CC BY
50
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
т ом ХХП 1 9 9 1 № 2
УДК 532.526.5
629.735.33.015.3.025.1 : 532.526
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В РАМКАХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА
В. В. Вышинский, С. А. Кравченко
Целью данной работы является определение возможности применения нестационарных уравнений Эйлера для расчета пространственных отрывных течений. В рамках этих уравнений разработан метод расчета околозвукового пространственного обтекания тел, включая отрывные области возвратного течения.
Приведены решения для отрывного обтекания тела с донным срезом (снаряда), сферы с отрывом, фиксированным скачком уплотнения, крыла малого удлинения при большом угле атаки и прямого крыла большого удлинения с образованием вихревой структуры в области законцовки.
Физическая природа отрывного обтекания и образования крупномасштабных вихревых структур продолжает интенсивно изучаться как теоретически, так и в плане практических приложений. В основу данной статьи положена старая идея (см., например, [1]) о том, что при числе установившееся срывное обтекание тела полностью определяется в рамках течения невязкой жидкости. Здесь эта идея реализуется с помощью численного решения нестационарных уравнений Эйлера, нашедших в последнее время широкое применение, как вследствие непригодности уравнений полного потенциала для строгого учета волновых и вихревых потерь, так и невысокой эффективности уравнений Навье — Стокса для расчета турбулентных течений с отрывом при больших числах Re (прежде всего, из-за ограниченности возможностей ЭВМ и произвола эмпирических моделей турбулентности и критериев перехода).
В своем представлении отрывного обтекания авторы опираются на данные экспериментов и теоретическую модель [2], согласно которым, в случае развитого турбулентного отрыва вся область течения делится на две, вообще говоря, бесконечные области, разделенные слоем смешения одна от другой, — внешнюю потенциальную и внутреннюю вихревую; «стационарное» турбулентное движение в последней может рассматриваться как движение идеальной жидкости, описывающееся урав-. нениями Эйлера.
Центральным и спорным местом в этом подходе является определение положения отрыва и механизма порождения завихренности без привлечения физической вязкости. Авторы статьи ограничились классом задач, в котором положение отрыва известно заранее. Оно фиксировано
или донным срезом снаряда, срезом законцовки крыла, острой передней кромкой крыла (при больших углах атаки радиус передней кромки может быть и не нулевым) или сильным скачком уплотнения, как при расчете обтекания сферы при звуковой скорости набегающего потока, когда состояние пограничного слоя до скачка уплотнения не свидетельствует о возможности отрыва, а после столь мощного скачка отрыв не может не произойти. То есть положение отрыва не может быть сколько-нибудь существенно искажено из-за неучета вязкости (предельные при Re-+oo решения). Скачок уплотнения, в соответствии с теоремой Крокко, является физическим источником зарождения завихренности, механизм переноса которой заложен в уравнениях Эйлера.
Данное направление — применение уравнений Эйлера для расчета отрывного обтеканияв настоящее время получило ширQкое и плодотворное развитие. Имеются результаты успешного расчета обтекания дельтаобразных крыльев с острой передней кромкой [3] и конических крыльев с закругленной передней кромкой [4] (полученные стационарные отрывные решения хорошо согласуются с экспериментом), заостренного тела под углом атаки [4], а также полной компоновки типа самолета-истребителя [5].
Существование решения доказывается его построением. Единственность фиксируется из априорных соображений линией отрыва (например, изломом поверхности или мощным скачком уплотнения). В работе [4] линия отрыва вводится в расчетную схему из опыта посредством задания источника завихренности и вихревой пелены. Полученные решения демонстрируют их малую зависимость от малых изменений угла атаки а и числа Маха набегающего потока М"", и независимость от вариации расчетных сеток и шага по времени То (в разумных пределах) при сохранении условий отрыва потока.
В работе приведены решения для двумерного и пространственного отрывного обтекания снаряда под нулевым углом атаки, решение для сферы при Моо= 1, решение для нестационарного отрывного обтекания прямФго крыла малого удлинения при большом угле атаки, а также решение для безотрывного обтекания крыла большого удлинения с образованием концевого вихря в области законцовки. Приведенные сравнения с опытом и расчетами в рамках уравнений Навье — Стокса подтверждают практическую значимость получаемых решений.
1. Решение задачи трансзвукового двумерного и пространственного отрывного обтекания тел ведется в рамках нестационарных уравнений Эйлера:
+ div (р W) = О;
+ (vW)pW + gradp = O;
Л (!)
Т + div (PEW) + div (р W) =0.
Иными словами, рассматриваются предельные (при Re-+oo) режимы обтекания, когда течение развилось и носит регулярный характер, а влияние вязкости проявляется лишь в тонких слоях с резким изменением скорости. Пограничные слои и слои смешения в расчетной схеме, естественно, отсутствуют. Эти слои занимают ничтожный объем и вовлекают из основного потока ничтожные массы жидкости. Силы трения для них являются внутренними, и из краевой задачи для основного потока вязкость исключается.
Это ограничивает класс задач случаями, . когда положение точки отрыва заранее фиксировано из опыта или других априорных соображений. Неучет вязкости при этом не может сколько-нибудь повлиять на начало области отрыва и существенно изменить форму и длину отрывной зоны.
На поверхности тела ставится условие непротекания. В угловой точке донного среза, так же как и в острой передней кромке крыла, условия непротекания в пределе моделируют условия прилипания.
Для замыкания системы используется уравнение состояния:
р = (Т- 1)(Е — №2/2) р.
В качестве характерных величин при обезразмеривании берутся параметры набегающего потока: для плотности р и скорости
№ (и, V, до) — их значения в набегающем потоке роо и '№00, для давления. р — роо №;"> , для удельной полной энергии Е — . Линейные размеры
отнесены к характерному линейному размеру обтекаемого тела: радиусу миделя снаряда, радиусу сферы или хорде крыла.
Система уравнений (1) переписывается в интегральной форме для. произвольного контрольного объема О с границей 5:
_д_
Ша“а+Л ^-0,
(2)
где
1 и V ш
и и2 + р/р ии иш
V • Р=р ии V2 + р/р иш
да иш иш ш2+ р/р
Е иН иН шН
О = р
Расчетная область разбивается на криволинейные шестигранные' ячейки, что позволяет использовать этот метод для расчета обтекания. тел сложной формы.
Применение уравнений (2) к конкретной ячейке расчетной сетки. приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, для решения которой используется численная схема, эквивалентная центрально-разностной схеме на прямоугольной сетке. Она имеет второй порядок аппроксимации по пространственным переменным.. Важным свойством ее является наличие точного решения (однородный поток) у разностного уравнения.
Уравнения Эйлера не содержат естественного механизма диссипации, который бы обеспечивал подавление высокочастотных колебаний,. возникающих вследствие их нелинейности. Особенно существенно это. проявляется на скачках уплотнения. Поэтому в расчетную схему по аналогии с рабочей [6] включены дополнительные демпфирующие члены (искусственная вязкость). Таким образом, наряду с физическим источником завихренности (скачок уплотнения) имеется нефизический источник завихренности (искусственная вязкость), а также «схемная» вязкость, связанная с погрешностью аппроксимации дифференциальных операторов и граничных условий на теле. Величина последней возрастает с увеличением шага сетки и максимальна в области больших градиентов параметров.
2. Используемый метод мало отличается от метода работы [6] и в: силу ограниченности объема статьи не приводится. С целью тестирования метода проведен расчет осесимметричного обтекания тела враще-
3—«Ученые записки» К? 2
3&
иия с донным срезом (снаряда), координаты поверхности которого взяты из работы [7]. Снаряд имеет цилиндрический участок' с удлинением Лц=3 и заостренную головную часть ?ч=3. Поскольку точка отрыва заранее фиксирована донным срезом, в расчетной схеме выделена прямоугольная внутренняя область высотой 5R (R = 0,125 — радиус донного среза) и длиной 5L (L = 0,2 — длина осесимметричной ступеньки), содержащая кормовую часть тела. Решение задачи в этой области ведется в рамках нестационарной модели Эйлера с условиями не-протекания на участках поверхности тела и заданности параметров течения на левой входной границе. На верхней и правой выходной границах ставится условие установления (нулевые нормальные производные). Во внешней области решается полное уравнение относительно потенциала скорости с условиями невозмущенности потока на бесконечности и непротекания на теле и контактной поверхности, ограничивающей вихревую область. Из решения внешней задачи определяются значения параметров на левой границе внутренней области, из решения внутренней задачи — форма контактной поверхности. Согласование внутреннего и внешнего решений осуществляется в итерационной процедуре, которая начинается с решения внутренней задачи с заданными на левой
.Обычно достаточно 3—4 итераций согласования. -
Простая форма расчетной области для внутренней задачи (прямоугольник размерами 5RX5L с исключенным в левом нижнем углу прямоугольником размерами RxL) позволяет использовать для расчета простую ортогональную сетку с постоянным шагом в каждом направлении и с числом узлов 100X100 в декартовых координатах, где ось х направлена вдоль оси снаряда. Шаг по времени то=О,ОО1 соответствует числу Куранта Cu = (| W| + a) 't/h = 0,32. Время решения внутренней задачи при выполнении N't = 1000 итераций около часа для ЭВМ с быстродействием 0,25 мегафлопс. Для решения внешней задачи используется метод [8], где полное уравнение для потенциала скорости интегрируется на сетке с числом узлов 41 Х 30 с постоянным шагом во внутренности полукруга, куда отображается внешность продольного меридионального сечения тела вращения, включая контактную поверхность, юграничивающую срывную область за телом.
Результаты расчета при Мао = 0,9 на рис. 1 сравниваются с расчетом в рамках уравнений Навье — Стокса при числе Рейнольдса Re = 0,75Xl06 [7]. Приведены распределения давления на теле и контактной поверхности для первой и третьей итераций взаимодействия внутреннего и внешнего решений, поле линий тока и изомах M = const для третьей итерации. В расчете [7) контур контактной поверхности более наполненный. Наиболее существенное различие в расчетах наблюдается в распределении давления в кормовой части снаряда. Отдельно приведены результаты внутреннего решения для М", = О,99: поле .линий тока (линии со стрелочками) и изомах. Здесь же приведены результаты сходимости величины р/рОО (N) внутреннего решения <;:2000 для трех точек в донной части снаряда. На рис. 1 проведено также сравнение расчетных значений донного сопротивления Сх^(МОО) по данному методу (крестики) с экспериментальными и расчетными результатами, взятыми из работ [7, 9, 10]. Результаты расчета по данному методу лучше всего согласуются с летным экспериментом |9] и опытами [10]. ,
В работе [11] могут быть найдены более подробные результаты расчета и сравнения с опытами для тела с кормовым уступом, а также
тела с эллиптической законцовкой и кормовой державкой. В частности. в этой работе исследуется влияние высоты уступа, числа Маха набегающего потока на форму отрывной области, а также исследуется достаточность используемых сеток и числа шагов установления по времени стационарного решения.
С целью выявления влияния пространственности проведен расчет обтекания того же снаряда при Мао = 1 по той же схеме с выделением внутренней области, но в рамках пространственных уравнений: Эйлера — во внутренней области и полного потенциала — во внешней. Внутренняя задача в области размерами 2л:Х12Х10 решается на осесимметричной сетке с неравномерным шагом. Число узлов сетки 12Х16Х20 по <р, г, х соответственно. Во внешней области используется сетка 25Х41Х ХЗО. Установившееся решение достигается после Мс= 2000 итераций внутреннего решения с шагом по времени '(о=0,02. Проведено три итерации. согласования внутреннего и внешнего решений, при этом выполнено в общей сложности N = 6000 шагов по времени, что потребовало более 15 часов машинного времени.
Результаты решения приведены. на рис. 2. Изображена пространственная картина линий тока для внутреннего решения, виден потенциальный характер течения во внешней области и завихренный характер течения в отрывной зоне. В расчете обнаружена поперечная закрутка потока V <0, что приводит к развороту «плоскости» вихря и незамкну-тости вихревых структур. Линии тока в данном случае — пространственные неплоские кривые. Они представлены в изометрии и в проекции на плоскость x = const (вид сзади). Величина угла закрутки разделительной линии тока (принадлежащей контактной поверхности) в пределах области рисования Дх = 0,59
в данном случае отнесены к длине снаряда. Интенсивность закрутки возрастает от 0,047 вблизи донного среза Дх=0 до максимального значения 2,64 при Дх = 0,3 и вновь убывает до 0,216 на границе области рисования. Здесь же на виде сбоку представлено сопоставление разделительных линий тока г(х) пространственного расчета (они лежат в заштрихованной области) с расчетом по осесимметричным уравнениям Эйлера (штриховая линия) и Навье — Стокса [7] (штрихпунктир-ная линия). В пространственном расчете в сечении ф = const используется неравномерная сетка с числом узлов 16Х20 вместо равномерной сетки 100Х100 осесимметричного расчета. Схемная вязкость в последнем случае существенно ниже, поэтому диаметр «вязкого» следа (степень незамкнутости отрывного пузыря) в пространственном расчете существенно выше и составляет 23% (вместо 10%) от диаметра донышка. В то же время следует отметить, что значительное различие в величинах схемной вязкости не приводит к изменению характера обтекания и мало сказывается на интегральных характеристиках. Интегрирование донного давления дает величину с*4 = 0,28, что хорошо согласуется с осесимметричным случаем и с результатами летного эксперимента (см_ рис. 1). Расчет пограничного слоя на снаряде при Нео = 106 и естественном переходе с помощью метода [12] по эпюре давления, полученной из внешнего решения после трех итераций согласования с внутренним решением в отрывной области дает положение перехода хПер=0,085-и величину коэффициента сопротивления трения сх тр = 0,053. Величина волнового сопротивления сх в = 0,033 и, таким образом, полное сопротивление составляет сх п = 0,37. Основной вклад в него (76%) дает донное сопротивление. Последняя величина хорошо согласуется с опытами работы [13], где для снаряда с плоским торцем и удлинением Л = 4,2 по-
со
__ * \
лучены значения с^п = 0,35 (при ReD' =1,1 • 106, Мое = 0,87) и сх п = = 0,425 (при ReD = 1,4>106, М"" =1,07).
В качестве третьего примера приведены результаты расчета отрывного обтекания сферы радиуса Я = 1 при числе М", = О,99. Схема расчета и параметры сетки остаются прежними, что и в первом случае. Отличительной особенностью задачи является форма внутренней области — прямоугольник размерами 5ЯХ3Я с исключенной в левом нижнем углу четвертью круга. При этом криволинейная граница аппроксимируется ступенчатой ломаной в пределах разрешающих возможностей сетки. Согласование внутреннего и внешнего решений проводится через N -с = 500 итераций (Д^=0,5) установления внутреннего решения.
Получено нестационарное квазипериодическое решение с периодом Т = 7. Положение отрыва <ротр фиксируется мощным скачком уплотнения, который является физическим источником завихренности, в данном случае более существенным, чем физическая вязкость. Поскольку его положение заранее не задается, левая граница внутренней области проходит через центр сферы (<р = 90°).
На рис. 3 представлено решение внешней задачи (линии тока и изо-махи) и линии тока во внутренней области в момент £ги = 3 (в масштабе времени Я/Ш",) .Контур контактной поверхности представлен для трех моментов времени £/ = 1, [-;1 = 2, 4и = 3. Для этих же моментов времени приведено положение центра вихря (точки /, /1, ///). Представлены зависимости от времени угла отрыва от передней критической точ-
ки <ротр (0, полного сопротивления Сх П (О И длины отрывной области I (() = £ (()/Я. Отрывной пузырь периодически размыкается — на рисунке эти участки пропущены — затем сокращется до минимальной величины £ = 2,6 и вновь начинает расти. Как видно, величина <ротр быстро устанавливается в окрестности 100 + 105°. На опыте [9] при ReD>2X 105 СРотр —110°. Оценка величины сопротивления трения на сфере до точки отрыва при ReD=106 дает Схтр = 0,02. Величина волнового сопротивления устанавливается быстро и меняется слабо (Сх в — 0,34). Среднее значение полного сопротивления сферы в расчете составляет Схп=0,93. тт Схп = 0,76, тах Схп=1,08. Здесь же приведены экспериментальные значения полного сопротивления сферы, взятые из работ [14] при Моо= 1,0, ReD = 104^ и ReD = 106 (ромбики), [15] при Моо=1,0, ReD = = 106 (кружки) и [16] приRеD = 105-+-1О6(квадратики). Расчетная величина Схп лучше всего согласуется с опытами [14, 15].
Более подробно результаты расчета обтекания сферы изложены в работе [11].
С целью демонстрации возможностей метода проведен расчет обтекания прямого крыла малого удлинения Л=2, составленного из профиля NACA 0012. При этом решение нестационарных уравнений Эйлера проводилось во всем пространстве на ортогональной криволинейной сетке типа «О» с переменным шагом. Число узлов сетки 40 Х 16 Х 26, шаг по времени 1:'о=0,001. Расчет обтекания при числе Маха набегающего потока М", = 0,5 и угле атаки а = 5° проведен до £ = 5. Получено установившееся безотрывное решение. Время вычисления (М, = 5000) около 50 часов. Интегрированием давления на крыле найдены значения коэффициентов подъемной силы Су = 0,269, сопротивления давления Сх = 0,023: и продольного момента Мг = 0,004.
Расчеты обтекания при Моо = 0,8 и углах атаки а = 3° и а=10° также дают установившиеся безотрывные решения. Найдены значения аэродинамических коэффициентов: в первом случае — Су = 0,16, Сх = 0,028, М2 = = 0,008; во втором —Су = 0,519, Сх = 0,109, М* = 0,006.
На рис. 4 приведены результаты расчета отрывного обтекания того ■ же крыла при Моо = 0,5 и большом угле атаки а = 25<>. Получено квази-периодическое (период 1'=4) нестационарное решение. Зависимость аэродинамических коэффициентов от времени приведена на рис. 4: Су тах = 1,9, Су Ш1п = 0,62, Схтах = 0,757, с х тШ =0,241. Здесь же для двух моментов времени *1=10 и 7;.= 11 приведены картины линий тока над верхней поверхностью полукрыла. Отчетливо видно образование вихревых структур (вид спереди, сбоку и сверху) и нестационарный характер решения. Расчет проведен до ?= 12, при этом выполнено N = 12 тыс. итераций, суммарное время счета около 120 часов.
Как видно, без выделения внутренней вихревой области — в данном случае это затруднительно — время решения задачи на порядок возрастает. Преимуществом здесь является простота программирования. Поэтому, хотя в следующей задаче, в принципе, возможно выделение, внутренней вихревой области вблизи конца крыла, для исследования формирования вихревой структуры крыла и влияния формы законцовки на возможность образования концевых отрывов и величины аэродинамических характеристик авторы воспользовались решением задачи в полной постановке на той же сетке (16 640 узлов).
Итак, рассчитывается обтекание прямого крыла удлинения Л = 5,. составленного из симметричного профиля NACA 0015 при умеренном: угле атаки а=12°. Законцовка крыла выполнена в виде полутела вращения половинки того же профиля. Расчеты по предлагаемому методу
Я
а
ер
-2,0
-1,0
о
1.0
г =0,96
0,2 0,¥ О,В 0,8 х
0,2 0,4
0,5
0,8
Рис. 5
проведены при числе Моо = 0,З0. На рис. 5 они нанесены сплошными линиями. Приведены эпюры давления в трех сечениях 2=0,16; 0,64; 0,96, а также линии тока на верхней поверхности крыла вблизи законцовки. Найдены интегральные характеристики аэродинамических сил: Су= 0,75, сж = 0,080. В тех же сечениях нанесены экспериментальные значения (кружки) коэффициента давления при числе Re = 2X 106 (Су = 0,7б3, сж=0,0868) и результаты расчета (штриховая линия, а=11°: су=0,702, сж = 0,0748) в рамках уравнений Навье — Стокса (на сетке в 160 000 узлов время расчета 3 часа на ЭВМ CRAY-ХМР), взятые из работы [16]. В расчетах в рамках уравнений Навье — Стокса при достаточном числе узлов сетки в области законцовки обтекание, как и в случае уравнений Эйлера, происходит. без отрыва. Как видно, наблюдается вполне удовлетворительное качественное и количественное согласование с опытом и расчетом в рамках уравнений Навье — Стокса для распределенных и интегральных характеристик.
В первом сечении (2 = 0,16) точечной линией нанесены результаты расчета потенциального обтекания на эквивалентной сетке (18 432 узла) по методу [17]. При этом согласование аэродинамических коэффициентов (Су = 0,987, сж = 0,0644) с приведенными выше соответствующими значениями хуже. Это происходит, по-видимому, из-за неучета в ме-
х
тоде [18] концевых эффектов и пространственной структуры вихревой пелены. Расчет потенциального обтекания на удвоенной сетке (147 456 узлов) приводит к незначительному изменению распределенных и интегральных характеристик (ACy=1,8%, Ac* = 6,8%), что может служить косвенным подтверждением достаточности используемой авторами сетки. Прямой расчет трехмерного течения в рамках уравнений Эйлера на более мелкой сетке на имеющейся вычислительной базе пока не представляется возможным.
Полученные решения демонстрируют возможности использования нестационарной модели Эйлера для расчета отрывных течений в случае, когда отрыв фиксирован изломами поверхности тела или мощными скачками уплотнения. Удовлетворительное согласование с экспериментальными данными и расчетами в рамках уравнений Навье — Стокса подтверждает практическую значимость метода и его пригодность для решения задач аэродинамического проектирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н и к о л ь с к и й А. А. Законы подобия для трехмерного стационарного отрывного обтекания тел жидкостью и газом. —Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, N2 1.
2. Л а н д а у Л. Д., Л н ф ш и ц Е. М. Гидромеханнка. — М.: Наука,
1986.
3. К а n d i 1 О. А., С h u а n g А. Н., S h i f f 1 е t t е J. М. Finite-volume Euler and Navier—Stokes for three-dimensional and conical vortex f1ows over delta wings. — AIM. Рарег, N 87-0041, 1987.
4. М а r с о n i F. Оп the prediction of highly vortical f1ows using ап Euler equation model. — Proceedings of Vortex Dominated Flows Conference,
NASA Langly, June 1985.
5. V o1 p е G., S i с 1 а r i М. J., J а т е s о n А. А new multigrid Euler metod for fighter-type configurations.
6. Д ж е й м с о н А., М э в р и п л и с Д. Метод конечных объемов для интегрирования двумерных уравненнй Эйлера на сетках с треугольными ячейками. — Аэрокосмическая техника. — М.: Мир, 1987, № 1.
7. С а х у Д ж., Н е т у б и ч Ч. Д ж., С т е г е р Д ж. Л. Расчеты об-
текания снарядов со вдувом в донной части и без него на основе решения уравнений Навье — Стокса. —Аэрокосмическая техннка. — М.: Мир,
1986, №7.
8. В ы ш и н с к и й В. В. К расчету пространственного околозвукового обтекания удлиненных тел. — ЖВМиМФ, 1983, т. 23, №
9. Ч ж е н П. Отрывные течения, т. 1—111. —М.: Мир, 1972—73.
10. Горшенин Д. С., Мартынов А. К. Методы и задачи практической аэродинамики. — М.: Машиностроение, 1977.
И. Выш и н с к и й В. В., К р а в ч е н к о С. А. Расчет отрывного осесимметричного обтекания тел на основе решения уравнений Эйлера во внутренней вихревой области. — Труды ЦАГИ, 1990, вып. 2494.
12. В ы ш и н с к и й В. В. Метод расчета околозвукового безотрывного обтекания тел вращения с учетом вязкости. — Труды ЦАГИ, 1981, вып. 2109.
13. W i k о f f D., С о t t г е 11 С. J. and Р а с k а г d J. D. Ап еха-mination of controlled vortex drag using stepped afterbodies {гот М=0,5 to 3,0. — АМА Рарег, N 87-0445, 1987.
14. В а i 1 е у А. В., Н i а t t J. Sphere drag coefficients for а broad range of Mach and Reunolds numbers. — AIAIA J., 1972, vol. 10.
15. В а i 1е у А. В., S t а r r R. F. Sphere drag at transonic speeds and high Reynolds numbers. — AIM J., 1976, vol. 11.
16. Ш л и х т и н г Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1969.
17. S r i n iv a s a n G. R., McCroskey W. J., Baeder J. D.,
Е d w а г d s Т. А. Numerical simulation оп tip vortices of \vings in subsonic and transonic f1ows. — AIAA Paper,
18. В л а д и м и р о в а Н. А. Исследование обтекания прямых и стреловидных крыльев большого удлинения при околозвуковых скоростях. — Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. 14, № 4.
Рукопись поступила 2/111 1990 г.
