0 У2 = .0174; кУ42 = -.0002 И04 = -.0210
^ \
0 50 (в) 1 00 1 50 £4', 12у° У! = -.0124; кУ2' = .0017 , У4 = -.0086; кУ24 = -.0004
50
1 00
1 50
е2', 12у
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4
-Е2(Г)
-кЕ21 ( г)
г, ат.ед. кЕ24(г)
г, ат.ед.
Рис. 4. Зависимости Ир от энергии ОЭ. Все величины матричных элементов указаны в атомной системе единиц. Вертикальная линия на левых панелях показывает резонансные энергии ОЭ. Радиальные части Еч(г) и кЕЧ(г) нормированы в шкале энергий.
На рис. 4 (левая часть) показаны зависимости ИрЧ от энергии ОЭ. Вертикальная линия
рч
показывает резонансную энергию £ч0 ОЭ в возмущающем спектре. На правых частях панелей рис. 4 приведены для резонансных энергий ОЭ радиальные части функций Еч(г) и функций И j 2е
кЕч (г) = (пИр0ч )-1 X———Еч(г), т.е. обе функции нормированы в шкале энергий. Здесь ин-
j j
декс ч указывает, от какого канала анализируется примесь в канал р. При сравнении этих функций ясно видно, что при больших г, во-первых, если Еч(г) = Азт(кт+пч), то
р _ Ирч 8Е j
кЕч (г) = - АсоБ(кг+пч), во-вторых, амплитуда осцилляций — Еч(г) равна амплитуде
осцилляций функции п ИрЧ |кЕЧ>. При г < 6 ат.ед. амплитуда осцилляций кЕЧ(г) определяется
рч I ч
0'
0
зависимостью и^ от е^. Например (панель б), амплитуда осцилляций кЕ42(г) меньше, чем в
других случаях, так как зависимость и24 симметричней относительно и00. Амплитуды ос-2 1
цилляций кЕ1 (г) (панель а) и кЕ2 (г) (панель в) внутри атома большие, так как в этих случаях и°2 и и2! существенно несимметричны относительно
22
Значения всех матричных элементов, необходимых для расчетов величин Ар + Вр и (Ус) , приведены на рис. 4 и в табл. 2 и 3.
Таблица 4. Вероятности распада в оже- каналы в зависимости от приближения в атомной системе единиц. Все величины умножены на 104.
Первое приближение Второе п риближение Третье п] риближение К- матрица
1 2 3 4 5 6 7
Канал (Ур0)2 (У/)2 Ар+Вр (Урс)2 Ар+Вр Ар2+Вр2
|1> 1.545 1.138 1.149 (-26%) 1.134 1.141 (-26%) 1.149 (-26%)
|2> 3.019 3.372 3.342 (+11%) 3.368 3.340 (+11%) 3.347 (+11%)
|4> 0.734 0.804 0.815 (+11%) 0.807 0.819 (+12%) 0.816 (+11%)
X 5.297 5.314 5.305 5.309 5.300 5.312
02
Во втором столбце табл. 4 приведены значения (Ур) . В последней строке приведена
0 2 0 2 0 2
сумма (У°) + (У2) + (У4) , которая определяет вклад в полную ширину ^ вакансии от указанных каналов без учета взаимодействия между ними.
В третьем столбце табл. 4 приведены значения (Ур°)2, рассчитанные по формуле (9). Сравнение значения суммы в нижней сроке со столбцом 2 показывает что влияние учета взаимодействия каналов распада во ВПТВ на ширину составляет 0.3%. в то же время вероятность распада в возмущенные спектры существенно изменяется (на 26% в канал
22
В четвертом столбце табл. 4 приведены значения Ар + Вр , рассчитанные по формулам (12). Сравнение этих значений с данными второго столбца показывает изменение парциальных вероятностей распада в конкретный канал (в скобках указан знак и величина изменения
в %) за счет учета взаимодействия каналов. Отличия X (УР°)2 от Ар2 + Вр2 сравнимы с неточ-
р
ностью расчета.
Таким образом, учет взаимодействия каналов распада не приводит к изменению полной ширины (меньше 0.3%), но существенно перераспределяет вероятности распада между каналами.
Третье приближение.
По сравнению с предыдущим приближением, для нахождения функции возмущенного состояния |р 0> в ВУ включены дополнительно состояния |рг > с энергиями ОЭ ер1 = ер0 + + /8Е, где 1 = ±1, ±2, ±3. Решение ВУ дает функцию возмущенного состояния | рр > в виде
1~р> = Мр[|р0>+ Ср|кррр>+ Хпи^ |кфр0>]. (14)
ч* р
По сравнению с (6) появилось дополнительное слагаемое Ср|кфр>, учитывающее возмущение состояния |р0> за счет примесей состояний |фг >, т.е. Сркрр(г) = Хсг-р1 (г) при <кфр|крр> = 1.
Матричный элемент
л
<~р |Н |К > = Мр[Ур + кУр + XкУр]8Е = УрС8Е , (15)
ч* р
~ л -1 2
где кУр = Ср<крр\ Н |К >. Так как Ср << 1, то значение Мр и кУр в (15) практически не отличается от Мр и кУЧр в (6).
Новые значения (Ур°)2 из (15) приведены в столбце 5 табл. 4. При этом использованы следующие значения кУрр (в ат. с. ед.): кУ]1 = 3.2х10-5; кУ| = -1.4х10-5; кУ4 = -1.7х10-5. Так как величины кУр? много меньше Ур0 и кУр (см. рис. 4 и табл. 2), то и данные столбца 5 практически не отличаются от данных столбца 3.
Использованное расположение уровней спектра |р1 > относительно энергии состояния |ф° > обеспечивает правильные радиальные части функций лО^Ч |к фр° > как внутри атома (что
необходимо при расчете кУр), так и на асимптотике (г^«>). Радиальные части функций Ср|крр> внутри атома при этом также получаются точно, что обеспечивает правильные значения кУр. Амплитуды же осцилляций Ср|крр> на больших г в л/3 раз меньше, чем получающиеся при точном интегрировании Хс1|р1 >. В использованном способе расчета Ср|кр р> не учтен вклад от интервала энергий 8Е, окружающего энергию £р. В связи с этим при разделении каналов распада в функции конечного состояния вместо (1 4) использованы функции
|рр> = Мр[|ф°>+ л/3 Ср|крр>+ Хпир0ч |крр0>]. (16)
ч* р
Обоснование введения множителя 43 основано на тех же рассуждениях, что и обоснование формулы (5а). В таком случае вместо (13) имеем функцию
| > = У X [УрСМр|р > + (МрУрСл/3Ср + XУ<?МдПир0ч )крч>] = У X л/Ар + ВрКр2£рв(Пр)>
УС р ч*р Ус р
(17)
где Вр = УрМр , Ар = МрУрС Ср + X УЩл ирЧ , tgnP = Ар /Вр .
ч * р
22
В шестом столбце табл. 4 приведены новые значения величин Ар + Вр , и при сравнении со столбцом 4 видим небольшие изменения этих величин.
Учет взаимодействия оже- каналов методом К- матрицы
Согласно [7], волновая функция сплошного спектра, учитывающая взаимодействие нескольких каналов р, ч и удовлетворяющая граничному условию сходящихся сферических волн, имеет выражение:
У-Е = Ъ-р , (18)
ч
где
' + V рг Е,'Е-<Я'Е 1К(Е)|чЕ> ( )
¥чЕ = УчЕ + -V Р} ёЕ --' (9)
ЪРр = V ичТ Пг ^^^Пг )ирГ ^ИЗр) . (20)
г
Функции у дЕ, входящие в правую часть уравнения (19) - это волновые функции каналов в ХФ приближении, в которых функция оже- электрона нормирована в шкале энергий. Полная энергия Е связана с энергией оже- электрона в канале ч (еч) формулой Е = Ж(К-д2) + е,. (21)
Символ Р перед интегралом в (19) означает, что при интегрировании необходимо рассчитать главное значение в смысле Коши для обхода сингулярности в знаменателе. Интегрирование по энергии Е' в каждом канале ч' в (19) подразумевает суммирование по энергиям связанных состояний и интегрирование по энергиям сплошного спектра оже- электрона. К- матрица из (19) определяется при решении следующего интегрального уравнения [8]:
(ч'Е'|К(Е)|чЕ> = (ч'Е'|У|чЕ> + VР/Е ^^^ Е''){ч"5'|К(Е^> , (22)
д" Е р Е"
где У - оператор остаточного взаимодействия между каналами:
N+1
У = Н - VН0(Г), (23)
1=1
Н - полный гамильтониан системы:
N+1
( „2 7 2\
N+1 „2
Н = - — + 1 г*—,; (24)
2т г1 ^ "
1 >]=1| Г1 г]|
1=1
Ъ - заряд ядра, N - число электронов в остове, Н0 - модельный одноэлектронный гамильтониан (ХФ оператор), для которого рассчитаны атомные орбитали.
Алгебраический метод определения К- матрицы описан в Приложении. Унитарная матрица ичГ(Е) и собственные многоканальные фазовые сдвиги Пг, входящие в (20), определяются при диагонализации К- матрицы на «энергетической поверхности»:
| К( Е )| ч'Е >ичг = (- гс^г). (25)
ч'
8р в (20) - фазовый сдвиг, обусловленный отличием потенциала для оже- электрона от куло-новского (Ъ-^е/г.
После определения функций (1 8) парциальные амплитуды оже- переходов можно найти, рассчитав матричный элемент Ур = (^—Е |Н|К-1).
В данной работе при определении К- матрицы было использовано по три функции дискретного и 67 функций сплошного спектра в каждом из трех каналов, охватывающих энер-
К |2
гии оже-электронов от порога до 200 Яу. Результаты расчета | Ур | приведены в седьмом столбце табл.4.
При анализе данных таблицы 4 видно, что результаты расчета методом К- матрицы и результаты расчета второго и третьего приближений практически совпадают.
Выводы.
Учет взаимодействия каналов К-ЬЬ распада в № приводит к существенному перераспределению парциальных ширин отдельных каналов и практически не изменяет полную ширину ^ вакансии.
Приложение. Определение К-матрицы алгебраическим методом
Представим уравнение (22) в виде системы алгебраических уравнений путем замены интегрирования на суммирование по некоторому числу интервалов сплошного спектра, считая в пределах каждого интервала матричный элемент К- матрицы постоянным:
{ч'Ег |К(Ет)ЧЕт)=я'Ег УчЕт) + XX(gЕ ^(Ет)\ч"Е;){ч"Е]|К(Ет)^Ет). (П 1)
Ч" }
Е ; в (П 1) означает либо среднюю энергию в интервале сплошного спектра от Е; до Е;+1 канала ч'':
Е] = (Е + Е7+1)/2, (П 2)
либо энергию дискретного состояния в этом канале. В первом случае матричные элементы G- матрицы в (П 1) имеют выражение
(ч'Е1Ю( Ет )| ч" Е;) = Р^ йЕ Лч' Е1|У|ЕЕ 1
Е, Ет — Е
а во втором случае
(П 3)
{Ч'Ег\0( Ет ЖЕ;) = %Е;) (П 4)
Ет — Е ;
Перенеся второе слагаемое из правой части (П 1 ) в левую, получаем
XX{A — (д/Ei|G( Ет ЖЕ; )}Е;|К(Ет )| чЕ т ) = (дЕУдЕт). (П 5)
ч" ;
Введем С- матрицу:
(чЕС Ет )| ч"Е;) = — (чЕ^Ет^Е;), (П 6)
и выразим из (П 5) К- матрицу:
< ч"Е] |К( Ет )|ч Ет > = VV(q"EJ | Ср (Ет )| ч'Ег >{ч'Е1 |У| чЕт >, (П 7)
ч' 1
где С_1( Ет ) - матрица, обратная к С( Ет ).
После определения К- матрицы в виде (П 7) матричный элемент гамильтониана между функцией (1 9) и функцией начального состояния рассчитывается по формуле
<У ^ |Н|К-1> = <у чЕт |Н|К-1> + VIН^ (Ет Хч'Е-|К(Ет )| чЕт >, (П 8)
ч" J
где
_ ^+1 <у |Н|К-1 > Н ^ (Ет) = Р / ёЕ^^ ' 7 . (П 9)
Е. Ет — Е
В заключение поясним способ учета не учтенных состояний дискретного спектра, а также околопороговых состояний сплошного спектра в формулах (П 1), (П 5-П 8). Пусть Еп -энергия последнего состояния дискретного, а Еп+1 - энергия первого состояния сплошного спектров в канале ч. Введем в этом канале дополнительный интервал сплошного спектра, начинающийся с энергии Еп + (Еп - Еп-1)/2 и заканчивающийся энергией Еп+1. Матричные элементы оператора У (23), необходимые для описания этого интервала найдем методом линейной экстраполяции со стороны энергий сплошного спектра. Этот интервал представляет собой все дискретные состояния с энергиями между Еп и пороговой энергией и состояния сплошного спектра между пороговой энергией и Еп+1.
Литература.
1. G. Howat, T. Aberg, O. Goscinski. // J. Phys. B: Molec. Phys., Vol. 11, № 9, 1978.
2. H.P. Kelly. K Auger rates calculated for Ne+. // Phys. Rev. A, 1975, v. 11, № 2, p. 556-565.
3. Н.В. Демехина. Дипломная работа. Руководитель И.Д. Петров. 1994. Физфак РГУ, Ростов-на-Дону.
4. В.Ф. Демехин, Н.В. Демехина. "Перестройка фотоэлектрона при распаде 1s вакансии в Ne." Электронный журнал "Исследовано в России", 69, стр. 976-993, 2000г., http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2-000/069.pdf (I часть), 70, стр. 994-1013, 2000г., http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/070.pdf (II часть).
5. Каразия Р. Введение в теорию рентгеновских и электронных спектров свободных атомов. Вильнюс: Мокслас, 1987. - 276 с.
6. Fano. // Phys. Rev. Vol. 124, №6, p.1876-1878. (1961)
7. Sorensen S.L., Aberg T., Tulkki J., Rachlew-Kallne E., Sundstrom G., Kirm M. Argon 3s autoionization resonances// Phys.Rev.A.- 1994, Vol.50, №2.- p. 1218-1230.
8. Starace A.F. Theory of atomic photoionization, in: Encyclopedia of Physics, Vol.31, ed.S.Flugge (Berlin: Springer-Verlag) 1982, pp. 1-122.
