Влияние струи на околозвуковое обтекание профиля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ-ЦАГИ То м XX 19 8 9

№ 3

УДК 629.735.33.015.3 : 533.695.7

ВЛИЯНИЕ СТРУИ НА ОКОЛОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ

Б. Воронцова, С. В. Ляпунов

Разработан метод расчета околозвукового потенциального обтекания профиля в струе. Метод основан на расчете течений релаксационным методом в области струи и внешнего потока, которые имеют различные числа Маха набегающего потока, с последующим сращиванием решений при помощи последовательных приближений. Разностные сетки в этих областях строятся с использованием метода конформных отображений. Представлены примеры расчета.

Задачи взаимодействия крыла со струями имеют большое прикладное значение, в частности, при анализе интерференции крыла и струи двигателя. Экспериментальные и теоретические исследования таких течений в реальных условиях сложны и трудоемки. При крейсерских режимах полета, кроме прочего, могут существенно сказываться эффекты сжимаемости, включая образование местных сверхзвуковых зон и скачков уплотнения, что приводит к качественной перестройке характера обтекания по сравнению со случаем малых скоростей. Способ приближенного учета этих явлений предложен в работе [1].

В настоящей статье рассмотрена задача околозвукового обтекания профиля струей в рамках полного уравнения для потенциала скорости. Вне струи течение также считается потенциальным, однако числа Маха набегающего потока в струе и вне ее различны. Разработанный метод и проведенные расчеты позволили выявить влияние различных параметров на распределенные и интегральные характеристики профиля.

1. Рассматривается околозвуковое потенциальное обтекание профиля при обдуве его струей, набегающей из бесконечности, и имеющей там ширину Я. Течение разбивается на три области (рис. 1): область струи в которой целиком расположен обтекаемый профиль, и внешние области и Д,. Во всех трех областях газ считается идеальным, а течение — потенциальным, что является достаточно точным в случае слабых скачков уплотнения. На бесконечности скорость в струе равна У3 <х>, число Маха МСоответствующие параметры для областей внешнего течения равны Уж и М,*,. Значения статического давления в набегающем потоке для всех трех областей считаются равными. В связи с тем, что влиянием вязкости в данной работе пренебрегается, условия далеко»

вниз по потоку совпадают с условиями далеко вверх по потоку, как в струе, так и вне ее.

Потенциал скорости Ф удовлетворяет следующим уравнениям (индекс / соответствует течению в струе): в областях />1,

(а2 - Ф*) Фхх - 2Ф, Фу Фху + (а2 — Фу) Фуу = 0 ; (1)

в области И2

[а] - Ф,;) Ф)хх - 2Ф]Х Ф;.У Ф)ху -г [а] - Ф/у) ФУуу = 0 , (2)

где а — скорость звука, а также следующим граничным условиям:

а) условиям на бесконечности:

Уф Уоо-------------в области £>! £>3 ;

х'+ у2-*ао

Уф -*■ У1Х---------в области ;

/ *а+У*-*-аО

б) условию непротекания на поверхности профиля

в) условию Жуковского в задней кромке профиля

| УФ I < ОО ;

г) условию непротекания на границах струи

д Ф д Ф; дп дп ^ ’

д) условию равенства статических давлений на границах струи

Р=Р; .

Особенностью данной краевой задачи является то, что форма границ струи, на которых выполняются условия г) и д) заранее неизвестна. В связи с этим в предлагаемом методе расчета решения для областей В1, -02 и находятся независимо с учетом краевых условий а)—г).

Форма границ струи при этом считается известной. После расчета течений во всех областях форма границ струи подправляется с целью выполнения условия д).

При решении задачи как во внешних, так и во внутренних областях течения газа используется конформное отображение на области простой формы. Области внешнего течения и Б3 отображаются на полуплоскости, область струи — на кольцо. Соответствующим образом изменяется постановка краевой задачи для потенциалов скорости Ф и Ф/.

Рассмотрим сначала течение во внешней области Это течение над искривленной стенкой — границей струи. Отображение области Дь на полуплоскость осуществляется в три этапа. На первом этапе область течения отображается на область, близкую к кругу, с помощью дробнолинейного преобразования. На втором этапе область течения отображается на круг с помощью преобразования Теодорсена — Серебрийско-го. При этом отображающая функция записывается в виде отрезка ряда. На третьем этапе круг отображается на верхнюю полуплоскость с помощью дробно-линейного преобразования. Назовем плоскость течения плоскостью комплексного переменного гі = х + іу, а плоскость в которой область течения представлена полуплоскостью — плоскостью комплексного переменного г3 = Х+іУ; Для удобства вычислений перейдем от полуплоскости к конечной области (|, ті), представляющей собой прямоугольник со сторонами, равными 2 и 1 с помощью преобразований

В независимых переменных | и т] уравнение для потенциала скорости (1) принимает вид

Я

т( = — аг^ У .

(а2 — и2) Л2 ^ — 2uv АВ + (а2 — Vі) В2 -

— (а2— и2) А віп я?- — (а2 — V2) В эти?]- ^ +

. оч\

+ (и2 4-г/2) (AuWt + BvW1|) = О,

д к]2

(3)

где

іігх

Лгг

1 дФ В дФ

ІГ = 1ІГ ^ * Ф = СХ + <р ,

С = \irnW .

<г3->-ос

Введение функции <р позволяет выделить из потенциала скорости неограниченную на бесконечности часть СХ. Скорость звука а определяется из уравнения Бернулли (х — показатель, адиабаты)

Здесь считается, что ^<*,= 1, что можно сделать не теряя общности. Граничные условия имеют вид: условие непротекания

Уравнение (3) решается релаксационным методом с использованием следящей разностной схемы [2]. Данная схема является схемой сквозного счета и не требует особого рассмотрения условий на возможных скачках уплотнения. Запись разностных уравнений для узлов сетки на луче | = const приводит к системе алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, которая решается методом прогонки. Эта процедура повторяется последовательно для всех лучей в направлении возрастания | до достижения заданной точности.

Рассмотрим течение в области струи Z)2. При заданной форме струи течение совпадает с течением в канале со стенками произвольной формы. Данная задача, являясь этапом решения более общей задачи, представляет и самостоятельный интерес.

При расчете течения в струе область течения конформно отображается на кольцевую область между двумя концентрическими окружностями. Отображение осуществляется в несколько этапов. На первом этапе контур профиля отображается на контур, близкий к окружности при помощи преобразования Кармана — Треффтца. При этом устраняется угловая точка в задней кромке профиля. Затем используется отображение полосы шириной Н на круг. Контур профиля и контур границы струи при этом переходят в контуры, близкие к окружностям, вложенным друг в друга. Затем контур профиля отображается на окружность, а контур струи остается контуром, близким к окружности. Это осуществляется при помощи преобразования Теодорсена — Серебрий-ского. И, наконец, контур струи отображается на окружность, причем контур профиля остается окружностью. Последнее преобразование было предложено в работе [3] для расчета профиля с механизацией. В результате всех преобразований область течения в плоскости отображается на КОЛЬЦО В ПЛОСКОСТИ комплексного переменного £5 между двумя концентрическими окружностями. Внешняя окружность радиуса 1 представляет собой контур профиля, а внутренняя — радиуса гт — границу струи. Бесконечно удаленной вверх по потоку точке соответствует точка на окружности радиуса гт с угловой координатой 0 = 0, а бесконечно удаленной вверх по потоку точке — точка с угловой координатой 0 = 0а на той же окружности.

Уравнение для потенциала скорости Ф; удобно решать в полученном кольце в полярной системе координат (г, 0). Оно имеет вид:

Ч> =0 при г| = 0

условие на бесконечности

9 = 0 при S = + 1, у] = 1 .

Здесь:

Uj=— Ф/е; w, = — Ф/г; В — a W 1 гВ 1 1 в >г

W=

£

dU I ’ 1 '

ф; = + JL 0 + ;

(г2 — 2ггт cos 9 -(- r2m) (г2 — 2rrm cos (6 — 0Л) -f rl) ; a'j — скорость звука, которая определяется из уравнения Бернулли:

Введение функции В обусловлено тем, что модуль производной отображения W неограничен в окрестности бесконечно удаленных точек, что затрудняет его численное дифференцирование. Функция В, напротив, является ограниченной во всей области течения. Представление потенциала Ф; в виде суммы трех слагаемых также обусловлено тем, что величина ф3- является неограниченной и неоднозначной в области течения. Функция

ф a = !L\J г*-ЧггтсоъЪ + г‘2т

\ г* — 2rrm cos (6 — 0Л) + г„

представляет собой потенциал источника и стока, расположенных в точках (гт, 0) и (гт, 0а), соответствующих бесконечно удаленным точкам в плоскости течения. Здесь Н — ширина струи в плоскости течения. С помощью функции Фл выделяется неограниченная часть потенциала

скорости. Второе слагаемое в выражении для потенциала—0 выделяет неоднозначную часть потенциала. Здесь Г — циркуляция скорости вокруг профиля. Оставшаяся часть потенциала <р3- ограничена и однозначна. Условия непротекания имеют вид

Ф;> —0 ПрИГ=1 ИГ = ГЯ.

Величина циркуляции Г определяется из условия Жуковского на задней кромке профиля, которая соответствует точке (1, 0з. к) в плоскости и

ф/ 0 — 0 при Г= 1, 6 = 03.к .

Уравнение (5) решается с помощью следящей разностной схемы аналогично решению уравнения (3) при расчете внешней области.

Полученные таким образом решения для внешней и внутренней областей удовлетворяют всем условиям исходной задачи за исключением условия равенства статических давлений на границе струи. С целью выполнения этого условия после расчета во всех трех областях осуществляется деформация границы струи по следующему закону:

Д р — р (х)—р1 (х) = & Д п (х) .

юшение значений статического точке и в набегающем потоке, \п(х) —смещение границы струи по нор-

Здесь р — —--------отношение значений статического давления в данной

Рсо

мали к ней, k — коэффициент пропорциональности, который был определен в результате методических исследований.

Такой прием был успешно использован в работах [4, 5] при построении симметричных профилей с требуемым распределением давления. В рассматриваемой задаче для достижения равенства давлений с точностью 0,01 (Др<0,01) обычно требовалось 5—7 итераций в зависимости от исходного приближения и чисел М набегающего потока.

2. Результаты расчетов. Апробация программы была проведена путем сравнения расчета с известными решениями, полученными другими методами. На рис. 2 дано сопоставление результатов расчетов обтекания профиля NACA 0012 при равных значениях чисел Маха в струе и вне ее при Mo» = Mjоо = 0,6-^0,78, # = 0,8, а = 0 с результатами, полученными по программе расчета обтекания профиля в безграничном потоке сжимаемого газа [6] (Н — отношение ширины струи на бесконечности к хорде профиля). В этом случае граница струи должна совпадать с линией тока для безграничного течения, а распределения давления для профиля в струе и безграничного течения должны быть одинаковы. Представленные на рис. 2 результаты согласуются удовлетворительно при докритическом (Моо = 0,6), критическом (Моо = 0,71) и закритичес-ком (Моо = 0,78) обтекании.

На рис. 3 показано, как влияет ширина струи Н на распределение давления в случае симметричного обтекания профиля NACA 0012 при Моо = 0,6, М, <х, = 0,78. Значение Н=0 соответствует обтеканию профиля безграничным потоком с Моо = 0,6, значение Н = оо соответствует обтеканию безграничным потоком с М.» = 0,78. Увеличение ширины струи приводит к монотонному изменению эпюры давления от докритических

Рис. 3

(# = 0) до развитых закритических режимов с местной сверхзвуковой зоной и скачком уплотнения (Н = оо).

На рис. 4 представлены результаты расчета несимметричного обтекания того же профиля КАСА 0012 при фиксированном угле атаки а = 3°, # = 0,08, М = 0,6 и различных значениях числа Маха в струе М„ = 0,6-8-0,75. Расчет при М3-оо = 0,6, который проводился по общей методике, практически совпадает с расчетом обтекания профиля в неограниченном потоке. Профиль располагался в струе таким образом,

__

что //, = -— (см- Рис- !)•

В соответствии с изменением эпюры давления меняется и подъемная сила, действующая на профиль. На рис. 5 приведены результаты расчета коэффициента подъемной силы суа профиля ЫАСА 0012 в зависимости от числа Маха в струе МЗСх> при Моо = 0,6, и значениях угла атаки а=1°, 2° и 3°. Расчеты для случая # = 0,8 сравниваются с расчетами для профиля в неограниченном потоке (Я = оо), проведенными при помощи программы расчета обтекания изолированного профиля. Здесь же приведены значения суа при # = 0, полученные с помощью той же программы при Моо = 0,6. Видно, что при М^-Ю.б коэффициент подъемной силы стремится к значению, полученному при # = 0 с помощью совершенно другой программы, что лишний раз служит подтверждением

верности расчетов. С ростом М,» величина суа растет, однако наличие внешнего потока с М,»=0,6 несколько замедляет этот рост по сравнению со случаем струи неограниченной ширины Я=оо.

ЛИТЕРАТУРА

1. Павл овец Г. А., Ивантеева Л. Г. Расчет аэродинамических характеристик профиля при дополнительном обдуве струей сжимаемого газа. — Труды ЦАГИ, 1984, вып. 2235.

2. J a m е s о n A., S о u t h J. С. Relaxation solutions for inviscid axi-symmetric transonic flow ofer blunt or pointed bodies.—AIAA Comp. Fluid Dyn. Conf. 1973.

3. Ives D. C. A modern look at conforma! mapping including doubly connected regions.—AIAA Paper N 75—842, 1975.

4. Брутян М. А., Л я її у н о в С. В. Оптимизация формы симметричных плоских тел с целью увеличения критического числа Маха. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. 12, № 5.

5. Б р у т я н М. А., Н и к и т и н И. С. Вариационный метод решения смешанной краевой задачи теории бесциркуляционных течений идеальной несжимаемой жидкости. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. 12, № 6.

6. Bauer F., Garabedian P., Korn D., Jameson A. Supercritical wing sections II. — Lecture notes in economics and math, systems, 108, 1975.

Рукопись поступила 21/IX 1987 г.