Симметричное и несимметричное отрывное обтекание крыла малого удлинения с фюзеляжем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XVI 1985

№ 6

УДК 532.527

СИММЕТРИЧНОЕ И НЕСИММЕТРИЧНОЕ ОТРЫВНОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ С ФЮЗЕЛЯЖЕМ

М. Г. Гоман, С. Б. Захаров, А. Н. Храброе

В рамках теории удлиненных тел для треугольного крыла с коническим фюзеляжем получены асимметричные решения задачи отрывного обтекания при отсутствии скольжения. Исследована устойчивость симметричных и несимметричных решений к произвольным малым возмущениям. Возникновение несимметричного отрывного обтекания является следствием потери устойчивости симметричных вихревых структур. Показана возможность существования аэродинамического гистерезиса при изменении угла атаки.

Обтекание крыльев и тел малого удлинения с отрывом потока является предметом как экспериментальных, так и теоретических интенсивных исследований, имеющих важное практическое значение. В то же время отдельные экспериментально наблюдаемые физические явления не получили должного объяснения и математического истолкования. К их числу относится нарушение симметрии вихревых структур при симметричных условиях обтекания (симметричные модели, отсутствие скольжения) и, как следствие, возникновение значительных боковых сил и моментов. Результаты экспериментальных исследований указанного явления на конусах и треугольных крыльях малого удлинения собраны в ряде работ, например [1]. Следует отметить, что в некоторых экспериментах, которые в обзорной литературе интерпретируются как эксперименты на тонких изолированных крыльях, в действительности имело место исследование обтекания крыла с небольшим фюзеляжем [2].

Присутствие у модели даже малого фюзеляжа может оказаться если не основным, то по крайней мере существенным фактором, приводящим к описываемому явлению, в основе которого, как предполагается [1], лежит неустойчивость симметричного расположения развитых, сильно взаимодействующих друг с другом вихревых структур при углах атаки, больших некоторого критического.

Получение и исследование устойчивости в рамках теории удлиненных тел симметричных и несимметричных решений задачи отрывного обтекания при симметричных условиях простейшей конической комбина-

ции треугольного крыла с фюзеляжем (круговым конусом) и является предметом настоящей работы.

При этом будут использоваться обычные для теоретических исследований предположения: о фиксированности линий отрыва на острых кромках крыла, отсутствии отрывов на фюзеляже и вторичных отрывов на крыле, стационарности и коничности картины отрывного обтекания, а также невязком глобальном характере течения.

Необходимо отметить, что в симметричной постановке решения задачи отрывного обтекания рассматриваемой конической комбинации были получены и подробно исследованы в работах [3, 4], причем в [4] основное внимание было уделено рассмотрению неединственности симметричных решений, имеющей место при больших относительных размерах фюзеляжа.

Отказ от априорного требования симметричности искомых решений, а также использование модели вихревой пелены «вихрь — разрез» являются основными отличиями в постановке данной работы от работ [3, 4].

Одна из первых математических моделей спиральной вихревой пелены— модель «вихрь — разрез», впервые предложенная в работе [5], состоит из дискретного точечного вихря и математического («питающего») разреза, соединяющего вихрь с кромкой крыла. Эта модель широко используется до настоящего времени и, несмотря на свою простоту, позволяет качественно правильно, а в некоторых случаях и количественно описать сложное физическое явление, каким является отрыв потока с поверхности тела малого удлинения при больших числах Рейнольдса.

1. Пусть Охуг— прямоугольная декартова система координат с началом в вершине крыла. Ось Ох направлена по оси симметрии, ось Ог — параллельно размаху крыла, а ось Оу— перпендикулярно плоскости крыла (рис. 1). Полуугол при вершине крыла обозначим через 8 = 0(1), полуугол раствора конуса—еа(0<:а<1), где а — относительный радиус фюзеляжа. Скорость набегающего потока на бесконечности

Uос параллельна плоскости х, у и составляет с осью Ох угол а = еа = = 0(е). Здесь а — относительный угол атаки. Вследствие малости удлинения рассматриваемой комбинации крыла с фюзеляжем трехмерная стационарная задача сводится к двумерной (плоской) нестационарной задаче отрывного обтекания расширяющегося контура в плоскости поперечного сечения со скоростью на бесконечности t/oo а. В силу ко-ничности и сделанных предположений плоская задача является автомодельной. Картины течения во всех сечениях x = const подобны.

Используемый подход теории удлиненных тел позволяет получить главный член решения во внутренней области с размерами порядка поперечного сечения тела. Построение решения во внешней области с размерами порядка длины тела не входит в задачу данной работы.

Пусть о = zjzx -f iy/гх — комплексная переменная в автомодельной плоскости с безразмерными координатами z/ex, yjex (далее плоскость в), искомые комплексные координаты и циркуляции дискретных вихрей —о,, а2 и 2ка.исоехК1, 2ла s хК2 соответстенно (рис. 1).

Потребуем выполнения условий затухания возмущений скорости на бесконечности, непротекания на поверхности крыла и фюзеляжа, выполнения постулата Чаплыгина — Жуковского на острых кромках крыла. В случае применения математической модели «вихрь — разрез» условия непрерывности давления и нормальной составляющей скорости на спиральной вихревой пелене заменяются условием отсутствия силы, действующей на систему «вихрь — разрез».

Для построения комплексного потенциала течения воспользуемся конформным отображением внешности изображенного на рис. 1 контура (окружность с отрезками действительной оси) в плоскости 0 на внешность единичной окружности во вспомогательной плоскости комплексного переменного £ (далее плоскость £). Отображающая функция, удовлетворяющая условию соответствия бесконечно удаленных точек, имеет вид

В плоскости £ комплексный потенциал течения аС/иЕхУ? легко построить с помощью метода отражений. В безразмерной форме искомый потенциал записывается следующим образом:

где — комплексные координаты дискретных вихрей в плоскости £, а черта над комплексной величиной здесь и далее означает величину, комплексно сопряженную данной.

Для выполнения постулата Чаплыгина—Жуковского о конечности скорости на острых кромках крыла (а=±1) достаточно, чтобы в плоскости £ выполнялись условия

— а3 .

(1)

W (С)

1 + сР 2

<(С—f)+f'а.<С>-

(2)

(3)

Приводящие К двум действительным линейным относительно И 6(2 алгебраическим уравнениям, с помощью которых можно найти искомые безразмерные циркуляции дискретных вихрей &1 и /г2> зная их местоположения £1 и £г- Условия отсутствия силы, действующей на каждую из систем «вихрь—разрез», в безразмерной форме имеют вид

(«!— щ)— — (20!-------- 1) = 0,

(и2 — йо2)------------ (2о2 + 1) = о .

(4)

Здесь щ — и м2 — Мг— отнесенные к комплексные скорости

дискретных вихрей в плоскости 0, вычисленные по формулам

и,

IV,

'йЧУйК. Ит---------------------------

+

1, 2.

(5)

Подставляя (5) в (4) и выделяя действительные и мнимые части, придем к нелинейной алгебраической системе из четырех уравнений относительно четырех искомых координат дискретных вихрей, зависящей от двух параметров: относительного угла атаки а и относительного радиуса фюзеляжа а. Безразмерные циркуляции дискретных вихрей и кг, входящие в эту систему уравнений, как было отмечено выше, аналитически выражаются через координаты вихрей посредством разрешения уравнений, получаемых из уравнений (3). Окончательный вид нелинейной системы уравнений не приводится вследствие ее громоздкости.

2. Для численного решения рассматриваемой задачи использовался метод непрерывного продолжения решения по параметру, аналогичный предложенному в работе [6]. Необходимая для его «запуска» точка (решение задачи при некоторых фиксированных значениях параметров) может быть получена, например, с помощью метода Ньютона — Рафсо-на. Использованный метод непрерывного продолжения обеспечивает прохождение точек бифуркаций: предельных точек решения по параметру и точек, где происходит ветвление решений.

На рис. 2 представлены расчетные местоположения дискретных вихрей в плоскости о в зависимости от относительного угла атаки при зна-

Рис. 2

чении относительного радиуса фюзеляжа а = 0,5. Цифрами 1 отмечены ветви, соответствующие симметричным решениям вплоть до значений относительного угла атаки а=10,0. Призначении а = а* *»5,18 происходит бифуркация решений нелинейной системы алгебраических уравнений, и от симметричного решения ответвляются несимметричные. На рис. 2 соответствующие ветви отмечены цифрами 2 и 3. На ветви 2 правый вихрь расположен выше левого, на ветви 3— наоборот.

Несимметричное расположение вихрей, естественно, вызовет несимметричные нагрузки — боковую силу и момент крена. Вверху на рис. 3 показано, как изменяется в зависимости от угла атаки коэффициент боковой силы, вычисленный по теории тонкого тела, для конфигурации с относительным радиусом фюзеляжа а=0,5. Расположение вихрей для этого случая показано на рис. 2. В симметричном случае при а<а» боковая сила равна нулю. При а>а% возникают боковая сила и соответственно момент крена, направленные в ту или иную сторону. Качественно форма возникновения несимметричных нагрузок совпадает с экспериментальными данными работы [2].

Таким образом, при относительных углах атаки а>а *(а), 0<а<а*^«0,81 (малые и умеренные относительные радиусы фюзеляжа) одновременно существуют три решения задачи, соответствующие симметричному и двум несимметричным расположениям дискретных вихрей.

Большой интерес представляет исследование устойчивости получаемых решений.

Если записать нестационарные уравнения движения дискретных вихрей и линеаризовать их в окрестности равновесных положений, то об устойчивости движения в окрестности положения равновесия можно судить по собственным числам функциональной матрицы Якоби системы (4).

Рис. 3

При численном исследовании устойчивости положений равновесия вихрей оказалось, что для а<а* (а) и 0<а<а^. симметричные решения устойчивы. Все четыре собственных числа Якобиана имеют отрицательные действительные части. При а>а*, 0<а<а^. симметричные решения становятся неустойчивыми к несимметричным малым возмущениям — появляется положительное действительное собственное число. В верхней части рис. 3 это решение показано штриховой линией, несимметричные же решения для этих углов атаки устойчивы.

В нижней части рис. 3 показано, как изменяется коэффициент боковой силы в зависимости от относительного угла атаки а при другом значении относительного радиуса фюзеляжа. В этом случае картина сложнее. Симметричное решение остается устойчивым при увеличении относительного угла атаки до точки А, при больших а оно становится неустойчивым. При этом значении относительного радиуса фюзеляжа а существуют уже в некотором диапазоне а, меньших а*, несимметричные решения, причем имеются устойчивые и неустойчивые ветви. Поэтому при квазистатическом изменении угла атаки возможен аэродинамический гистерезис.

При увеличении угла атаки вплоть до точки А решение остается симметричным, при дальнейшем увеличении а решение перестраивается в одно из несимметричных и переходит, например, в точку В. Еслй теперь уменьшать угол атаки, то решение будет изменяться вдоль устойчивой ветви несимметричных решений до точки С, где несимметричные решения (устойчивые и неустойчивые) исчезают. При меньших значениях а симметричная ветвь устойчива, поэтому решение перейдет в точку В. Теперь при увеличении относительного угла атаки решение опять будет изменяться вдоль симметричной ветви от О к А. Детали динамической перестройки решений из Л в В и из С в В не могут быть выяснены в рамках стационарного подхода.

При возникновении несимметричного отрывного обтекания на комбинацию крыла с фюзеляжем будут действовать при отсутствии скольжения несимметричные нагрузки — боковая сила, моменты крена и рыскания. Отметим, что подъемная сила при одном и том же угле атаки при малых а больше при несимметрично обтекании, чем при симметричном.

Из рис. 3 видно, что бифуркации решения имеют качественно различный характер при различных значениях относительного радиуса фюзеляжа. Поэтому на рис. 4 представлена бифуркационная диаграмма решений в плоскости параметров а и а. При малых относительных углах атаки для всех а существует единственное симметричное решение — область 1. Это решение устойчиво как к симметричным, так и к несимметричным малым возмущениям. На границе, построенной сплошной линией, происходит бифуркация, соответствующая а*. При этих значениях а для каждого значения а от симметричных решений ответвляется пара несимметричных, как это показано на рис. 3. При значениях относительного радиуса фюзеляжа а<0,81 несимметричные решения существуют при а>аЧ;, при больших относительных радиусах а несимметричные решения ответвляются в сторону меньших углов атаки а (рис. 3).

На границе, показанной на рис, 4 штриховой линией, ветви несимметричных решений поворачивают в сторону увеличения угла атаки а, становясь при этом устойчивыми к произвольным малым возмущениям. Таким образом, в области 2 существуют три решения исследуемой за-

^ - семь решений . три симметричных (одно устойчибое и дба неустойчибых) и четыре несимметричных (дба устойчивых и аба неустойчи/ых)

ч - пять решений: одна устойчибое

симметричное и четыре несимметриных Рис. 4 (дба устойчибых и два неустойчивых)

дачи — неустойчивое симметричное и два устойчивых несимметричных. На рисунке показана область 3, в которой при рассмотрении только симметричных решений существуют три симметричных решения [4], различающиеся высотой вихрей над крылом. Из них два устойчивы к симметричным возмущениям, а одно среднее неустойчиво. При рассмотрении задачи с возможной несимметрией из этих трех симметричных решений устойчивым к несимметричным возмущениям остается только одно стационарное решение, соответствующее самым низким положениям вихрей над крылом. Кроме этого, здесь существует четыре несимметричных решения (два устойчивых и два неустойчивых). Таким образом, в области 3 существует семь стационарных решений задачи, из которых устойчивы одно симметричное и два несимметричных. В области 4 существуют только одно устойчивое симметричное решение и четыре несимметричных, из которых устойчивы два (рис. 3).

В областях 3 и 4 вследствие наличия трех устойчивых решений возможен описанный выше гистерезис по углу атаки.

3. Как следует из результатов работы [4], в которой априорно полагалась симметрия течения, использование в расчетах более совершенной математической модели спиральной вихревой пелены, содержащей конечный отрезок пелены и ядро (точечный дискретный вихрь, соединенный с концом отрезка вихревой пелены математическим «питающим» разрезом), приводит к смещению области 3 на бифуркационной диаграмме (см. рис. 4) примерно на 20—25% в сторону меньших значений относительного угла атаки а. Можно предполагать, что все кривые, изображенные на этой диаграмме, опустятся вниз по а в случае использования в расчетах упомянутой сложной математической модели спиральной вихревой пелены. Это сделает рассматриваемую проблему еще более актуальной для практики.

Для подтверждения сделанного предположения были проведены контрольные расчеты отрывного обтекания рассматриваемой конической комбинации крыла с фюзеляжем при значении его относительного радиуса а = 0,5 с использованием упомянутой математической модели спи-

ральной вихревой пелены. На рис. 5 представлены расчетные конфигурации вихревых пелен в плоскости 0, соответствующие устойчивым к произвольным возмущениям решениям: симметричному при «=3,0 и одному из несимметричных при а = 4,0. Для получения решений использовался метод установления, в алгоритм которого входят: решение по

регуляризирующей схеме [7] задачи Коши для интегро-дифференциаль-ного уравнения [8] эволюции тангенциального разрыва скорости, учет асимптотики течения в окрестности острых кромок крыла.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ericsson L. Е., Reding J. P. Steady and unsteady vortex-induced asymmetric loads on slender vehicles, — Journal of spacecraft and Rockets, 1981, vol. 18, N 2.

2. F о x CH. J., L a m a r J. E. Theoretical and experimental longitudinal aerodynamic characteristics of an aspect ratio 0.25 sharp-edge delta-wing at subsonic, supersonic and hypersonic speeds. — NASA TN D-7651, 1974.

3. P u 11 i n D. I. A method for calculating inviscid separated flow about conical slender bodies. — ARL Aerodynamics report 140, 1973.

4. Воеводин А. В. Исследование неединственности решения задачи об отрывном обтекании системы крыло — фюзеляж малого удлинения.— Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. X, № 1.

5. Brown С. Е., Mihael W. Н. Effect of leading-edge separation on the lift of delta wing.—-Journal of aeronautical Sciences, vol. 21, N 10,

1954.

6. Давиденко Д. Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений. — ДАН СССР, т. 88, № 4, 1953.

7. М о л ч а н о в В. Ф. Некоторые вопросы расчета течений с тангенциальными разрывами. — Ученые записки ЦАГИ, 1975, т. VI, № 4.

8. Никольский А. А. О «второй» форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование вихревых отрывных потоков). ДАН СССР, 1957, т. 116, № 2.

Рукопись поступила 2/V 1984 г.