К возникновению несимметричного отрывного обтекания тонких тел вращения на больших углах атаки Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XV 19 84

№ 6

УДК 533.6.011.32 : 629.7.025.73

К ВОЗНИКНОВЕНИЮ НЕСИММЕТРИЧНОГО ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ТОНКИХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ УГЛАХ АТАКИ

М. Г. Гоман, А. Н. Храброе

Исследована задача о стационарных положениях пары вихрей неравной интенсивности в потоке за цилиндром, моделирующей несимметричное отрывное обтекание тонкого тела на больших углах атаки. Осуществлен расчет возможных несимметричных стационарных положений двух вихрей, определена их устойчивость при малых возмущениях. Проанализированы бифуркации поля течения при изменении интенсивности вихрей. Обсуждаются возможные приложения результатов к расчету отрывного обтекания тонкого тела.

Большой интерес в последнее время вызывает появление значительных боковых сил и моментов на тонких телах — снарядах, длинном носике фюзеляжа в самолетной конфигурации на больших углах атаки при нулевом угле скольжения. Экспериментальные данные, обзор которых сделан в работах [1, 2], показывают, что появление несимметричной реакции при нулевом угле скольжения связано с развитием в некотором диапазоне больших углов атаки стационарной асимметричной вихревой структуры. На малых углах атаки при отрыве потока на носике тонкого тела образуется симметричная пара вихревых жгутов, которая при увеличении угла атаки становится несимметричной. Возникновение асимметричной вихревой структуры начинается при углах атаки, превышающих удвоенный полуугол раствора носика тела [3].

Известна модель [4], объясняющая возникновение боковой нагрузки появлением нескольких вихревых жгутов, положение которых в пространстве аналогично развернутой вдоль продольной оси тела в соответствии с импульсной аналогией дорожки Кармана. Однако остается непонятной причина возникновения асимметрии, например, на носике фюзеляжа, при отрывном обтекании которого образуется только пара вихрей. Существуют различные точки зрения. Одна из них полагает, что причиной возникновения асимметрии является несимметричный отрыв потока, который и приводит к образованию несимметричных вихрей. Другая считает, что по мере увеличения угла атаки и роста интенсивности симметричной пары вихрей с некоторого момента эта вихревая структура становится неустойчивой и переходит в несимметричную.

В пользу последней точки зрения свидетельствуют результаты работы [5], в которой при априорном задании симметричных линий отрыва на конусе получены несимметричные решения для модели вихрей с разрезами.

В ряде случаев допустима простейшая схема течения, описывающая плоское отрывное обтекание цилиндра идеальной несжимаемой жидкостью. Отрывная зона за цилиндром моделируется двумя точечными вихрями с различным направлением циркуляций. Возможность существования установившегося отрывного обтекания в такой схеме связывается со случаями стационарного положения вихрей. В симметричной постановке, когда вихри имеют равную по величине, но противоположно направленную циркуляцию, такая задача была аналитически решена в работе [6]. Детали этого решения можно найти в [7]. В работе [8] эта модель в предположении о справедливости метода плоских сечений применялась для приближенного расчета симметричного отрывного обтекания тонкого тела на больших углах атаки.

Рассмотрим описанную выше схему обтекания цилиндра без предположения о симметричности положения вихрей и равенстве по величине их циркуляций. Пусть в плоскости комплексного переменного г = х + 1у положения вихрей задаются значениями г1 и Комплексный потенциал течения может быть получен с учетом отраженных относительно цилиндра вихрей с обратной циркуляцией в точках 1/г* и 1/2^ что необходимо для выполнения условий непротекания на цилиндре:

1 ^ I 1„ г~*1 ,

, , * О— . , *

1 /г-1 г-1/г2

где г*, г\ — величины, комплексно-сопряженные к г2, а Г4, Гг — циркуляции вихрей.

Для вычисления скорости движения вихрей необходмио учесть, что вихрь сам на себя не воздействует, поэтому комплексно-сопряженная скорость движения /-го вихря (/=1, 2) будет выражаться следующим образом:

Лг) ( ачг .Г/ 1 \ /0.

М \ Лг г-г)- ( )

Вводя безразмерные координаты вихрей г,-= 2,//?, время т = их Г,

= -g-t и циркуляции Ту=~2п^/ /Г ’ Где #-“РадиУс цилиндра, £/<*,—

скорость набегающего потока, получим соотношения, определяющие скорости движения вихрей в зависимости от их положения:

(Гг\ 1

= 1 -

йх ' Т

с1г 2 = 1 - 1

с1X г2 г2

I Г* “Г -

1/г] ' г1-гъ 2-,-1/г*’

П! _ П, Ч2

г2 — г, г2 — 1/г, г-2-1/г.

* *

(3)

Дифференциальные уравнения (3) описывают изменения положения вихрей по времени. Эта автономная динамическая система является гамильтоновой и координаты вихрей вдоль осей Ох и Оу могут быть преобразованы к канонйчески сопряженным переменным

Лх1 _ _1_ дН_ _\_дН_

йч. и ду] ’ йх тгу- дх]

где гамильтониан системы уравнений (4)

7 = 1,2, (4)

Н^!, уи хг, у2; ть т*) = Т1 У1 --------гтт) +

V Х1 + У1 )

+ ЪУ2 + 1^г{т?1пК + У12- 1) + Т^п^а + Уа- 1) +

, о ,„Г1 , (^ + У1-!)(^ + У^-1) 11

+ 2Т1ТЛп|^1 + (Х1_Х2]2 + (у1_у2у | (5)

определяет величину кинетической энергии, связанную с относительным положением вихрей, сохраняющуюся в процессе их движения.

Стационарные положения вихрей соответствуют особым точкам ди-

йх; (1у,

намической системы (4), для которых-^- = -^г = 0, / = 1,2, и совпадают с критическими точками гамильтониана (5): \7#=0. Таким образом, задача отыскания стационарных положений вихрей сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. В несимметричной постановке не удается получить ее аналитическое решение, поэтому расчет возможных стационарных положений вихрей осуществлялся численно.

Эффективным средством расчета решений системы нелинейных уравнений, зависящих от параметров, является метод непрерывного продолжения решения.

При непрерывном изменении одного из параметров изменяется и решение, образуя в расширенном пространстве фазовых переменных и параметра непрерывную траекторию. Расчет траектории решения при выборе ее длины в качестве независимой переменной может быть осуществлен посредством интегрирования соответствующей системы дифференциальных уравнений при начальных условиях X —Х0, и = и0, являющихся решением рассматриваемой системы уравнений Р{Х0, и0) --- О, где Х(^Р}п, и£Я. Идея такого метода расчета содержится

в работе [10].

Возможно непрерывное продолжение расчета и через предельные по параметру точки траектории решения, соответствующие бифуркационным значениям параметра, в которых происходит обращение знака

а/=~"

дХ

метра. Это позволяет осуществлять расчет неоднозначных по параметру решений, непрерывно связанных между собой в расширенном пространстве переменных и параметра.

При расчете стационарных положений вихрей рассматривались преобразованные безразмерные параметры у и х, являющиеся соответственно средним значением безразмерных модулей циркуляций вихрей и относительной величиной их несимметрии: ? = (?, — -[2)>

V —|— -у

у. = . Справедливы обратные соотношения ^, = ^(1 + *)> Т2 =

^1 *^2

= —*у(1—*). Рассматриваются следующие области изменения вы-бранных параметроа т(;.(0, °°), *(;(— 1, 1)- Уравнения (3), а также гамильтониан (5) при замене * на -* не изменятся, если сделать

Якобиана системы уравнений сЫ

и направления изменения пара-

замену переменных х1—х2, у1——у2г х2 — хи у2 = —Уи соответствующую отражению координат относительно оси Ох. Поэтому достаточно рассмотреть решения только для положительных значений параметра *.

На рис. 1 приведены примеры расчета линий стационарных положений вихрей при изменении параметров у и х. При х = 0 и изменении параметра у стационарные положения вихрей движутся вдоль штрих-пунктирных линий, соответствующих симметричному решению. При

у—>-0 вихри приближаются к цилиндру, при у-+оо удаляются на беско-

Изменение параметра х при фиксированном значении у=1 приводит к несимметричному смещению вихрей относительно оси Ох. Имеется предельное — бифуркационное значение параметра х = хбиф, после которого при непрерывном продолжении решения величина х начинает уменьшаться. Эта ветвь соответствует вторым решениям, существующим при 0<х<хбиф- При уменьшении х эти стационарные положения вихрей уходят на бесконечность, смещаясь вниз вдоль асимптоты у = — у лг.

В пределе при х->-0 они стремятся к стационарному положению вихрей с равной по величине и противоположно направленной циркуляцией в равномерном потоке, поскольку влияние цилиндра при удалении от него существенно ослабевает.

При значениях х, близких к хбиф, происходит сближение двух стационарных положений пары вихрей (1 и 1' при х=0,25х6иф, 2 и Т при х=0,75х6иф) и при х = х6иф они сливаются. На рис. 1 приведены линии положения пары вихрей при х = хбиф и различных значениях параметра 7. При х>х6иф стационарные положения вихрей за цилиндром отсутствуют. *

Величина хбиф зависит от аначения параметра у. С учетом возможных НеСИММетрИЧНЫХ решений СО ЗНачеНИЯМИ —Хбиф<Х<0 в плоскости

симметричные решения эцфцркационные - к = х

Рис. 1

безразмерных циркуляций вихрей и у2 имеется область параметров, при которых существуют два различных стационарных положения вихрей за цилиндром, и область параметров, при которых стационарных положений за цилиндром нет (рис. 2). Уравнения (3) имеют и другие особые точки, когда вихри могут находиться на оси Оу как по одну сторону от цилиндра, так и с разных сторон, а также в потоке перед цилиндром. Эти решения не рассматриваются, поскольку заведомо не могут быть использованы для описания отрывного обтекания.

Рис. 2

Представляет интерес анализ устойчивости движения вихрей. Симметричные решения, как показано в [6], устойчивы при рассмотрении только симметричных возмущений и неустойчивы при возникновении малых несимметричных возмущений относительно стационарного положения вихрей.

Анализ устойчивости возмущенного движения вихрей относительно их несимметричных стационарных положений проводился на основе численного расчета корней характеристического уравнения линеаризованных уравнений движения (4) в окрестности их особых точек. Вычисление Якобиана нелинейных уравнений (4) в особых точках, являющегося матрицей уравнений линейного приближения, необходимо при реализации непрерывного метода расчета стационарных положений. Поэтому параллельно с расчетом стационарных решений вычислялись и собственные числа Якобиана. Поскольку динамическая система (4) является гамильтоновой, спектр собственных чисел симметричен относительно действительной и мнимой осей. Это свойство позволяло контролировать точность получаемых в расчете собственных чисел.'

Собственные числа для симметричных решений лежат на мнимой и действительной осях, абсолютная величина которых зависит от параметра у (рис. 3, а). Пара чисто мнимых собственных чисел >2=±1(о соответствует не возрастающим по времени симметричным формам возмущения вихрей, наличие положительного действительного собственного числа К-з, 4=±Е говорит о неустойчивости движения при несимметричных возмущениях. При увеличении циркуляции спектр сохраняет свой качественный вид, приближаясь к началу координат (рис. 3, а).

У первой группы несимметричных решений При 0<Х<Хбиф спектр собственных чисел аналогичен спектру симметричных решений. По мере увеличения параметра' х собственные числа движутся вдоль мнимой

а)

Несимметричные решения

2-я группа решений

Рис. 3

и действительной осей к началу координат и при х = хбиф возникает четырехкратный нулевой корень. На рис. 3,6 приведено поведение собственных чисел в зависимости от величины х при у = 2.

Вторая группа несимметричных решений имеет качественно другой спектр, вид его приведен на рис. 3, б. Положения равновесия также неустойчивы, но характер неустойчивости имеет колебательную форму, обусловленную наличием комплексно-сопряженной пары собственных чисел А,1,2 = |±гсо с положительной действительной частью. По мере роста параметра х модули собственных чисел сначала возрастают, а затем уменьшаются до нуля при х = хбиф (см. рис. 3,6).

Рассмотрение устойчивости стационарного отрывного обтекания в рамках такой простой плоской схемы безусловно нельзя переносить на случай трехмерного отрывного обтекания даже в пределах теории тонкого тела. Но тем не менее полученное представление об устойчивости может оказаться полезным при рассмотрении более сложных схем обтекания.

Стационарным решениям уравнений (4) соответствуют различные картины поля течения. Представление о них необходимо для понимания физического смысла полученных стационарных решений. Поэтому были проведены расчет и построение наиболее существенных линий тока, определяющих характер картинк обтекания. К ним в первую очередь

относятся линии тока, вдоль которых возникает торможение потока до-нулевой скорости. Такие точки могут возникать как на поверхности цилиндра, так и в свободном потоке. Их число и положение определяют качественную структуру поля течения.

Вдоль линий тока остается постоянной величина функции тока, являющейся мнимой частью комплексного потенциала № (г) (1):

\|з (х, у) = 1т V? (г). Для построения особых линий тока определялись значения функции тока в точках торможения потока, после чего осуществлялось построение линий уровня, вдоль которых функция тока принимает вычисленные значения. Это позволило строить линии тока, образующие седловые точки в поле течения.

Рассмотрены различные значения параметров у и к, при которых стационарное обтекание возможно. Построенные картины поля течения показаны на рис. 4. В верхнем ряду представлены случаи симметрично-

у<у у = у л о,57 у>у^

Самметри чные решения х — О

Первые несимметричные решения 0-= х

У

Буфуркационное значение х = х5аф(у)

го обтекания цилиндра с парой вихрей в следе при различных значениях циркуляции у(х = 0). Топологически рассматриваемые случаи аналогичны и характеризуются наличием двух центров в точках местоположения вихрей, четырех полуседел А, В, С, £> на цилиндре и одного седла Е в потоке за вихрями. Все седловые точки в симметричном случае находятся на одном уровне функции тока ф = 0.

При появлении несимметрии х>0 точка Е поднимается на некоторый уровень г|1 = г|)о>0; вследствие этого при обтекании возникает проток, заштрихованный на рисунке. Полуседла С и О начинают сближаться и при приближении к бифуркационному значению х = хоиф сливаются, образуя одно вырожденное полуседло Р. При увеличении параметра несимметрии х седло Е сначала приподнимается, проток при этом расширяется. В дальнейшем при увеличении х проток начинает уменьшаться. При бифуркационном значении х = хбиф и малых значениях у слияние точек С и О происходит, когда значение функции тока в точке Е еще положительно. При больших значениях у У бифуркационного решения в точке Е отрицательное значение функции тока, проток охватывает цилиндр с другой стороны. Имеется промежуточное значение у = у* ~ 0,57, для которого бифуркационное решение не содержит протока; через седло Е проходит нулевая линия тока. При значениях параметра у>у* исчезновение протока (обращение в нуль значения функции тока в точке Е) происходит при некотором значении х, близком к Хбиф. Картина обтекания для этого значения х показана в колонке для у>у* среди первых несимметричных решений.

Вторые несимметричные решения топологически отличны от первых. Они характеризуются наличием двух точек типа седла й и Е в потоке, линии тока которых образуют две изолированные замкнутые зоны, разделенные протоком. Отметим, что различие в структуре течения первых и вторых несимметричных решений сопровождается и различными спектрами устойчивости этих решений.

Рассмотрим течения с замкнутыми вихревыми зонами, прилегающими к цилиндру. При малых значениях параметра у существует только одно симметричное решение. При значениях циркуляций у>у* существуют три решения без протоков: одно симметричное и два несимметричных для х>0 и х<0. Следует отметить, что несимметричные решения в некотором смысле «менее неустойчивы», что выражается в меньшей величине положительного действительного корня (см. рис. 3, б) по сравнению с симметричным решением.

В работе [11] приведены экспериментальные данные о поле течения вокруг цилиндрического тела с оживальной носовой частью при возникновении несимметричного отрывного обтекания. Несимметричное положение вихрей связывается с отрывом линии тока, выходящей из седло-вой точки в потоке, от тела. При этом она охватывает один из вихрей и уходит по потоку. Наблюдаемые в [11] поля течения близки к рассмотренным выше (рис. 4).

Если предположить, что при реальном обтекании действие вязкости реализует течения без протоков, из возможных решений будут отбираться течения с замкнутыми вихревыми зонами. На носике тонкого тела, где циркуляция вихрей мала, как это и наблюдается в эксперименте, имеет место симметричная вихревая структура. По мере удаления от носика значения циркуляции вихрей возрастают, и на некотором расстоянии возможен переход к одному из несимметричных решений.

В работе [9] (стр. 1{)2) для тонких тел вращения приведены экспериментальные зависимости безразмерной интенсивности вихрей

rB/2naVy? от безразмерного параметра а(х— x0)/R, которые введены из соображений подобия (Гв — циркуляция вихрей, a — угол атаки, Vo — скорость набегающего потока, R — радиус тела вращения, х — координата вдоль тела, хй—координата начала схода вихрей с носика тела).

В рассматриваемой схеме обтекания по методу плоских сечений величина U<x,= V0a. Полагая хо~0 и заменяя отношение x/R величиной 1/е, где е — полуугол раствора носика тела, приведенные в [9] соотношения можно представить в виде линейной зависимости y —- It — . гДе

— 0,3 — эмпирически определяемая из графика константа.

Если тело таково, что на всей его длине безразмерная циркуляция вихрей y<Y*> возникновение несимметричной вихревой структуры при сделанных предположениях невозможно. Если же в некотором диапазоне углов атаки интенсивность вихрей в конце тела становится больше у*, то там может возникнуть несимметрия. Это происходит при

k ОС У *

7 = — > 7* или при углах атаки е. Подстановка в это соотно-

шение критического значения параметра у*^ 0,57 и эмпирического значения k~0,3 приводит к условию развития несимметричной вихревой структуры в хвосте тела в виде а>1,9е. Это согласуется с экспериментальными данными, свидетельствующими о том, что боковая нагрузка появляется при углах атаки, больших удвоенного полуугла раствора носика тела.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ericsson L. Е., Reding J. P. Review of vortex-induced asymmetric loads, Part I. — Z. Flugwiss. Weltraumforsch, N 5 (1981), Heft 3.

2. Ericsson L. E., R e d i n g J. P. Review of vortex-induced asymmetric loads. Part II, — Z. Flugwiss. Weltraumforsch, N 5 (1981), Heft 6.

3. Keener E. R., Chapman G. T. Onset of aerodynamic side forces at zero sideslip on symmetric forebodies at high angles of attack, — AIAA Paper, N 74—770, 1974.

4. Thomson K. D., Morrison D. E. The spacing, positions and strength of vortices in the wake of slender cylindrical bodies at large incidence. — J. of Fluid Mech., 1971, vol. 50, p. 4.

5. Dyer D. E., Fiddes S. P., Smith J. H. B. Asymmetric vortex formation from cones at incidence — a simple inviscid model, — Aeronautical Quarterly, 1962, vol. 33, p. 4.

6. Fop pi L. Wirbelbewegung hinter einem kreiszylinder. — Sitzb. d. k.

Bayr. Akad. d. Wiss., 1913.

7. Л а м б Г. Гидродинамика.—M. — Л.: Гостехиздат, 1947.

8. В e й x с Д. Приближенный расчет траекторий вихрей, сходящих с тонких тел под углом атаки. — Ракетная техника и космонавтика, 1980, т. 18, № 11.

9. Нилсен Дж. Аэродинамика управляемых снарядов, — М.: Обо-ронгяз, 1962.

10. Давиденко Д. Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений. — ДАН СССР,'1953, т. 88, № 4.

11. Y о n t a W. J., W а г d 1 a w А. В.,. Naval Jr. The secondary separation region on a body at high angles of attack.—AIAA Paper, N 82-0343.

Рукопись поступила 13/VI 1983 г.