CC BY
33
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVII 1986 № 3
УДК 629.735.33.015.3.025.47
ВЛИЯНИЕ РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ НА СИММЕТРИЧНОСТЬ ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ
С. Б. Захаров
В приближении теории удлиненных тел исследован вопрос о неедин- ' ственности решений задачи отрывного обтекания треугольного крыла малого удлинения при наличии на подветренной стороне крыла в плоскости симметрии треугольной разделительной пластины. Предложено повышающее точность усовершенствование метода установления, применяемого при решении автомодельных задач с вихревыми пеленами. Получены наряду с симметричными существенно асимметричные решения задачи отрывного обтекания рассматриваемого крыла при симметричных условиях набегания потока. Основное внимание уделено выяснению характера бифуркаций решений и качественному описанию гистерезиса аэродинамических характеристик при квазистационарном изменении углов атаки и скольжения с использованием упрощенной математической модели вихревой пелены «вихрь — разрез».
Из результатов экспериментальных исследований следует, что симметричная картина отрывного обтекания моделей треугольных крыльев малого удлинения при отсутствии скольжения наблюдается лишь в диапазоне углов атаки а, меньших некоторого критического а*. При значениях углов атаки а> а* картина отрывного обтекания существенно асимметрична, на исследуемую модель крыла действуют значительные боковые силы и моменты. В основе рассматриваемого явления, как можно предполагать, лежит потеря устойчивости симметричного расположения развитых, сильно взаимодействующих между собой и с поверхностью модели, вихревых пелен, сходящих с острых боковых кромок крыла. При малых углах атаки вихревые пелены локализованы вблизи кромок крыла и практически не взаимодействуют друг с другом, симметричное расположение устойчиво. Рассматриваемое явление наблюдается на моделях крыльев с удлинением Я<1. На моделях треугольных крыльев с удлинением 1>1 с ростом угла атаки еще до возникновения асимметрии картины отрывного обтекания имеет место разрушение вихрей [1].
Экспериментальное исследование рассматриваемого явления сопряжено с большими трудностями технического характера, связанными с необходимостью изготовления достаточно жестких моделей плоских треугольных крыльев малого и сверхмалого удлинения. Простейший способ придать необходимую жесткость плоской модели треугольного крыла без нарушения, на первый взгляд, картины отрывного обте-
кания и с сохранением присущих плоскому треугольному крылу аэродинамических характеристик при отсутствии скольжения заключается в расположении на наветренной либо на подветренной стороне модели крыла в плоскости симметрии тонкого ребра жесткости (треугольной разделительной пластины) с заостренной либо затупленной кромкой [2].
Цель настоящей работы — численно исследовать задачу отрывного обтекания плоского треугольного крыла с треугольной разделительной пластиной в том случае, когда последняя расположена в плоскости симметрии на подветренной стороне крыла и, как будем предполагать, имеет затупленную кромку. Последнее предположение введено для упрощения задачи и позволяет в первом приближении не рассматривать отрыв потока с разделительной пластины, который может и должен иметь место при заостренной кромке в случае нарушения симметричности отрывного обтекания крыла.
1. Постановка задачи. Поскольку рассматриваемое явление возникновения существенной асимметрии отрывного обтекания наблюдается в экспериментах на моделях крыльев с удлинением ^<1, вполне оправданным является использование приближений теории удлиненных тел и соответствующих этим приближениям численных методов расчета отрывного обтекания крыльев в предположении о невязком глобальном характере обтекания. Постановка задачи в рамках теории удлиненных тел достаточно подробно описана во многих работах, в том числе и в [3, 4], и нет необходимости в подробном ее изложении. Отметим лишь основные предположения: вследствие малости удлинения трехмерная стационарная задача сводится к двумерной нестационарной задаче отрывного обтекания потоком несжимаемой жидкости расширяющегося контура в плоскостях поперечных сечений крыла (гипотеза плоских сечений); в случае конической геометрии крыла трехмерное отрывное обтекание предполагается коническим, а соответствующая двумерная задача — автомодельной; течение считается невязким, а отрыв потока с образованием спиральных вихревых пелен имеет место лишь на острых боковых кромках крыла. Последнее, как уже отмечалось выше, является упрощающим решение задачи предположением.
Пусть Ох°у°г° — связанная с крылом система декартовых прямоугольных координат с началом в вершине крыла (рис. 1). Ось х° направлена по центральной хорде крыла, ось у0 — перпендикулярна плоскости крыла, ось г° — параллельна размаху. Определяющими па-
1,0 г
Рис. 1
раметрами в рассматриваемой задаче отрывного обтекания комбинации треугольного крыла с разделительной пластиной являются: относительная высота разделительной пластины /г = 0/% и относительные углы атаки а=та°/х и скольжения Р = Р°/Х- Здесь % — полуугол при вершине крыла, 0 — угол при вершине разделительной пластины, а° — угол атаки, р° — угол скольжения. В случае р = 0 для симметричных решений параметр к выпадает из числа определяющих параметров; получающиеся при этом решения, зависящие только от та, являются решениями задачи отрывного обтекания плоского треугольного крыла при нулевом скольжении.
Рассмотрим картину обтекания в некоторой плоскости поперечного сечения крыла (рис. 1). Введем комплексную автомодельную переменную 1, = г+іу, где г=г°/1, у = у°/1, / — полуразмах крыла в данном сечении.
Для построения необходимых в дальнейшем при численном решении задачи комплексного потенциала и комплексной скорости течения воспользуемся конформным отображением внешности заданного контура на внешность единичной окружности во вспомогательной плоскости комплексного переменного (Т=| + Йу.
в(С)= — [У^Л + іЛУС^-ггО+а2- ІЬ].
а
у I + +1 У1 + № - 1
При таком отображении точке (вершина разделительной пласти-
ны) соответствует точка сг = 1, а точкам £1 = 1 и ^ = —1 (боковые острые кромки крыла) — точки <з\ и о°2 соответственно.
2. Метод решения. Для эффективного численного решения рассматриваемой задачи, принадлежащей к классу задач, в которых возможны неединственные решения отрывного обтекания, необходим метод или совокупность методов, позволяющий не только получать решения, но и исследовать их на устойчивость к малым возмущениям. Указанным требованиям отвечает метод установления [5], в основу которого положено численное решение задачи Коши для нелинейного интегро-дифференциального уравнения эволюции тангенциального разрыва скорости [6].
Численный алгоритм метода установления [5] включает интегрирование уравнений движения дискретных вихрей, аппроксимирующих непрерывную вихревую пелену, по методу Эйлера (формулам численного интегрирования первого порядка точности)
С"(* + = (1)
и последующее после каждого шага по времени сглаживание по координатам с использованием регуляризирующего оператора
С” = — (С”-1 -1- 2СП + Сл+1). (2)
4
Здесь I и .№—время и шаг по времени, — комплексные координаты дискретных вихрей в плоскости £, Уп — комплексная скорость течения в точках расположения вихрей, черта над переменной означает величину, комплексно сопряженную данной.
В настоящей работе использовался усовершенствованный численный алгоритм, в котором оператор (2) был заменен оператором
Сл = —— (С~2 + + 6СЛ + 4СП+1 + С+2), (3)
16
эквивалентным по своему воздействию двухкратному применению на каждом шаге оператора (2).
Оператор (3) помимо выполнения функции сглаживания выполняет функцию оператора корректора для формул (1), повышая фактически на порядок точность метода численного интегрирования при решении автомодельных задач методом установления практически без увеличения времени расчета. Последнее свойство оператора (3) связано с наличием вполне определенных соотношений между шагом интегрирования по времени At и шагом дискретизации вихревой пелены
Д С”+1'" = Сл+1 — Сл = Сл у + М) — Сл (/) = Уп М.
Иными словами, дискретные вихри при каждом шаге интегрирования переходят в точки, в которых находились соседние с ними дискретные вихри. Вихри движутся по вихревой пелене, конфигурация которой уже не изменяется.
Для аппроксимации внутренних витков вихревой пелены использовалась хорошо зарекомендовавшая себя математическая модель ядра спиральной вихревой пелены [3] «вихрь — разрез». Координаты и циркуляции дискретных вихрей, сходящих с острых боковых кромок крыла, вычислялись с учетом асимптотики вихревой пелены вблизи точек отрыва.
3. Результаты расчета. Несмотря на ограниченное количество проведенных расчетов, можно сделать определенные выводы. При р = 0 и а<а* (к) существует единственное устойчивое к произвольным малым возмущениям симметричное решение, впервые полученное в работе [3]. При р = 0 и <х>а* (к) наряду с этим симметричным решением существуют два зеркально отображенных относительно оси у асимметричных решения, устойчивых к произвольным малым возмущениям. Что касается устойчивости симметричного решения, то оно всегда устойчиво к малым симметричным возмущениям, но может быть неустойчиво к произвольным (несимметричным) малым возмущениям. Последнее зависит от значений двух величин: относительной высоты разделительной пластины к и а—а#(Н). С увеличе-г нием угла атаки асимметрия воз-
растает.
Рис- 2 В качестве примера на рис. 2
приведена конфигурация вихревых пелен, соответствующая одному из асимметричных решений при значениях определяющих параметров: к = 0,6, а = 5,5, р = 0.
При р = 0 и к = 0 асимметричных решений получить не удалось. Аналогичная безрезультатная попытка численно получить асимметричную картину обтекания плоского изолированного треугольного крыла
с удлинением >, = 0,25 описана в работе [7], в которой для расчета течения использовался трехмерный панельный метод.
4. Бифуркационный анализ. Расчеты, описанные в предыдущем пункте, с использованием сложной математической модели спиральной вихревой пелены достаточно трудоемки и требуют значительных затрат машинного времени. В то же время известна [8] и широко применяется в параметрических расчетах простая модель спиральной вихревой пелены «вихрь — разрез», позволяющая качественно правильно, а в отдельных случаях количественно описать картину отрывного обтекания крыльев малого удлинения.
В рамках этой модели вся вихревая пелена заменяется одним дискретным вихрем, соединенным с острой кромкой крыла математическим («питающим») разрезом. Пусть £2 и Гь Гг — комплексные координаты и циркуляции дискретных вихрей, правого и левого соответственно, (Ть о2 — соответствующие комплексные координаты вихрей во вспомогательной плоскости комплексного переменного о. Тогда комплексный потенциал течения имеет вид
®<«>=-^(»--г) + -|-(,’+т)+
+ -£171п-1-а1- + -^-1п " ~
I 2ш а ]_
а1 а2
Для определения четырех неизвестных — двух действительных ГЬ Гг и двух комплексных £1, £2 — имеем систему алгебраических уравнений
=0, *0.1 =о, (4)
1а=а° ^0 ама°
выражающих постулат Чаплыгина — Жуковского о конечности скорости на острых боковых кромках крыла, и два уравнения
2 2 с-*сД йя </С 2*1 С-— С, )
(5)
2 2 сч-сД Ла а: 2и 1~12 }
выражающих условия отсутствия суммарной силы, действующей на систему «вихрь—разрез».
Для решения системы (4) — (5) использовался простой метод итераций (релаксаций), позволяющий получать решения, устойчивые к заданному классу малых возмущений, и судить об устойчивости этих решений к более широкому классу малых возмущений. Последнее необходимо для исследования устойчивости всегда существующих в рассматриваемой задаче при р = 0 симметричных решений к малым асимметричным возмущениям. К некоторому недостатку используемого метода следует отнести невозможность получения неустойчивых как к асимметричным, так и к симметричным малым возмущениям решений, хотя последние как абсолютно неустойчивые не представляют существенного интереса в практических приложениях.
Суть метода заключается в следующем. Для начала итераций задаются достаточно произвольно координаты вихрей С(1°\ С(20>. Из уравнений (4) определяются циркуляции вихрей Г^, Г^0). По на-
чальным координатам и циркуляциям дискретных вихрей вычисляются правые части /10) (С(,0), С(20), Гі0), Г(20)), /(20)(^0), С(20), Г[0), Г|0)) уравнений (5). В качестве начального приближения для следующей итерации принимаются комплексные координаты дискретных вихрей, вычисляемые из выражений
с‘» = (1 -в^ + еГЛ»,
здесь 0<^810), вг0) <С 1 —необязательно равные действительные величины, значения которых для ускорения сходимости желательно увеличивать с ростом числа итераций. Последнее особенно важно вблизи точек бифуркации решения, где, как показывает практика расчетов, сходимость метода резко замедляется.
На рис. 3 представлена бифуркационная диаграмма в плоскости определяющих течение параметров (к, а) при р = 0. В области 1 существует единственное устойчивое к произвольным малым возмущениям симметричное решение, впервые полученное в работе [8], — решение задачи отрывного обтекания плоского изолированного треугольного крыла при нулевом скольжении с моделью вихревой пелены «вихрь—разрез». В области 2 симметричное решение неустойчиво к малым асимметричным возмущениям, но устойчиво к симметричным, что и определяет возможность его получения используемым методом итераций
посредством задания симметричного начального приближения и условия е1 = е2 на каждой итерации. В области 2 помимо симметричного существует два зеркально отображенных относительно оси у асимметричных устойчивых к произвольным малым возмущениям решения. В области 3 также существует три устойчи-
вых решения — симметричное и два асимметричных, но в отличие от области 2 все три решения устойчивы к произвольным малым возмущениям. Помимо этих трех решений, как вытекает из анализа характера имеющей место бифуркации [9], в этой области должны существовать еще два зеркальных относительно оси у абсолютно неустойчивых асимметричных решения, получение которых невозможно используемым методом.
При р = 0 в диапазоне 0</г<0,7 бифуркация решения носит сверх-критический, а в диапазоне /г>0,7 докритический характер. Различный характер бифуркаций в указанных диапазонах изменения относительной высоты к разделительной пластины приводит к различному характеру зависимостей коэффициентов аэродинамических сил и моментов от угла атаки. В диапазоне й>0,7 при квазистационарном изменении угла атаки возможен гистерезис в аэродимических характеристиках.
В качестве примера на рис. 4 представлены зависимости коэффициентов нормальной су и боковой сг сил от угла атаки а для двух значений относительной высоты /г=0,6 (рис. 4, а) и 1,0 (рис. 4,6). Коэффициенты нормальной и боковой сил вычислялись согласно теореме о количестве движения по формуле
сг + к у = х2 |2яй + 2гс (а2 — 1) р + ----+ шГ2 ^а2--------=-
Какая из двух ветвей в зависимостях с2(а) реализуется, зависит от фактора случайности. Отрицательным значениям сг соответствует картина обтекания, при которой правый вихрь выше левого.
Существование двух (в области 2, рис. 3) или трех (в области 3) различных решений при р = 0, устойчивых к произвольным малым возмущениям, обуславливает существование такого же числа решений, устойчивых к произвольным малым возмущениям, в некотором симметричном диапазоне 0<|р|< Р* (А, а) отличных от нуля углов скольжения, что, в свою очередь, приводит к гистерезисному характеру зависимостей аэродинамических коэффициентов от угла скольжения при квазистационарном его изменении.
В качестве примера на рис. 5 представлены некоторые характерные виды зависимостей коэф-
Ш0\- Л = 7,25
0,1
Рис. 5
фициента боковой силы от угла скольжения при h =1,0 для различных значений угла атаки. Скачки при квазистационарном изменении угла скольжения в гистерезисных петлях возможны лишь в указанных стрелками направлениях. Там же на рис. 5 приведена соответствующая выбранному значению Л =1,0 бифуркационная диаграмма в плоскости (Р, а), именуемая «бабочкой» и являющаяся проекцией трехмерной поверхности F (а, р, cz)=0 на плоскость управляющих параметров. При /г<0,7 трехмерная поверхность F(а, р, cz)= 0 представляет собой многообразие «катастрофы сборки», а ее проекция на плоскость управляющих параметров (р, а) имеет вид «складки» [9].
ЛИТЕРАТУРА
1. Polhamus Е. С. Predictions of vortex-lift characteristics by a leading-edge section analogy. — Journal of Aircraft, 1971, vol. 8, N 4.
2. Fox С. H. Jr., Lamar J. E. Theoretical and experimental longitudinal aerodynamic characteristics of an aspect ratio 0,25 sharp-edge delta wing at subsonic, supersonic and hupersonic speeds. — NASA TN D-7651, 1974.
3. Smith J. М. B. Improved calculations of leading-edge separation from slender delta wings. — Proc. Roy. Soc., ser. A, 1968, vol. 306.
4. 3 a x a p о в С. Б. Расчет невязкого отрывного обтекания тонкого кругового конуса на больших углах атаки. — Ученые записки ЦАГИ,
1976, т. VII, № 6.
5. Молчанов В. Ф. Некоторые вопросы расчета течений с тангенциальными разрывами. — Ученые записки ЦАГИ, 1975, т- VI, № 4.
6. Никольский А. А. О «второй» форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование вихревых отрывных потоков).— ДАН СССР, т. 116, вып. 2, 1957.
7. .Johnson F. Т., Tin о со Е. N., Lu Р., Ер ton М. A. Three-dimensional flow over wings with leading-edge vortex separation. — AIAA Journal, 1980, vol. 18, N 4.
8. Brown С. E. and Michael W. H. On slender delta wings with leading-edge separation. — Journal of the Aerospace Sciences, 1954, vol. 21,
N 10.
9. Гилмор P. Прикладная теория катастрофы. — М.: Мир, 1984.
Рукопись поступила 12/11 1985 г.
