Исследование неединственности решения задачи об отрывном обтекании системы крыло фюзеляж малого удлинения Текст научной статьи по специальности «Математика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том X 1979

№ 1

УДК 532.527

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБ ОТРЫВНОМ ОБТЕКАНИИ СИСТЕМЫ КРЫЛО — ФЮЗЕЛЯЖ МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ

А. В. Воеводин

Для исследования неоднозначности решения задачи о стационарном отрывном обтекании конической комбинации крыло—фюзеляж малого удлинения идеальной жидкостью, предсказываемой расчетами по модели Брауна и Майкла [1], предложен метод расчета, являющийся обобщением метода итераций (например [2]).

Предлагаемая схема расчета позволяет непосредственно сравнить решения задачи для моделей пелены разной протяженности. Для широкого диапазона относительных углов атаки и размеров фюзеляжа получены картины течения, величины коэффициента подъемной силы и картины распределения давления по поверхности тела. Расчеты, проведенные с помощью предложенного метода, подтверждают неединственность решения задачи для комбинаций крыла с большим фюзеляжем.

Последнее время задача расчета нелинейных аэродинамических характеристик, обусловленных отрывом потока идеальной жидкости с острых кромок тонкого треугольного крыла, получила значительное развитие.

Простейшая модель такого течения, предложенная Лежандром в 1952 году, была затем усовершенствована Брауном и Майклом [1]. В этой модели вся вихревая пелена представлялась одним концентрированным вихрем (в работе [1] этот вихрь соединялся разрезом с передней кромкой крыла для преодоления неоднозначности потенциала скорости). Необходимо отметить, что, несмотря на свою простоту, такая модель дает качественно верные результаты, и это позволяет использовать ее и в более сложных задачах (см. например [3]).

Следующим шагом явилась работа Смита [4]. В этой работе было предложено моделировать пелену распределенными особенностями, причем требовалось, чтобы давление и нормальный к

пелене компонент скорости течения были непрерывны в середине каждого отрезка между особенностями. Был описан итерационный процесс удовлетворения этим условиям, а также условию отсутствия силы, действующей на систему дискретный вихрь — разрез, которая заменяла внутреннюю часть пелены, и условию Жуковского на острой кромке. Однако в этих работах еще не рассматривалось сингулярное интегродифференциальное уравнение эволюции вихревой пелены.

В настоящее время можно выделить два основных метода, применяемых для расчета отрывного обтекания тонких тел. Это метод установления, разработанный Молчановым В. Ф. [5] и примененный Судаковым Г. Г. [6] к расчету отрывного обтекания тонкого треугольного крыла, и метод итераций, основанный на использовании сингулярного интегродифференциального уравнения, описывающего форму вихревой пелены (например [2]).

В настоящей работе исследуется отрывное обтекание комбинации тонкого треугольного крыла и фюзеляжа (круговой конус). Как известно, решение этой задачи, основанное на модели Брауна и Майкла, является неоднозначным. Результаты расчетов, основанных на более точной модели пелены, уже приводились в некоторых работах. Однако эти исследования ограничивались достаточно малыми значениями относительного угла атаки или малыми размерами фюзеляжа, при которых неединственность еще не проявляется. Кроме того, часто в этих работах внешняя часть пелены имеет недостаточную протяженность, и еще нельзя говорить о сходимости результатов по доле интенсивности пелены (см. напри-мер [7]). Для численной проверки неединственности решения такой задачи необходим метод расчета, который удовлетворял бы следующим требованиям.

Во-первых, так как область неединственности заранее точно неизвестна, метод должен давать решение для произвольно заданных параметров течения, т. е. он должен быть не зависимым от наличия начальных данных. Во-вторых, после получения некоторого решения необходимо исследовать его поведение при изменении параметров, т. е. метод вычислений должен включать возможность итераций по этим параметрам. В-третьих, для того, чтобы быть уверенным, что решения, полученные для одних и тех же значений параметров задачи, отличны друг от друга, необходимо знать, не являются ли эти отличия следствием неадекватности моделирования, т. е. необходимо, чтобы расчеты непосредственно позволяли судить о сходимости результатов по числу элементов пелены. При этом, если изменение суммарных характеристик обтекания с изменением протяженности пелены меньше разности значений этих величин, соответствующих нескольким исследуемым решениям, то можно говорить о разных решениях.

Ни один из перечисленных выше методов не удовлетворяет всем этим требованиям одновременно.

Метод расчета, предлагаемый в настоящей работе, является обобщением метода итераций, но в отличие от него не требует в качестве начального приближения достаточно точного решения задачи с развитой вихревой пеленой, а позволяет получить такие решения исходя из простейшей схемы течения (модели Брауна и Майкла).

Л

Рассмотрение набора решений для моделей с разной протяженностью внешней части пелены дает возможность судить о том, как соотносятся простейшие и более точные модели вихревой пелены, а также ответить на вопрос — при какой протяженности внешней части пелены суммарные характеристики обтекания сходятся.

1. Постановка задачи. Будем использовать невязкую модель отрывного течения. При этом сдвиговые слои вырождаются в поверхности тангенциального разрыва скорости. Линия отрыва считается прикрепленной к передней кромке крыла.

На основании теории обтекания тонких тел ([8, 9]) потенциал скорости Т7 в данном случае должен иметь вид (фиг. 1)

р(х, у, г)=ио0Хсо5а + р0^иссх-\-г0,

где £/оо — скорость набегающего потока, а — малый угол атаки, и удовлетворять уравнению Лапласа. Наиболее общее решение этого уравнения есть [9]

F0(X, Y, Z) = f(Y, Z; X) + g(X, M).

(1)

Первый член в правой части выражения (1) есть двумерный потенциал скорости в плоскости Y, Z, зависящий от X как от параметра; g(X, М) — функция, форма которой зависит от толщины тела и от того, является поток дозвуковым или сверхзвуковым. Эта функция вносит одинаковый вклад в давление на верхней и нижней поверхности и поэтому не рассматривается.

Граничные условия для уравнения Лапласа в рассматриваемой задаче следующие:

1) условие непротекания на теле и отсутствие скачка нормальной к пелене составляющей скорости потока;

2) отсутствие скачка давления поперек пелены;

3) отрыв потока происходит с передних кромок;

4) затухание возмущений на больших расстояниях от тела.

Согласно результатам работы [8], данная трехмерная стационарная задача сводится к двумерной нестационарной путем введения НОВОЙ переменной t — X/Uoo-При этом задача сводится к исследованию отрывного обтекания равномерно расширяющегося тела, представляющего поперечное сечение системы крыло — фюзеляж (см. фиг. 1).

В плоскости Х = const введем безразмерные переменные х и у такие, что Y = atx и Z — aty, и новую комплексную переменную Z — — х + iy. Введем комплексный потенциал W' (Y, Z) так, что /=Re (Wr) или в безразмерном виде w{z) = = W'laH.

Если обозначить через 5 полуразмах крыла в сечении A'=const, то, так как X — U^t и К= tg8 = SIX, Фиг. 1 будем иметь S = KUoot и a = KUoo.

В комплексной плоскости z первые два условия можно записать соответственно [4]

-jp- = - г sin х, (2)

дп

Лф"Л (•£•) (rcos*-(-£■) J' (3)

где символом Д обозначен скачок соответствующей величины поперек пелены, Ф = Ке(®>), —главное значение разрывной на

\ дз ] т

пелене тангенциальной скорости, смысл остальных величин ясен из фиг. 1.

Комбинируя (2) и (3), получим

2—ДФ _(4>

¿(ДФ) dz • W

Потенциал w легко записывается в плоскости где поверхность тела переходит в пластину, направленную по потоку. Преобразование плоскости z в плоскость ¡х задается формулой

v-2=m2{ir+™-J-№+1)2-

Легко видеть, что при таком преобразовании передние кромки

переходят в начало координат в плоскости р. и lim (-^-] = 1.

2-*-00\ d¡J. J

В этой плоскости

о

w (fi) = — ia0 ? + Г 1п 117-^ ■ d (Дф) + т2 ln (г (|i)), (5)

J И + !* (ДФ)

О

sin а а

где а0 = —---------------есть отношение скорости расширения к

tgScosa 5

скорости движения сечения, G — полная интенсивность одной спирали пелены.

Очевидно, что этот потенциал удовлетворяет условию 4) и условию непротекания на теле.

Учитывая (5) и вводя новую переменную Х = 1 —уравнение (4) приводится к виду

<> - (éi)={- + Ш j - TíW)А}£ + -г- ■■<6)

Для удовлетворения условию 3) необходимо потребовать конечности скорости на кромках, т. е. удовлетворить условию Жуковского, которое в рассматриваемом случае принимает вид

a0 — Г (—--Ь ■=——) dK (7)

2я J Uw *№/

о

Уравнение (6) есть сингулярное интегро-дифференциальное уравнение для определения формы пелены в плоскости z (или }*) в зависимости от переменной X. Причем величина О определяется из математической модели физических условий, которые реализуются на линии отрыва. Таким условием является условие Жуковского, приводящее к (7). Параметры а0 и т задаются и определяют картину течения.

2. Описание численного метода.

а) У равнения в конечно-разностном виде. Следуя Смиту [4], вся пелена делится на внутреннюю и внешнюю части. Внутренняя часть (свернувшаяся бесконечная спираль) заменяется концентрированным вихрем, внешняя — участком пелены, который разбивается на N отрезков. Конец последнего отрезка соединяется разрезом с вихрем для преодоления неоднозначности потенциала скорости. Таким образом, имеем N точек на пелене = %к + гЧ*; (&= 1, ..., ДО и соответствующие им значения относительной интенсивности ХА, ЛГ+1-я точка — концентрированный вихрь имеет координаты \1С = \с + щс и несет долю завихренности (1—ХЛ)0.

Уравнение (6) рассматривается в промежуточных точках ¡а* = = -Ь (*й_1)/2; (& = 1, • • •, ЛО, где величины относительных интенсивностей равны X* = (X* + Хй_,)/2. При этом производные оцениваются по близлежащим точкам посредством двухточечного дифференцирования, а интегралы — методом трапеций при 0-<Х<ХЛ?. Влияние внутренней части пелены оценивается как скорость, индуцируемая дискретным вихрем с напряженностью (1 — Хд?) С. При такой аппроксимации уравнение (6) примет вид

Для нахождения суммарной интенсивности (3 использовалось условие Жуковского (7) в конечно-разностном виде

причем интеграл по X от 0 до Х4 оценивался с использованием известной асимптотики пелены у кромки ¡1 (X) — кх Х1/2 -ь Ькг X + О (Х1+?), где ч>0, а и — вещественные константы, зависящие от внешнего течения.

Координаты ядра определялись из условия отсутствия полной силы, действующей на вихрь и разрез

Уравнения (8), (9) и (10) дают 2ЛЛ+3 условия, необходимых для нахождения 2М+3 неизвестных, а именно: 2УУ координат %к и у\к, две координаты ядра и -г)с и интенсивность пелены С.

(9)

где

= (Х2 — Х,)/2; А) = А] при у >2,

I

= 2гс — гн. (10)

2ы [АС + ¡лс

О 1

X

По найденным значениям координат и интенсивности для заданных а0 и т коэффициент подъемной силы и коэффициент давления вычисляются по формулам

б) Метод расчета. Суть метода состоит в получении конфигурации пелены, состоящей из N -\- 1 отрезка, по известной конфигурации пелены из N отрезков. Вначале Л/+ 1-я точка задается лежащей на кривой г(>-) = 5и2-|-52Х + ВЗ, проходящей через точки 2д,, для 2. При N—1 г2 задавалось равным

(гг — 1) + 1. За исходное приближение для всей задачи прини-

малось решение для модели Брауна и Майкла [1], причем в качестве первой точки бралась величина гх = 1,01 + ¿0,01, затем координаты первой точки быстро сходились к истинному значению.

После добавления указанным способом 7У+ 1-го отрезка к пелене проводились итерации с целью удовлетворить уравнениям (8) и (10) с заданной точностью (уравнение (9) выполнялось точно). Для этого уравнения представлялись в виде

Из формул видно, что В1 есть среднее арифметическое значение модуля разности правых и левых частей уравнений (8), а Е2 пропорционально модулю полной силы, действующей на систему вихрь — разрез. Численно установлено, что при г1 = е2 = 10-4 разность между значениями координат и величин О и Су/К2 в последующих итерациях не превосходит соответственно Ю-4 и 0,1%.

Для улучшения сходимости итераций р + 1-е приближение для координат вычислялось как г|+1 = (1 — ^)г^ + г**\ А = 1, ...,

Л^+1, где г” определялось по формуле (11), а коэффициент выбирался таким образом, чтобы обеспечить устойчивый счет при быстрой сходимости.

После выполнения условия (12) вычислялось значение Су/К2 и при необходимости осуществлялось дальнейшее наращивание пелены. Когда необходимая протяженность внешней части пелены достигнута, можно посредством итераций по параметрам <*0 и т получить характеристики течения в широком диапазоне их изменения.

3. Результаты расчетов. Построенная описанным образом схема вычислений позволяет получить характеристики обтекания для заданных значений параметров независимо от наличия начальных

2та0(1 -т2 + /и4) + 4С ^ А}Ц

¿Г1 =/ЛгР, К 0Р, «о, т), к = 1, . . ., ЛГ+ 1, (11)

где гк —р + 1-е приближение для координат к-й точки. Итерации прекращались при выполнении условия

(12)

-sso,es

û,92\ 1 X

данные aômopa-------------данные[1\

Фиг. 2

Фиг. 4

данных. Из фиг. 2 и 3 видно, что расчеты для треугольной пластины хорошо согласуются с результатами других авторов и с экспериментальными данными.

Особое внимание уделялось области параметров а0 и т, где модель Брауна и Майкла дает три решения. В этой области скорость сходимости итераций существенно падает, однако удалось получить две ветви, соответствующие случаям слабого I и сильного II взаимодействия крыла с фюзеляжем (фиг. 4). Исследования сходимости результатов расчетов по доли интенсивности ядра позволяют говорить об этих решениях как о разных. Вычисления показали, что изменение суммарных характеристик с уточнением модели пелены имеет характер затухающих колебаний (фиг. 5), и когда внешняя часть пелены составляет около одного витка спирали, амплитуда этих колебаний не превышает 7%, а для комбинаций с малыми фюзеляжами {т <0,8) даже меньше (1,5% для фиг. 5). В то же время для решений / и II, соответствующих одним

су

и тем же параметрам а0 и т, величины и и отличаются примерно в два раза (фиг. 6).

Таким образом., эти отличия не связаны с погрешностями моделирования и доказывают, что в некоторой области определяющих параметров решение задачи неединственно.

Физический смысл этого явления состоит в том, что при значениях „тблизких к единице, может существовать решение, являющееся слабым возмущением безотрывного обтекания конуса и изменяющее течение в малой окрестности кромки. Это соответствует слабому интерференционному взаимодействию крыла и фюзеляжа. Также может существовать решение с развитой пеленой, которая имеет размеры, сравнимые с размерами тела, и получается путем непрерывного изменения параметра „/га“ от т — 0 (пластинка). В этом случае взаимодействие крыла с фюзеляжем сильное.

Для слабого взаимодействия характерно стягивание пелены к кромке при увеличении размера фюзеляжа (см. фиг. 2), при этом приращение подъемной силы за счет отрыва потока мало. В случае сильного взаимодействия при увеличении фюзеляжа стягивания пелены не происходит и коэффициент подъемной силы

2—Ученые записки № 1

17

значительно превышает соответствующее значение для безотрывного обтекания [2тш0(1—т2 + /га4)].

На фиг. 3 сопоставлены картины распределения давления в области неоднозначности. Для решения / характерно наличие двух пиков давления, соответствующих расположению пелены вблизи крыла или фюзеляжа. При этом на фюзеляже возникают большие градиенты давления, которые в реальных условиях, вероятно, приведут к тому, что решение I не будет реализоваться (например, возникнет вторичный отрыв), однако в рассматриваемой постановке полученные решения равноценны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Brown С. Е. and Michael W. Н. On slender delta winds with leading edge separation. „J. of the Aeron. Sci“, vol. 21, N 11, 1954.

2. Pull in D. 1. A method for calculating invicid separation from about conical slender bodies. ARC R and M, N 140, 1973.

3. N athman K. Delta wings in incompressible flow. „А1АА Paper“, N 77-320, 1977.

4. Smith J. H. B. Improved calculation of leading edge separation from slender delta wings. „Proc. of Rog. Soc“, ser. A, vol. 306, 1968.

5. Молчанов В. Ф. О реализации метода плоских сечений в нелинейной теории крыла. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № 2, 1974.

6. Судаков Г. Г. Расчет отрывного течения около тонкого треугольного крыла малого удлинения. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № 2, 1974.

7. W е i Н. Н. Y., Levins к у Е. S., Su F. Y. Nonconical theory of flow past slender wing-bodies with leading edge separation. NASA CR-73446, 1970.

8. Никольский А. А. Законы подобия для трехмерного стационарного отрывного обтекания тел жидкостью и газом. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 1, 1970.

9. Ward Q. N. Linerised theory of steady high speed flow. Cambridge Univ. Press., 1953.

10. Fink P. T. Some early experiments on vortex separation. .ARC R and M“, N 3489, 1967.

Рукопись поступила 13/Х 1977 г.